Cinematica moto armonico. Appunti di Fisica. Prof. Calogero Contrino

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1 2006 Cinemaica moo armonico Appuni di Fisica Prof. Calogero Conrino

2 : definizione Il moo di un puno maeriale P è deo armonico se soddisfa le segueni condizioni: La raieoria è un segmeno. Le posizioni occupae su di essa dal puno maeriale coincidono con le proiezioni orogonali delle posizioni di un puno P che si muove di un moo fiizio di ipo circolare uniforme su una circonferenza di cui la raieoria del moo reale è un diamero orogonale alla direzione di proiezione. Dalla definizione appare evidene che il moo in quesione è di ipo oscillaorio Si sudia nel seguio queso ipo di moo per ricavare l andameno emporale di ue le grandezze cinemaiche in gioco. M 22/05/2013 1/9

3 : Deerminazione della legge oraria Si deermina inizialmene la legge oraria. Si consideri a ale scopo un sisema di riferimeno con origine nel puno medio della raieoria (vedere la figura) la quale giace sull asse. La posizione generica del puno P, ponendo P =A m, sarà daa da : = A m sen Ed essendo il modulo della velocià angolare nel moo fiizio si ha : = Perano, ipoizzando che all isane iniziale 0 =0 il puno P si rovi nell origine del sisema di riferimeno ( 0 =0) e si sia muovendo con ordinae cresceni (primo quadrane del moo fiizio), la legge oraria assume la forma : () = A m sen Ci proponiamo ora di rappresenare graficamene la legge oraria appena rovaa. P P M 22/05/2013 2/9

4 Rappresenazione grafica della legge oraria Si consideri un sisema di riferimeno con asse dei empi e asse delle posizioni isananee del puno maeriale sulla raieoria. Al empo iniziale 0 = 0 il puno maeriale si rova, nella sua raieoria, nell origine del sisema. Tale siuazione nel sisema, nel quale viene rappresenaa la legge oraria, ricade nel puno. Considerando con cadenza regolare successivi inervalli di empo = /6, si individuano le posizioni assune sulla raieoria reale dal puno P in corrispondenza di quelle assune dal puno P sulla raieoria fiizia. Sul piano sono racciai I corrispondeni puni della legge oraria(cerchiei azzurri). Al variare con coninuià di l andameno del grafico della legge oraria è nauralmene quello ipico di una sinusoide ( linea rossa). P P /05/2013 3/9

5 Alcune considerazioni sul veore velocià isananea Si consideri il veore velocià isananea ; dall esame della raieorie ( reale e fiizia ) e della legge oraria si possono rarre delle informazioni ineressani sul suo andameno emporale al fine di dedurne un espressione analiica. Dal grafico della legge oraria si osserva che : nei puni =, = 3 la velocià si annulla (angene orizzonale) 2 2 nei puni, 2 = 0 = la velocià assume il massimo valore posiivo (angene con massima pendenza) nel puno = la velocià assume il minimo valore negaivo (angene con minima pendenza) Per valuare quesi valori (massimo e minimo) si osservi che (vedi figura) le posizioni del moo reale sono deerminai dalle proiezioni delle posizioni del moo fiizio, perano anche gli sposameni del moo reale sono le proiezioni degli sposameni del moo fiizio, cosi come le velocià del moo reale sono dae dalle proiezioni delle velocià del moo fiizio (vedi figura). P P /05/2013 4/9

6 Legge di dipendenza emporale della velocià isananea Ne consegue che negli isani 0 e = =, sane il parallelismo del veore e della raieoria, il modulo della velocià nel moo reale coincide con il modulo della velocià nel moo fiizio e si può perano scrivere : v 2A m ma = v() = = T A m e, per un qualsiasi isane, essendo = si ha la seguene legge di dipendenza dal empo della velocià isananea (in figura linea di colore azzurro) : v() = v() cos()j = A m cos j /05/2013 5/9

7 Andameno dell accelerazione isananea Si consideri il veore accelerazione isananea (proiezione di quella cenripea); anche in queso caso dall esame della raieorie ( reale e fiizia ) e della legge di dipendenza emporale della velocià si possono rarre delle informazioni ineressani sul suo andameno emporale al fine di dedurne un espressione analiica. Dal grafico di v () (linea azzurra) si osserva che : nei puni,, 2 = 0 = l accelerazione si annulla (angene orizzonale) = nei puni =, = 3 l accelerazione assume rispeivamene il minimo valore negaivo ed 2 2 il massimo valore posiivo (angene con minima e massima pendenza ) Per valuare l andameno di a() si ricorda che i valori dell accelerazione sono isane per isane le proiezioni sulla raieoria dell accelerazione cenripea del moo fiizio (vedi figura) /05/2013 6/9

8 Legge di dipendenza emporale dell accelerazione isananea Ne consegue che negli isani = e = 3, sane il parallelismo del veore accelerazione 2 2 cenripea e della raieoria, il modulo dell accelerazione nel moo reale coincide con il modulo dell accelerazione nel moo fiizio e si può perano scrivere: a 4 2 A m ma = a() = = = 2 A m. Quindi, per un qualsiasi isane, essendo =, l accelerazione isananea osserva la seguene legge di dipendenza emporale (in figura linea di colore magena): a c T 2 a() = a() sen() j = 2 A m sen j /05/2013 7/9

9 erminologia Ad alcune delle grandezze in gioco nel moo fiizio (circolare uniforme) nel moo reale (armonico) vengono aribuii nomi diversi, come riporao nella seguene abella : Simbolo grandezza Nome nel moo fiizio Nome nel moo reale velocià angolare pulsazione () Componene del veore posizione elongazione A m Raggio della raieoria Ampiezza (elongazione ma.) Inolre si hanno le segueni nuove definizioni : oscillazione complea : moo del puno maeriale reale corrispondene ad un giro compleo compiuo dal puno nel moo fiizio. periodo : empo impiegao dal puno maeriale reale per compiere una oscillazione complea. frequenza : numero di oscillazioni compiue dal puno maeriale reale in un definio inervallo di empo uniario (secondo nel S.I.). cenro del moo : puno medio della raieoria nel moo reale. 22/05/2013 8/9

10 Relazione fondamenale Si procede nel seguio alla deerminazione di una relazione che caraerizza un qualsiasi moo armonico in generale. In un generico isane (vedi figura) siano P e P le posizioni del puno nel moo reale ed in quello fiizio, a ed a c le relaive accelerazioni, = P il valore assoluo dell elongazione nel moo reale ed R il raggio della raieoria nel moo fiizio I riangoli reangoli PP e quello avene per ipoenusa a c e caeo a risulano simili, perano si può scrivere la seguene proporzione: a a = c = 2 da cui si oiene: a = 2 R ed infine evidenziando l opposizione dei segni di a e si ha: a = 2 a = 2 j 1 La 1) è l equazione cercaa ed è dea equazione fondamenale del moo armonico R P P /05/2013 9/9