LICEO SCIENTIFICO STATALE "Leonardo da Vinci" MAGLIE. 12 maggio 2008

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1 LICEO SCIENTIFICO STATALE "Leonardo da Vinci" MAGLIE VII CERTAMEN FISICO MATEMATICO " FABIANA D'ARPA" 12 maggio 28 I CANDIDATI RISOLVANO IL PROBLEMA DEL GRUPPO A oppure IL PROBLEMA DEL GRUPPO B (a scela) DUE QUESITI (a scela) DEL GRUPPO A e DUE QUESITI (a scela) DEL GRUPPO B. PROBLEMA GRUPPO A È daa la funzione f x = x 2 lnx (dove ln indica il logarimo naurale, cioè con base il numero e di Nepero). a) Deerminarne il dominio, i limii agli esremi del dominio e gli evenuali asinoi. b) Provare che f ( x ) ha un unico puno a angene orizzonale di ascissa α, e dire ra quali ineri consecuivi cade α. c) Deerminare gli inervalli di monoonia di f ( x ) e provare che il puno di ascissa x = α è un puno di minimo assoluo per f ( x ). d) Provare che f ( x ) non ha zeri. e) Scrivere l'equazione della rea angene al grafico di f ( x ) nel puno di ascissa x = 1. f) Tenendo cono dei risulai oenui nei puni precedeni, disegnare un grafico qualiaivo di f ( x ). g) Discuere (graficamene, senza eseguire calcoli) il numero di soluzioni dell'equazione f x = k, al variare del paramero reale k. h) Indicare con N( k ) il numero di soluzioni dell'equazione Tracciare il grafico della funzione N( k ). f x = k, al variare di k. QUESITI GRUPPO A Quesio A1 (A) Sia f ( x ) una funzione dispari, derivabile due vole su, con derivae coninue. Provare che la funzione derivaa f ' x è pari.

2 Provare che la funzione inegrale F( x) (B) Si consideri la funzione g( x ) di grafico x = f d è pari. Dire (moivando la scela con opporune ragioni eoriche) quale dei re grafici soosan- g' x. i può essere il grafico della funzione derivaa Dire (moivando la scela con opporune ragioni eoriche) quale dei re grafici soosani può essere il grafico della funzione inegrale x G x = g d

3 Quesio A2 Si consideri la funzione (dipendene dal paramero α ) α x = h x e e x e x Si calcolino i valori di α per cui il limie lim h( x) x + i valori di α rovai, dire quano vale ale limie. risuli un valore finio diverso da, e, per Quesio A3 Si considerino le funzioni, definie, al variare di k, da k k = ( 1) ( 2 + 1) se k ( k + 1) x f x x k e si definisca la funzione f ( x ), con dominio k f x, per k =,1, 2,3. ; definia a rai araverso le funzioni a) Disegnare un grafico qualiaivo di f ( x ), e, nello sesso sisema di assi caresiani, un grafico qualiaivo della funzione g( x) = cosx. b) Disegnare un grafico qualiaivo della funzione f ( x ), e, nello sesso sisema di assi caresiani, un grafico qualiaivo della funzione g( x ). c) Calcolare gli inegrali definii g( x) f ( x) dx, g x f x dx. Quesio A Una Dia confeziona maglie uilizzando un macchinario che ha difeosià di 13. La Dia prepara scaole coneneni 2 maglie ciascuna, scele a caso ra le (infinie) maglie che escono dal macchinario. (a) Calcolare la probabilià che una scaola scela a caso conenga almeno una maglia mal confezionaa. Un commerciane acquisa scaole (da 2 maglie) scele in modo casuale dalla Dia, con l'accordo che le scaole verranno sosiuie se egli roverà più di 2 scaole che conengono almeno una maglia mal confezionaa. (b) Calcolare la probabilià che una scaola (ra le acquisae) conenga almeno una maglia mal confezionaa (menre le alre scaole conengono ue maglie ben confezionae). (c) Calcolare la probabilià che le scaole vengano sosiuie.

4 PROBLEMA GRUPPO B Una slia scivola senza ario su un piano inclinao inizialmene immobile, parendo da ferma all'isane = da un puno a quoa h. Sulla slia è posa una bilancia a molla su cui è appoggiao una cassa C di massa m. La massa della slia e della bilancia è rascurabile rispeo a m. 1. Calcolare il empo impiegao dalla slia per arrivare a erra, la velocià finale e il peso di C (in N) indicao dalla bilancia durane la discesa. 2. Ripeere il calcolo delle precedeni quanià supponendo che il piano inclinao si sposi verso desra su una piaaforma orizzonale con velocià v cosane. È richiesa la velocià finale della slia rispeo al piano inclinao. 3. Ripeere il calcolo delle precedeni quanià supponendo che il piano inclinao si sposi verso desra su una piaaforma orizzonale con accelerazione a cosane, iniziando il suo moo a =. È richiesa la velocià finale della slia rispeo al piano inclinao e quella assolua (rispeo al laboraorio).. Deerminare la condizione da imporre ad a affinché la slia scivoli verso l'alo invece che verso il basso. QUESITI GRUPPO B Quesio B1 Un fascio di raggi luminosi paralleli in aria incide su una sfera dielerica di raggio R e indice di rifrazione n. I raggi prossimi all'asse ( y R) vengono focalizzai nel puno V. Deerminare l'indice di rifrazione della sfera. In quese condizioni, descrivere cosa accade ai raggi caraerizzai da y non piccolo. Indicare qualiaivamene i puni di inersezione di ali raggi con l'asse x.

5 Quesio B2 2 Si considerino sei fogli meallici di area S = 1 cm e spessore rascurabile posi a disanza d = 3 mm l'uno dall'alro, come indicao in figura. I fogli 1, e sono collegai al polo posiivo di una baeria da V = 1V, i resani 2, 3 e 6 al negaivo. Calcolare la capacià equivalene del sisema e la carica indoa su ciascun foglio. Calcolare inolre il campo elerico E 12 presene ra i fogli 1 e 2 e E 23 presene ra i fogli 2 e 3, rascurando l'effeo della dimensione finia dei fogli. Quesio B3 In una regione di spazio vuoo è presene un campo elerosaico definio da 7 2 E z =, con a= 31 V m. Ex = ay, Ey = ax, Nel puno P di coordinae x = 3 cm, y = 3 cm viene abbandonao con velocià nulla uno ione di massa m= 21 kg e carica q= C. Deerminare il ipo di moo che compie lo ione e la velocià v con cui passa per l'origine. Quesio B Un cilindro con un pisone a enua sagna coniene n moli di gas perfeo monoaomico a emperaura T A e pressione p A. Dapprima lo si pone a conao con diverse foni di calore ed il suo volume si espande fino a V B manenendo la pressione cosane. Poi ponendolo a conao con alre sorgeni di calore a emperaure inferiori lo si ripora a emperaura T A enendo il suo volume cosane e lasciando la pressione libera di cambiare. A queso puno si pone il cilindro in un ermosao alla emperaura T A e si comprime lenamene il pisone fino a che il volume riorna quello iniziale. Deerminare i lavori L AB, L BC ed L CA compiui dal gas nelle re rasformazioni. Si ricordi che la cosane del gas perfeo vale R 8.31 J ( Kmol) =. Dai: n=.mol; pa Pa T =.1 1 ; A 3 = K ; V = 2V. B A Tempo a disposizione : ore