Svolgimento. Applicando la formula di Eulero. x(t) = e ( 1+j20)t 2j = 2je t ( cos 20t + j sin 20t) = 2e t (j cos 20t sin 20t) quindi

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1 SEGNALI E SISTEMI (a.a. 9-) Prof. M. Pavon Esercizi risoli. Si esprima la pare reale di x() = e ( +j) j, R nella forma Ae a cos(ω + ϕ) con A, a, ω, φ reali con A > e π < φ π. Svolgimeno. Applicando la formula di Eulero quindi x() = e ( +j) j = je ( cos + j sin ) = e (j cos sin ) Rex()} = e sin = e cos( + π ). I parameri cercai valgono rispeivamene =, a =, ω =, φ = π.. Si consideri il segnale x() = sen( π ) ej π 6 + π 5, R. a. Deerminare la pare pari e la pare dispari di x(). b. Il segnale x() è hermiiano? Svolgimeno. [a.] pare pari = cos( π) + π, pare dispari = sen( π) j sin( π) [b.] il segnale non è hermiiano. Basa osservare, ad esempio, che la pare reale Rex()} = sen( π) cos( π) + π non è pari Deerminare E e P per i segueni segnali: a. x () = e u( ), R, dove è il segnale gradino uniario. b. x (n) = sen π n, n Z. u() = l() =,,, < Svolgimeno. a. L energia E (x ) del segnale x () su uo l asse reale si calcola come E (x ) = x () d = e d = e. Risulando E (x ) finia, la corrispondene poenza P (x ) è nulla. b. Il segnale x (n), non idenicamene nullo, è periodico di pulsazione normalizzaa θ = π = 6 π e periodo fondamenale N = 6. Perciò, l energia E (x ) è infinia, menre la poenza media P (x ), finia e diversa da zero, coincide con la poenza media calcolaa su un periodo. Dunque, P (x ) = N x (n) = N 6 n= 5 n= sen ( π n) = 6 [ ] =. È un risulao generale che la poenza media del segnale sinusoidale a empo discreo x(n) = sen(θn+φ) vale, qualunque siano la pulsazione normalizzaa θ e lo sfasameno φ (e quindi sia che x(n) risuli o non risuli periodico), P (x) = lim N N + N n= N x(n) = lim N N + N n= N sen (θn + φ) =.

2 . Tracciare il grafico e calcolare energia e poenza media su (, ) del segnale a empo coninuo, periodico di periodo T =, così definio per [, ): x() = 6, se <, se < Svolgimeno. Il grafico del segnale onda quadra x() = rep x () = x ( k), k= dove x () è uguale a x() sul periodo [, ) ma vale zero alrove, è riporao in figura. x() Il segnale x(), essendo periodico e non idenicamene nullo, su (, ) ha energia infinia e poenza media finia (diversa da zero). Tale poenza coincide con la poenza media calcolaa su un periodo e, dunque, P (x) = x() d = [ 6 d + ] ( ) d = [ 6 + ] = 5. Si consideri il segnale a empo coninuo x() = e j π cos( 5π ) + j sen(π). a. Verificare che x() è periodico e calcolarne il periodo fondamenale. b. Calcolare media e poenza del segnale x(). Svolgimeno. a. Il segnale x() è la somma di due addendi. Il secondo di essi è il segnale sinusoidale x () = j sen(π) = (ejπ e jπ ) di pulsazione ω = π e periodo fondamenale T = π ω =. Il primo addendo invece è il prodoo x () = e j π cos( 5π ), il cui primo faore esponenziale x () = e j π ha pulsazione ω = π e periodo fondamenale T = π ω =, menre il secondo faore cosinusoidale x () = cos( 5π ) ha pulsazione ω = 5π e periodo fondamenale T = π =. ω 5 Poiché il rapporo dei periodi T T = 5 è un numero razionale, anche il prodoo x () = x ()x () è periodico, di periodo T = mcm (T, T ) = T = 5T =. Queso, però, non è il periodo fondamenale di x (). Infai, riscrivendo x () = e j π [ (ej 5π + e j 5π )] = (ejπ + e jπ ) come somma di due esponenziali, si rova il periodo fondamenale T =, coincidene con T. Il periodo fondamenale del segnale è perciò T =. x() = (ejπ + e jπ ) + (ejπ e jπ ) = ejπ + ejπ ()

3 b. Essendo il segnale x() periodico, media e poenza si possono calcolare su un periodo. Si oiene T m x = m x (T ) = T x() d = ( ejπ + ejπ ) d = + =, T P x = P x (T ) = T x() d = = ( ejπ + ejπ )( e jπ + e jπ ) d ( + ejπ + e jπ + ) d = =. 6. Di ciascuno dei segueni segnali (a empo coninuo o a empo discreo) dire se è periodico e, in caso affermaivo, rovare il periodo fondamenale: a. x () = e j π e j sen, R, b. x (n) = cos π 5 n + ej( π n π ), n Z. Svolgimeno. a. Il segnale a empo coninuo x () è la somma di due addendi, il primo dei quali cosane e quindi periodico di periodo qualunque, menre il secondo è il prodoo di due segnali pure periodici. Infai, l esponenziale (ad esponene) immaginario x () = e j ha pulsazione ω = e periodo fondamenale T = π ω = π, menre il faore sinusoidale x () = sen ha pulsazione ω = e periodo fondamenale T = π ω = π. Ora, poiché il rapporo dei periodi T T = è un numero razionale, possiamo concludere che anche il prodoo x ()x () e di conseguenza il segnale x () sono periodici, e che un possibile loro periodo è il minimo comune muliplo T = mcm (T, T ) = T = T = π. Queso risula anche il periodo fondamenale di x (). b. Il segnale a empo discreo x (n) è periodico, in quano somma di due segnali periodici (con periodi necessariamene ineri e quindi in rapporo razionale). Infai, il primo addendo x (n) = cos πn ha pulsazione normalizzaa θ 5 = π = π e periodo 5 fondamenale N =, menre il secondo addendo x (n) = e j( π n π ) ha pulsazione normalizzaa θ = π = π e periodo fondamenale N 6 = 6. Un possibile periodo per x (n) è il minimo comune muliplo N = mcm (N, N ) =. Queso risula anche il periodo fondamenale. 7. Per i segnali a. x () = cos( 6 π) a empo coninuo e b. x 7 (n) = cos( 6 πn) a empo 7 discreo, discuere la periodicià e calcolare, se esise, il periodo fondamenale. Svolgimeno. A empo coninuo, un segnale sinusoidale di pulsazione ω è sempre periodico, di periodo fondamenale T = π. Per il segnale x ω () = cos( 6 π) abbiamo 7 ω = 6 π e quindi T 7 = π = 7. ω A empo discreo,un segnale sinusoidale di pulsazione normalizzaa θ è periodico se e solo se il rapporo θ è razionale. In al caso, scrivendo θ = m π π N con N > e la frazione ridoa ai minimi ermini, il periodo fondamenale è N. Per il segnale x (n) = cos( 6 πn) 7 abbiamo θ = 6 π, cosicché da θ = = m 7 π 7 N segue la periodicià, con N = Per ciascuno dei segueni segnali (a empo coninuo o a empo discreo) dire se è periodico e, in caso affermaivo, rovarne il periodo fondamenale: a. x () = π + sen( π 5 + π ) ej π +, R, b. x (n) = cos(n) e jπn, n Z.

4 Svolgimeno. a. Il segnale a empo coninuo x () è la somma di re addendi, il primo dei quali x () = π è cosane e quindi periodico di periodo qualunque, il secondo x () = sen( π + π) è sinusoidale di pulsazione ω 5 = π e periodo fondamenale 5 T = π ω =, il erzo x () = e j π + = e e j π è esponenziale di pulsazione ω = π e periodo fondamenale T = π = 8. ω Ora, poiché il rapporo dei periodi T T = 5 è un numero razionale, appare che anche la somma x () = x () + x () + x () è un segnale periodico e che un suo periodo è il minimo comune muliplo T = mcm (T, T ) = T = 5T =. Queso risula in effei il periodo fondamenale di x (). b. Il segnale a empo discreo x (n) non è periodico, in quano somma di un segnale aperiodico e di un segnale cosane. Infai, il primo addendo cosinusoidale x (n) = cos(n) ha pulsazione normalizzaa θ =, che non è in rapporo razionale con π. Invece, il secondo addendo x (n) = e jπn è cosane (e quindi periodico di periodo fondamenale N = ). 9. Deerminare il periodo fondamenale T del segnale a empo coninuo x() = sen( 9π 7 ) cos( 6π 7 + π ). Svolgimeno. La componene sinusoidale x () = sen( 9π) ha pulsazione ω 7 = 9π 7 e periodo T = π ω =, mennre la componene x 9 () = cos( 6π + π ) ha pulsazione 7 ω = 6π e periodo T 7 = π ω = 7. Poiché il rapporo T T = è razionale, così come, nauralmene, il reciproco ω =, anche il segnale x() = x ω () + x () risula periodico, di pulsazione ω = MCD( ω, ω ) = ω = ω = π e periodo T = π = mcm(t 7 ω, T ) = T = T =. Queso è il periodo fondamenale, come appare chiaro uilizzando le relazioni di Eulero per scrivere il segnale x() nella forma: 9π x() = e j 7 e j 9π 6π + π) 7 ej( 7 + e j( 6π + π) 7 j = ej π 6π ej 7 e j π 6π e j 7 + je j 9π 7 je j 9π 7 = = k= a k e jkω. Si riconosce infai la pulsazione fondamenale ω = π 7, corrispondene al periodo T = π ω =.. Per ciascuno dei segueni segnali (a empo coninuo o a empo discreo) dire se è periodico e, in caso affermaivo, rovarne il periodo fondamenale: a. x () = e j π + cos( π 6 ) + π 5, R. b. x (n) = + e (+jπ)n, n Z. Svolgimeno. a. Il segnale a empo coninuo x () = x () + x () + x () è la somma di re segnali periodici. Infai, il primo addendo x () = e j π è un esponenziale complesso di pulsazione ω = π e periodo fondamenale T = π ω = 8. Per il secondo addendo x () = cos( π) la pulsazione è ω 6 = π e il periodo fondamenale T 6 = π ω =. Infine, la cosane x () = π è un segnale periodico di periodo T 5 qualunque. Dunque, poiché il rapporo dei periodi T T = è un numero razionale, possiamo concludere che anche x() è un segnale periodico, ed un possibile periodo è il minimo comune muliplo T = mcm(t, T ) = T = T =.

5 b. Il segnale a empo discreo x (n) sarebbe periodico se e solo se lo fosse la differenza x (n) = x (n) = e (+jπ)n. Ma x (n) = e n e jπn non è un segnale periodico perché, se lo fosse, così sarebbe il suo modulo. Invece, x (n) = e n è sempre crescene e quindi non periodico. Ne segue che x (n) sesso non è periodico.. Si racci il grafico dei segnali a. x () = x( + ), R, b. x () = x( ), R, sapendo che x() =, se <, alrimeni. Soluzione. x() x () x () 6 8