RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

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1 RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Inroduzione Se il segnale d ingresso di un sisema Lineare Tempo-Invariane LTI e un esponenziale complesso, l uscia sara ancora un esponenziale complesso con la sessa requenza, ma con ampiezza e ase modiicae. A { +ϑ } o Sisema LTI h B { + ϕ } o Risposa in requenza: E la unzione della requenza che descrive come vengono modiicae ampiezza e ase di un esponenziale complesso quando passa araverso un sisema LTI. RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI

2 y x h { } x Sisema LTI h { } dτ { } h τ { τ} τ τ Risposa in requenza x τ h τ d τ τ { τ} dτ { } { } y dτ L uscia di un sisema LTI alimenao da un ingresso esponenziale complesso e ancora un esponenziale complesso con la sessa requenza dell ingresso. L ampiezza e la ase iniziale dell uscia dipendono dalla risposa in requenza del sisema LTI. 3 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Risposa in requenza sperimenale La risposa in requenza di un sisema LTI puo essere ricavaa sperimenalmene uilizzando come ingresso, in prove ripeue, esponenziali complessi con requenza via via crescene, misurando ampiezza e ase iniziale dell esponenziale complesso in uscia. x { } Sisema LTI h y A A { + ϕ } { ϕ} { } { } Le ampiezze A e le asi iniziali φ vengono riporae su un graico in unzione delle requenze. Si cosruisce cosi per puni la risposa in requenza che sara ano piu accuraa ano piu piccolo e l inervallo ra le requenze uilizzae. 4 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI

3 5 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Se il sisema LTI ha risposa all impulso h reale, la risposa in requenza e una unzione con simmeria complessa coniugaa: *- Cioe il modulo di e pari simmerico rispeo all origine e la ase di e dispari anisimmerica rispeo all origine. - ase - ase - Risposa in requenza di sisemi reali 6 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI { } { } { } { } { } { } { } { } cos cos h x y x Risposa in requenza di sisemi reali: cosinusoide

4 Risposa in requenza e banda passane La risposa in requenza e una unzione complessa della requenza che dipende solo dalla risposa all impulso del sisema h. { }d h La risposa in requenza ci consene d inrodurre il conceo di banda passane di un sisema LTI ipicamene un canale di rasmissione. Il modulo della risposa in requenza avra valori piu elevai in una banda di requenze dea banda passane e relaivamene piu bassi alle alre requenze. All uscia del sisema LTI, gli esponenziali complessi con requenza compresa nella banda passane del sisema avranno ampiezza molo maggiore di quelli con requenza eserna a ale banda. Per cui si dice che i primi passano araverso il sisema, menre i secondi no. 7 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Trasormaa di Fourier L operaore che consene di oenere la risposa in requenza a parire dalla risposa all impulso del sisema h, viene deo Trasormaa di Fourier. La Trasormaa di Fourier, puo essere applicaa a qualsiasi segnale x, non necessariamene risposa all impulso di un sisema LTI. { }d X x L operaore che consene di oenere il segnale x o la risposa all impulso a parire dalla sua Trasormaa di Fourier X o dalla risposa in requenza, viene deo Trasormaa Inversa di Fourier: x X { }d Si noi che la rasormaa di Fourier e la sua inversa sono uguali, a pare il segno dell esponene. 8 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI

5 Trasormaa inversa di Fourier schema dimosrazione Calcolaa la rasormaa di Fourier X del segnale x X x d x τ τ dτ dove si preerisce la variabile d inegrazione per non cononderla poi con si anirasormi inegrando nell inervallo a,+a, che si ara poi endere all ininio: a a X d x τ dτ sin a x a a τ d x a a d divena sempre piu ala e srea cioe ende all impulso all aumenare di a. Inolre si puo dimosrare che ha area uniaria, qualunque sia a comunque se anche l area non osse uniaria baserebbe moliplicare per una opporuna cosane la ormula di anirasormazione. τ x τ τ dτ sin a τ x τ dτ τ se a ende all ininio. Inai la unzione sin a 9 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Trasormaa inversa di Fourier La Trasormaa Inversa di Fourier x X { }d ci dice che un qualsiasi segnale x puo essere scomposo nella somma inegrale di esponenziali complessi le cui ampiezze ininiesime e asi iniziali in unzione della requenza sono dae dalla Trasormaa di Fourier X : Ampiezza : X d Fase iniziale : X RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI

6 Segnali come somma di esponenziali complessi Per aciliare l inerpreazione della Trasormaa Inversa di Fourier, quesa puo essere approssimaa con una somma di esponenziali complessi del ipo: x X { } ci dice che un qualsiasi segnale x puo essere scomposo nella somma di esponenziali complessi di requenza le cui ampiezze e asi iniziali in unzione della requenza sono dae dalla Trasormaa di Fourier in {X }: Ampiezza : X Fase iniziale : X RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Sisemi LTI: legame ingresso uscia in requenza - Se l ingresso e un esponenziale complesso x A { }, l uscia e y A { } - Un generico segnale x puo essere scomposo nella somma di esponenziali complessi del ipo X { } d 3 - L uscia y di un sisema LTI ad un generico segnale d ingresso x e daa dunque dalla somma di esponenziali complessi del ipo X { } d 4 - L uscia y, come ui i segnali, puo essere scomposa nella somma di esponenziali complessi del ipo Y { } d Quindi per ogni valore di Y X RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI

7 Risposa in requenza del ilro passa basso Quando la risposa in requenza ha ampiezza diversa da zero solo in una banda di requenze simmerica rispeo all origine, il sisema LTI viene deo ilro passa-basso. Un ilro passa-basso ideale con requenza di aglio c ha come risposa in requenza un reangolo di ampiezza uniaria e base c. - c c 3 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Risposa in requenza del ilro passa alo Quando la risposa in requenza ha ampiezza diversa da zero solo a requenze superiori a c requenza di aglio e, simmericamene, ineriori a - c, il sisema LTI viene deo ilro passa-alo. Un ilro passa-alo ideale con requenza di aglio c ha come risposa in requenza una cosane uniaria meno un reangolo di ampiezza uniaria e base c. - c c 4 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI

8 Risposa in requenza del ilro passa banda Quando la risposa in requenza ha ampiezza diversa da zero solo in due bande di requenza cenrae inorno alla requenza o requenza cenrale e, simmericamene, inorno alla requenza - o, il sisema LTI viene deo ilro passa-banda. Un ilro passa-banda ideale con requenza cenrale o e banda passane c, ha come risposa in requenza due raangoli di ampiezza uniaria e base c cenrai inorno alle requenze + o e - o,. - o - c -o - o + c o - c o o + c 5 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Filro passa-basso x Y X Le componeni del segnale rapidamene variani nel empo ad ala requenza vengono eliminae dalla risposa in requenza del ilro passa-basso y x h 6 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI

9 x Filro passa-alo Y X Le componeni del segnale lenamene variani nel empo a bassa requenza vengono eliminae dalla risposa in requenza del ilro passa-alo y x h 7 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Esercizi. Dai i segnali a x o b xcos o e i sisemi LTI con risposa in requenza a -/ o b { - / o - / o } c /+ / o che espressione hanno i segnali in uscia y?. Dao il segnale x 3cos / T o +5cos / T o che passa araverso un sisema LTI con risposa in requenza rec T o /3, che espressione ha l uscia y? 3. Sia dao un segnale con Trasormaa di Fourier X riporaa in igura e un ilro con risposa in requenza riporaa in igura. Disegnare la rasormaa di Fourier Y dell uscia. X - c c - c c 8 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI