Titolo unità. Dalla serie alla trasformata di Fourier Proprietà della trasformata di Fourier Uguaglianza di Parseval e principio di indeterminazione

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1 Inroduzione ai segnali deerminai iolo unià Dalla serie alla rasormaa di ourier Proprieà della rasormaa di ourier Uguaglianza di Parseval e principio di indeerminazione 005 Poliecnico di orino 1

2 Dalla serie alla rasormaa iolo di ourier unià Permee di generalizzare la serie di ourier per segnali a supporo illimiao non periodici Inroduce il conceo di una requenza coninua È alla base della raazione maemaica dei sisemi lineari e empo-invariani e dei processi casuali Poliecnico di orino

3 Dalla serie alla rasormaa x µ i = 1 5 Dalla serie alla rasormaa x µ i = 1 j µ x = i= i ie π 1 jπi µ = i xe d Poliecnico di orino 3

4 Dalla serie alla rasormaa x µ i = 1 x = x e e i= 1 jπi jπi 7 Da serie a rasormaa x µ i i = i = Poliecnico di orino 4

5 Da serie a rasormaa x µ i d i i = i = 1 9 Da serie a rasormaa x µ x i + d 1 = x( ) i= i i = i = 1 d e j πi d e j πi Poliecnico di orino 5

6 Da serie a rasormaa x µ x + 1 i = ( ) = x ( ) i = i i i d e j πi d e j = 1 d πi 11 Da serie a rasormaa x µ x x jπ jπ = x e d e d + 1 i = ( ) = x ( ) i = i i i d e j πi d e j = 1 d πi Poliecnico di orino 6

7 Spero j π = x X e d x( ) j π X xe d = X ( ) 1 X ( ) 13 Spero Il segnale x() e il suo spero X() porano la sessa inormazione Il segnale x() è la somma di ininie componeni armoniche X()d Queso conceo di spero è valido sia per segnali ad energia inia che a poenza media inia in ques ulimo caso si ricorre al conceo di disribuzione Poliecnico di orino 7

8 Esisenza della rasormaa È necessario veriicare la convergenza dell inegrale che deinisce la rasormaa La veriica della convergenza non è un problema semplice Una semplice condizione suiciene, ma non necessaria, è che x d < La unzione sinc non rispea quesa condizione, ma ammee comunque rasormaa di ourier 15 Esempi di calcolo x () = p () X = sinc( ) [ δ( ) δ( )] jπ jπ x () = cos( π 1 0 ) = e + e 1 1 = + = j π( 0 ) j π ( 0 ) X e d e d 1 = Poliecnico di orino 8

9 rasormae di ourier e Laplace π j s X = xe d X s = xe d s= σ + jπ L La rasormaa di ourier si può inerpreare come la rasormaa di Laplace valuaa sull asse immaginario della variabile complessa s s 17 rasormae di ourier e Laplace Convergenza della rasormaa di Laplace: se x()=0 per <0 (segnale causale) allora X(s) converge per σ>σ 0 s 0 s Poliecnico di orino 9

10 rasormae di ourier e Laplace Se x()=0 per <0 (segnale causale) allora X(s) converge per σ>σ 0 Se σ 0 <0 allora X()=X L (s=jπ) Se σ 0 <0 allora X() non esise Se σ 0 =0 l esisenza non è garania La rasormaa di Laplace di segnali periodici non esise 19 Proprieà della rasormaa iolo di ourier unià 005 Poliecnico di orino 10

11 Calcolo di rasormae di ourier Il calcolo di rasormae di ourier si può eeuare: uilizzando la deinizione applicando le proprieà per via numerica Nel seguio vengono descrie le principali proprieà della rasormaa 1 Spero: proprieà Linearià x X ax + by() ax + by Equivale al principio di sovrapposizione degli eei 005 Poliecnico di orino 11

12 Spero: proprieà Riardo x X ( ) x X e jπ Ad una raslazione nel empo corrisponde una modulazione in requenza 3 Spero: proprieà Modulazione x X jπ 0 ( ) xe X 1 x X X cosπ ( + ) + ( ) Ad una modulazione nel empo corrisponde una raslazione in requenza proprieà molo uilizzaa nel campo delle elecomunicazioni Poliecnico di orino 1

13 Spero: proprieà Scalameno x X 1 X K K xk Signiicao: rallenare un segnale concenra il suo spero inorno alle basse requenze, e velocizzarlo enaizza le ale requenze 5 Spero: proprieà x X y Y Poliecnico di orino 13

14 Spero: proprieà Convoluzione x X y Y = z x y X Y ( ) xay ada 7 Spero: proprieà Convoluzione x X y Y = z x y X Y Prodoo ( ) xay ada = = z x y Z X Y Poliecnico di orino 14

15 Spero: proprieà x X Derivaa π x j X (se esise) 9 Spero: proprieà x X Derivaa π x j X (se esise) Inegrale X ( ) xd jπ X 0 = 0 (se ) Poliecnico di orino 15

16 Spero: proprieà Parià: Se x() è reale, allora X() ha: pare reale pari e pare immaginaria dispari modulo pari e ase dispari Se x() è reale e pari, allora X() è reale e pari Se il segnale è reale, le requenze negaive porano la sessa inormazione delle requenze posiive 31 Spero: proprieà Dualià x X ( ) X x Esempio: x () = p () X = sinc( ) x () = Bsinc( B) X = p B Poliecnico di orino 16

17 Esempio: rasormaa dell impulso { δ } δ { j π } d { j π } = 0 () = ()exp = exp = 1 δ () per dualià 1 1 δ ( ) Esempio: rasormaa dell impulso δ ( ) exp{ jπ } { j π } exp per dualià 0-1 δ ( ) Poliecnico di orino 17

18 Uguaglianza di Parseval iolo e principio unià di indeerminazione Considerazioni energeiche Uguaglianza di Parseval x() segnale ad energia inia x X Poliecnico di orino 18

19 Considerazioni energeiche Uguaglianza di Parseval x() segnale ad energia inia x X ε( x) = x d = x x* ( d ) = X d = X( ) X*( d ) 37 Considerazioni energeiche Calcolo dell energia: inegrale nel dominio del empo inegrale nel dominio della requenza L uguaglianza di Parseval ci ornisce un meodo alernaivo per calcolare l energia di un segnale Poliecnico di orino 19

20 Prodoo scalare x(), y() segnali ad energia inia x X y Y Uguaglianza di Parseval generalizzaa <x(), y()> prodoo scalare ra segnali ad energia inia 39 Prodoo scalare x(), y() segnali ad energia inia x X y Y Uguaglianza di Parseval generalizzaa <x(), y()> prodoo scalare ra segnali ad energia inia < x (), y () > = x y* ( d ) = X( ) Y*( d ) = = < X, Y( ) > Poliecnico di orino 0

21 Supporo Deinizione: y(), segnale generico supp{y()} = { \ y() 0 } supporo di y() insieme dei valori di ai quali corrisponde un y() non nullo Esempio: 1 per ; x () = p () = 0 alrove supp { x ()} = ; x() 1 -/ / 41 Supporo x X se supp{x()} limiao supp{x()} illimiao se supp{x()} limiao supp{x()} illimiao 1 x() X() -/ / supp { x ()} = ; Poliecnico di orino 1

22 Supporo Giusiicazione: un segnale a supporo limiao, p.es. nell inervallo (-/,/), si può sempre scrivere come x()=s()p () quindi la sua rasormaa di ourier vale X()=S() * sinc() la convoluzione con la unzione sinc rende ininio il supporo del segnale 43 Esensioni emporale ed in requenza x X esensione emporale 1 = ε() x d x () d esensione in requenza 4π D = X d ε( x) indici che permeono di quaniicare quano un segnale sia eseso\compao nel dominio del empo e della requenza Poliecnico di orino

23 Principio di indeerminazione x X principio: più un segnale è compao nel dominio del empo, più si esende in requenza e viceversa indeerminazione: d D 1 45 Esempio: segnale per rasmissione dai Segnale per rasmissione dai: in ogni inervallo di lunghezza si rasmee un simbolo di inormazione a i x( ) a a 3 N x () = ar ( i) dove p. es. r () = p ( /) i= 0 i 0 a 0 N N jπ i jπ i i i i= 0 i= 0 X( ) = are = R a e a Poliecnico di orino 3