at e segue q ' t ae 1 bt 0 1 bt 0 t se b 0 b eb a 4 eb e q t 4t e t e e Simulazione ministeriale dell Esame di Stato 2019_2 Matematica e Fisica

Transcript

1 Simulazione miniseriale dell Esame di Sao 09_ Maemaica e Fisica Problema n. q a e segue Daa la funzione b b q ' ae b Il cui segno è dao da se b 0 b b q ' ae b 0 b 0 se b 0 se b 0 b a Perano il puno di coordinae ; è un puno di massimo per la funzione se b <0, è un puno di b eb minimo se b > ; la funzione è sempre crescene se b = 0. 8 Perché il massimo coincida con il puno B ; si deve avere: e b b a 8 a eb e q e ; si ha immediaamene Sia ora q ' e e q" e e Il cui segno è daa da: ed essendo q ; q ' q" e 0 6 e e 6 si conclude che il puno F di coordinae F ; e equazione è un puno di flesso, con angene inflessionale di 3 y q q ' y e e M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_

2 Per compleare lo sudio della funzione, calcoliamo i due limii e e lim q lim lim q lim e 0 Possiamo perano disegnare il grafico della funzione, evidenziando la angene nel puno di flesso 3 Il quesio presena un grave errore di formulazione: supponendo che la funzione q() rappreseni... la carica elerica che araversa all isane di empo la sezione di un cero conduore La carica che araversa la sezione di un conduore in un isane è evidenemene nulla; ale carica assumerebbe valore finio in un inervallo di empo finio. Il problema non può perano risolversi inerpreando leeralmene il eso. Per dare un senso alle domande successive, si può enare di ipoizzare cosa inendessero gli esensori del eso; l ipoesi più ragionevole, in base alla formulazione delle domande successive e del nome dao alle variabili, parrebbe quella di ipoizzare un condensaore la cui carica vari nel empo secondo la legge q() assegnaa; in queso caso la premessa del erzo puno andrebbe riscria in queso modo: supponendo che la funzione q() rappreseni... la carica elerica presene all isane di empo sull armaura di un condensaore. Un alra possibilià, meno probabile per il nome assegnao alla funzione (che indurrebbe facilmene in errore) ma che renderebbe più ineressane la domanda, porebbe essere quella di inendere la funzione q() come la correne isananea nel circuio. Proseguiamo la risoluzione del problema nella prima ipoesi, ovvero q() rappreseni la carica sull armaura di un condensaore. M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_

3 b s L argomeno dell esponenziale è un numero puro, per cui Essendo q una carica, a q I Inserendo la dimensionalià delle grandezze, si ha: a A, b 0,5 s s è una inensià di correne, per cui si misura in ampere (o C/s). La correne che araversa il circuio è daa dalla derivaa rispeo al empo della funzione q(). Per moivare la scriura dimensionale correa, riproponiamo il calcolo della derivaa inserendo le unià di misura: q A e i q A e e s A s s s s s ' Il valore della correne corrisponde geomericamene alla pendenza della angene al grafico della funzione q(); si ha inolre s i ' q" e s A s Il puno di flesso (discendene) presene in q() corrisponde perano al minimo di i(), menre il massimo si ha all isane iniziale = 0, ovvero: s imax i 0 Ae A s imin i s A 0,5A e Asinoicamene la correne ende ad annullarsi, essendo: s lim i lim e s A s 0 Riporiamo, in rosso, il grafico dell andameno emporale della correne, sovrapposo all andameno della carica (in blu) per 0. M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_ 3

4 La correne è posiiva per 0 s (il condensaore si sa caricando), si invere per s (il condensaore si scarica). La carica oale che araversa una sezione del circuio per 0 è daa dalla differenza ra la carica finale (asinoica) e la carica iniziale sul condensaore; essendo enrambe nulle, è nulla anche la carica oale che araversa qualunque sezione del conduore. 0 L energia dissipaa nell inervallo 0, è dovua all effeo Joule, ovvero (omeiamo le unià di misura nella funzione inegranda: Ediss W d R i d 3 e d e d M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_

5 Problema n. Indicai con E e E i campi elerici generai dalle due cariche, si deve avere: E + E = 0 perano il puno in cui il campo oale si annulla deve rovarsi sulla rea congiungene le due cariche; al di soo di Q i due campi sono enrambi direi verso il basso, al di sopra di Q enrambi verso l alo, perano il puno di equilibrio è collocao ra le due cariche. Indicaa con k, e con P (0, y), con 0 < y < il puno generico del 0 segmeno compreso ra le due cariche, si ha: q q k k 0 y y y y y y che ha soluzioni y e y ( non acceabile) 3 L unico puno è perano il puno P 0; 3. Evidenziamo che il eso assegna l unià di misura della cosane k ma omee quella di ue le alre grandezze coinvole. Il puno P è di equilibrio insabile: cogliamo l occasione per dimosrare che, per qualsiasi configurazione di cariche, in presenza di sole forze elerosaiche non è possibile S oenere posizioni di equilibrio sabili. Un puno di equilibrio sabile è un puno nel quale il campo è nullo e in un qualsiasi P inorno del quale il campo esercia forze di richiamo su una carica. Supponiamo per assurdo che ale puno esisa (puno P nella figura a lao); ovviamene in ale puno non può esservi una delle cariche sorgeni (alrimeni il campo non sarebbe definio); se ale puno è di equilibrio sabile per una carica posiiva, il campo elerico in un inorno sferico S di P deve essere rivolo verso l inerno della superficie; considerando il flusso del campo elerico araverso la superficie S si ha perano: S E 0 in quano il campo è enrane nella superficie in ogni suo puno D alra pare, per la legge di Gauss, non essendovi cariche all inerno della superficie, si deve avere S E 0 ne segue che un puno con ali caraerisiche non esise. La dimosrazione è analoga qualora si consideri l equilibrio di una carica negaiva (in queso caso il campo elerico dovrebbe essere uscene da ui i puni della superficie). M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_ 5

6 Q Q r U k k q dove r è la disanza ra le due cariche 3 La funzione U() è definia Si ha poi: U ; è pari (simmerica rispeo all asse y), sempre posiiva. 0 kq U q lim lim k 0 U ' k q 3 U() è crescene per < '' U kq kq kq Puni di flesso in F, 6 3 ; kq con angeni inflessionali di pendenza m U 8 3, ' 9 kq Nella figura è rappresenao il grafico di U() (in unià kq sull asse y) con le due angeni inflessionali di equazione y kq kq 9 9 M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_ 6

7 La funzione U () è dispari (derivaa di una funzione pari), quindi simmerica rispeo all origine, posiiva per < 0, dove U() è crescene, presena massimo e minimo nei puni le cui ascisse corrispondono ai puni di flesso di U(); massimo e minimo di U () corrispondono alla pendenza delle due angeni inflessionali. Con quese considerazioni il grafico di U () (in rosso) si oiene immediaamene a parire dal grafico di U() (in verde) Essendo U () dispari, m m U ' d 0 m M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_ 7

8 QUESTIONARIO Quesio n. Per \ 3 si ha: 3 a per a per g( ) b g '( ) b per per 3 3 Imponendo le condizioni di coninuià e derivabilià nel puno di ascissa si ha: da cui b 3 a lim b 3 a 3 a b lim a lim b b 8 a 3 3 per per g( ) 8 g '( ) 8 per per 3 3 Il grafico di g(), in verde, è composo da due rami di funzioni noe (parabola e funzione omografica), quello di g () si deduce immediaamene dal primo; enrambe le funzioni g() e g () presenano un asinoo vericale di equazione = 3 e un asinoo orizzonale desro di equazione y = 0 (asse ). M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_ 8

9 Quesio n. La curva assegnaa è simmerica rispeo all asse y. Scelo il puno, AA B B inscrio in R si ha: S e essendo S ' e A e con 0, per la superficie del reangolo, l area massima si oiene per =, per cui il puno A ha coordinae A (; ) e AA' BB ' : il reangolo è quindi un quadrao. Il reangolo di perimero minimo si oiene minimizzando la funzione p e e 0 Si ha ed essendo p e p ' e 0 area massima (quadrao) ha anche perimero minimo. ' 0 per e, il reangolo di Quesio n. 3 a) Pa 0, b) I casi possibili sono dai dal numero di raggruppameni di 5 oggei presi da un insieme di 6, ovvero C 6,5; i casi favorevoli sono ui i gruppi che conengono il numero 3 e alri numeri compresi ra e, quindi C, P b 95 0, Quesio n. Una possibile funzione, per la quale s() e () hanno grado minimo, è a y 3 infai la funzione ha una radice semplice in = - (ovvero il grafico è secane l asse ) e una radice doppia in = (angene all asse ). M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_ 9

10 La funzione non è definia per = e = -3; le ree = e = 3 sono evideni asinoi vericali; imponiamo infine il passaggio per P (7;0) oenendo: 58 0 a a 3 06 una possibile funzione è perano 3 3 y Per disegnare il grafico qualiaivamene, ovvero senza calcolare le derivae della funzione, osserviamo uleriormene che la funzione non presena alri zeri olre ai due indicai, cambia segno negli inorni di -3 e di, presena un asinoo obliquo (essendo il rapporo ra un polinomio di erzo grado e uno di secondo) la cui pendenza è 3; si vede immediaamene che ordine con pare principale 3. Infine si ha y(0) =. 3 3 y, per è un infinio del primo Il grafico è perano (è saa scela una scala diversa ra asse e asse y in modo da riuscire a mosrare l inero grafico) Quesio n. 5 Compleando i quadrai nell equazione della circonferenza si oiene y z z y z da cui segue: C ; 0; 3 e r 0. M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_ 0

11 Il cenro disa dal piano: 3C yc 6zC D Essendo D < r sfera e piano si inersecano in una circonferenza di raggio Quesio n. 6 R r D 6 Osserviamo che nella legge oraria vengono assegnae le dimensioni di e, ma quelle dei ermini cosani, per cui la formulazione del quesio è decisamene deficiaria. Pur con ue le riserve del caso, risolviamo il problema per via numerica. La legge oraria è espressa da un polinomio di erzo grado in, per cui non si raa di un moo uniformemene accelerao; la verifica direa pora alle equazioni v a d d 9 9 dv d d d 9 9 La velocià media è daa da: 9 0 v (con opporune cosani, si avrebbe v 5 m s ) Essendo v = 5 s., la cui unica soluzione nell inervallo 0; 9 s è Quesio n. 7 a) Indicae con v e v le velocià delle due sfere dopo l uro, imponendo la conservazione della quanià di moo e dell energia si oiene: v mv mv 3mv v v 3v v mv mv 3 mv v v 3 v v v Essendo v < 0, il corpo rimbalza all indiero. La seconda soluzione del sisema è daa da v v, v 0, che corrisponde al non uro ra le due masse, soluzione banale in cui si conservano energia e quanià di moo, presene in ui gli uri cenrali elasici. b) I due corpi resano aaccai procedendo con velocià V; si conserva la sola quanià di moo, per cui M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_

12 v mv m 3mV V L energia dissipaa è daa da: v 3 Ediss E f E0 m mv mv 8 Quesio n. 8 d d f. e. m. B B0l sen B0 l cos d d f. e. m. B0 l cos i R R Il segno indica che la correne circola nel verso opposo a quello convenzionalmene scelo posiivo per la spira. Le grandezze implicae hanno le segueni unià di misura SI: B T (esla) o Wb/m (weber/m ) [rad] s - s f.e.m. V (vol) (B) Wb (weber) l m i A (ampere) R (ohm) M. Vincoli Liceo Saale Galilei - Verona Simulazione miniseriale Ma-Fis 09_