INTRODUZIONE. { t n } è completamente specificato. 1 Definizione e classificazione dei segnali.

Transcript

1 INRODUZIONE Definizione e classificazione dei segnali. Una grandezza fisica, alla cui variazione in funzione di deerminae variabili, quali, ad esempio, il empo, le coordinae di un puno nel piano o enrambe, è associaa una cera quanià di informazione, cosiuisce un segnale. A seconda degli aspei che ineressa meere in evidenza è possibile classificare i segnali secondo crieri diversi. Una prima classificazione è di naura fenomenologica. Essa è basaa sul ipo d'evoluzione subia dal segnale in funzione delle variabili indipendeni. Su quesa base i segnali si disinguono in deerminai e aleaori. Limiandosi per il momeno a considerare segnali che dipendono esclusivamene dal empo, un segnale si dice deerminao se i valori che esso assume in corrispondenza ad un qualsiasi isane sono conosciui esaamene. Per conro i segnali aleaori sono quelli il cui andameno emporale è imprevedibile, anche se è possibile deerminarne alcune caraerisiche medie. Di conseguenza, menre un segnale deerminao è perfeamene ripeibile, alreano non si può dire per un segnale aleaorio giacché, per la sua naura casuale, esso può assumere forme diverse anche se è osservao in esperimeni effeuai nelle medesime condizioni. Una seconda classificazione dei segnali è di naura morfologica. Essa si basa sul caraere coninuo o discreo dell'ampiezza del segnale o dalle variabili da cui dipende la sua evoluzione. Facendo riferimeno a segnali dipendeni solano dal empo, si possono disinguere i segnali coninui nel empo (segnali a empo coninuo) e i segnali discrei nel empo (segnali a empo discreo). Nel primo caso la variabile può s() s() assumere un qualsiasi valore apparenene ad un assegnao inervallo di a) b) ampiezza finia o infinia (v. Fig.,a). Nel secondo caso la variabile indipendene è definia in un insieme al più s() s() numerabile di valori { n } con q k c) q k d) n n n + (v. Fig.,b). Di Fig. a) Segnale a empo coninuo. b) Segnale a empo discreo. c) Segnale quanizzao. d) Segnale numerico. norma gli isani { n } si succedono con regolarià cioè si ha l'insieme { n } è compleamene specificao individuando il periodo ed il campo di variabilià dell'indice n. n = n cosicché Se infine l'ampiezza del segnale può assumere un insieme finio di valori { } n q con q n q n q n +, il segnale si dice discreo in ampiezza. Un segnale discreo in ampiezza può

2 - - G. Mamola: Lezioni di Comunicazioni Eleriche essere uleriormene classificao in segnale quanizzao (v. Fig.,c) e in segnale numerico (v. Fig.,d) se esso è a empo coninuo o discreo. Una erza classificazione è di naura energeica. A ale scopo si definisce energia specifica associaa ad un segnale rappresenao da una funzione definia su uo l'asse dei empi a valori generalmene complessi, la quanià: (.) E = s () d lim s () d e cioè inendendo che l inegrale su uo l asse reale sia definio come il valore principale di Cauchy. (.) La poenza specifica, in armonia con la (.), è definia dal limie: P = lim s ( ) d Le definizioni di energia specifica e di poenza specifica appena fornie per i segnali a empo coninuo possono essere facilmene esese ai segnali a empo discreo. In al caso l'energia e la poenza specifica del segnale sono rispeivamene definie dalle: (.3) E = s( n) (.4) n= N P = lim s( ) N N + n N Si noi che un segnale ad energia finia presena una poenza specifica nulla; inolre se la poenza specifica definia dalla (.) o dalla (.4) è maggiore di zero, le quanià a secondo membro delle (.) e (.3) non sono finie. Ciò premesso, si definiscono segnali ad energia finia quei segnali la cui l energia specifica è finia. Si dicono a poenza finia quei segnali per i quali è finia e non nulla la poenza specifica. Un'uleriore classificazione è di naura dimensionale. Essa è basaa sul numero di variabili indipendeni da cui il segnale dipende. Ad esempio i segnali che dipendendo solano dal empo sono mono-dimensionali, menre un immagine fissa e una sequenza di immagini in bianco e nero sono esempi di un segnale rispeivamene bi- e ri-dimensionale. Segnali noevoli. In quel che segue sono presenai alcuni segnali di uso correne.. Segnali a empo coninuo... - Esponenziale complesso. (.) s() = Ae jπ È un segnale complesso a poenza finia dao che risula: (.) P = lim s() d = A lim d = A.. - Segnali sinusoidali (.3) sc() = Acos ( π ) ss() = Asin ( π )

3 Inroduzione Anche quesi sono segnali a poenza finia dal momeno che si ha: + cos(4 π ) Pc = A lim cos ( ) d A lim d π = = (.4) sin( ) A π = A lim d cos(4 ) d lim + π = + π = In modo analogo cos(4 π ) Ps = A lim sin ( ) d A lim d π = = (.5) sin( ) A π = A lim d cos(4 ) d lim π = π..3 - Reangolo uniario. Si consideri la funzione rec(x) definia dalla x < (.6) rec( x) = x > A = che rappresena un reangolo di alezza uniaria confinao nell inervallo (, ), come è mosrao in Fig.. Il segnale (.7) s() = rec( ) A rec( x) x Fig. Reangolo uniario. rappresena, di conseguenza, un reangolo di alezza uniaria confinao nell inervallo, ( ). Il segnale s(), definio dalla (.6) è un segnale ad energia finia essendo (.8) E = s() d = d =..4 - Segnale sinc. sinc( x) πx x Si consideri la funzione sinc(x) definia dalla: (.9) sinc(x) = sin(πx) πx Essa, come mosra la Fig. 3, vale per x = e si annulla nei puni x =±, ±,. Quando x ± la funzione sinc(x) ende a zero come x...5 Funzione segno. Fig.3 Funzione sinc. x (.) sgn( x) = = x Si consideri la funzione sgn( x ) definia dalla: x > x < e rappresenaa in Fig. 4. Ad essa corrisponde un segnale a poenza finia essendo; (.) P = lim sgn ( ) d lim d = =..6 - Gradino uniario. È definio dalla sgn( ) - Fig.4 Funzione segno.

4 - 4 - G. Mamola: Lezioni di Comunicazioni Eleriche (.) u () Fig.5 Gradino uniario > u () = < ed è rappresenao in Fig. 5. Esso è un segnale a poenza finia essendo: (.3) P = lim u ()d = lim d =. Segnali a empo discreo... Impulso uniario. Il segnale δ (n) è definio dalla (v. Fig. 6): n = (.4) δ ( n) = n δ( n ) È un segnale ad energia finia essendo (.5) E = δ (n) = n=.. - Gradino uniario. Il segnale: un ( ) n Fig.7 Gradino uniario. 3 La dela di Dirac. (.6) u(n) = n n < Fig.6 Impulso uniario. rappresena il gradino uniario empo discreo (v. Fig. 7). Esso è un segnale a poenza finia essendo: N (.7) P = lim u (n) N N + = lim N N N + N + = Per oenere una rappresenazione inuiiva della dela di Dirac, basa considerare che, per ogni funzione ϕ() coninua nel puno =, si può scrivere, invocando il eorema della n media: (3.) n n I = nrec( n) φ ( ) d = n φ ( ) d = φ( ) n essendo un opporuno isane apparenene all inervallo ( n, n). (vedi Fig. 8). Al divergere di n si ha: (3.) lim I n =φ() n dao che, al crescere di n, ende a zero. Supponendo che si possono commuare le operazioni di limie con quello di inegrazione, dalla (3.), si ha: (3.3) δ() φ () d = φ() dove si è definio dela di Dirac la quanià: (3.4) δ() = lim n rec(n ) n n n n φ() Fig.8 Valuazione dell inegrale I n È da osservare che la (3.3) deve inendersi come una formale scriura delle operazioni indicae dalla (3.). È da osservare infine che seguendo ale inerpreazione, dalla (3.4) si oiene:

5 (3.5) δ( ) = lim n rec[n( )] n che equivale alla: (3.6) δ( ) φ ( ) d = φ( ) che definisce la dela di Dirac raslaa. D alra pare, essendo: δ() δ( ) Fig.9 - Rappresenazione della della δ( ). δ() e Inroduzione (3.7) lim n rec(n)d = n si ha al limie per n : (3.8) δ()d = Le (3.7) e (3.8) si inerpreano dicendo che la dela di Dirac può essere consideraa come il limie di una classe funzioni reangolari di area uniaria al endere a zero della loro duraa. La dela di Dirac è nulla su uo l asse reale ecceo che all origine dove non è definia. In ogni caso la sua area è uniaria. Per queso moivo essa è rappresenaa mediane una freccia rivola verso l alo e spiccaa nel puno =. (v. Fig. 9). La dela raslaa si rappresena com è mosrao nella sessa Fig Caraerisiche e proprieà della dela di Dirac La dela di Dirac è la derivaa del gradino uniario. Poiché è: < n (4.) nrec( n) d = + n n n > n passando al limie per n si ha: (4.) δ () d= u() dalla quale discende: (4.3) 4. - Derivae generalizzae. du() δ () = d La dela di Dirac consene di dedurre un ineressane rappresenazione della derivaa di una funzione coninua a rai. Sia f () è una funzione coninua ovunque ranne che nel puno dove presena un salo di valore Δ = f ( + ) f( ). Si può scrivere: (4.4) f() = f c () + Δ u( ) Δ f() f c () Fig. Funzione coninua a rai. dove f c () è la funzione oenua da f () eliminando il salo (v. Fig. ). Poiché f c () è coninua e derivabile ovunque ranne evenualmene nel puno = dove si porebbe avere f ( + ) f( ), risula, con esclusione del puno = : (4.4) f () = fc () +Δδ( ) che cosiuisce la derivaa generalizzaa della funzione f ().

6 - 6 - G. Mamola: Lezioni di Comunicazioni Eleriche N Più in generale, se la funzione f () subisce nell insieme dei puni { i } i= dei sali di valore Δ i = f( + i ) f ( i ) la derivaa generalizzaa di f () vale, con esclusione del puno = : N (4.5) f () = fc () + Δiδ( i ) i= 5 La pseudo-funzione. La funzione non è sommabile su un qualsiasi inervallo conenene l origine e ano meno lo è φ() (salvo che φ() non risuli infiniesima nell origine). Ciononosane può definirsi un valore principale di Cauchy dell inegrale improprio di φ() : (5.) VP φ() φ() d = lim + d ε ε ε per ogni φ() che garanisce la convergenza della (5.). Ciò significa che alla funzione può associarsi la cosiddea pseudo-funzione Pf( ), definia dalla: φ() (5.) Pf ( ) φ ( ) d = VP d 6 La convoluzione. 6. Segnali a empo coninuo. Si definisce convoluzione fra due segnali s () e s ( ) a empo coninuo il segnale s() definio dalla: (6.) s() = s( ) s( ) d = s s Risula anche, come si può verificare operando il cambiameno di variabili : (6.) s() = s( ) s( ) d = s s perano la convoluzione gode della proprieà commuaiva. Inolre è facile verificare che gode anche della proprieà disribuiva e cioè: (6.3) s ( s + s3) = s s + s s3 Idenificando uno dei due segnali con la dela di Dirac δ(), enendo cono della (3.6), si può scrivere: (6.4) s( ) δ( ) d= s( ) che può essere inerpreaa nel seguene modo: (6.5) s δ=δ s = s e cioè la dela di Dirac cosiuisce l elemeno uniario della convoluzione. Per meglio comprendere il significao della convoluzione in Fig. sono indicae le varie fasi che conducono alla (6.) o (6.). A proposio di ale figura si ricordi che essendo s( ) = s[()], il segnale s( ) si può pensare oenuo riardando di il segnale s() oenuo da s() per inversione dell asse dei empi.

7 Inroduzione s () s () s () Inversione nel empo s () raslazione s ( ) s ( ) s() Fig. Convoluzione fra due segnali nel dominio del empo. Esempio E. Si deermini la convoluzione del segnale s ( ) = rec ( ) se sesso. Risula per > (v. Fig. E.) d= + s () = In modo analogo per < si ha: s () = d= e cioè > < con ( ) ( ) s () = rec rec Fig.E. rec La valuazione della convoluzione fra due segnali può, in aluni casi, essere semplificaa procedendo come di seguio indicao.

8 - 8 - G. Mamola: Lezioni di Comunicazioni Eleriche (6.6) Se s () denoa la derivaa della s() rispeo a, si può scrivere: dove denoa un opporuno isane e s() = s ( ξ) dξ+φ( ) (6.7) s s s d s s d ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) D alronde, derivando la (6.) o (6.) si oiene: (6.8) s ( ) = s( ) s ( ) d= s ( ) s( ) d che, sosiuia nella (6.6) consene di oenere il risulao. La procedura può evenualmene ierarsi facendo inervenire la derivaa seconda del segnale s(). È evidene che il meodo sopra presenao si rivela efficace in quei casi in cui l inegrale definio dalla (6.6) si calcola più semplicemene dell inegrale che compare nella (6.) o (6.) Esempio E. Si risolva l esempio precedene con il meodo della derivazione. Scegliendo = risula: Inolre essendo (vedi Esempio E.): risula e quindi: ( ) ( ) d ( ) d = s( ) = rec rec = rec d rec d ( ) =δ ( + ) δ( ) ( ) ( ) ( ) + { } d ( ) ( ) s ( ) = rec δ + δ = rec rec s ( ) ( ) () = rec 6. Segnali a empo discreo. Si definisce convoluzione fra due segnali s (n ) e s (n ) a empo discreo il segnale φ(n ) definio dalla: (6.9) s( n ) = s( k ) s( n k ) = s s k= che effeuando la rasformazione di indici n k k diviene: (6.) s( n ) = s( n k ) s( k ) = s s k= Perano la convoluzione gode della proprieà commuaiva. Si ha inolre (proprieà disribuiva): s ( s + s ) = s s + s s (6.) 3 Se si idenifica uno dei due segnali con l impulso uniario δ(n), si ha: (6.) s( n k ) δ ( k ) = s( n ) k= che può essere inerpreaa nel seguene modo: 3

9 Inroduzione (6.3) s δ=δ s = s e cioè l impulso uniario cosiuisce l elemeno uniario della convoluzione definia nel empo discreo Duraa della convoluzione. Siano s () e s () due segnali con suppori (, ) e (, ) limiai. In Fig sono rappresenai i suppori dei segnali s ( ) e s ( ) nonché quelli di s ( ) e s ( ) rispei- Fig. Duraa della convoluzione vamene. È evidene che l inegrale di involuzione è nullo quando gli inervalli (, ) sono disgiuni oppure se sono disgiuni gli inervalli (, ) e (, ). Queso accade quando sono soddisfae le condizioni: (6.4) > e < oppure (6.5) > e < (, ) Ciò compora che la convoluzione è idenicamene nulla in ui gli isani che sono eserni all inervallo: (6.6) + < < + La duraa della convoluzione vale quindi: (6.7) Δ = ( ) + ( ) e cioè pari alla somma delle durae dei segnali componeni. È immediao verificare che se uno solo dei due segnali è a duraa non limiaa anche la convoluzione ha duraa non limiaa. Le considerazioni svole per i segnali a empo coninuo valgono, com è facile verificare, anche per i segnali a empo discreo. e

10 - - G. Mamola: Lezioni di Comunicazioni Eleriche