LA CINEMATICA IN BREVE. Schede di sintesi a cura di Nicola SANTORO.

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1 LA CINEMAICA IN BREVE Schede di sinesi a cura di Nicola SANORO Lo scopo di quese schede è quello di riassumere i concei principali e le formule fondamenali della cinemaica, per venire inconro alle esigenze di apprendimeno di moli allievi Lo sile, sineico, è quello di un riassuno: perano non sosiuiscono né il libro di eso, né la spiegazione del docene, ma possono, evenualmene, complearli ed arricchirli Cinemaica: è la pare della Meccanica che sudia il moo dei corpi senza ener cono delle cause che lo producono Moo e quiee Un corpo si dice in moo od in quiee quando, rispeo ad un alro rienuo fisso (sisema di riferimeno), occupa nello spazio posizioni differeni, oppure rimane sempre nella sessa posizione Non possiamo parlare di moo o quiee in senso assoluo, ma solano in senso relaivo, perché essendo uo l universo in movimeno, nessun puno è realmene fisso raieoria: è la linea descria da un puno maeriale (mobile) durane il suo movimeno; può essere: reilinea, circolare, parabolica, elliica, ecc Velocià media è il rapporo fra lo spazio percorso e il empo impiegao a percorrerlo: s s s Il veore velocià media è definio dalla formula: s s s Aenzione a non confondere il veore sposameno s con lo spazio percorso reilineo il modulo del veore sposameno coincide con lo spazio percorso s Solo nel moo Velocià isananea è la velocià in un inervallo di empo così piccolo (infiniesimo) da endere a zero ( ), per cui anche lo spazio percorso è piccolissimo Moo reilineo uniforme: è quello di un mobile che percorre una raieoria reilinea con velocià cosane; perano possiamo scrivere (indicando con s la posizione iniziale e l isane iniziale del moo): s s s v cos da cui ricaviamo lo spazio percorso: s v cioè s s v ( ) oppure, ancora: s s + v ( ), che è la legge oraria del moo Assumendo s all isane (cioè il corpo pare dall origine del riferimeno nell isane iniziale del moo), la legge oraria divena: s s v oppure v

2 In queso caso paricolare gli spazi percorsi sono direamene proporzionali ai empi impiegai a percorrerli Possiamo anche assumere che la velocià è lo spazio percorso nell unià di empo Quindi l unià di velocià è quella di un mobile che percorre mero in secondo, cioè m/s Il moo reilineo uniforme si può rappresenare con: il grafico dello spazio percorso in funzione del empo s f (), che è una rea la cui pendenza (coefficiene angolare) è la velocià del moo; il grafico della velocià in funzione del empo v f (), che è una rea orizzonale Accelerazione media è il rapporo fra la variazione della velocià e l inervallo di empo in cui si verifica quesa variazione: v v v a m In paricolare se v > v l accelerazione è posiiva, se v < v l accelerazione è negaiva (decelerazione) Il veore accelerazione media è definio dalla formula: a m v v v Accelerazione isananea è il valore che ende ad assumere l accelerazione media se ende a zero ( ) L unià di misura dell accelerazione è quella di un mobile che varia la sua velocià di m/s in s, cioè m/ s Moo reilineo uniformemene accelerao è quello di un mobile che percorre una raieoria reilinea con accelerazione cosane; in al caso la sua velocià varia di quanià uguali in empi uguali Perano possiamo scrivere (indicando con v la velocià iniziale, e l isane iniziale): v a v v cos da cui ricaviamo la legge della velocià: v v + a ( ) D alro cano la velocià media del moo è sempre: s s e quindi s s vm ( ) ; se l accelerazione è cosane, la velocià media v m si può calcolare anche facendo la media arimeica fra la velocià iniziale v e la velocià finale v: v + v v + v perano s s ( ) ;

3 3 sosiuendo in ques ulima formula la v daa dalla legge della velocià, con facili calcoli, oeniamo la legge oraria del moo reilineo uniformemene accelerao: s s + v ( ) + a ( ) Assumendo s all isane (cioè il corpo pare dall origine del riferimeno nell isane iniziale del moo), la legge della velocià e la legge oraria divenano rispeivamene: v v + a ; s v + a Esise, poi, una formula molo comoda per i calcoli, che si oiene dalle due precedeni eliminando il empo dalle due equazioni (ad es ricavandolo dalla prima e sosiuendolo nella seconda), con facili calcoli: v v quindi a v v v v v v s v + a a a a ali formule si usano quando il corpo è animao da velocià iniziale v (parenza lanciaa); se, invece, il corpo pare da fermo ( v ) le sesse formule si scrivono: v a ; v s a a Il moo reilineo uniformemene accelerao si può rappresenare con re grafici: il grafico dell accelerazione in funzione del empo a f (), che è una rea orizzonale; il grafico della velocià in funzione del empo v f (), che è una rea la cui pendenza (coefficiene angolare) è l accelerazione del moo; il grafico orario dello spazio percorso in funzione del empo s f (), che è un arco di parabola Un esempio noevole di moo reilineo uniformemene accelerao è cosiuio dalla cadua (libera) dei gravi Il moo di cadua libera di un corpo nel vuoo è reilineo con accelerazione di gravià g 9,8m / s (valore medio sulla erra) Olre allo sudio dei moi in una dimensione (moo reilineo uniforme e moo reilineo uniformemene accelerao) in Cinemaica acquisano paricolare imporanza i moi piani (in due dimensioni) In quesa sede accenneremo solano al moo dei proieili (al quale è saa già dedicaa una precedene unià e a cui si rimanda), al moo circolare uniforme ed al moo armonico semplice Il moo circolare uniforme è il moo di un puno maeriale che percorre una circonferenza con velocià cosane in modulo, ma non in direzione Le grandezze caraerisiche di queso moo sono: il periodo che è il empo impiegao dal puno mobile per compiere un giro (si misura in secondi s);

4 4 la frequenza f che è il numero di giri compiui nell unià di empo(in un secondo) (si misura in Herz Hz; Hz giro al secondo s ); dalla definizione si deduce facilmene: f ; la velocià angenziale (o periferica) v che è il modulo (cosane) del veore velocià angenziale (che è angene alla circonferenza in ogni puno) (si misura in m/s); poiché in un periodo il puno maeriale percorre l inera circonferenza π r, possiamo scrivere: π r v π r f ; la velocià angolare ω che è il rapporo (cosane) fra l angolo descrio dal raggio veore passane per il puno mobile e il empo impiegao (si misura in rad/s); dalla definizione segue: ω α ; poiché in un periodo l angolo α descrio è l angolo giro ( π rad), la velocià angolare divena: ω π ; perano v ω r ; v l accelerazione cenripea a c che nasce dalla variazione di direzione del veore velocià (ricordiamo che il veore velocià è cosane in modulo) (si misura in m / s ); perano l accelerazione ha direzione radiale, e modulo: v 4π r ω r r a c Il moo armonico semplice è il moo che si oiene proieando un moo circolare uniforme su un diamero Anche il moo armonico semplice (come il moo circolare uniforme) è un caso paricolare di moo periodico Quindi, come ale, eredia dal moo circolare uniforme alcune grandezze in comune: Il periodo che rappresena il empo impiegao per compiere un oscillazione complea La frequenza f che rappresena il numero di oscillazioni complee in un secondo La pulsazione ω π f che coincide con la velocià angolare del puno che percorre la circonferenza Nel moo armonico, inolre, si inroducono: lo sposameno x f () che è la disanza dal cenro O dell oscillazione;

5 5 la velocià v x f () proiezione sul diamero della velocià del puno che percorre la circonferenza; la accelerazione a x f () proiezione sul diamero dell accelerazione cenripea del puno che percorre la circonferenza Il moo armonico semplice si può caraerizzare mediane l equazione: a x ω x ; cioè l accelerazione del moo è proporzionale allo sposameno e direa in verso opposo (a causa della presenza del segno meno nel secondo membro) Esise poi un espressione analiica delle curve x f () ; v x f () ; a x f (), che può essere oenua usando le funzioni rigonomeriche seno e coseno: x r cos( ω) ; ωr sin( ω) ; ω x ω r cos( ω) v x Un esempio noevole di moo armonico semplice è cosiuio dal pendolo (semplice), ossia dal moo di un corpo maeriale puniforme sospeso ad un filo inesensibile e di massa rascurabile, in modo che possa oscillare in un piano vericale Per piccole oscillazioni inorno alla posizione di equilibrio (ampiezza dell angolo di oscillazione ϑ 3 ), il moo è, con oima approssimazione, armonico semplice e, per quano le forze d ario riducano man mano l ampiezza delle oscillazioni, il periodo del pendolo rimane praicamene cosane: per queso moivo il pendolo è uilizzao anche come cronomero a x BIBLIOGRAFIA S ROSAI Fisica generale, Ed Ambrosiana, Milano 98; U AMALDI Fisica: idee ed esperimeni, Ed Zanichelli, Bologna