TRASFORMAZIONE DEI SEGNALI. Lineari (tra cui il Filtraggio) Non Lineari

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1 TRASFORMAZIONE DEI SEGNALI SENZA MEMORIA: ZMNL (Zero-Memory Non Lineariy) g x( ) y = CON MEMORIA: Lineari (ra cui il Filraggio) Non Lineari L5/1

2 TRASFORMAZIONI SENZA MEMORIA (ISTANTANEE) y Limiazione dura y M x > 0 () () y = x se x < x y = y M se x x M M y x M x Compressione logarimica x > 0 () () () y = a log b x se x > x y = k x se x x 1 1 y x 1 x Espansione (es. Trasmissione Voce, legge A e μ ) Zona di silenziameno x L5/2

3 TRASFORMAZIONI CON MEMORIA y() dipende dai valori PRECEDENTI (olre che dall auale) di x() e/o y() R x ( ) C y ( ) (a) x () y ( ) (b) x () y ( ) (c) x () y ( ) (d) x y d = C R d () y d x RC y y d () = () + () = π + X f RCj2 f Y f Y f H H ( f ) Y f 1 = = X f 1 + j2π f RC 1 ( f ) = π f RC ( π ) H f = arcan 2 frc L5/3

4 TRASFORMAZIONI CON MEMORIA (segue circuio RC) Ponendo: ft = 1 2π RC L5/4

5 TRASFORMAZIONI CON MEMORIA (segue circuio RC) L5/5

6 ELABORAZIONE DEI SEGNALI Elaborazione lineare: Analogica : Filri Analogici Numerica : Filri Numerici L operazione di filraggio si caraerizza araverso: La Risposa al Gradino e all Impulso (nel dominio del empo) La Risposa in Frequenza (nel dominio della frequenza) L5/6

7 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIATI (LTI) Un sisema, il cui ingresso è cosiuio da x ( ) e la cui uscia è si dice Lineare se una combinazione lineare di ingressi: M = i i= 1 () () x a x i y, produce un uscia daa dalla combinazione delle corrispondeni uscie: M = i i= 1 () () y a y La relazione ingresso-uscia per un sisema lineare viene indicaa con la seguene noazione: y = L x i L5/7

8 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIATI (LTI) (Con.) Un sisema è Tempo-Invariane se la risposa a x ( c) y( + c) per qualunque valore di c: () y= Lx y+ c= Lx + c c + è uguale Un sisema Lineare Tempo-Invariane (LTI) è compleamene caraerizzao se si conosce la sua risposa al gradino, cioè ad un ingresso: 0 0 U() = 1 > 0 Un sisema è causale se rispea il principio di causalià: l effeo è sempre successivo alla causa che lo ha generao. Un sisema LTI è causale se la sua risposa al gradino è nulla per 0. D ora in avani i sisemi saranno supposi causali, cioè rispeosi del legame causa-effeo. L5/8

9 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI AD UN GENERICO INGRESSO 5V La risposa al gradino nel caso empo-coninuo x () SISTEMA L.T.I. y () Scao: per = 0 y () 5V y R 0 a) b) y R y () 0 0 L5/9

10 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI AD UN GENERICO INGRESSO (Con.) La risposa al gradino nel caso empo-coninuo Se x ( ) U( ) = (gradino uniario applicao a =0) allora y( ) q( ) = è la risposa al gradino. Gli esempi precedeni (a) e (b) sono rispose al gradino di diversi sisemi LTI. Le rispose dipendono dall'ingresso e dalle condizioni iniziali del sisema. Nel seguio si supporranno delle condizioni iniziali nulle, cioè con il sisema non simolao da molo empo (a regime con ingresso nullo). L5/10

11 INGRESSO AD UN SISTEMA LTI Un generico ingresso x ( ) può essere espresso in maniera approssimaa come una somma di gradini relaivi agli isani aneriori: x 8 x ( ) x U 8 8 ( ) x U 7 7 ( ) x U Ad esempio: x ( ) = x( ) + x( ) x( ) U( ) k k 1 k k= 1 L5/11

12 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI AD UN GENERICO INGRESSO (Con.) In generale l'ingresso al empo n si può scrivere come una somma di infinii ermini, ciascuno dei quali è una funzione gradino uniario pesaa per l incremeno dell ingresso x ( ) al generico isane k : n = ( ) x x x U n k k 1 k k= n = Δ ovvero: x( ) x U( ) n k k k= n n Δxk = Δ k= k k Δ k che si può scrivere: x U facendo endere a zero l ampiezza degli inervalli: ( τ ) dx x () = U ( τ ) dτ dτ L5/12

13 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI AD UN GENERICO INGRESSO (Con.) Poiché il sisema è lineare, indicando con q() la risposa del sisema LTI al gradino, l uscia è: n Δx y = q Δ k n k k Δ k= k Facendo endere a zero l ampiezza degli inervalli, l uscia y( ) è allora daa dal cosiddeo inegrale di Duhamel: ( τ ) dx y() = q( τ ) dτ dτ dove l esremo superiore di inegrazione è conseguenza della causalià. Se si sviluppa l inegrale di Duhamel per pari si ha: ( τ ) dq y() = x( τ ) q( τ) x( τ) dτ dτ L5/13

14 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI AD UN GENERICO INGRESSO (Con.) Assumendo che: e ponendo: si oiene: x ( ) q( + ) = 0 ( τ ) dq dτ ( τ ) = h () ( τ) ( τ) τ () () y = x h d = x h dove con * si indica l operaore di convoluzione. L5/14

15 RISPOSTA IMPULSIVA La funzione h( ), uguale alla derivaa della risposa al grardino, viene dea risposa impulsiva. Ponendo α = τ, si ha: () y = h α x α dα 0 Il nome risposa impulsiva viene dal supporre che si possa parlare di una derivaa del gradino : () δ = du ( ) per cui, daa la linearià, se all ingresso U( ) corrisponde l uscia q( ), all ingresso δ ( ) corrisponde l uscia: dq( ) h() = d che uavia non ha significao fisico dao che ogni sisema reale ha una dinamica limiaa. d L5/15

16 RISPOSTA IMPULSIVA (Con.) Procedendo con l approccio inuiivo, si può considerare una funzione pseudogradino U ( ) θ la cui derivaa approssima l impulso di Dirac ano meglio quano θ è piccolo. Al endere a zero di θ la risposa del sisema a 1 U θ () duθ d ( ) ende a h( ). 1/θ du θ d ( ) 0 θ 0 θ L5/16

17 RISPOSTA IMPULSIVA DI UN SISTEMA LTI TEMPO-CONTINUO Esempi: Definizione: h() = dq( ) d q () h () a) q () h () b) L5/17

18 RISPOSTA IMPULSIVA E SUO RIBALTAMENTO E TRASLAZIONE h τ ( ) h τ τ τ ( τ ) ( τ ) h = h τ L5/18

19 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI TEMPO-CONTINUO () = ( ) y h x d x () Sisema y () LTI Risposa impulsiva: h( ) τ τ τ Sisema causale: τ < x ( τ ) τ h- ( τ) 1 τ L5/19

20 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI TEMPO-CONTINUO (Con.) h, x x ( τ ) 1 h ( - τ ) h ( - τ ) 2 τ 1 2 y () 1 2 L5/20

21 Gradino uniario empo-discreo [ ] un 1 n 0 = 0 alrove L5/21

22 Impulso empo-discreo 1 n= 0 δ [ n] = u[ n] u[ n 1] = 0 alrove L5/22

23 RISPOSTA IMPULSIVA NEL CASO TEMPO-DISCRETO Gradino applicao a n=n0 xn [] Sisema LTI yn [ ] x[ n] = u[ n-n0] n n 0 a) y[] n y[] n n n b) n n L5/23

24 RISPOSTA IMPULSIVA NEL CASO TEMPO-DISCRETO Risposa al gradino: { } [ ] = [ ] qn T un LTI Risposa all impulso: [ ] δ [ ] LTI { } LTI { [ ] [ ]} [ ] [ ] hn = T n = T un un 1 = qn qn 1 L5/24

25 ESEMPIO n. 1 L5/25

26 ESEMPIO n. 2 L5/26

27 DECOMPOSIZIONE DI UNA SEQUENZA IN IMPULSI TEMPO-DISCRETI xn [ ] [ ][ δ ] x3 n 3 [][ δ ] x m n m m n [ ] = [ ] δ [ ] = δ [ ] xn xm n m x n m m [ ] [ ] { } m [ ] = LTI = m y n T x n x h n m m m L5/27

28 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI TEMPO-DISCRETO xn [] Sisema yn [] LTI Risposa impulsiva: hn [ ] y n = h n m x m [ ] [ ] [ ] m (Convoluzione Lineare) Sisema causale: m n L5/28

29 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI TEMPO-DISCRETO (Con.) xm [ ] 0 h [ -m] n 1 h, x x[ m] n 1 n 1 h [ - m ] m n 2 h [ - m] yn [] n 1 n 2 m n 1 n 2 L5/29

30 RISPOSTA DI UN SISTEMA LTI TEMPO-CONTINUO () x Sisema LTI nel Tempo () h () = () () y x h F F F H ( f ) X ( f ) Sisema LTI In Frequenza = Y f X f H f Risposa in frequenza del sisema LTI F h( ) H f = exp( π ) H f = h j2 f d L5/30

31 RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN SISTEMA LTI TEMPO-DISCRETO CON PASSO DI CAMPIONAMENTO T [ ] xk Sisema LTI In k [ ] hk [ ] = [ ] [ ] yk xk hk F F F H ( f ) X ( f ) Sisema LTI In Z f = Y f X f H f Risposa in Frequenza del sisema LTI + { } [ ] exp( π ) H( f ) = F h[ k] = h k j2 kft k= L5/31

32 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DI UN SISTEMA LTI TEMPO-DISCRETO [ ] x n Sisema LTI [ ] hn [ ] = [ ] [ ] y n h n x n Trasformaa Z X z Sisema LTI H z = Y z H z X z Funzione di Trasferimeno del sisema LTI + k { } [ ] H ( z) = Z hk [ ] = hk z k= L5/32

33 STABILITÀ DI UN SISTEMA Un sisema è sabile quando ogni ingresso limiao provoca un uscia limiaa. Sisemi LTI sono sabili se e solo se: Verifica della sufficienza: S k= [ ] h k Se S < e x[ n ] è limiaa, cioè x[ n] < < M per ogni n, allora yn = hkxn k M hk < [ ] [ ] [ ] [ ] k= e quindi yn [ ] è limiaa. k= L5/33

34 STABILITÀ DI UN SISTEMA (Con.) Verifica della condizione necessaria: Se S = allora si può rovare un ingresso limiao che dà luogo ad un uscia non limiaa. Infai con: [ ] xn [ n] [ n] * h h[ n] 0 = h 0 h[ n] = 0 l ingresso x[ n ] è limiao, menre l uscia per n = 0 vale: k= k= [ ] [ ] hk y0 [ ] = x[ khk ] [ ] = = S hk e quindi se S = la sequenza d uscia non è limiaa. 2 L5/34

35 Esempio: STABILITÀ DI UN SISTEMA (Con.) Dao il sisema LTI con risposa impulsiva: risula che: [ ] = au n ( n) hn il sisema è causale poiché hn [ ] = 0per n< 0; il sisema è sabile se k= [ ] S h k = a < k= cioè per a < 1 (convergenza della serie geomerica) k L5/35