Prova Scritta di Robotica I A: preferibile per 6 crediti 12 Gennaio 2010

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1 Prova Scria di Roboica I A: preferibile per 6 credii Gennaio Esercizio Si consideri il cammino caresiano paramerico p ps xs ys zs R cos s R sin s h s, s [, + dove R > e h >. Tale cammino è una spirale inorno all asse z. Assegnao un empo oale di moo T > sufficienemene lungo, definire una legge oraria s s con profilo di velocià rapezoidale per [, T ], ale che risulino soddisfae le segueni condizioni per la raieoria pianificaa p d ps: ṗ d ṗ d T ; ṗ d V, con V > assegnao; p d A, con A > assegnao e sufficienemene grande. Si fornisca in paricolare l espressione esplicia della quoa finale z d T raggiuna. Inolre, pianificare un moo coordinao per l orienameno lungo il cammino sopra definio, specificando una erna mobile il cui lasse x o puni sempre verso l asse cenrale l asse z della spirale e sia ad esso orogonale, e con l asse z o sempre parallelo a z. Qual è il massimo valore raggiuno dalla norma della velocià angolare, ω, associaa alla raieoria così pianificaa? Valuare infine la soluzione fornia, con i segueni dai numerici: R. [m], h. [m], V [m/s], A 5 [m/s ], T [s]. Esercizio A Si esenda il progeo del conrollore di raieoria basao sulla linearizzazione e disaccoppiameno ingresso-uscia, presenao nel eso e a lezione per un robo mobile di ipo uniciclo, al caso del modello cinemaico di un veicolo di ipo car-like con razione aneriore. Tale conrollore dovrebbe garanire ad un opporuno puno B che si muove con il veicolo la possibilià di riprodurre esaamene in condizioni nominali e di inseguire in modo asinoicamene sabile in presenza di disurbi non persiseni qualsiasi raieoria di riferimeno coninua, evenualmene anche avene velocià disconinua. Fornire l espressione complea della legge di conrollo, analizzandone le singolarià se preseni, nonchè le equazioni del sisema ad anello chiuso risulane. Discuere vanaggi e svanaggi di ale ecnica di conrollo, in paricolare riguardo alla presenza di osacoli nelle vicinanze della raieoria di riferimeno. [5 minui; libri aperi]

2 Soluzioni Gennaio Esercizio Il veore di velocià lungo il cammino è dao da e quindi ṗ d dp d d dps ds ds d ṗ d R + h ṡ. Il vincolo ṗ d V sulla velocià caresiana si rasforma in ṡ V R + h : V max R sin s R cos s h ṡ, sulla velocià oraria ṡ. Il veore di accelerazione lungo il cammino è dao da p d d p d d dps R sin s ds s + d ps ds ṡ R cos s h e quindi s + p d R + h s + R ṡ. Il vincolo p d A sulla accelerazione caresiana può riscriversi come R + h s A R ṡ R cos s R sin s ṡ, sulla accelerazione oraria s. Poiché ale vincolo deve essere soddisfao per ogni [, T ], occorre considerare il caso peggiore, ossia ṡ V max. Si oiene quindi A RV R s +h R + h : A max. Per avere un valore ammissibile A max >, il limie A deve essere sufficienemene grande: A > RV R + h. A queso puno, essendo assegnao il empo oale di moo T e avendo ricavao i limii V max e A max, la legge oraria con profilo rapezoidale di velocià è compleamene specificaa. In paricolare, la duraa dell inervallo di accelerazione/decelerazione è T s V max A max V. A RV R +h Per garanire un profilo effeivamene rapezoidale con almeno un isane in cui si raggiunge V max, il empo oale T deve essere sufficienemene lungo: V T T s. A RV R +h

3 Il valore finale del paramero s al empo T è quindi s max : st T T s V max T V max V max T V A max R + h V. R + h A RV R +h Di conseguenza, la quoa finale raggiuna al empo T è z d T h st h s max. Per compleezza, calcoliamo anche la curvaura del cammino paramerico assegnao: dp ds d p ds κs R dp R + h. ds La curvaura κs risula cosane per ui i valori di s, e risula pari a /R quando h. Per pianificare la raieoria richiesa per l orienameno in modo che sia coordinaa con la raieoria generaa in posizione, si definisce una erna mobile in funzione dello sesso paramero s come segue: Rs x o s y s z o s cos s sin s sin s cos s Si noi che ale erna differisce da quella di Frene associaa nauralmene al cammino paramerico. Uilizzando le noazioni p s dps/ds e p s d ps/ds, la erna di Frene è infai specificaa dalla R Frene s s ns bs p s p s p s p s ns s R sin s cos s h sin s R +h R +h R R cos s sin s h cos s +h R +h. h R R +h R +h In effei, le due erne coincidono a meno di una roazione di π/ aorno all asse z solo quando h. Ponendo R d Rs, il veore di velocià angolare si calcola dalla Sω Ṙ d R T d ṡ sin s cos s cos s sin s. cos s sin s sin s cos s ṡ ṡ Come era inuibile la roazione della erna avviene aorno al solo asse fisso z e in senso aniorario, si oiene ω ṡ ω ṡ, per cui il massimo valore della norma del veore di velocià angolare è pari ovviamene a V max..

4 Con i dai numerici fornii nel eso, che verificano le due disuguaglianze e, si ha: V max.6, A max.69, T s.5, s max , z d T Si riporano di seguio alcuni grafici relaivi alla raieoria così pianificaa, oenui con Malab codice disponibile. geomeric pah.. X :.78 Y :.95 Z:.86.8 z y.... x.. Figura : La raieoria caresiana a spirale con le coordinae del puno finale raggiuno al empo T s 5 iming law s speed law ds/d acceleraion law d s/d Figura : Legge oraria: evoluzione del paramero s, della velocià ṡ e dell accelerazione s

5 .5 Caresian rajecory componens x, y, z Caresian velociy componens dx/d, dy/d, dz/d d x/d, d y/d, d z/d Caresian acceleraion componens Figura : Componeni della raieoria caresiana: posizione, velocià, e accelerazione x in blu, y in verde, z in rosso. norm of Caresian velociy.8 dp/d norm of Caresian acceleraion d p/d Figura : Norme della velocià e dell accelerazione caresiana: i limii assegnai ṗ d e p d 5 sono rispeai durane l inero moo 5

6 Esercizio A Il modello cinemaico car-like di un veicolo con ruoe aneriori serzani e razione aneriore è ẋ cos θ cos φ u ẏ θ sin θ cos φ u sin φ u l, φ dove x, y sono le coordinae della ruoa equivalene poseriore, θ è l orienameno assoluo del veicolo rispeo all asse di riferimeno x, φ è l angolo di orienameno della ruoa aneriore rispeo al veicolo, u è la velocià di razione della ruoa aneriore e u la sua velocià di roazione inorno all asse vericale. In analogia al progeo del conrollore di raieorie per il caso dell uniciclo, è possibile definire un puno B a disanza b > b sesso può essere posiivo o negaivo dalla ruoa aneriore e poso lungo la direzione di orienameno assoluo della ruoa, individuaa dall angolo θ + φ. Con quesa scela la velocià del puno B sarà influenzaa direamene da enrambi i comandi u e u. La posizione di B è quindi espressa dalla xb y B x y cos θ + l sin θ u cosθ + φ + b sinθ + φ. Derivando una vola la rispeo al empo e usando il modello si oiene ẋ + l ẏ B ẏ θ sin θ + b cos θ θ + φ sinθ + φ cosθ + φ cosθ + φ b l sin φ sinθ + φ b sinθ + φ u T θ, φ sinθ + φ + b l sin φ cosθ + φ b cosθ + φ u ẋb u u. Poiché de T θ, φ b, la marice T che è la cosiddea marice di disaccoppiameno del sisema è inveribile in ogni configurazione. La legge di conrollo che disaccoppia e linearizza esaamene il comporameno ingresso-uscia è definia in modo globale dalla u u T θ, φ vx v y cosθ + φ sinθ + φ b sinθ + φ l sin φ cosθ + φ b cosθ + φ l sin φ sinθ + φ vx dove v x e v y sono due ingressi ausiliari che verranno definii allo scopo di oenere uno schema asinoicamene sabile di inseguimeno di raieorie. Il sisema ad anello chiuso oenuo, ancora parzialmene non lineare, è descrio dalle ẋ B ẏ Ḃ θ φ vy v x sin φ b l v x v y sin φ v l x cosθ + φ + v y sinθ + φ cosθ + φ vxb + v y sin φ l sinθ + φ v y 5. 6, 6

7 Come si può vedere, i comandi di velocià v x e v y agiscono indipendenemene sulle componeni x e y della velocià del puno B. Daa una raieoria di riferimeno p B,d x B,d y B,d T che sia anche solo coninua nel empo, se ne realizza il suo inseguimeno in modo asinoicamene in effei, esponenzialmene sabile scegliendo nella 5 v x ẋ B,d + k x x B,d x B, v y ẏ B,d + k y y B,d y B, con k x > e k y >. Il principale vanaggio di quesa ecnica di conrollo è la sua semplicià nell oenere la riproduzione nominale e/o l inseguimeno di raieorie di uscia di caraerisiche molo generali. Il cammino geomerico soeso alla raieoria può infai avere angene disconinua e essere percorso senza mai arresare il moo del puno B. Queso comporameno è possibile anche in presenza di cuspidi geomeriche, poiché la velocià del puno B può essere inveria di segno in modo isananeo. Tra gli svanaggi c è la criicià della scela di un valore opporuno per b. Valori roppo piccoli di b comporeranno uno sforzo elevao di conrollo in corrispondenza a disconinuià della angene al cammino da araversarsi con velocià non rascurabili. Più in generale, ciò avviene ogni vola che è richiesa una variazione brusca di direzione. Viceversa, valori grandi di b porano a un aumeno dell area inorno alla raieoria nominale del puno B che viene spazzaa dal veicolo durane il moo. Ciò deve essere enuo in cono per eviare collisioni con evenuali osacoli nelle vicinanze. Inolre, a differenza del più semplice caso dell uniciclo, è ineressane qui sudiare l effeo di una scela di valori negaivi per b e al variare del suo rapporo con la lunghezza l del veicolo. In buona sosanza, occorre analizzare le proprieà dell evoluzione delle variabili θ, φ la cosiddea dinamica zero del sisema ad anello chiuso 6, ad esempio la loro limiaezza enro inervalli prefissai quando il puno B riproduce esaamene una serie di raieorie anche complesse di riferimeno. 7