Scheda Esercitazione 4 (Homework)

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1 Scheda Eserciazione 4 (Homework) EAUT Prof. Giuseppe C. Calafiore 19 oobre 211 Modelli a empo coninuo e simulazioni Esercizio 1 (Il moore elerico in correne coninua) In Figura 1 è rappresenao lo schema di un moore elerico in correne coninua comandao in ensione di armaura v. In seguio all applicazione R i θ v E τ m β τ Figura 1: Moore elerico in correne coninua della ensione di comando v(), nel circuio di armaura si insaura una correne i(). Il moore genera quindi una coppia morice pari a τ m () =K τ i() dove K τ è una cosane che dipende dal moore. Tale coppia morice provoca la roazione dell asse moore, che è qui assuno essere un corpo rigido avene momeno di inerzia. angolo di roazione dell asse moore è θ(), menre la velocià angolare di roazione è ω() = dθ() d. = θ(). asse moore poggia su cuscinei, che inroducono un effeo di ario viscoso lineare avene coefficiene β. All albero moore è inolre connesso un carico, il cui effeo è modellizzao ramie la coppia di inerazione τ(), dea coppia di carico. Infine, la roazione dell asse provoca una ensione indoa E() nel circuio di armaura, che risula proporzionale alla velocià di roazione del moore: E() =K e ω(), dove K e è una cosane del moore (cosane elerica), e si ha ipicamene K e K τ, per cui semplificheremo nel seguio la noazione, assumendo K e = K τ. = K. equilibrio dinamico della pare elerica del moore è deao dalla equazione di Kirchoff di equilibrio delle ensioni alla maglia v() Ri() di() E() = (1) d menre l equilibrio dinamico della pare meccanica è deao dalla legge di Newon di equilibrio delle coppie τ m () τ() βω() = dω(). (2) d 1

2 1. Basandosi sulle equazioni fondamenali sopra riporae, deerminare le marici A, B, C, D di una rappresenazione in variabili di sao del moore, considerando [ ] v() u() = τ() come veore di ingresso, y() = ω() come uscia, ed il veore [ ] i() x() = ω() come sao del sisema. 2. Si assumano i segueni valori numerici per i parameri del moore =.1 Kgm 2 β =.1Nms K(= K e = K τ ) =.1 Nm/A R = 1Ω =.5H. Assumendo condizioni iniziali nulle sul sisema (i.e. x() = [ ] T ), disegnare con l aiuo di Malab: a) andameno dell uscia y() perv() =3 1() (gradino di ampiezza 3 Vol) e τ() =; b) andameno dell uscia y() perv() = eτ() =.5 1( 4) (gradino di ampiezza.5 Nm, applicao a parire dall isane = 4); c) andameno dell uscia y() quando sono preseni simulaneamene v() =3 1() eeτ() =.5 1( 4). Esercizio 2 (Uscia in posizione del moore elerico) Si consideri nuovamene il modello del moore elerico di cui al puno precedene. 1. Deerminare le marici A, B, C, D di una rappresenazione in variabili di sao del moore, considerando [ ] v() u() = τ() come veore di ingresso, la posizione angolare y() = θ() dell asse moore come uscia, ed il veore x() = i() θ() ω() come sao del sisema. 2. Supponendo di non avere disurbo dovuo alla coppia di carico (i.e. τ() = ) e supponendo che il sisema si rovi inizialmene a riposo (moore fermo, con condizioni iniziali nulle x() = ), simulare con l aiuo di Malab l andameno della posizione angolare dell albero moore a frone di un ingreso v() =1(). 2

3 Tracce per le soluzioni Soluzione 1 Dee x 1 = i ed x 2 = ω rispeivamene la prima e seconda componene del veore di sao (si noi che omeeremo spesso la dipendenza esplicia dal empo x 1 (), ec. quando quesa è ovvia dal coneso), dalla equazione (1) oeniamo ẋ 1 = 1 ( Rx 1 Kx 2 + v) menre dalla (2) oeniamo ẋ 2 = 1 (Kx 1 βx 2 τ). Considerando quindi il veore delle derivae emporali dello sao ẋ(). =[ẋ 1 () ẋ 2 ()] T avremo ẋ = [ R K K β ] [ 1 x + 1 y = [ 1 ] x + [ ] u dove y() =ω() rappresena l uscia del sisema ed u() =[v() τ()] T rappresena il veore degli ingressi. Inserendo i valori numerici dei parameri specificai al puno 2. dell esercizio, abbiamo in paricolare [ ] [ ] A = ; B = ; C = [ 1 ] ; D = [ ] e simulazioni richiese dal puno 2. dell esercizio sono quindi oenibili ramie la seguene sequenza di comandi Malab. Gli andameni risulani sono riporai nelle Figure 2, 3 e 4. Simulazioni moore DC (uscia in velocia ) close all clear all Parameri moore: =.1; bea=.1; K=.1; R=1; =.5; marici di sao A=[-R/ -K/; K/ -bea/]; B=[1/ ; -1/]; C=[ 1]; D=[ ]; definisci sisema MOTORE MOTORE=ss(A,B,C,D); Noa Bene: la prima componene u(1) del veore di ingresso u e la ensione v, menre la seconda componene u(2) rappresena la coppia di disurbo au. PUNTO 2.a): Simulazione delle rispose sull uscia per v()=3 1() e au()=. Condizioni iniziali nulle. ime=:.1:12; asse dei empi di simulazione (da a 12 secondi con passo.1 secondi. Y=sep(MOTORE,ime); calcola le sispose al gradino UNITARIO, su enrambi i canali di ingresso. Si veda l help del comando STEP: [Y] = STEP(SYS,T) reurns he oupu response Y. No plo is drawn on he screen. ] u 3

4 If SYS has NY oupus and NU inpus, and T=lengh(T), Y is an array of size [T NY NU] where Y(:,:,j) gives he sep response of he j-h inpu channel. figure(1) plo(ime,3*y(:,1,1)); ploa la risposa desideraa. ylabel( velocia angolare \omega() ) ile( Risposa agli ingressi: v()=3 1() e \au()= ); PUNTO 2.b): Simulazione delle rispose sull uscia per v()= e au()=.5 1(-4). Condizioni iniziali nulle. NB: la risposa al gradino au()=1() si rova conenua nel veore Y(:,1,2) calcolao in precedenza. Per l invarianza emporale del sisema, l uscia che ci ineressa e Y(:,1,2), pero riardaa nel empo di 4 secondi e scalaa di un faore.5. ind_4=max(find(ime <= 4)); yau=[zeros(ind_4,1);.5*y(1:end-ind_4,1,2)]; figure(2) plo(ime,yau); ploa la risposa desideraa. ylabel( velocia angolare \omega() ) ile( Risposa agli ingressi: v()= e \au()=.5 1(-4) ); PUNTO 2.c): Simulazione delle rispose sull uscia per v()=3 1() e au()=.5 1(-4). Condizioni iniziali nulle. NB: Il principio di linearia (sovrapposizione degli effei) ci dice che la risposa in quesa siuazione sara semplicemene la somma delle due precedeni rispose. figure(3) plo(ime,3*y(:,1,1)+yau); ploa la risposa desideraa. ylabel( velocia angolare \omega() ) ile( Risposa agli ingressi: v()=3 1() e \au()=.5 1(-4) ); Soluzione 2 Dee x 1 = i, x 2 = θ ed x 3 = ω rispeivamene le re componeni del veore di sao, dalla equazione (1) oeniamo ẋ 1 = 1 ( Rx 1 Kx 3 + v). Inolre, dalla idenià θ = ω abbiamo menre dalla (2) oeniamo ẋ 2 = x 3, ẋ 3 = 1 (Kx 1 βx 3 τ). Considerando quindi il veore delle derivae emporali dello sao ẋ() =[ẋ. 1 () ẋ 2 () ẋ 3 ()] T avremo R K 1 ẋ = 1 x + u K β 1 y = [ 1 ] x + [ ] u 4

5 .35 Risposa agli ingressi: v()=3 1() e τ()=.3.25 velocia angolare ω() Figura 2: Simulazione relaiva al puno 2.a) dove y() =θ() rappresena l uscia del sisema (posizione angolare dell asse moore) ed u() =[v() τ()] T rappresena il veore degli ingressi. Inserendo i valori numerici dei parameri specificai al puno 2. dell esercizio, oeniamo quindi A = ; B = 2 1 ; C = [ 1 ] ; D = [ ]. a simulazione richiesa dal puno 2. dell esercizio è quindi oenibili ramie la seguene sequenza di comandi Malab. andameno risulane è riporao in Figura 2. Da quesa simulazione si evince che il sisema risponde con un uscia non limiaa ad un ingresso limiao. Ne consegue che non è semplice far sposare l asse moore di un angolo assegnao agendo in modo banale sull ingresso v(). Quesa problemaica verrà sudiaa più ampiamene in seguio, quando si inrodurrà il conceo di conrollo in reroazione al fine di asservire l uscia del sisema ad un segnale di riferimeno assegnao. Simulazione moore DC (uscia in posizione) close all clear all Parameri moore: =.1; bea=.1; K=.1; R=1; =.5; marici di sao A=[-R/ -K/; 1; K/ -bea/]; B=[1/ ; ; -1/]; C=[ 1 ]; D=[ ]; definisci sisema MOTORE_pos MOTORE_pos=ss(A,B,C,D); PUNTO 2.: Simulazione delle rispose sull uscia per v()=1() e au()=. Condizioni iniziali nulle. ime=:.1:12; asse dei empi di simulazione 5

6 Risposa agli ingressi: v()= e τ()=.5 1( 4) velocia angolare ω() Figura 3: Simulazione relaiva al puno 2.b) Y=sep(MOTORE_pos,ime); figure(1) plo(ime,y(:,1,1)); ploa la risposa desideraa. ylabel( Posizione angolare \hea() ) ile( Risposa agli ingressi: v()=1() e \au()= ); 6

7 .3 Risposa agli ingressi: v()=3 1() e τ()=.5 1( 4) velocia angolare ω() Figura 4: Simulazione relaiva al puno 2.c) 1.4 Risposa agli ingressi: v()=1() e τ()= Posizione angolare θ() Figura 5: Andameno dell uscia θ() per ingresso v() = 1() 7