MODELLI PER LA STRUTTURA A TERMINE DEI TASSI

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1 Alma Maer Sudiorum Universià di Bologna FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Maemaica Maeria di Tesi: Maemaica per le applicazioni economiche e finanziarie MODELLI PER LA STRUTTURA A TERMINE DEI TASSI Tesi di Laurea di CHIARA CASTELLETTI Relaore Chiar.mo Prof. ANDREA PASCUCCI Sessione III anno accademico

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3 Alla mia famiglia e a mio nonno Mario

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5 Tu lo sai bene: non i riesce qualcosa, sei sanco, e non ce la fai più. E d un rao inconri nella folla lo sguardo di qualcuno -uno sguardo umanoed è come se i fossi accosao a un divino nascoso. E uo divena improvvisamene più semplice A. Tarkovskij

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7 Indice Inroduzione 3 1 Modello di Black&Scholes Elemeni di calcolo socasico Inegrale socasico di processi semplici Processi e formula di Iô Modelli a empo coninuo per i derivai Porafoglio auofinanziane e di arbiraggio Modello di Black&Scholes Valuazione neurale al rischio Compleezza-Assenza di arbiraggio Tassi d ineresse e bonds Zero coupon bond Tassi d ineresse Definizioni Relazioni ra df(,t), dp(,t) e dr() La curva yield Modelli per il asso shor Nozioni generali L equazione della sruura a ermine Modelli maringala per il asso shor Q-dinamiche

8 2 INDICE Inversione della yield curve Sruura a ermine affine Generalià sui modelli maringala Alcuni modelli sandard Il modello di Vasiček Il modello di Ho-Lee Il modello di Cox, Ingersoll e Ross (CIR) Il modello di Hull-Whie Modelli per il asso forward L approccio Heah-Jarrow-Moron (HJM) Modelli maringala Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano Una sruura di volailià della forma γ(r,, T) = ξ(, T)γ(r,, ) Un raameno analiico La forma funzionale della sruura a ermine La sruura di volailià di un modello CIR generalizzao A Richiami di probabilià 79 Bibliografia 81

9 Inroduzione Agli inizi degli anni 70, Fischer Black, Myron Scholes e Rober Meron hanno dao un fondamenale conribuo alla eoria di valuazione delle opzioni, sviluppando il modello eorico per la deeminazione dei prezzi. Queso modello ha avuo un enorme influenza sui problemi di pricing (valuazione dei conrai) e di hedging (elaborazione di una sraegia finanziaria per coprirsi dai rischi). Quesa eoria è basaa sul conceo di arbiraggio, cioè sulla possibilià di avere un guadagno posiivo senza rischi. Fin dal momeno della sua pubblicazione nel 1973, il modello di Black&Scholes è divenuo molo popolare. In seguio queso è sao eseso in modo da poer essere usao per valuare le opzioni su value, le opzioni su indici, e le opzioni su fuures, fino al enaivo di esenderlo anche al caso dei derivai su assi d ineresse. I derivai su assi d ineresse sono srumeni derivai il cui soosane è il asso d ineresse. Per esempio, un bond è un conrao in cui si paga 1 dollaro al empo della scadenza. I primi modelli di valuazione delle opzioni su assi d ineresse assumevano che la disribuzione probabilisica dei assi, dei prezzi dei bond fosse log-normale. Tali modelli però non offrivano una descrizione del modo in cui i assi d ineresse e i prezzi dei bond si modificano nel empo in dipendenza dalla scadenza. In quesa esi preseneremo alcuni approcci che mirano a superare quesi limii. Vedremo come possono essere cosruii i cosiddei modelli della sruura a ermine, i quali descrivono l evoluzione della curva yield nel empo. Esamineremo quindi i modelli in cui viene specificao il comporameno del asso shor e del forward. Nel primo capiolo innanziuo preseniamo il modello di Black&Scholes per la deerminazione del prezzo e la coperura di un derivao. 3

10 4 Inroduzione Nel secondo capiolo sudieremo i paricolari problemi che compaiono quando applichiamo la eoria di arbiraggio al mercao dei bond. Poiché il mercao dei bond coniene un numero infinio di ioli (un bond per ogni scadenza) il nosro obieivo è sudiare le relazioni ra ui i differeni bond. Vedremo quindi che dai prezzi bond possiamo ricavare le dinamiche del asso forward e viceversa, invece le dinamiche del asso shor possono essere oenue sia dai prezzi bond che dal asso forward. Nel erzo capiolo modelleremo una famiglia di bond priva di arbiraggio parendo dalle dinamiche del asso shor. Lo scopo è cercare la relazione che ci deve essere in un mercao privo di arbiraggio ra i processi di prezzo dei bond con diversa scadenza. Arriviamo, così, a una delle più imporani equazioni nella eoria dei assi d ineresse, chiamaa equazione della sruura a ermine. La seconda pare del erzo capiolo è incenraa sui modelli maringala per il asso shor, fra i più comuni e uilizzai nella praica Vasiček, Cox-Ingersoll e Ross (CIR), Ho-Lee e Hull-Whie, che specificano le Q-dinamiche per r. Il capiolo si chiude con l equazione della sruura a ermine affine, imporane in quano riconduce ad espressioni analiiche per i prezzi dei bond di risoluzione più facile rispeo a quelle dei modelli maringala ciai sopra. Nel quaro capiolo sudieremo i modelli per il asso forward, in paricolare l approccio Heah-Jarrow-Moron (HJM), in cui si uilizza l inera curva del asso forward come variabile esplanaoria di ua la suura a ermine. La curva del asso forward osservaa {f (0, T); T 0} viene usaa come condizione iniziale, queso di conseguenza permee una corrispondenza perfea ra i prezzi bond eorici e quelli osservai, quindi non risula necessario inverire la curva yield. Inolre preseniamo un risulao imporane che è la condizione HJM sul drif per eviare possibilià di arbiraggio, e abbiamo modellizzao il asso forward direamene soo la probabilià maringala Q. Nel quino capiolo analizzeremo una paricolare classe di modelli HJM basai sul asso spo Markoviano. In paricolare forniremo due condizioni (sudiae da Jeffrey [15]) che indicano le resrizioni pose sulla sruura a ermine iniziale e la sruura di volailià. Nell ambio della classe di modelli HJM che soddisfano le condizioni di Jeffrey, forniamo poi soluzioni analiiche al problema della valuazione del prezzo del bond. Infine preseniamo un modello di CIR generalizzao in cui possono essere rovae formule esplicie

11 Inroduzione 5 per i bond in ermini di soluzioni di una paricolare equazione di Volerra.

12 6 Inroduzione

13 Capiolo 1 Modello di Black&Scholes 1.1 Elemeni di calcolo socasico Sia dao uno spazio di probabilià (Ω, F, P). Definizione 1.1. Un processo socasico è una famiglia X = (X ) [0,+ [ di variabili aleaorie X : Ω R N, 0 Un processo socasico può essere uilizzao per descrivere un fenomeno aleaorio che si evolve nel empo: per esempio si può pensare alla v.a. X in R come al prezzo di un iolo rischioso al empo. Definizione 1.2. Una filrazione F = (F ) 0 in (Ω, F, P) è una famiglia crescene di soo-σ-algebre di F. Dao un processo socasico X = (X ) [0,+ [, poniamo F X = σ(x s 0 s ) = σ({xs 1 (H) 0 s, H B}) Chiaramene, se 0 s, allora Fs X F X F, e dunque F X = (F X ) [0,+ [ è una filrazione dea filrazione associaa a X. Si può pensare a F X come alle informazioni su X disponibili fino al empo. Definizione 1.3. Si dice Moo Browniano reale di puno iniziale x 0 R, un qualsiasi processo socasico W = (W ) [0,+ [ ale che 7

14 8 1. Modello di Black&Scholes 1. P(W 0 = 0) = 1; 2. per ogni ω Ω, la funzione W (ω) è coninua; < 2 <... < n, W n W n 1,..., W 2 W 1 sono indipendeni (incremeni indipendeni); 4. per ogni, h 0, la v.a. W +h W ha disribuzione normale N 0,h ed è indipendene da F W (incremeni sazionari). Noazione: nel seguio W denoerà un moo Browniano di puno iniziale l origine. Esempio 1.1. (moo Browniano come modello di iolo rischioso) Sia W un moo Browniano di puno iniziale l origine. Un primo modello a empo coninuo per il prezzo di un iolo rischioso S è il seguene: S = S 0 (1 + µ) + σw, 0 (1.1) Nella (1.1) S 0 indica il prezzo iniziale del iolo, µ indica il asso di rendimeno aeso e σ indica la rischiosià del iolo o volailià. Se σ = 0, la dinamica (1.1) è deerminisica e corrisponde ad una legge di capializzazione semplice con asso privo di rischio pari a µ. Se σ > 0, la dinamica (1.1) è socasica e S = (S ) 0 è un processo socasico normale nel senso che S N S0 (1+µ),σ 2 0 (1.2) Da (1.2) segue che E(S ) = S 0 (1 + µ) ossia l andameno aeso di S corrisponde alla dinamica deerminisica priva di rischio. Inolre σ è direamene proporzionale alla varianza e quindi alla rischiosià del iolo. La eoria d inegrazione socasica è collegaa alla eoria delle maringale, e la moderna eoria dei derivai è basaa principalmene sulla eoria maringala. Sia dao uno spazio di probabilià (Ω, F, P, F) dove F = (F ) [0,+ [ indica una filrazione. Definizione 1.4. Si dice che un processo socasico M è una maringala se, per ogni [0, + [, si ha:

15 1.2 Inegrale socasico di processi semplici 9 1. M è F -misurabile, e in al caso si dice che il processo socasico M è F-adaao 2. M L 1 (Ω, P) 3. E(M F s ) = M s q.s. per ogni 0 s Le prime due sono proprieà di ipo ecnico, menre la proprieà essenziale che caraerizza una maringala è la erza. Quesa in paricolare implica che il valore aeso di una maringala M è cosane nel empo, infai: E(M ) = E(E(M F 0 )) = E(M 0 ), Inegrale socasico di processi semplici Sia dao un moo Browniano W su uno spazio di probabilià (Ω, F, P). Nel seguio indichiamo con F la filrazione Browniana. In queso paragrafo e nel seguene diamo una raccia della cosruzione dell inegrale di Iô T 0 u dw (1.3) Per garanire l esisenza di ale inegrale socasico, è necessario imporre opporune ipoesi sul processo u. Definizione 1.5. Il processo socasico u appariene alla classe Λ 2 se u è F-adaao, ossia u è F -misurabile per ogni 0 per ogni T > 0, esise ed è finio T 0 E(u2 )d Definizione 1.6. Un processo u Λ 2 si dice semplice se è della forma u = N e k χ [k 1, k [ k=1 dove 0 0 < 1 < < N e e k sono v.a. su (Ω, F, P).

16 10 1. Modello di Black&Scholes Esempio 1.2. Inegrando il processo semplice u = χ [0,[, si oiene Riprendendo l Esempio 1.1, si ha W = 0 dw s S = S µds + 0 σdw s, > 0. Il seguene eorema coniene alcune imporani proprieà dell inegrale di Iô di processi semplici. Teorema 1.1. Per ogni u, v Λ 2 semplici, α, β R e 0 a < b < c si ha: (1) linearià: (2) addiivià: (αu + βv )dw = α u dw + β v dw ; (3) media nulla: c u dw = b u dw + c a a b ( ) E u dw = 0, u dw ; ed anche (4) isomeria di Iô: ( b c ) E u dw v dw = 0; a b (5) il processo socasico: è una maringala rispeo a F. ( ( b ) 2 ) ( b E u dw = E a X = 0 u s dw s, 0, a ) u 2 d ;

17 1.3 Processi e formula di Iô 11 Finora abbiamo definio l inegrale in (1.3) nel caso u Λ 2 processo socasico semplice. Consideriamo ora un generico u Λ 2 che possiamo schemaizzare come segue: Approssimiamo u con una successione di processi semplici u n.c. b lim n + a E[{u n (s) u(s)} 2 ]ds = 0. Per ogni n l inegrale b a u n(s)dw(s) è una variabile socasica ben definia z n, ed esise una variabile socasica z.c. lim z n = z (in L 2 ). n + Ora definiamo l inegrale socasico come b a u(s)dw(s) = lim n + b a u n (s)dw(s). Quindi enunciamo il seguene eorema che esende al caso generale le proprieà dell inegrale socasico di processi semplici. Teorema 1.2. Le proprieà (1-5) del Teorema 1.1 valgono per ogni u, v Λ 2. Osservazione 1.3. E possibile definire l inegrale socasico per un processo u che soddisfa solo la condizione debole ( b P a ) u 2 (s)ds < + = 1 Per un qualunque u generico non abbiamo garanio che valgono le proprieà (3) e (4). La proprieà (5) è, uavia, ancora valida. 1.3 Processi e formula di Iô Definizione 1.7. Un processo X della forma X = X 0 + u s ds con u, v Λ 2, si dice un processo di Iô. v s dw s, > 0, (1.4)

18 12 1. Modello di Black&Scholes Noazione: la (1.3) viene soliamene scria nella seguene forma differenziale : dx = u d + v dw (1.5) Riprendendo l Esempio 1.1, scriviamo ds = µd + σdw Dao un processo socasico Y si definisce il processo variazione quadraica di Y nel modo seguene Y = lim s 0 + N (Y k Y k 1 ) 2, in L 2 (Ω, P) k=1 ammesso che ale limie esisa e dove s indica una scomposizione di [0, ]. Lemma 1.4. Sia X un processo di Iô della forma (1.4). Allora Y = 0 v 2 s ds o, in ermini differenziali, d Y = v 2 d. Possiamo ora enunciare (nel caso unidimensionale) il principale risulao della eoria del calcolo socasico. Teorema 1.5 (Formula di Iô). Siano X nella (1.4) un processo di Iô e f = f(, x) C 2 (R 2 ). Allora il processo socasico Y, definio da Y = f(, X ), è un processo di Iô e vale dy = f(, X )d + x f(, X )dx xxf(, X )d X (1.6) Osservazione 1.6. Nella (1.5), f e x f indicano le derivae parziali di f rispeo alle variabili reali e x. La formula di Iô è valida assumendo l esisenza delle sole derivae parziali f e xx f coninue. Le ipoesi di regolarià su f si possono uleriormene indebolire.

19 1.4 Modelli a empo coninuo per i derivai Modelli a empo coninuo per i derivai In queso paragrafo preseniamo il modello di Black&Scholes per la deerminazione del prezzo e la coperura di un derivao. Nel seguio (Ω, F, P) indica uno spazio di probabilià su cui è definio un moo Browniano W di puno iniziale l origine e con filrazione Browniana F Porafoglio auofinanziane e di arbiraggio Consideriamo un mercao in cui ci siano N ioli (azioni, bonds) S 1,..., S N e assumiamo che siano processi di Iô. Si definisce sraegia un processo h = (h 1,..., h N ), con h k processo di Iô; inolre il processo V = N h k S k, k=1 è deo porafoglio. Dunque V indica il valore del porafoglio e h k il numero dei ioli k-esimi in porafoglio al empo (è ammesso che h k sia negaivo). Noiamo che, per ipoesi, h è un processo adaao a F, ossia la sraegia di invesimeno viene decisa in base alle informazioni disponibili al momeno. Definizione 1.8. Un porafoglio V si dice auofinanziane se vale dv = N k=1 h k dv k (1.7) Si dice che un porafoglio auofinanziane V è un porafoglio di arbiraggio se i) V 0 = 0, ed esise ale che ii) P(V 0) = 1, iii) P(V > 0) > 0. Definizione 1.9. Un mercao si dice compleo se opzione H L 2 (Ω, F) esise un porafoglio auofinanziane replicane, ovvero.c. V T = H.

20 14 1. Modello di Black&Scholes Modello di Black&Scholes Consideriamo un mercao in cui ci siano re ioli: -un iolo non rischioso (bond) con dinamica B = B 0 e r dove r è il asso d ineresse privo di rischio; -un iolo rischioso (sock) S modellizzao da un moo Browniano ds = µs d + σs dw, (1.8) con asso di rendimeno aeso µ e volailià σ; -un derivao H con scadenza T e payoff ϕ(s T ). Ipoesi 1.1. Assumiamo che esisa una funzione f = f(, s) C 2 (R 2 ) ale che H = f(, S ) per [0, T]. Il nosro scopo è la valuazione del prezzo e alla coperura del derivao, più precisamene siamo ineressai a cosruira un modello che ci permea di deerminare la funzione f e un porafoglio auofinanziane V = α S + β B, che replichi il derivao, ossia ale che P(V T = H T ) = 1 (1.9) Ipoesi 1.2. Principio di Non Arbiraggio (PNA) Nel mercao (B, S, H) non esisono porafogli di arbiraggio. Lemma 1.7. Assumendo il PNA, se U e W sono porafogli auofinanziani ali che P(U T = W T ) = 1 per un cero T > 0, allora si ha anche P(U = W ) = 1 per ogni [0, T]. Come immediaa conseguenza, per ogni porafoglio replicane V deve valere la seguene condizione V = H q.s. [0, T]. (1.10) Il porafoglio V è auofinanziane se vale dv = α ds + β db (1.11)

21 1.4 Modelli a empo coninuo per i derivai 15 Ora, sosiuendo l espressione (1.7) di S nella (1.10), si ha dv = (α µs + β rb )d + α σs dw D alra pare, per la formula di Iô e abbreviando f = f(t, S ), si ha dh = fd + s fds ssfd S ( ) = f + µs s f + σ2 S 2 2 ssf d + σs s fdw Per oenere un porafoglio replicane è sufficiene imporre che V abbia la sessa dinamica di H: in paricolare è sufficiene imporre l uguaglianza dei ermini in d e dw di V e H. Uguagliando i ermini in dw, ricaviamo Uguagliando i ermini in d e uilizzando la (1.12), oeniamo α = s f(, S ) (1.12) f + σ2 S 2 2 ssf rβ B = 0 (1.13) Ora uilizziamo il PNA e osserviamo che, per la (1.10), si ha β = V α S B = f(, S ) S s f(, S ) B, q.s. (1.14) e quindi, sosiuendo la (1.14) nella (1.13), oeniamo f(, S ) + rs s f(, S ) + σ2 S 2 2 ssf(, S ) rf(, S ) = 0, q.s. (1.15) L equazione (1.15) è risola da f per ogni possibile valore di e S. Dunque f è soluzione della seguene equazione differenziale f(, s) + rs s f(, s) + σ2 s 2 2 ssf(, s) rf(, s) = 0, (1.16) per (, s) ]0, T[ ]0, + [, con condizione finale f(t, s) = ϕ(s), s ]0, + [ (1.17) La (1.16) è dea equazione di Black&Scholes. Il problema (1.16)-(1.17) ammee un unica soluzione f che può essere deerminaa nella maggior pare dei casi con meodi numerici. Le formule (1.12)-(1.14) forniscono una sraegia replicane (α, β) in ermini di f. Di conseguenza è possibile calcolare il valore V 0 del porafoglio replicane e, dalla (1.10), ricavare infine il prezzo del derivao H 0.

22 16 1. Modello di Black&Scholes 1.5 Valuazione neurale al rischio Nell ipoesi che il mercao sia privo di arbiraggi, nel modello di Black&Scholes il prezzo di un derivao H è oenuo deerminando la funzione f che esprime in ogni isane H in ermini di e S. Si noi che il problema (1.16)-(1.17), e quindi f, non dipende dal rendimeno aeso µ del soosane. Queso fao si può in pare spiegare osservando che f non è il prezzo del derivao in ermini assolui, bensì la funzione che esprime ale prezzo in ermini di e S. Chiamiamo P probabilià oggeiva (o del mondo reale) e assumiamo la seguene dinamica per S nella probablià P ds = µ(, S )S d + σ(, S )S dw (1.18) Supponiamo ora che esisa una misura di probabilià Q su (Ω, F) e un moo Browniano W in (Ω, F, Q), e consideriamo un alro iolo S che soddisfi l equazione ds = rs d + σ(, S )S dw, ossia una SDE analoga alla (1.18), con µ r. Nel seguio indichiamo con E Q l aesa nella misura Q e con (F ) la filrazione associaa al moo Browniano W. Torniamo al problema della deerminazione del prezzo di un derivao su S, consideriamo il modello di Black&Scholes e assumiamo che µ e σ in (1.18) siano cosani. Il risulao cruciale è la seguene prima formulazione del eorema di Girsanov. Teorema 1.8. Sia λ R. Esise una misura di probabilià Q, equivalene a P, ale che il processo socasico W definio da è un moo Browniano su (Ω, F, Q). W = W + λ, 0 (1.19) Osserviamo che ( ds = µs d + σs dw = rs d + σs dw + µ r ) σ d avendo poso λ = µ r σ = rs d + σs dw,

23 1.5 Valuazione neurale al rischio 17 ed essendo W il processo socasico in (1.19). Il paramero λ è deo il prezzo di mercao del rischio in quano indica il rapporo ra il premio sul rendimeno aeso µ r richieso per assumersi il rischio e la volailià σ. Il caso λ = 0 ossia µ = r indica la neuralià del rischio. Il Teorema 1.8 garanisce l esisenza di una misura di probabilià Q, dea misura maringala equivalene, rispeo alla quale S è un moo Browniano geomerico 1 con rendimeno aeso r. Dunque nella misura Q il soosane ha una dinamica che non descrive le osservazioni reali, ma è ale che gli invesiori sono neurali al rischio. Possiamo allora riassumere i risulai precedeni nel seguene eorema. Teorema 1.9. Esise una misura di probabilià Q, equivalene a P, ale che il soosane ha la seguene dinamica in Q: ds = rs d + σs dw Inolre S B, H B sono maringale e vale la seguene formula di valuazione neurale del rischio H = E Q (e r(t ) ϕ(s T ) F ), [0, T] In paricolare H 0 = E Q (e rt ϕ(s T )) Il risulao precedene può essere eseso al caso (1.18) uilizzando una versione generale del eorema di Girsanov. Teorema (Teorema di Girsanov) Sia W un moo Browniano sullo spazio (Ω, F, P) con filrazione Browniana (F ). Sia u un processo adaao ale che esisa in [0, T] la soluzione L di { dl = u L dw L 0 = 1 (1.20) 1 Dai S 0, µ, σ R, il processo socasico è deo moo Browniano geomerico. S = S 0 exp ) ) ((µ σ2 + σw 2

24 18 1. Modello di Black&Scholes Se vale la condizione E(L T ) = 1, (1.21) definiamo la misura di probabilià Q su F T mediane dq dp = L T in F T Allora il processo socasico (W ) [0,T] definio da dw = dw u d, ossia W = W è un moo Browniano nello spazio (Ω, F T, Q). 0 u s ds,

25 1.6 Compleezza-Assenza di arbiraggio Compleezza-Assenza di arbiraggio Fino a queso momeno abbiamo viso cosa succede in un modello con un solo iolo soosane (S = sock), in queso paragrafo daremo alcune regole empiriche generali per deerminare se un cero modello è compleo e/o privo di arbiraggio. Consideriamo un modello con M ioli commerciai più il iolo privo di rischio (cioè in oale M + 1 ioli). Assumiamo che i processi di prezzo dei ioli soosani siano guidai da R sorgeni random. Non riusciamo a dare una definizione precisa di cosa cosiuisce una sorgene random, diciamo solo che il ipico esempio è un processo di Wiener. Se, per esempio, abbiamo 5 processi di Wiener indipendeni, che guidano i nosri prezzi, allora R = 5. Sia R il numero di sorgeni random fissao, allora ogni iolo soosane aggiuno al modello ci darà una poenziale opporunià di creare un porafoglio di arbiraggio, così per avere un mercao privo di arbiraggio il numero M di ioli soosani dovrà essere piccolo rispeo al numero R di sorgeni random. D alra pare vediamo che ogni nuovo iolo soosane aggiuno al modello ci fornisce la possibilià di replicare un derivao, così la compleezza richiede che M sia grande rispeo ad R. Non possiamo formulare un risulao preciso, uavia la seguene regola empirica è esremamene uile, e verrà uilizzaa più avani nella eoria dei assi d ineresse. Osservazione Denoiamo con M il numero dei ioli soosani nel modello escluso il iolo privo di rischio e denoiamo con R il numero di sorgeni random. Allora abbiamo le segueni relazioni: 1. il modello è privo di arbiraggio M R 2. il modello è compleo M R 3. il modello è compleo e privo di arbiraggio M = R Prendiamo, ad esempio, il modello di Black&Scholes, dove abbiamo un iolo soosane S più il iolo privo di rischio, M = 1, e un processo di Wiener, R = 1, quindi M = R. Usando l osservazione sopra, oeniamo che il modello di Black&Scholes è privo di arbiraggio e compleo.

26 20 1. Modello di Black&Scholes

27 Capiolo 2 Tassi d ineresse e bonds In queso capiolo inizieremo a sudiare i paricolari problemi che compaiono quando proviamo ad applicare la eoria di arbiraggio al mercao bond. Inroduciamo quindi le nozioni fondamenali per poer sviluppare l analisi su ali modelli. 2.1 Zero coupon bond Proposizione 2.1. Uno zero coupon bond con daa di maurià T anche chiamao un T-bond, è un conrao in cui si paga 1 dollaro al empo di maurià T. Il prezzo al empo di un bond con daa di scadenza T è denoao da p(, T). L accordo che il pagameno alla scadenza, noo come principal value o face value (valore nominale), è uguale a 1, è fao per convenienza di calcolo. I coupon bonds danno al possessore un flusso di pagameno durane l inervallo [0, T]. Quesi srumeni hanno la proprieà comune di fornire al possessore un movimeno di cassa deerminisico, e per queso moivo sono conosciui come srumeni a reddio fisso. Per garanire l esisenza di un mercao di bond sufficienemene ricco e regolare, supponiamo che: Ipoesi esise un mercao per T-bond per ogni T > 0 2. la relazione p(, ) = 1 vale per ui i 1 1 Ipoesi necessaria per eviare l arbiraggio 21

28 22 2. Tassi d ineresse e bonds 3. fissao, il prezzo bond p(, T) è differenziabile rispeo al empo di maurià T Per ogni e T fissai il prezzo bond p(, T) è una variabile aleaoria e, per ogni risulao nello spazio campione soosane, la dipendenza su quese variabili è molo differene. Per un valore fissao di, p(, T) è una funzione di T. Quesa funzione fornisce il prezzo, al empo fissao, per bond di ue le possibili scadenze. Il grafico di quesa funzione è chiamao la curva di prezzo bond a o sruura a ermine a. Di solio è un grafico molo regolare, cioè per ogni, p(, T) è differenziabile in T. Per una scadenza fissaa T, p(, T) (come una funzione di ) è un processo scalare socasico. Queso processo dà i prezzi del bond, a empi differeni, con scadenza fissaa T, e la raieoria è ipicamene molo irregolare (come un processo di Wiener). Dall Ipoesi 2.1 segue che il mercao dei bond coniene un numero infinio di ioli (un ipo di bond per ogni scadenza). L obieivo principale è quello di sudiare le relazioni ra ui quesi bond differeni. 2.2 Tassi d ineresse Definizioni Supponiamo di essere al empo, fissiamo alri due puni nel empo, S e T, con < S < T. Vogliamo sooscrivere al empo un conrao che ci permee di fare un invesimeno di 1 dollaro al empo S e avere un asso deerminisico di riorno, deerminao dal conrao al empo sull inervallo [S, T]. Queso può essere facilmene realizzao nel seguene modo: 1. Al empo vendiamo un S-bond. Queso ci rende p(, S) dollari. 2. Usiamo quesa rendia per comprare esaamene p(,s) p(,t) T-bond. In queso modo il nosro invesimeno neo al empo è uguale a 0.

29 2.2 Tassi d ineresse Al empo S l S-bond maura e siamo obbligai a pagare un dollaro. 4. Al empo T i T-bond maurano a un dollaro al pezzo, ricevendo l imporo di p(,s) p(,t) dollari. 5. L invesimeno di un dollaro, basao su un conrao a, al empo S ha fruao p(,s) p(,t) dollari al empo T. 6. Quindi al empo, abbiamo fao un conrao garanendo un asso d ineresse privo di rischio sul fuuro inervallo [S, T]. Tale asso d ineresse è chiamao asso forward. Inroduciamo i assi d ineresse e in paricolare useremo due modi per quoare i assi forward: assi coninuamene composi o come assi semplici. Il asso forward semplice (o asso Libor) L = L(; S, T) è la soluzione dell equazione 1 + (T S)L = p(, S) p(, T), invece il asso forward coninuamene composo R = R(; S, T) è la soluzione dell equazione e R(T S) = p(, S) p(, T) Il asso semplice è usao nel mercao, invece quello coninuamene composo è usao in conesi eorici. Riassumendo: Definizione 2.1. Il asso forward semplice per [S, T] limiao a, chiamao anche asso forward Libor, è definio come: p(, T) p(, S) L(; S, T) = (T S)p(, T) Definizione 2.2. Il asso semplice spo per [S, T], chiamao anche asso spo Libor, è definio come p(s, T) 1 L(S, T) = (T S)p(S, T) Definizione 2.3. Il asso forward coninuamene composo per [S, T] limiao a è definio come R(; S, T) = lg p(, T) lg p(, S) T S

30 24 2. Tassi d ineresse e bonds Il asso fisso composo che ci permee di replicare p(,s) p(,t) 1 e R(T S) = p(, S) p(, T) R(T S) = lg p(, T) lg p(, S) lg p(, T) lg p(, S) R(; T, S) = (T S) è il asso forward composo Definizione 2.4. Il asso spo coninuamene composo R(S, T) per il periodo [S, T] è definio come lg p(s, T) R(S, T) = T S Definizione 2.5. Il asso forward isananeo con maurià T, limiao a, è definio da lg p(, T) f(, T) = T Definizione 2.6. Il asso shor isananeo al empo è definio da r() = f(, ) Noiamo che i assi spo sono assi forward quando il empo limie coincide con l inizio dell inervallo su cui il asso d ineresse è efficace, cioè a = S. Il asso forward isananeo è il limie asso forward coninuamene composo quando S T. Queso può così essere inerpreao come il asso d ineresse meno rischioso, conrao a, sull inervallo infiniesimale [T, T + d]. Definizione 2.7. Il processo money accoun è definio da { db() = r()b()d cioè Lemma 2.2. Per s T abbiamo e in paricolare B(0) = 1 { } B = exp r(s)ds 0 p(, T) = p(, s) exp { T } f(, u)du, S { T } p(, T) = exp f(, s)ds

31 2.3 Relazioni ra df(,t), dp(,t) e dr() 25 Un modello per il mercao bond può essere cosruio in diversi modi: possiamo specificare le dinamiche del asso shor, o le dinamiche di ui i possibili bond oppure le dinamiche di ui i assi forward (in queso caso possiamo usare il lemma precedene per oenere prezzi bond). Nella prossima sezione vediamo come quesi meodi sono in relazione l uno con l alro. 2.3 Relazioni ra df(,t), dp(,t) e dr() Considereremo le dinamiche della seguene forma: Dinamiche del asso shor dr() = a()d + b()dw() (2.1) Dinamiche del prezzo bond dp(, T) = p(, T)m(, T)d + p(, T)v(, T)dW() (2.2) Dinamiche del asso forward df(, T) = α(, T)d + σ(, T)dW() (2.3) Il processo W() è un moo Browniano unidimensionale. I processi a() e b() sono processi scalari adaai, invece m(, T), v(, T), σ(, T) e α(, T) sono processi adaai paramerizzai dal empo di maurià T. L equazione del prezzo bond (2.2) e l equazione del asso forward (2.3) sono equazioni differenziali socasiche scalari (in -variabile) per ogni empo di maurià T fissao. Così (2.2) e (2.3) sono enrambi sisemi infinii dimensionali di SDE. Sudiamo le relazioni che si devono verificare ra i prezzi bond e i assi d ineresse e per fare queso abbiamo bisogno di alcuni presupposi. Ipoesi Per ogni ω, fissai ue le funzioni m(, T), v(, T), α(, T) e σ(, T) sono assune essere differenziabili in T. Quesa T-derivaa parziale è denoaa da m T (, T), ec.

32 26 2. Tassi d ineresse e bonds 2. Tui i processi sono assuni abbasanza regolari per poer differenziare soo il segno d inegrale e per poer scambiare l ordine d inegrazione. Proposizione Se p(, T) soddisfa la (2.2), allora per le dinamiche del asso forward abbiamo df(, T) = α(, T)d + σ(, T)dW() dove α e σ sono dai da { α(, T) = vt (, T)v(, T) m T (, T) σ(, T) = v T (, T) (2.4) 2. Se f(, T) soddisfa la (2.3), allora il asso shor soddisfa dr() = a()d + b()dw() dove { a() = ft (, ) + α(, ) b() = σ(, ) (2.5) 3. Se f(,t) soddisfa la (2.3), allora p(, T) soddisfa dp(, T) = p(, T) {r(, T) + A(, T) + 12 } S(, T) 2 d + p(, T)S(, T)dW() dove denoa la norma Euclidea, e A(, T) = T α(, s)ds S(, T) = T σ(, s)ds (2.6) Idea della dimosrazione 1. Si ha che T f(, s)ds = lg p(, T) considero Y (, T) = lg p(, T)

33 2.3 Relazioni ra df(,t), dp(,t) e dr() 27 Dalla formula di Iô: dy (, T) = = 1 p(, T) dp(, T) + 1 ( 1 ) v 2 (, T)p 2 (, T)d = 2 p(, T) 2 [ m(, T) 1 ] 2 v2 (, T) d + v(, T)dW avendo sosiuio dp(, T) = p(, T)[m(, T)d + v(, T)dW ]. Inolre: T f(, s)ds = Y (, T) = 0 ( m(s, T) 1 ) 2 v2 (S, T) ds 0 v(s, T)dW s Y (0, T) derivando rispeo alla seconda variabile ( ) m v f(, T) = (S, T) (S, T)v(S, T) d + T T Ne segue che 0 ( m f(, T) = T 1 2 ) v T v 2. Inegriamo le dinamiche del asso forward per oenere Ora possiamo scrivere r() = f(0, ) + 0 α(s, )ds + α(s, ) = α(s, s) + σ(s, ) = σ(s, s) + e inserendo quese nella (2.7), abbiamo r() = f(0, ) σ(s, s)dw s + s s α(s, s)ds + 0 s 0 d v T dw 0 v T (S, T)dW s σ(s, )dw(s) (2.7) α T (s, u)du σ T (s, u)du 0 s α T (s, u)duds + σ T (s, u)dudw s Cambiando l ordine d inegrazione e idenificando i ermini oeniamo il risulao.

34 28 2. Tassi d ineresse e bonds 3. Usando la definizione dei assi forward possiamo scrivere p(, T) = e Y (,T) (2.8) dove Y è dao da T Y (, T) = f(, s)ds (2.9) Dalla formula di Iô allora oeniamo le dinamiche bond quali dp(, T) = p(, T)dY (, T) p(, T)(dY (, T))2 (2.10) e rimane da calcolare dy (, T). Abbiamo ( T dy (, T) = d ) f(, s)ds e il problema è che nell inegrale la -variabile si presena in due posi: il limie più basso d inegrazione e nell inegrando f(, s). La che compare come il limie più basso d inegrazione dovrebbe dare origine al ermine ( T ) f(, s)ds d Poichè il differenziale socasico è un operazione lineare, possiamo porarlo denro l inegrale oenendo Siamo quindi arrivai a dy (, T) = T ( T df(, s)ds ) T f(, s)ds d df(, s)ds che, usando il eorema fondamenale del calcolo inegrale, così come le dinamiche del asso forward, ci dà dy (, T) = f(, )d T α(, s)dds T σ(, s)dw ds Ora scambiamo d e dw con ds e riconosciamo f(, ) come il asso shor r(), così da oenere dy (, T) = r()d + A(, T)d + S(, T)dW

35 2.3 Relazioni ra df(,t), dp(,t) e dr() 29 Quindi abbiamo (dy (, T)) 2 = S(, T) 2 d e sosiuendo uo queso nella (2.10), oeniamo il risulao desiderao.

36 30 2. Tassi d ineresse e bonds 2.4 La curva yield Consideriamo uno zero coupon T-bond con prezzo di mercao p(, T). Cerchiamo il asso d ineresse shor cosane che darà a queso bond lo sesso valore dao dal mercao. Denoando queso valore di asso shor da y, vogliamo così risolvere l equazione p(, T) = [exp( y(t ))]1 dove il faore 1 indica il valore nominale del bond. Siamo così arrivai alla seguene definizione. Definizione 2.8. Lo zero coupon yield coninuamene composo y(, T) è dao da lg p(, T) y(, T) = T Per un fissao, la funzione T y(, T) è chiamaa la curva yield (zero coupon). Noiamo infine che lo yield y(, T) coincide con il asso spo per l inervallo [, T].

37 Capiolo 3 Modelli per il asso shor 3.1 Nozioni generali Nel capiolo precedene abbiamo viso che dai prezzi bond possiamo ricavare le dinamiche del asso forward e viceversa, invece le dinamiche del asso shor possono essere oenue sia dai prezzi bond che dal asso forward. Lo scopo di queso capiolo è modellare una famiglia priva di arbiraggio di processi di zero-coupon bond {p(, T); T 0}, parendo dalle dinamiche del asso shor r. Ipoesi 3.1. Supponiamo l esisenza di un iolo privo di rischio. Il prezzo B (money accoun) di queso iolo ha dinamiche dae dall equazione db() = r()b()d (3.1) Le dinamiche di B possono essere inerpreae come un invesimeno con asso d ineresse shor socasico r. Le dinamiche di r, soo la misura di probabilià oggeiva P, sono dae dall equazione dr() = µ(, r())d + σ(, r())dw() (3.2) In queso modello il iolo privo di rischio è considerao come il iolo soosane, invece ui i bond sono considerai come derivai del asso shor r soosane. Il nosro obieivo quindi, è quello di cercare la relazione che ci deve essere in un mercao privo di arbiraggio ra i processi di prezzo dei bond con diversa scadenza. 31

38 32 3. Modelli per il asso shor Poiché consideriamo i bond come assi d ineresse derivai è naurale chiedersi se i prezzi dei bond sono univocamene deerminai dalle dinamiche r dae nell equazione (3.2) e se il mercao dei bond è privo di arbiraggio. Quindi i prezzi bond sono univocamene deerminai dalle P-dinamiche del asso shor? La risposa è no, vediamo il perchè. Riprendendo l Osservazione 1.11, noiamo che il numero M di ioli, escludendo quello privo di rischio, è uguale a 0 e il numero R delle sorgeni random è uguale a 1 (il processo di Wiener). Poiché M < R, queso vuol dire che il mercao è privo di arbiraggio, ma non compleo. La mancanza di compleezza è abbasanza evidene: poichè l unico iolo dao è quello privo di rischio non abbiamo possibilià di formare porafogli ineressani. L unica cosa che possiamo fare sul mercao dao a priori è invesire il nosro capiale in banca e poi aspeare menre il valore del porafoglio evolve secondo le dinamiche (3.1). Assumiamo che il prezzo di un cero bond è della forma F(, r()) per formare un porafoglio privo di rischio basao su queso bond e sul iolo soosane. Il asso di rendimeno di ale porafoglio sarà uguale al asso d ineresse shor, riconducendo ad alcune equazioni per la deerminazione della funzione F. Nel modello di Black&Scholes il iolo soosane è l azione S, che nel nosro caso dovrebbe corrispondere a r. Nel nosro modello uavia c è un imporane differenza; infai il asso shor non è il prezzo di un iolo commerciao, cioé non esise iolo sul mercao il cui prezzo è dao da r. Riassumendo: Il prezzo di un paricolare bond non sarà compleamene deerminao dalle r- dinamiche (3.2) e dalla condizione che il mercao bond è privo di arbiraggio. Nel nosro mercao non abbiamo abbasanza ioli soosani per valuare i bond. Anche se non siamo riusciui a deerminare un unico prezzo per un paricolare bond, uavia seguono due inuizioni che andremo a sviluppare nella prossima sezione: 1. Per eviare l arbiraggio, i bond con differeni scadenze devono soddisfare relazioni inerne di consisenza

39 3.2 L equazione della sruura a ermine Se consideriamo un T 0 -bond benchmark (iolo di riferimeno) come dao, allora ui gli alri bond possono essere valuai nei ermini del prezzo del bond benchmark 3.2 L equazione della sruura a ermine Prima di uo richiamiamo la definizione di porafoglio auofinanziao, che uilizzeremo nel seguio. Definizione 3.1. Un porafoglio si dice auofinanziao se il processo del valore soddisfa dv h = N h i ()ds i () i=0 Definizione 3.2. Per un porafoglio h il corrispondene porafoglio relaivo u è dao da u i () = h i()s i (), i = 1,..., N V h () dove u i () sono chiamai i pesi del porafoglio, e N u i () = 1 i=1 La condizione di porafoglio auofinanziao divena: dv = V i u i () ds i() S i () Ipoesi 3.2. Consideriamo sempre l Ipoesi 2.1 e che il mercao sia privo di arbiraggio. Supponiamo, inolre, che per ogni T il prezzo di un T-bond abbia la forma dove F è una funzione regolare di re variabili reali. p(, T) = F(, r(), T) (3.3) Pensiamo F come una funzione di sole due variabili, ossia r e, e T come un paramero; denoando F T (r, ) con F(, r, T). Formiamo quindi un porafoglio che consise di bond con differeni empi di maurià.

40 34 3. Modelli per il asso shor Fissiamo così due empi di maurià S e T. Dalla (3.3) e dalla formula di Iô oeniamo le segueni dinamiche del prezzo per un T-bond con equazioni corrispondeni per un S-bond. F T (, r) = F(, r, T) (3.4) df T = ( F)d + r Fdr rrfd r = Fd + r F(µd + σdw) σ2 rr Fd = F T ( F + µ r F σ2 rr F F T ) ( ) d + F T σ r F dw (3.5) F T con α T σ T = F + µ r F σ2 rr F F = σ rf F (3.6) (3.7) df T = F T α T d + F T σ T dw (3.8) Denoando il relaivo porafoglio con (u S, u T ) abbiamo le segueni dinamiche per il nosro porafoglio, dove con u T indichiamo la percenuale del valore oale del porafoglio che si invese in p(, T) al empo. Se V è il valore del porafoglio, il numero di T-bond nel porafoglio è p(, T) = u TV p(, T) e il numero di S-bond è p(, S) = u SV. Poichè il porafoglio è auofinanziao si ha che: p(, S) dv = u TV p(, T) dp(, T) + u SV dp(, S) p(, S) dv = V ( u T dp(, T) p(, T) + u S ) dp(, S) p(, S) e inserendo la forma differenziale (3.8) così come l equazione corrispondene per l S-bond

41 3.2 L equazione della sruura a ermine 35 abbiamo ( ut = V p(, T) (α Tp(, T)d + σ T p(, T)dW )+ ) u S + p(, S) (α Sp(, S)d + σ S p(, S)dW ) = V (u T α T d + u T σ T dw + u S αsd + u S σ S dw ) = V (u T α T + u S α S )d + V (u T σ T + u S σ S )dw Per cosruire un porafoglio privo di rischio si scelgono u T e u S ale che u T σ T + u S σ S = 0 Inolre u S + u T = 1 Con queso porafoglio il dw-ermine scomparirà, riducendo le dinamiche a Risolviamo facilmene il sisema { ut σ T + u S σ S = 0 e oeniamo u T + u S = 1 u T = u S = σ T σ S e sosiuendo quesa nella (3.9) abbiamo dv = V (u T α T + u S α S )d (3.9) σ S u T = u Sσ S σ T u Sσ S + u S = 1 σ T σ T σ T σ S (3.10) dv = V (α T u T + α S u S )d = V ( αt σ S + α S σ T σ T σ S ) d L ipoesi di non arbiraggio implica che queso porafoglio deve avere un rendimeno uguale al asso d ineresse shor. Così abbiamo la condizione α S σ T α T σ S σ T σ S = r per ui i con probabilià 1

42 36 3. Modelli per il asso shor o, scrio differenemene σ S r σ S = α T r σ T (3.11) Il fao ineressane riguardo l equazione (3.11) è che a sinisra abbiamo un processo socasico che non dipende dalla scela di T, menre a desra abbiamo un processo che non dipende dalla scela di S. Il quoziene comune perano non dipenderà dalla scela nè di T nè di S, perciò abbiamo provao il seguene risulao fondamenale. Proposizione 3.1. Assumiamo che il mercao dei bond sia libero da arbiraggio. Allora esise un processo λ ale che la relazione vale per ui i e per ogni scela di empo di maurià T. α T r σ T = λ() (3.12) Nel numeraore di (3.12) abbiamo il ermine (α T r ). Dall equazione (3.8), α T è il rendimeno locale su un T-bond, invece r è il rendimeno di un iolo privo di rischio. La differenza (α T r ) è quindi il premio al rischio di un T-bond. Ques ulimo misura l eccesso di rendimeno per il T-bond rischioso, olre a quello privo di rischio che è richieso dal mercao per eviare possibilià di arbiraggio. Nel denominaore della (3.12) abbiamo σ T, ovvero la volailià locale del T-bond. Di conseguenza il processo λ ha la dimensione premio al rischio per unià di volailià. Il processo λ è conosciuo come marke price of risk, e possiamo scrivere la Proposizione nel seguene modo: In un mercao privo di arbiraggio ui i bond, indipendenemene dal empo di maurià, hanno lo sesso marke price of risk (=λ). λ non è un prezzo in senso sreo, ma cosiuisce un indicaore della propensione al rischio degli invesiori. Tale propensione è direamene proporzionale alla differenza (α T r ), menre è inversamene proporzionale alla volailià in quano la volailià misura appuno l incerezza del mercao. Per specificare l inera sruura a ermine è dunque necessario definire la dinamiche di

43 3.2 L equazione della sruura a ermine 37 r ed assegnare il valore λ per ogni. Le dinamiche del mercao sono infai deerminae dall azione congiuna dell andameno dei assi d ineresse e dell avversione al rischio degli invesiori (r + λ ). Invece di assegnare λ si possono specificare le dinamiche di p(, T) per una deerminaa scadenza T. Poichè la relazione (3.12) vale per ogni empo di scadenza T si è in queso modo specificao auomaicamene λ. Prendiamo l equazione (3.12) e sosiuiamo ad α T e σ T le precedeni formule (3.6) e (3.7). λ = α T rσ T = F F +µ r +1 2 σ2 2 F r 2 F σ F F r r = ( F + µ F r + 1 ) F 1 2 σ2 2 r rf 2 σ F r Oeniamo così una delle più imporani equazioni nella eoria dei assi d ineresse chiamaa equazione della sruura a ermine, che formuliamo nella seguene proposizione. Proposizione 3.2. (Equazione della sruura a ermine) Il mercao di bond è privo di arbiraggio, F T soddisferà l equazione della sruura a ermine (TSE) { F T + (µ λσ)f T r σ2 F T rr rf T = 0 F T (T, r) = 1 = p(t, T) Segue dalle equazioni (3.6), (3.7) e (3.12) che λ è della forma λ = λ(, r), così l equazione della sruura a ermine è un equazione alle derivae parziali (PDE) sandard, ma il problema è che λ non è deerminao nel modello. Per risolvere l equazione della sruura a ermine dobbiamo specificare λ come abbiamo specificao µ e σ. Ma a queso puno sorge un problema imporane, vale a dire come scegliere λ in una siuazione concrea. Quesa quesione sarà raaa nei deagli nella Sezione 3.3.2, comunque il puno fondamenale è che λ è deerminaa dal mercao, cioè dobbiamo osservare il mercao auale e, usando i dai del mercao, dedurre la scela di λ. Nonosane queso problema non è difficile oenere una rappresenazione Feynman-Kač di F T. Quesa si ricava

44 38 3. Modelli per il asso shor fissando (,r) e usando il processo { exp s } r(u)du F T (s, r(s)) (3.13) Se applichiamo la formula di Iô alla (3.13) e ricordando che F T deve soddisfare l equazione della sruura a ermine allora oeniamo la seguene formula di rappresenazione socasica. Proposizione 3.3. (Valuazione neurale del rischio) I prezzi bond sono dai dalla formula p(, T) = F(, r(), T) dove F(, r, T) = E Q,r [ { T }] exp r(s)ds (3.14) In quesa relazione la misura maringala Q e gli indici scrii in basso, r denoano che l aspeaiva è presa dae le segueni dinamiche per il asso shor: dr(s) = (µ σλ)ds + σdw(s) r() = r La formula (3.14) ha una naurale inerpreazione economica, che è visa più facilmene se la scriviamo come Noiamo che: F(, r, T) = E Q,r [ { T } ] exp r(s)ds 1 il valore di un T-bond al empo è dao come il valore aeso del payoff finale di un dollaro, sconao al valore presene. l aesa non dovrebbe essere presa soo la misura oggeiva P, ma soo la misura maringala Q Se abbiamo un T-derivao della forma χ = Φ(r(T)), dove Φ è una cera funzione reale simaa, oeniamo il seguene risulao.

45 3.2 L equazione della sruura a ermine 39 Proposizione 3.4. (Equazione generale della sruura a ermine) Sia χ un T-derivao della forma χ = Φ(r(T)). In un mercao privo di arbiraggio il prezzo Π(, Φ) sarà dao da Π(, Φ) = F(, r()) dove F risolve il problema del valore al conorno { F + (µ λσ)f r σ2 F rr rf = 0 F(T, r) = Φ(r) Inolre F ha la rappresenazione socasica F(, r, T) = E Q,r [ { T } ] exp r(s)ds Φ(r(T)) (3.15) dove la misura maringala Q e gli indici, r denoano che l aesa è presa usando le segueni dinamiche dr(s) = (µ σλ)ds + σdw(s) r() = r In conclusione possiamo dire che la differenza più imporane ra la siuazione auale e il modello di Black&Scholes è che nel modello di BS la misura maringala è univocamene deerminaa, a causa della compleezza del modello di BS. Il nosro mercao invece non è compleo, quindi i prezzi bond non sono deerminai univocamene dalle P-dinamiche. I prezzi bond sono deerminai da due faori: in pare dalla richiesa di un mercao bond privo di arbiraggio (le funzioni di prezzo soddisfano la TSE) in pare dalla domanda e offera sul mercao, e quese sono deerminae dalla propensione al rischio

46 40 3. Modelli per il asso shor 3.3 Modelli maringala per il asso shor Q-dinamiche Sudiamo ancora un modello di asso d ineresse dove le P-dinamiche del asso shor sono dae da dr() = µ(, r())d + σ(, r())dw Come dicevamo nella sezione precedene, la sruura a ermine (cioè la famiglia di processi dei prezzi bond) sarà, insieme a ui gli alri derivai, compleamene deerminaa dall equazione generale della sruura a ermine { F + (µ λσ)f r σ2 Frr = rf F(T, r) = Φ(r) una vola specificai i segueni oggei: il ermine drif µ il ermine diffusion σ il marke price of risk λ (3.16) Consideriamo per un momeno che σ sia dao a priori. Allora è chiaro dalla (3.16) che è irrilevane come specifichiamo µ e λ. L oggeo, a pare σ, che veramene deermina la sruura a ermine (e ui gli alri derivai) è il ermine (µ λσ) nell equazione (3.16). Dalla Proposizione 3.3 ricordiamo che il ermine (µ λσ) è precisamene il ermine drif del asso shor soo la misura maringala Q. Queso risulao è molo imporane: La sruura a ermine, così come i prezzi di ui gli alri assi d ineresse derivai, sono compleamene deerminai dalle r-dinamiche soo la misura maringala Q. Invece di specificare µ e λ soo la misura di probabilià oggeiva P specifichia-mo le dinamiche del asso shor r direamene soo la misura maringala Q. Quesa procedura è noa come modellizzazione maringala, e la solia ipoesi sarà che r soo Q ha dinamiche dae da dr() = µ(, r())d + σ(, r())dw()

47 3.3 Modelli maringala per il asso shor 41 dove µ e σ sono funzioni dae. In leeraura ci sono mole propose su come specificare le Q-dinamiche per r. I modelli più comuni sono: 1. Vasiček ([18]) dr = (b ar)d + σdw, (a > 0) 2. Cox-Ingersoll-Ross (CIR) ([8]) dr = a(b r)d + σ rdw 3. Dohan ([9]) dr = ard + σrdw 4. Black-Derman-Toy ([4]) dr = Θ()rd + σ()rdw 5. Ho-Lee ([11]) dr = Θ()d + σdw 6. Hull-Whie (Vasiček eseso) ([8]) dr = (Θ() a()r)d + σ()dw, (a() > 0) 7. Hull-Whie (CIR eseso) dr = (Θ() a()r)d + σ() rdw, (a() > 0) Poichè ali modelli sono sai assegnai direamene soo la probabilià Q, la volailià è invariane per cambio di probabilià maringala, invece per il drif non è possibile fare una calibrazione sui dai reali, ma occorrono meodi differeni come illusrao, ad esempio, nel prossimo paragrafo.

48 42 3. Modelli per il asso shor Inversione della yield curve Vediamo come possiamo simare i parameri dei vari modelli maringala appena ciai. Prendiamo un caso specifico usiamo, ad esempio, il modello di Vasiček. Modelliamo quindi l r-processo parendo dalle Q-dinamiche, ciò significa che a, b e σ sono i parameri che valgono soo la misura maringala Q. Quando facciamo osservazioni nel mondo reale non siamo osservando r soo la misura maringala Q, ma soo la misura oggeiva P. Queso significa che se applichiamo le procedure sandard saisiche ai nosri dai osservai non oerremo i nosri Q-parameri. Quello che oeniamo è una pura assurdià. E possibile però mosrare che il ermine diffusion è lo sesso soo P e soo Q, di conseguenza può essere possibile simare i parameri diffusion usando i P-dai. Quando si arriva alla sima dei parameri riguardani il ermine drif di r dobbiamo usare meodi compleamene differeni. Prima di schemaizzare il meodo che uilizzeremo è necessario fare un osservazione: la misura maringala Q, o equivalenemene λ, è deerminaa dal mercao. Il marke price of risk è deerminao dagli ageni nel mercao, e in paricolare queso significa che se assumiamo una paricolare sruura di λ allora abbiamo fao impliciamene un ipoesi riguardo le preferenze sul mercao. Prendiamo un esempio semplice, supponiamo λ = 0. Queso significa che abbiamo assuno che il mercao sia neurale al rischio. Da queso segue immediaamene che se abbiamo un modello concreo, e vogliamo oenere informazioni sul marke price of risk, allora dobbiamo osservare il mercao concreo e oenere l informazione usando meodi empirici. Queso sarebbe giuso se poessimo chiedere al mercao: Qual è il marke price of risk di oggi?, o in alernaiva, Quale misura maringala sae usando?, ma per ovvi moivi non possiamo fare queso nella via reale. Quindi per oenere l informazione riguardo i parameri Q-drif dobbiamo raccogliere l informazione del prezzo dal mercao, e l approccio solio è quello di inverire la curva dello yield. Scelgo un modello paricolare coinvolgendo uno o più parameri. Denoiamo il paramero veore compleo con α. Così scriviamo le r-dinamiche (soo Q) come dr() = µ(, r(); α)d + σ(, r(); α)dw()

49 3.3 Modelli maringala per il asso shor 43 Risolviamo, per ogni empo di maurià T, l equazione della sruura a ermine { F T + µf T r σ2 F T rr rf T = 0 F T (T, r) = 1 In queso modo abbiamo calcolao la sruura a ermine eorica come p(, T; α) = F T (, r; α) Noiamo che la forma della sruura a ermine dipenderà dalla nosra scela di paramero veore, scela che non abbiamo ancora effeuao. Raccogliamo i dai del prezzo dal mercao dei bond. In paricolare oggi (cioè a = 0) possiamo osservare p(0, T) per ui i valori di T. Denoiamo quesa sruura a ermine empirica con {p (0, T), T > 0}. Scegliamo il veore paramero α in un modo ale che la curva eorica {p(0, T; α); T 0} si adai alla curva empirica {p (0, T); T 0} per quano è possibile (secondo una cera funzione oggeiva). In queso modo oeniamo il paramero veore simao α. Inseriamo α in µ e σ. Adesso siamo esaamene cosrei alla misura maringala con cui siamo lavorando. Denoiamo il risulao d inserimeno α in µ e σ con µ e σ rispeivamene. Siamo cosrei alla nosra misura maringala Q, e possiamo andare a calcolare i prezzi derivai del asso d ineresse, χ = Γ(r(T)). Il processo del prezzo è allora dao da Π(, Γ) = G(, r()), dove G risolve l equazione della sruura a ermine { G + µ G r (σ ) 2 G rr rg = 0 G(T, r) = Γ(r) Se il programma appena descrio è da eseguire enro limii di empo ragionevoli, è molo imporane che le PDE coinvole siano facili da risolvere. Queso mosra che alcuni dei modelli sopra sono molo più facili da raare analiicamene rispeo agli alri.

50 44 3. Modelli per il asso shor 3.4 Sruura a ermine affine Definizione 3.3. Se la sruura a ermine {p(, T); 0 T, T > 0} ha la forma p(, T) = F(, r(); T) (3.17) dove F ha la forma F(, r; T) = e A(,T) B(,T)r (3.18) e dove A e B sono funzioni deerminisiche, allora il modello possiede una sruura a ermine affine (ATS). Le funzioni A e B sono funzioni a due variabili reali e T, ma è più conveniene pensare ad A e B come funzioni di e a T come un paramero. Un puno fondamenale per oenere una ATS è la scela di µ e σ nelle Q-dinamiche per r. Enunciamo allora il seguene risulao principale. Proposizione 3.5. (ATS) Assumiamo che µ e σ siano della forma { µ(, r) = α()r + β() σ 2 (, r) = γ()r + δ() (3.19) Allora il modello ammee una ATS della forma (3.18), dove A e B soddisfano il sisema { B (, T) + α(, T)B(, T) 1 2 γ()b2 (, T) = 1 (3.20) B(T, T) = 0 { A (, T) = β()b(, T) 1 2 δ()b2 (, T) A(T, T) = 0 (3.21) Noiamo che l equazione (3.20) è un equazione di Riccai per la deerminazione di B che non coinvolge A. Dopo aver risolo l equazione (3.20) possiamo inserire la soluzione B nell equazione (3.21) e, poi inegrare per oenere A. L imporanza della ATS è dovua al fao che si oiene un espressione analiica per p(, T). In generale l ipoesi che µ e σ 2 dipendono linearmene da r non è una condizione necessaria per avere una ATS. Si può dimosrare che se µ e σ 2 sono indipendeni dal empo, allora una condizione necessaria per l esisenza di una ATS è che µ e σ 2 siano affini. Tui i modelli, visi in 3.3.1, ecceo quello di Dohan e di Black-Derman-Toy, hanno una ATS.

51 3.5 Generalià sui modelli maringala Generalià sui modelli maringala Alcuni dei modelli, ciai precedenemene, sono più facili da analizzare di alri. I modelli di Vasiček, Ho-Lee e Hull-Whie (Vasiček eseso) descrivono ui il asso shor usando una SDE lineare. Tali SDE sono più facili da risolvere; i prezzi bond sono dai da espressioni ipo p(0, T) = E [ { T }] exp r(s)ds 0 Se r segue un modello lineare, r(s)ds è una variabile gaussiana, quindi il prezzo p(0, T) si calcola facilmene. Invece per il modello di Dohan ( Black&Scholes) il asso shor è disribuio in modo log-normale, cioè per calcolare i prezzi bond dobbiamo deerminare la disribuzione di un inegrale T r(s)ds di variabili socasiche log-normali, perciò il calcolo del prezzo non è 0 di facile soluzione. Concludiamo con un commeno sulla calibrazione del modello rispeo ai dai descrii nel paragrafo precedene. Se vogliamo una complea corrispondenza ra i prezzi bond osservai e quelli eorici è necessario risolvere il sisema di equazioni p(0, T; α) = p (0, T) T > 0 (3.22) Osserviamo che queso è un sisema infinio dimensionale di equazioni (una equazione per ogni T) con α non noo, così se lavoriamo con un modello che coniene un veore paramero finio α (come il modello di Vasiček) non c è possibilià di oenere una corrispondenza perfea. Se invece consideriamo il modello di Hull-Whie, in cui drif e volailià includono parameri dipendeni dal empo, allora si riesce a rovare un veore paramero infinio dimensionale α ale che l equazione (3.22) è soddisfaa. Esise anche un approccio compleamene differene al problema di oenere una perfea corrispondenza ra i prezzi eorici e quelli osservai. Queso è l approccio Heah-Jarrow-Moron (HJM), che analizzeremo nel prossimo capiolo, esso prende approssimaivamene la sruura a ermine osservaa come una condizione iniziale per la curva dei assi forward, così auomaicamene oeniamo una corrispondenza perfea.

52 46 3. Modelli per il asso shor 3.6 Alcuni modelli sandard In queso paragrafo applicheremo la eoria della ATS per sudiare i più comuni modelli affini a un faore Il modello di Vasiček Le Q-dinamiche per il asso shor sono dae da dr() = (b ar)d + σdw (3.23) Il modello di Vasiček inroduce il conceo di mean reversion. Per spiegare di cosa si raa riscriviamo la (3.23) come allora: dr() = a( b/a r) + σdw }{{} γ se r > γ il ermine diffusion è negaivo e proporzionale alla differenza: r ende a scendere se r < γ il ermine diffusion è posiivo e r ende a risalire Per queso moivo γ si chiama media di lungo periodo, a fissa la velocià di mean reversion, menre σ è la volailià del asso. Le equazioni (3.20)-(3.21) divenano { B (, T) ab(, T) = 1 B(T, T) = 0 (3.24) { A (, T) = bb(, T) 1 2 σ2 B 2 (, T) A(T, T) = 0 (3.25) L equazione (3.24) è, per ogni T fissao, una semplice ODE lineare nella -variabile. Quesa può essere facilmene risolo come B(, T) = 1 a { 1 e a(t ) } (3.26)

53 3.6 Alcuni modelli sandard 47 Inegrando l equazione (3.25) oeniamo A(, T) = σ2 2 T B 2 (s, T)ds b e sosiuendo l espressione per B sopra, oeniamo il seguene risulao. T Proposizione 3.6. (Sruura a ermine per Vasiček) Nel modello Vasiček, i prezzi sono dai da p(, T) = e A(,T) B(,T)r() B(s, T)ds (3.27) dove B(, T) = 1 a { 1 e a(t ) } A(, T) = {B(, T) T + }(ab 1 2 σ2 ) σ2 B 2 (, T) a 2 4a Il modello di Ho-Lee Per il modello di Ho-Lee le equazioni ATS divenano { B (, T) = 1 B(T, T) = 0 { A (, T) = θ()b(, T) 1 2 σ2 B 2 (, T) A(T, T) = 0 Ora rimane da scegliere θ ale che i prezzi bond eorici, a = 0, si adaino alla sruura a ermine iniziale osservaa {p (0, T); T 0}. Così vogliamo cercare θ ale che p(0, T) = p (0, T) per ui i T 0, e la soluzione è daa da θ() = f (0, ) + σ 2 T dove f (0, ) denoa i assi forward osservai. Meendo quesa espressione nella ATS oeniamo i segueni prezzi bond. Proposizione 3.7. (Sruura a ermine per Ho-Lee) Per il modello di Ho-Lee, i prezzi bond sono dai da p(, T) = p (0, T) p (0, ) exp {(T )f (0, ) σ2 2 (T )2 (T )r() }

54 48 3. Modelli per il asso shor Il modello di Cox, Ingersoll e Ross (CIR) Il modello CIR è molo più difficile da raare rispeo al modello di Vasiček, poiché dobbiamo risolvere un equazione di Riccai. Ciiamo il seguene risulao. Proposizione 3.8. (Sruura a ermine per CIR) La sruura a ermine per il modello CIR è daa da dove F T B(T )r (, r) = A 0 (T )e B(T ) = A 0 (T ) = 2(e γ(t ) 1) (γ + a)(e γ(t ) 1) + 2γ [ (a+γ)[(t )/2] 2γe (γ + a)(e γ(t ) 1) + 2γ ] 2ab/σ 2 e γ = a 2 + 2σ Il modello di Hull-Whie Le Q-dinamiche del asso shor sono dae da dr = {θ() ar}d + σdw() (3.28) dove a e σ sono cosani menre θ è una funzione di empo deerminisica. In queso modello scegliamo a e σ per oenere una sruura con volailià buona, menre θ è scelo per adaare i prezzi bond eorici {p(0, T); T > 0} alla curva osservaa {p (0, T); T > 0}. Dalla Proposizione 3.5 i prezzi bond sono dai da p(, T) = e A(,T) B(,T)r() (3.29) dove A e B risolvono { B (, T) = ab(, T) 1 B(T, T) = 0 (3.30)

55 3.6 Alcuni modelli sandard 49 { A (, T) = θ()b(, T) 1 2 σ2 B 2 (, T) A(T, T) = 0 (3.31) Le soluzioni di quese equazioni sono dae da A(, T) = B(, T) = 1 a { 1 e a(t ) } (3.32) T { } 1 2 σ2 B 2 (s, T) θ(s)b(s, T) ds (3.33) Ora vogliamo adaare i prezzi eorici sopra ai prezzi osservai, ed è conveniene fare queso usando i assi forward. Poiché c è una corrispondenza 1-1 (dal Lemma 2.2) ra i assi forward e i prezzi bond, possiamo appuno adaare la curva del asso forward eorica {f(0, T); T > 0} alla curva osservaa {f (0, T); T > 0}, dove nauralmene f è definia da f (, T) = lg p (, T) T In ogni modello affine i assi forward sono dai da f(0, T) = B T (0, T)r(0) A T (0, T) (3.34) che, dopo aver inserio (3.32)-(3.33), divena f(0, T) = e at r(0) + T 0 e a(t s) θ(s)ds σ2 2a 2(1 e at ) 2 (3.35) Daa una sruura del asso forward osservaa f funzione θ che risolve l equazione il nosro problema è cercare una f (0, T) = e at r(0) + T Un modo per risolvere la (3.36) è scrivendola come 0 e a(t s) θ(s)ds σ2 2a 2(1 e at ) 2, T > 0 (3.36) f (0, T) = x(t) g(t) (3.37) dove x e g sono definii da { ẋ = ax() + θ() x(0) = r(0)

56 50 3. Modelli per il asso shor abbiamo g() = σ2 2a 2(1 e a ) 2 = σ2 2 B2 (0, ) (3.38) θ(t) = ẋ(t) + ax(t) = ft (0, T) + ġ(t) + ax(t) (3.39) così abbiamo dimosrao il seguene risulao = f T(0, T) + ġ(t) + a{f (0, T) + g(t)} Lemma 3.9. Fissaa una curva bond arbiraria {p (0, T); T > 0} ale che p sia due vole differenziabile rispeo a T. Scegliere θ daa dall equazione (3.39) induce una ATS ale che T 0 p(0, T) = p (0, T). Scegliendo θ secondo la (3.39) abbiamo, per una scela fissaa di a e σ, deerminao la nosra misura maringala. Ora dovremo calcolare i prezzi bond eorici soo quesa misura maringala, e per fare queso andiamo a sosiuire la nosra scela di θ nell equazione (3.33). Quindi inegriamo e sosiuiamo il risulao sia nell equazione (3.32) che nella (3.29). Il risulao è il seguene: Proposizione (Sruura a ermine per Hull-Whie) Considero il modello di Hull-Whie con a e σ fissai. Dopo aver inverio la curva dello yield per scegliere θ secondo la (3.39), oeniamo i prezzi bond come p(, T) = p (0, T) p(0, ) exp dove B è dao dalla (3.32). } {B(, T)f (0, ) σ2 4a B2 (, T)(1 e 2a ) B(, T)r()

57 Capiolo 4 Modelli per il asso forward 4.1 L approccio Heah-Jarrow-Moron (HJM) I modelli per il asso shor hanno: VANTAGGI: specificando r come soluzione di una SDE ci si riconduce ad equazioni alle derivae parziali in paricolare è possibile oenere formule analiiche per i prezzi bond e per i derivai SVANTAGGI: non si riesce a caraerizzare l inera sruura a ermine con la sola variabile r è difficile oenere una sruura con volailià realisica per i assi forward senza inrodurre un modello per il asso shor più complicao se il modello per il asso shor è più realisico risula difficile inverire la curva dello yield (ovvero filrare il modello su dai reali) Nell approccio proposo da Heah-Jarrow-Moron (HJM) ([10]) i modelli uilizzano l inera curva del asso forward come variabile esplanaoria di ua la sruura a ermine. 51

58 52 4. Modelli per il asso forward Ipoesi 4.1. Assumiamo che, per ogni T > 0 fissao, il asso forward f(, T) ha un differenziale socasico che soo la misura oggeiva P è dao da df(, T) = α(, T)d + σ(, T)dW() (4.1) f(0, T) = f (0, T) (4.2) dove W è un processo di Wiener (d-dimensionale), menre α(, T) e σ(, T) sono processi adaai. Noiamo che, fissao T l equazione (4.1) è un equazione differenziale socasica nella variabile, quindi si può pensare a T come un paramero. Inolre osserviamo che la curva del asso forward osservaa {f (0, T); T 0} viene usaa come condizione iniziale. Queso di conseguenza ci permee di oenere una corrispondenza perfea ra i prezzi bond eorici e quelli osservai al empo = 0, quindi non c è bisogno di inverire la curva dello yield. Osservazione 4.1. E imporane osservare che l approccio HJM non fornisce un modello specifico, come, per esempio, il modello di Vasiček, ma suggerisce un coneso per analizzare i modelli del asso d ineresse. I principali modelli del asso shor possono essere equivalenemene formulai in ermini di asso forward, e per ogni modello del asso forward, il prezzo privo di arbiraggio di un T-derivao χ sarà ancora dao dalla formula { Π(0; χ) = E [exp Q dove il asso shor è dao da r(s) = f(s, s). T 0 } ] r(s)ds χ Supponiamo ora che siano noi α, σ e {f (0, T); T 0}; allora avremmo specificao l inera sruura del asso forward e così, dalla relazione { T } p(, T) = exp f(, s)ds (4.3) risulerebbe specificaa la sruura a ermine {p(, T); T > 0, 0 T }. Poiché abbiamo d sorgeni random (una per ogni processo di Wiener) e un numero infinio di ioli (un bond per ogni maurià T), esise il rischio di avere inrodoo possibilià di

59 4.1 L approccio Heah-Jarrow-Moron (HJM) 53 arbiraggio nel mercao bond. Quindi il nosro problema adesso è meere in relazione α e σ affinché il sisema indoo di prezzi bond non ammea possibilià di arbiraggio. La risposa è daa dalla condizione HJM sul drif enunciaa soo. Proposizione 4.2. (Condizione HJM sul drif) Assumiamo che la famiglia di assi forward è daa dalla (4.1) e che il mercao bond è privo di arbiraggio. Allora esise un processo λ() ale che Dimosrazione. α(, T) = σ(, T) T σ(, s)ds σ(, T)λ() (4.4) Dalla Proposizione 2.3 abbiamo che le dinamiche bond sono dae da dp(, T) = p(, T) {r() + A(, T) + 12 } S(, T) 2 d + p(, T)S(, T)dW() (4.5) dove { T A(, T) = α(, s)ds B(, T) = T (4.6) σ(, s)ds Abbiamo viso che il mercao per i bond è privo di arbiraggio se e solo se esise un processo λ() (marke price of risk) ale che µ(, T) r() Σ(, T) = λ() T > 0 (4.7) dove chiamiamo µ(, T) = r() + A(, T) + 1 S(, T) 2 2 Σ(, T) = S(, T) Quindi sosiuendo le equazioni (4.6) nella (4.7) r T α(, s)ds e derivando rispeo a T abbiamo ( T α(, T) + ( T ) 2 T σ(, s)ds r = λ σ(, s)ds ) σ(, s)ds σ(, T) = λ()σ(, T)

60 54 4. Modelli per il asso forward In conclusione ricaviamo il risulao desiderao ( T ) α(, T) = σ(, s)ds σ(, T) + λ()σ(, T) Nell approccio HJM si può deerminare in modo arbirario la sruura della volailià, menre il drif deve soddisfare la condizione HJM. 4.2 Modelli maringala Si può pensare di modellizzare il asso forward direamene soo la probabilià maringala Q. Assumiamo che df(, T) = α(, T)d + σ(, T)dW Q (4.8) f(0, T) = f (0, T) (4.9) dove W Q è un processo di Wiener soo la probabilià Q. Poiché una misura maringala fornisce auomaicamene prezzi privi di arbiraggio, non abbiamo più un problema di assenza di arbiraggio, ma abbiamo un alro problema. Consideriamo le segueni formule differeni per i prezzi bond { T p(0, T) = exp p(0, T) = E Q [exp 0 { } f(0, s)ds T 0 }] r(s)ds dove il asso shor r e i assi forward f sono collegai da r() = f(, ). Poniamo una relazione di consisenza ra α e σ nelle dinamiche del asso shor per far valere quese formule simulaneamene. Il risulao è la condizione HJM sul drif. Proposizione 4.3. (Condizione HJM sul drif) Soo la misura maringala Q, i processi α e σ devono soddisfare la seguene relazione, per ogni e per ogni T T α(, T) = σ(, T) σ(, s)ds (4.10)

61 4.2 Modelli maringala 55 Dimosrazione. Osserviamo che se pariamo modellando direamene soo la misura maringala, allora possiamo applicare la Proposizione 4.2 con λ = 0. Dalla Proposizione 2.3 abbiamo ancora le dinamiche dei prezzi bond dp(, T) = p(, T) {r() + A(, T) + 12 } S(, T) 2 d + p(, T)S(, T)dW() Soo la probabilià maringala il asso locale di riorno è uguale al asso shor, cioé µ(, T) = r. Quindi abbiamo l equazione derivando rispeo a T oeniamo r T α(, s)ds + 1 ( T 2 σ(, s)ds) = r 2 ( T α(, T) + ) σ(, s)ds σ(, T) = 0 T α(, T) = σ(, T) σ(, s)ds Dalla Proposizione 4.3 noiamo che quando specifichiamo le dinamiche del asso forward (soo Q) possiamo specificare liberamene la sruura della volailià. I parameri drif allora sono univocamene deerminai. Un algorimo per l uso di un modello HJM può essere schemaizzao nel seguene modo: 1. Deerminiamo in modo arbirario la volailià σ(, T) 2. I parameri drif dei assi forward ora sono dai da α(, T) = σ(, T) T 3. Osserviamo la sruura del asso forward di oggi {f (0, T); T 0} σ(, s)ds (4.11)

62 56 4. Modelli per il asso forward 4. Inegriamo per oenere i assi forward come f(, T) = f (0, T) + α(s, T)ds σ(s, T)dW(s) (4.12) 5. Calcoliamo i prezzi bond usando la formula { p(, T) = exp T } f(, s)ds (4.13) 6. Usiamo i risulai sopra per calcolare i prezzi per i derivai Ora vediamo un esempio più semplice, che si presena quando il processo σ è una cosane deerminisica. Scegliamo σ(, T) = σ, dove σ > 0. Dall equazione (4.10) ricaviamo il processo drif come T α(, T) = σ σds = σ 2 (T ) (4.14) così l equazione (4.12) divena f(, T) = f (0, T) + σ 2 (T s)ds σdw(s) (4.15) cioè ( f(0, T) = f (0, T) + σ 2 T ) + σw() (4.16) 2 In paricolare osserviamo che r è dao come r() = f(, ) = f (0, ) + σ σw() (4.17) così le dinamiche del asso shor sono dr() = {f T (0, ) + σ 2 }d + σdw(), (4.18) Si è oenuo il modello di Ho-Lee in cui Θ() è sao deerminao in modo da filrare la sruura reale f (0, T).

63 Capiolo 5 Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano Finora la sruura a ermine dei assi d ineresse è saa definia come la relazione ra bond di ue le maurià, e abbiamo sudiao come quesa si evolve nel empo, cioè le dinamiche della sruura a ermine. Un gran numero di modelli a faore singolo delle dinamiche per la sruura a ermine sono sae cosruie caraerizzando le dinamiche di una singola variabile economica socasica (il asso shor) che è assuna per guidare le dinamiche della sruura a ermine. La variabile economica socasica soosane, che assumiamo essere il asso spo, è modellaa come un processo di Markov. Dall ipoesi che la sruura a ermine al empo è una funzione regolare del asso spo markoviano al empo e della maurià abbiamo oenuo un equazione alle derivae parziali (PDE) delle dinamiche della sruura a ermine. Tali sruure saranno rivole a modelli basai sul asso spo markoviano. Esempi classici sono il modello di Vasiček (1977) e il modello di CIR (1985). Enrambe quese sruure caraerizzano le dinamiche della sruura a ermine specificando il 57

64 58 5. Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano drif e la volailià del processo del asso spo, e il marke price of risk. La sruura di Hull-Whie (1990) è anche un modello basao sul asso spo markoviano. La differenza in queso approccio è l uso dell informazione per caraerizzare le dinamiche della sruura a ermine, che evia di specificare il marke price of risk e il drif del processo del asso spo. Il nosro insieme dell informazione specifica la volailià del asso spo e la forma funzionale della sessa sruura a ermine iniziale osservaa. Il problema del asso spo markoviano in un modello HJM è sao sudiao per primo da Carverhill (1994, [5]) per il caso della volailià deerminisica, e per il caso della sruura di volailià dipendene dal asso spo è sao risolo da Jeffrey (1995, [15]). Il problema più generale in cui un modello HJM definisce il asso spo in ermini di diffusion finio dimensionale markoviano è sao, per vari casi speciali, sudiao da Richken e Sankarasubramanian (1995, [17]), Cheyee (1996, [6]), Bhar e Chiarella (1997, [1]), Inui e Kijima (1998, [14]), Björk e Gombani (1999, [3]) e Chiarella e Kwon (2001, [7]). I modelli basai sul asso spo markoviano sono fondamenalmene differeni dalla sruura HJM in due aspei. Primo, la sruura HJM non si focalizza sulle dinamiche di una paricolare variabile economica, invece i cambiameni nel empo dell inera sruura a ermine sono modellai. Quesa suura permee al asso spo di essere nonmarkorviano. Secondo, HJM è diverso dall insieme informazione usao per caraerizzare le dinamiche della sruura a ermine, in paricolare HJM specifica la sruura della volailià e la curva iniziale del asso forward. Quesa informazione è sufficiene per caraerizzare le dinamiche della sruura a ermine senza aver modellao espliciamene i parameri dipendeni (quali il marke price of risk e il drif). Ma allora quali esempi di HJM possono provenire da ali modelli? Un vanaggio nei modelli basai sul asso spo markoviano è la semplificazione di procedure numeriche per valuare sia la sruura a ermine che i derivai del asso d ineresse. Quesa semplificazione nasce perché i) la sruura a ermine del empo è una funzione di empo, maurià T e la realizzazione del asso spo al empo, così che la sola variabile socasica da considerare è il asso spo e ii) un evoluzione di Markov del asso spo può essere modellaa. I modelli basai sui assi spo markoviani hanno generalmene rappresenao le dinamiche della sruura a ermine ramie una PDE che coinvolge il marke price of risk, il

65 59 drif e la volailià del processo del asso spo. Di conseguenza, può una rappresenazione generale PDE delle dinamiche della sruura a ermine essere fornia senza coinvolgere il marke price of risk e il drif del asso spo? Da quese analisi, roviamo che le forme funzionali della sruura di volailià e la curva iniziale del asso forward non possono essere scele arbirariamene, uavia forniamo condizioni necessarie e sufficieni che devono essere soddisfae per permeere una ale sruura. Quese condizioni indicano: i) quali modelli HJM basai sul asso spo markoviano sono permessi e ii) le resrizioni sruurali pose sulla sruura a ermine iniziale e la sruura della volailià quando lavoriamo in un modello basao sul asso spo markoviano. Preseniamo un analisi della sruura HJM in un modello basao sul asso spo markoviano fino alla formulazione delle due condizioni. Consideriamo quindi una classe dei modelli HJM basai sul asso spo markoviano. Poiché la sruura della volailià è solo una funzione del asso spo al empo (denoao da r), del empo correne e della maurià del asso forward T, di conseguenza la denoiamo con γ(r,, T). Per accenuare che il asso forward per il empo T dipende dal asso spo al empo e solo dal empo, denoiamo il asso forward f(, T) con f(r,, T), ed assumiamo anche che la curva del asso forward f(r,, T) è una funzione regolare di r, e T. In un modello basao sul asso spo markoviano, il processo del asso spo ha la seguene sruura dr = µ(r, )d + σ(r, )dw() (5.1) dove r = r() = f(r,, ) µ(r, ) = γ(r,, )λ(r, ) + f(r,, T) T T= σ(r, ) = γ(r,, ) Poiché è assuno che la curva del asso forward al empo è una funzione regolare di empo, maurià T, e asso spo al empo, il Lemma di Iô applicao a f(r,, T)

66 60 5. Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano produce il seguene processo socasico, che descrive l evoluzione dei assi forward, df(r,, T) = + [ f(r,, T) µ(r, ) + r f(r,, T) + 1 ] 2 f(r,, T) σ(r, ) 2 d 2 r 2 f(r,, T) σ(r, )dw() (5.2) r Come sappiamo dai paragrafi precedeni le dinamiche prive di arbiraggio dei assi forward dae nella sruura HJM sono descrie dall equazione df(r,, T) = { [ T ]} γ(ω,, T) γ(ω,, ν)dν + λ(ω, ) d + γ(ω,, T)dz() (5.3) Tuavia l equazione (5.3) può rappresenare le sesse dinamiche dell equazione (5.2). Di conseguenza, le dinamiche della sruura a ermine possono essere oenue uguagliando i coefficieni del drif e della volailià araverso quese due equazioni, [ T ] γ(r,, T) γ(r,, ν)dν + λ(r, ) f(r,, T) f(r,, T) = µ(r, ) + r f(r,, T) σ(r, ) 2 (5.4) 2 r 2 γ(r,, T) = f(r,, T) σ(r, ) (5.5) r dove f(r,, ) = r è la condizione al conorno. La sruura HJM caraerizza le dinamiche della sruura a ermine specificando la sruura della volailià del asso forward e la sruura a ermine iniziale. Quesa informazione è anche sufficiene per risolvere il sisema di equazioni (5.4)-(5.5) per fornire un unica f(r,, T), uavia la sruura della volailià e la curva iniziale del asso forward non possono essere sceli arbirariamene, per queso forniamo due condizioni necessarie e sufficieni. Condizione C1. Una sruura di volailià γ(r,, T) è permessa in un modello basao sul asso spo markoviano se esise una coppia di funzioni θ(r, ) e h(, T) che soddisfano

67 61 la seguene equazione, T γ(r,, T) γ(r,, ν)dν = γ(r,, T) γ(r,, ) θ(r, ) + [ r ] γ(m,, T) 0 γ(m,, ) dm [ ] γ(r,, T) γ(r,, ) + h(, T) γ(r,, )2 r Condizione C2. Daa una sruura di volailià che soddisfa la Condizione C1, la corrispondene curva iniziale del asso forward deve essere della seguene forma f(r, 0, T) = r 0 γ(m, 0, T) dm + k(t) γ(m, 0, 0) dove k(t) = T h(s, T)ds per ogni h(, T) valida nella Condizione C1. 0 La Condizione C2 dimosra che l insieme delle sruure a ermine iniziali permesse dipende dalle scele per h(, T) nella Condizione C1. Il seguene eorema parla di queso risulao: Teorema 5.1. Sia γ(r,, T) una paricolare sruura di volailià che soddisfa la Condizione C1, e sia ξ(, T) una funzione deerminisica di e T. 1. Se γ(r,, T) non è della forma ξ(, T)γ(r,, ) allora esise una sola coppia di funzioni θ(r, ) e h(, T) valida per la Condizione C1, perciò k(t) nella Condizione C2 è compleameme definia da γ(r,, T). 2. Se γ(r,, T) è della forma ξ(, T)γ(r,, ) allora l insieme delle coppie di funzioni θ(r, ) e h(, T) valide per la Condizione C1 è [ r γ(m,, T) dm] θ(r, ) = c() 0 γ(m,, ) T= h(, T) = ξ(, T) (c() h p (, )) + h p (, T) dove h p (, T) rappresena ogni paricolare h(, T) valida per la Condizione C1 e c() è una funzione arbiraria. Inolre, per la Condizione C2, ogni funzione arbiraria k(t) dove k(0) = 0 può essere oenua da un unica scela di c().

68 62 5. Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano Il Teorema 1 fornisce due imporani risulai. Primo, per una daa volailià γ(r,, T), non della forma ξ(, T)γ(r,, ), la sruura di volailià deermina univocamene la sruura a ermine iniziale grazie alla Condizione C2. Queso risulao implica che una sruura di volailià così faa è sufficiene per risolvere univocamene f(r,, T) nel sisema di equazioni (5.4)-(5.5). Secondo, per una daa volailià γ(r,, T) della forma ξ(, T)γ(r,, ), k(t) nella Condizione C2 può essere scela per corrispondere a ogni sruura a ermine iniziale osservaa che è una vola differenziabile nella maurià. Assumendo che sono soddisfae le Condizioni C1 e C2, una rappresenazione delle dinamiche della sruura a ermine risulane dalla soluzione del sisema di equazioni (5.4)-(5.5), in ermini di sruura di volailià e della curva iniziale del asso forward, è γ(r, s, T) f(r,, T) = 0 γ(r, s, s) θ(r, s)ds 1 γ(r, s, s) r [ T + 0 γ(r, s, T) γ(r, s, ν)dν [ ] γ(r, s, T) ds γ(r, s, s) ] ds + f(r, 0, T) (5.6) Il Teorema 1 indica che se la sruura della volailià non è della forma ξ(, T)γ(r,, ), allora θ(r, ) e f(r, 0, T) possono essere deerminai dalla specificazione della sruura della volailià direamene grazie alle Condizioni C1 e C2. Alrimeni, se la sruura di volailià è della forma ξ(, T)γ(r,, ) allora scegliamo k(t) nella Condizione C2 adaando la curva iniziale del asso forward e quindi θ(r, ) può essere deerminaa dalla seguene equazione 0 γ(r, s, ) γ(r, s, s) θ(r, s)ds = f(r, 0, ) γ(r, s, s) 2 r [ ] γ(r, s, ) ds γ(r, s, s) [ ] γ(r, s, ) γ(r, s, ν) ds r (5.7) s 5.1 Una sruura di volailià della forma γ(r,, T) = ξ(, T)γ(r,, ) Queso esempio fornisce una classe di modelli HJM basaa sul asso spo markoviano, dove la volailià è della forma γ(r,, T) = ξ(, T)γ(r,, ).

69 5.1 Una sruura di volailià della forma γ(r,, T) = ξ(, T)γ(r,, ) 63 Queso paragrafo mosra che quesa classe di modelli è l unica classe che ha la proprieà di adaarsi ad ogni sruura a ermine iniziale osservaa daa la volailià. Prima di uo per deerminare la forma permessa per θ(r, ), valuiamo la Condizione C1 con T = ( ) ξ(, T) θ(r, ) = r h(, ) T= Sosiuendo nella Condizione C1, γ(r,, T) = ξ(, T)γ(r,, ) e θ(r, ), oeniamo la seguene equazione, che deve valere per le sruure di volailià permesse, T [( ) ] γ(r,, ) 2 ξ(, T) ξ(, T) ξ(, ν)dν = ξ(, T) r h(, ) T= + ξ(, T) r + h(, T) (5.8) Quesa equazione può avere soluzioni solo se la volailià del asso spo è della forma Quindi sosiuendo la (5.9) nella (5.8) oeniamo γ(r,, ) 2 = a()r + b() (5.9) [a()r + b()]ξ(, T) T ξ(, ν)dν = ( ) ξ(, T) ξ(, T) r ξ(, T)h(, ) + T= ξ(, T) r + h(, T) b()ξ(, T) T ξ(, ν)dν ξ(, T)h(, ) h(, T)+ [ + a()ξ(, T) T ξ(, ν)dν + ξ(, T) ( ) ξ(, T) T= ] ξ(, T) r = 0 Di conseguenza, devono essere soddisfae le segueni due equazioni. Primo, T b()ξ(, T) ξ(, ν)dν + ξ(, T)h(, ) = h(, T) Noando ξ(, T) = γ(r,, T) γ(r,, ) implica che ξ(, ) = 1, esise sempre un h(, T) per ciascuna

70 64 5. Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano scela arbiraria di h(, ) che assicura che quesa equazione valga. Secondo, T ( ) ξ(, T) a()ξ(, T) ξ(, ν)dν + ξ(, T) ξ(, T) = T= (5.10) La soluzione a quesa equazione ha bisogno di essere consideraa soo due casi, cioé quando a() = 0 e a() 0. CASO 1 a() = 0 In queso caso la volailià è deerminisica e della forma ξ(, T) b(). Tale sruura implica anche che b() è non negaiva. Per convenienza, sia la sruura di volailià γ(r,, T) denoaa da γ(, T) e γ(, ) = σ(). Risolvendo l equazione (5.10) quando a() = 0 mosriamo che la sruura di volailià deve essere della seguene forma funzionale, γ(, T) = σ()e ζ(t) ζ() (5.11) per σ() e ζ() funzioni arbirarie. Dalle equazioni (5.6), (5.11), dalla Condizione C2, e dal Teorema 1, il modello della dinamica della sruura a ermine è f(r,, T) = e ζ(t) e ζ(s) θ(r, s)ds + T θ(s) 2 e ζ(t) ζ(s) e ζ(ν) ζ(s) dνds 0 0 s + re ζ(t) ζ(0) + k(t), dove k(0) = 0 e k(t) può essere scelo per assicurare un esaa corrispondenza alla sruura a ermine iniziale osservaa. Inolre, dall equazione (5.7) e dalla Condizione C2, [ e ζ(s) θ(r, s)ds = e ζ() θ(s) 2 e ζ() ζ(s) e ζ(ν) ζ(s) dνds 0 0 s r + re ζ() ζ(0) + k() ] Semplificando, il modello della sruura a ermine divena T f(r,, T) = e ζ(t) e ζ(ν) dν 0 θ(s) 2 e 2ζ(s) ds + (r k())e ζ(t) ζ() + k(t), (5.12)

71 5.1 Una sruura di volailià della forma γ(r,, T) = ξ(, T)γ(r,, ) 65 dove k(0) = 0. Riassumendo, mosriamo che ogni sruura di volailià del asso forward che è esclusivamene una funzione di empo e maurià T può presenarsi solo in un modello basao sul asso spo markoviano se è della forma daa nell equazione (5.11). Il modello della sruura a ermine corrispondene è daa nell equazione (5.12) dove k(t) è scela per corrispondere all auale sruura a ermine iniziale osservaa. CASO 2 a() 0 In queso caso la sruura di volailià del asso forward è dipendene dal asso spo socasico. Per convenienza, denoiamo γ(r,, ) da σ(r, ) e dall equazione (5.9) σ(r, ) 2 = a()r + b(); di conseguenza, è necessario che a()r + b() 0. Quesa resrizione indica le segueni regioni per cui il asso spo può esisere: 1. se a() < 0, il asso spo deve essere nella regione r b() a() 2. se a() > 0, il asso spo deve essere nella regione r b() a() Modellando le dinamiche di una paricolare sruura a ermine è più ragionevole considerare per i assi spo la seconda regione piuoso che la prima, poiché nella seconda è definio un limie inferiore per il asso spo invece di un limie superiore come nel caso di a() < 0. Risolvendo l equazione (5.10) mosriamo che la sruura di volailià del asso forward deve avere la seguene forma funzionale per un C() funzione arbiraria dove γ(r,, T) = 2A(T)(C () A()) a()r + b() ( ) 2 (5.13) T a() A(s)ds + C() A() = C () ± C () 2 2a()C() 2 2 C () 2 2a()C() 2 ; e C () rappresena dc(). d Ora che la classe delle sruure di volailià permesse è saa deerminaa, la Condizione

72 66 5. Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano C2 e il Teorema 1 affermano che la curva iniziale del asso forward deve essere della forma f(r, 0, T) = 2A(T)(C (0) A(0)) ( ) 2 r + K(T) T a(0) A(s)ds + C(0) 0 dove K(0) = 0 e k(t) può essere scelo per assicurare un esaa corrispondenza con la sruura a ermine iniziale osservaa. In conclusione, mosriamo che ogni sruura di volailià del asso forward che è della forma ξ(, T)γ(r,, ) può presenarsi in un modello basao sul asso spo markoviano solo se è della forma daa dall equazione (5.13). 5.2 Un raameno analiico Il nosro scopo è fornire soluzioni analiiche al problema della valuazione del prezzo del bond nella classe dei modelli HJM a faore singolo con asso spo markoviano e volailià socasica che soddisfa la condizione di Jeffrey (sudiae da Mari in [16]). Denoiamo con ( T ) P(r(),, T) = exp f(r(),, u)du (5.14) il prezzo al empo di un bond che maura al empo T, con f(r(),, T) la curva del asso forward, e con r() = f(r(),, ) il asso spo. Soo la misura neurale al rischio, le dinamiche socasiche della sruura a ermine possono essere espresse nella forma dp P (r(),, T) = r()d σ p(r(),, T)dw() P(r(0), 0, T) = P (0, T) (5.15) dove P (0, T) è la sruura a ermine iniziale che simiamo per i dai del mercao e σ p (r(),, T) è la sruura della volailià; e w() è un moo Browniano sandard unidimensionale. Possiamo usare l equazione (5.14) e il lemma di Iô per oenere df(r(),, T) = σ(r(),, T)σ p (r(),, T)d + σ(r(),, T)dw()

73 5.2 Un raameno analiico 67 dove σ(r(),, T) = σ p(r(),, T) T Consideriamo le segueni ipoesi: (i) P(r(),, T), o equivalenemene f(r(),, T), sono funzioni regolari dei loro argomeni, e P (0, T) è una funzione regolare di maurià T; (ii) la sruura di volailià del asso forward σ(r(),, T) soddisfa la condizione di Jeffrey σ(r(),, T) = σ(r(), )ξ(, T) dove σ 2 (r, ) = h() + k()r è il coefficiene diffusion delle dinamiche del asso spo, e h(), k() sono funzioni arbirarie di empo, e con 2A(T)(C () A()) ξ(, T) = ( T k() A(u)du + C() A() = 1 2 ) 2 ( ) C () ± C 2 () 2k()C 2 () e C() una funzione arbiraria di empo ale che C 2 () 2k()C 2 (). Soo ali ipoesi, è sao mosrao (ad es. da Jeffrey (1995), [15]) che queso modello è consisene con ogni sruura a ermine iniziale e che il asso spo segue un processo di Markov in cui sia il coefficiene drif che diffusion sono funzioni affini del asso spo, dove dr() = [a() b()r()]d + h() + k()r()dw() (5.16) b() = ξ(, T) e a() è una funzione di empo che simiamo per la sruura a ermine iniziale dei assi d ineresse. Denro queso coneso, un modello socasico della sruura a ermine può essere cosruio specificando la funzione iniziale P (0, T), e re funzioni arbirarie di empo, h, k, C, per simare la sruura di volailià. La maggior pare dei modelli a faore singolo della sruura a ermine proposi nella leeraura apparengono a quesa T=

74 68 5. Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano classe. I modelli Gaussiani possono essere oenui nel limie k() = 0; il modello eseso di CIR può essere oenuo se scegliamo h() = 0, k() = k e C() = e d, dove k e d sono cosani. Parendo da quese considerazioni, esendiamo le analisi in due direzioni principali. Primo, forniamo soluzioni al problema di Cauchy (5.15) quando la condizione di Jeffrey sulla volailià del asso forward è soddisfaa, derivando così una formula per la valuazione del bond (vedi Teorema 5.2), che può essere molo uile per le applicazioni. Una ale formula dipende dalla soluzione di un equazione inegrale associaa di Volerra del primo ipo. Secondo, forniamo la soluzione dell equazione di Volerra usando una ecnica di perurbazione nella classe dei modelli della sruura a ermine caraerizzaa dalla volailià del CIR generalizzao. Come conseguenza della valuazione del bond, le dinamiche del asso spo possono essere oenue facilmene (vedi Corollario 5.3). In paricolare sarà mosrao che a() è compleamene descrio dalla sruura a ermine iniziale e dalla soluzione dell equazione di Volerra. L espressione analiica delle dinamiche del asso spo semplifica la valuazione dei derivai del asso d ineresse nel senso che, soo l ipoesi markoviana, possiamo usare una rappresenazione PDE dei prezzi. 5.3 La forma funzionale della sruura a ermine Lo scopo di quesa sezione è fornire una caraerizzazione dei prezzi bond nella classe di modelli della sruura a ermine descria sopra. Forniamo la soluzione del seguene problema: dp P (r(),, T) = r()d σ p(r(),, T)dw() P(r(0), 0, T) = P (0, T) (5.17) dove la sruura di volailià del bond σ p (r(),, T) soddisfa la seguene condizione (*) (che può essere facilmene oenua dalla condizione di Jeffrey). Condizione (*)

75 5.3 La forma funzionale della sruura a ermine 69 dove e σ p (r(),, T) = T B(, T) = 2 C () A() k() σ(r(),, u)du = σ(r(), )B(, T) [ ] 1 C() 1 T A(u)du + C() σ 2 (r, ) = h() + k()r. La soluzione del problema (5.9) può essere espressa nella forma P(r(),, T) = A(, T)e r()b(,t) (5.18) dove la funzione non noa A(, T) deve essere consisene con la sruura a ermine iniziale P (0, T) e deve soddisfare la seguene equazione differenziale d lna(, T) d = a()b(, T) 1 2 h()b2 (, T) dove a() = 2 ln A(, T) T 2 con la condizione al conorno A(T, T) = 1. Forniamo la soluzione dell equazione differenziale sopra soggea a ue le ipoesi ciae, derivando così una formula della valuazione del bond che può essere molo uile per la applicazioni. Teorema 5.2. Se la sruura di volailià del bond soddisfa la Condizione (*), allora la soluzione del problema di Cauchy (5.9) è daa da P(r(),, T) = P (0, T) P (0, ) exp T= [ f (0, )B(, T) H(u)B(u, T)du 0 ] σ 2 (f (0, u), u)b 2 (u, T)du e r()b(,t) (5.19) dove H() è la soluzione della seguene equazione inegrale di Volerra del primo ipo 0 H(u)B(u, )du = G() (5.20)

76 70 5. Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano con G() = σ 2 (f (0, u), u)b 2 (u, )du (5.21) e f (0, T) è la curva iniziale del asso forward. Inolre, come conseguenza del Teorema 5.2, le dinamiche del asso spo sono espliciamene derivae. Corollario 5.3. Le dinamiche del asso spo sono descrie da dr() = [a() b()r()]d + h() + k()r()dw() dove a() = f (0, ) b() = 2 B(, T) T 2 + b()f (0, ) H() (5.22) T= Le dinamiche del asso spo confermano il fao ben noo che, per rendere il modello consisene con ogni sruura a ermine iniziale, il coefficiene drif non può essere indipendene dal empo. Queso risulao generalizza quelli oenui da Hull-Whie nel caso del modello eseso di Vasiček e del modello eseso di CIR. Per adaarsi a ogni sruura a ermine osservabile, il ermine drif non può essere arbirario, ma deve dipendere dalla sruura a ermine iniziale come specificao nella (5.22). Inolre, poiché H() dipende in generale dalla sruura a ermine iniziale, a() è foremene legaa ai dai del mercao. Tuavia nella classe di modelli Gaussiani in cui H() non dipende dai dai iniziali, a() dipende da f (0, ) a causa del primo dei due ermini nella (5.22). I ermini resani nelle dinamiche del asso spo dipendono dalla suura di volailià del modello. 5.4 La sruura di volailià di un modello CIR generalizzao Preseniamo un esempio significaivo dei modelli della sruura a ermine in cui possono essere rovae soluzioni esae dell equazione di Volerra.

77 5.4 La sruura di volailià di un modello CIR generalizzao 71 Il modello è caraerizzao dalla sruura di volailià di un CIR generalizzao se dove h, k e d sono assuni cosani. σ 2 (r(), ) = h + kr() (5.23) C() = e d d 2 2k (5.24) La definizione è moivaa dal fao che, se sosiuiamo la (5.24) nella Condizione (*), oeniamo, come nel modello CIR, B(, T) = e d(t ) 1 φ [e d(t ) 1] + d dove φ = 1 2 [ d + ] d 2 2k Soo l assunzione della volailià di un CIR generalizzao, le dinamiche del asso spo sono dae da dove dr() = [a() (2φ d)r()]d + h + kr()dw() a() = f (0, ) + (2φ d)f (0, ) H() Il paramero di mean reversion, 2φ d, è cosane e coincide con il paramero mean reversion del CIR; il ermine deerminisico a() è responsabile della sruura a ermine iniziale. Nel modello CIR, h = 0, e la funzione iniziale è daa da [ ] f de dt (0, T) = νφ φ(e dt 1) + d 1 dove ν è un erzo paramero. [ + r(0) de dt/2 φ(e dt 1) + d In queso caso l equazione di Volerra può essere risola esaamene e quindi la soluzione è H() = f (0, ) + (2φ d)f (0, ) νφ(d φ) E ineressane anche il limie gaussiano del modello specificao dalle equazioni (5.23)- (5.24). Infai, se meiamo k = 0 e h = σ 2, la sruura di volailià del bond divena σ p (, T) = σb v (, T) ] 2

78 72 5. Modelli per la sruura a ermine HJM a faore singolo basai sulle dinamiche per il asso spo Markoviano dove B v (, T) = 1 d [ 1 e d(t ) ] (5.25) E immediao verificare che σ p (, T) coincide con la sruura di volailià dl modello di Vasiček. In un ale caso possiamo rovare l esaa soluzione dell equazione di Volerra, vale a dire H() = σ2 ( e 2dT 1 ) (5.26) 2d Se la sruura iniziale è scela secondo f (0, T) = θ ( 1 e dt) + σ2 2d 2 ( e dt e 2dT) + r(0)e dt dove θ è un erzo paramero, allora riroviamo il modello di Vasiček.

79 Appendice A Richiami di probabilià Indichiamo con Ω un insieme non vuoo e P(Ω) l insieme delle pari di Ω ossia la famiglia di ui i sooinsiemi di Ω. Definizione A.1. (σ-algebra) Una famiglia F di sooinsiemi di Ω, F P(Ω), si dice una σ-algebra se: 1. F 2. se A F allora A c (Ω\A) F 3. daa una successione (A n ) n N di elemeni di F si ha che + i=1 A i F Esempio A.1. (σ-algebra di Borel) La più piccola σ-algebra generaa dagli aperi di R N è chiamaa σ-algebra dei Borelliani. Una coppia (Ω, F) dove Ω è uno spazio ed F una σ-algebra si dice spazio probabilizzabile. Definizione A.2. (Misura di probabilià) Daa una σ-algebra F su Ω, si dice misura di probabilià un applicazione P : F [0, 1] ale che: 1. P( ) = 0 73

80 74 A. Richiami di probabilià 2. per ogni successione (A n ) n N di elemeni di F a due a due disgiuni vale ( ) P A n = P(A n ) n 1 n 1 3. P(Ω) = 1 Definizione A.3. (Spazio di probabilià) Una erna (Ω, F, P) con F σ-algebra su Ω e P misura di probabilià su F, si dice spazio di probabilià. L insieme Ω è deo spazio campione o spazio dei risulai, gli elemeni E di F sono chiamai eveni e P(E) è chiamaa probabilià dell eveno E. In paricolare, un eveno E F si dice impossibile (rispeivamene cero) se P(E) = 0 (P(E) = 1). Definizione A.4. (Variabile aleaoria) Si dice variabile aleaoria reale un applicazione X : (Ω, F) (R, B(R)) dove X è un applicazione misurabile rispeo ai borelliani ed a F, ovvero ale che A F X 1 (A) B(R) Noazione: essendo X 1 (A) = {ω Ω X(ω) A}, si usa scrivere P(X A) per indicare P(X 1 (A)). Dunque P X (A) = P(X A), indica la probabilià che la variabile aleaoria reale X apparenga ad A B. Noazione: per indicare che una variabile aleaoria reale X ha disribuzione P X scriveremo X P X. Definizione A.5. (Funzione di disribuzione) Sia X una variabile aleaoria reale su (Ω, F, P). La funzione ϕ X : R [0, 1] definia da ϕ X (y) = P(X y) = P(X 1 (], y])) è dea funzione di disribuzione di X. Uno dei concei fondamenali associai a una variabile aleaoria reale X è quello di valore aeso (o media) definio come una media dei valori assuni da X.

81 75 Definizione A.6. Daa una variabile aleaoria reale X : Ω R N sommabile, il veore di R N E(X) si dice valore aeso di X. XdP Ω Definizione A.7. Daa X variabile aleaoria reale su uno spazio di probabilià (Ω, F, P), si definisce varianza di X var(x) = E[(X E(X)) 2 ] La varianza fornisce una sima di quano X si discosa in media dal valore aeso. Nelle applicazioni finanziarie, pensando che una variabile aleaoria reale X descriva il prezzo di un iolo e che una σ-algebra G descriva un insieme di informazioni, è comprensibile che sia imporane definire il valore aeso di X condizionao a G, indicao con E(X G). Definizione A.8. Sia X una variabile aleaoria reale sommabile sullo spazio di probabilià (Ω, F, P) e sia G una σ-algebra conenua in F. Se Y è una variabile aleaoria reale ale che 1. Y è G-misurabile 2. A XdP = A Y dp A G allora si dice che Y è l aesa di X condizionaa a G e si scrive Y = E(X G).

82 76 A. Richiami di probabilià

83 Bibliografia [1] R. Bhar and C. Chiarella. Transformaion of Heah-Jarrow-Moron Models o Markovian Sysems. European Journal of Finance, 3:1 24, [2] T. Björk. Arbirage Theory in Coninuous Time. Second ediion, Oxford Universiy Press, [3] T. Björk and A. Gombani. Minimal Realizaion of Ineres Rae Models. Finance and Sochasics, 3(4): , [4] F. Black, E. Derman, and W. Toy. A One-Facor Model of Ineres Raes and is Applicaion Treasury Bond Opions. Financial Analyss Journal, Jan-Feb:33 39, [5] A. Carverhill. When is he spo rae Markovian? Mahemaical Finance, 4: , [6] O. Cheyee. Markov rappresenaion of he Heah-Jarrow-Moron Model. Preprin. BARRA Inc., [7] C. Chiarella and K. Kwon. Forward rae dependen Markovian ransformaions of he Heah-Jarrow-Moron erm srucure model. Finance and Sochasics, 5: , [8] J. Cox, J. Ingersoll, and S. Ross. A Theory of he Term Srucure of Ineres Raes. Economerica, 53: , 1985b. [9] M. Dohan. On he Term Srucure of Ineres Raes. Journal of Financial Economics, 6:59 69,

84 78 BIBLIOGRAFIA [10] D. Heah, R. Jarrow, and A. Moron. Bond Pricing and he Term Srucure of Ineres Raes. Economerica, 60:77 106, [11] T. Ho and S. Lee. Term Srucure Movemens and Pricing Ineres Rae Coningen Claims. Journal of Finance, 41: , [12] J. Hull and A. Whie. Pricing Ineres-Rae Derivaive Securiies. The Review of Financial Sudies, 3: , [13] J.C. Hull. Opzioni fuures e alri derivai. Prenice-Hall Inernaional, [14] K. Inui and M. Kijima. A markovian framework in muli-facor Heah-Jarrow- Moron models. The Journal of Financial and Quaniaive Analysis, 33: , [15] A. Jeffrey. Single Facor Heah-Jarrow-Moron Term Srucure Models Based on Markov Spo Ineres Rae Dynamics. The Journal of Financial and Quaniaive Analysis, 30(4): , [16] C. Mari. Single facor models wih Markovian spo ineres rae: an analiical reamen. Decisions in Economics and Finance, 26:39 52, [17] P. Richken and L. Sankarasubramanian. Volailiy Srucures of Forward Raes and he Dynamics of he Term Srucure. Mahemaical Finance, 5:55 72, [18] O. Vasiček. An Equilibrium Characerizaion of he Term Srucure. Journal of Financial Economics, 5: , 1977.

85 Ringraziameni Finalmene sono qui a scrivere quesi benedei ringraziameni richiesi da moli (soprauo dalla Mary Caa). Bene come anicipao mi sono ridoa due noi prima della esi a scriverli, quindi spero che non ci siano roppi srafalcioni. Prima di uo, ringrazio il professor Andrea Pascucci, per la sua disponibilià e la sua pazienza, e per avermi sempre rilanciao nei momeni in cui pensavo di non farcela. Un grazie anche alla Camilla, che ha avuo sempre una grande premura per me e si è sempre faa in quaro per essere d aiuo in ogni circosanza, all Elena, per i suoi grandi occhioni dolci e per chiedermi di leggere una soria almeno cinque vole e al piccolo Giovanni, che ormai è divenao grande e corre a desra e a sinisra. Ringrazio la mia famiglia, per come mi ha sempre sosenuo in quesi anni di universià e per uo l affeo che mi ha sempre donao. Innanziuo sono immensamene graa ai miei geniori, a mia mamma Anonella, per le coninue elefonae, per la sua forza d animo e il suo amore che è sempre saa capace di rasmeermi anche a chilomeri di disanza, a mio babbo Giorgio, per la sua essenzialià e la sua schieezza e per il suo amore che mi ha sempre dimosrao a modo suo; perchè sono ad enrambi graa del sacrificio economico che hanno fao per far sì che poessi finire gli sudi e per non avermi fao mai mancare nulla. A mia sorella Claudia, (sì lo so moli di voi non sanno neanche la sua esisenza!), per il rapporo amore-odio che c è sempre sao fra di noi, grazie perchè nonosane uo mi hai sapuo sopporare bene, e perchè anche se non ce lo diciamo quasi mai ci vogliamo un gran bene, un grazie va anche al mio fraellino

86 80 Ringraziameni Viorio, per ue le sue leerine e elefonae, per ui i fine seimana a casa passai davani alle videocassee della Wal Disney...grazie perchè anche se non ci vediamo poco u mi vuoi un mondo di bene!! Poi non posso non ringraziare la mia fanasica nonna Lidia, per ue le cose buone che mi cucina quando orno giù, mia zia Rossana, perchè appena c è un aimo siamo lì a chiacchierare e per i suoi squilli per dirmi che mi pensa!, mio zio Peppe e i miei cugini Federico, Davide e Mario, il bambino più buono e dolce che ci sia. E poi un grazie infinio anche a zia Dora e zio Edo, e alle mie cugine Emanuela, Lorena ed Eleonora, perchè loro per me sono come sorelle, ai loro marii, Reno, Alfredo e Luca e ai loro rispeivi bambini (loro sono i cuginei con cui io mi divero ano): Crisina, Marina, Alessia, Francesco e l ulima arrivaa Federica...grazie anche a mia zia Lina e zio Pino, e alle mie cugine Rossella e Alessandra. Infine ringrazio il mio fraellino Emanuele, i miei nonni Viorio e Derna, e mio nonno Mario perchè da lassù mi proeggono coninuamene. Un grazie infinio a don Giussani, che anche se non ho mai conosciuo, non posso che essergli graa di come mi ha educao a vivere inensamene la realà, a don Carlo, grazie della paernià che ho senio da subio sando con e, di come mi incoraggi sempre ad affronare le siuazioni e grazie perchè è evidene che siamo così amici in Criso non per un nosro merio, ma perchè siamo sai sceli. A Widmer, grazie per lo sguardo cero e pieno d amore che hai su di me e grazie a ua la ua famiglia: la Raffa, per come mi ha accolo nella sua casa, Tommy, per le barzellee di Topolino ch mi racconi sempre diverio, e per aver enao di insegnarmi a giocare alla play e a Giacomo, per le mille pennellae con gli acquerelli, e perchè quando giochiamo insieme ci diveriamo un casino. Grazie alla fam. Rondoni, a Davide e all Alessia, per come si sono sempre ineressai a me e per avermi inviao a pranzo il giorno di Pasqua, Bary, il più obbediene, Carloa, la più dolce, Baisa, il più bizzarro e Clemene, il più buffo. Adesso è arrivao il momeno di ringraziare chi veramene ni ha sopporao giorno per giorno, ora dopo ora in quesi anni...so parlando della mia miica facolà di Scienze. Un ringraziameno che faccio a ui, uno per uno, è per come mi hanno sosenuo ecnicamene e moralmene nei mesi più di srippo..grazie per come siee sai pazieni nel

87 Ringraziameni 81 comprendere il mio sao d animo e grazie perchè nel momeno dello sfogo non ero mai sola, mi sono senia sempre unia a ui voi anche quando non eravamo in 40 nella sessa sanza! e per queso vi ringrazio di cuore! Ringrazio Mondo, per il uo modo di andare subio al sodo delle quesioni e per avermi semre spronao a domandare, Brio, grazie perchè sei sao il volo con cui Criso ha scelo di rivelarsi a me e l inconro con e mi ha decisamene cambiao la via, grazie perchè se non ci fossi sao u io ora non sarei qui a scrivere qs ringraziameni, per essere sao un puno di giudizio su uo, per avere avuo sempre una grande sima di me, sia nello sudio che nella proposa della segreeria e per avere avuo sempre cinque minui per me, Maia, il capo-facolà più mao e più fanasioso nell invenare i giochi, grazie per la ua presenza, Isacco, grazie per l amicizia non sconaa che mi hai offero e per la sima che ho senio su di me fin da subio, e grazie a Bisca, è eccezionale l amore con cui mi rai e la preoccupazione che hai del mio desino, grazie di uo!! Ringrazio chi con me ha condiviso le aule del diparimeno di Maemaica: l Anna Pulci e la ChiaraF, grazie per come mi siee sae vicine soprauo in quesi mesi di esi, per avermi anche solo fermao per chiedermi come savo, grazie Anna Pulci per la ua sponaneià e voglia di riparire che ravolge uo e ui, e grazie ChiaraF (lo so che non soppori quando i chiamo Cif) perchè sei sempre saa un esempio nello sudio..io non ce l ho mai faa a sare zia più di mezz ora!; la Cri e l Anna Del, le mie due fanasiche compagne di corso con cui ho passao qs anni di universià, le quali hanno osao laurearsi prima di me...ma vabbene, sorvoliamo su qs cosa! grazie alla Cri, perchè anche se non ci vediamo quasi mai c è qualcosa che non diminuisce con il empo,e poi sempre la solia CIAMBOTTA (la numero uno!), grazie all Anna Del, per avermi rascinao ai mille pranzi maricole con Brio, per le sue sorie fanasiche del fine seimana, per i suoi ballei in casa e per il suo incredibile riuscire a fare mille cose bene in conemporanea, l Anonella, appena conosciua non mi savi molo simpaica (anzi!) però superao l impao iniziale, abbasanza raumaico, è venuo fuori quello che sei veramene...una grande donna di polso, sempre presene nel momeno del bisogno, la Fra Deseri, per avermi aiuao a fare il piano di sudio e per i mille consigli sugli esami, ora sei il nosro

88 82 Ringraziameni orgoglio in America, la Maddy, grazie per aver condiviso con me ques avvenura della esi, e per la calma con cui hai sapuo placare ui i miei srippi, Micky, per il uo cambiameno in ao,e per i nosri fanasici giri dai prof, l Elisa, per ue le nosre chiaccherae e per il uo affeo prorompene, e Nicola,(oaic!) il vero maemaico doc. Ringrazio il variegao gruppo dei fisici: Piero, grazie perchè quando mi voglio sfogare i posso prendere a boe, e perchè lo so che ano i mancherò anche se dici il conrario, Vale, per la ua amicizia grauia, per la ua aenzione e cura nei miei confroni, per i nosri lunghi, lunghissimi aperiivi dalla Manu, per il Club della fisica(cuore)ntc, e per la passione che rasmei in ue le cose che fai, Lidia, per come hai sempre ironizzao sulla piega dei miei capelli nei momeni più criici della esi, Clark, grazie perchè in quese sere il uo saluo non è mai mancao, sei eccezionale, Marino, sei il numero uno con la chiarra, e mi fanno morire dal ridere i uoi giochi di presigio, GioFori, per ue le vole che sei andao a sisemare le sedie a S.Giacomo, FiloG, grazie per come è cambiao il nosro rapporo in quesi ulimi due mesi, Bea, grazie per le ue maglie molo originali e sravagani, Giacomo Tondi, per le ue idee regalo molo fanasiose. Grazie a Corallo, quando si dice non siamo noi che ci scegliamo, alla Parizia, mi raccomando non i lasciare ingoiare dal vorice degli ingegnieri, al massimo cercai un moroso, e all Emma, per la semplicià con cui sai nel rapporo con me e alle propose che i faccio (vedi che alla fine i sei diveria alla convivenza sudio!!!). Ringrazio Digi, grazie per ogni vola che sei venuo in mio aiuo quando c era anche solo una piccola cosa che non andava, Marino, senza di e non avrei mai capio nulla sugli auomi cellulari, Nazzo, la ua casa è saa una seconda casa in quesi mesi, Cecchi, per aver fao le ore piccole a leggere e correggere gli acceni della esi, e per avermi offero la sua disponibilià oale come sosegno morale, Camanzi, l uomo disponibilià di Scienze, Beppe, Tommo, grazie per avermi presao il poraile per la esi, per ue le vole che hai cercao di irarmi su, e grazie per le bombe che carichi e spari a sdc, sei una grande!

89 Ringraziameni 83 Ringrazio poi la Bisu, per il uo esro e la ua creaivià, l Elvana e l AnnaBo, Elenalaura, per il uo voler sare insieme a noi e le mille foo dei uoi viaggi, Bea Fisicaro, per i suoi riardi cronici a sdc, e l Ila, perchè sei la donna più coloraa e sravagane e perchè hai conribuio alla rinascia di biologia!! Uno sraordinario grazie al gruppo delle bioec: Clode, grazie per i fine seimana passai insieme e per il uo modo di dire sempre quello che pensi in faccia, SaraB, per le vole che abbiamo cucinao insieme e per la ua cosane aenzione, e prchè in ogni cosa che fai (anche quando fai la pizza) dai ua e sessa, Maria Chiara, grazie per avermi preso su così come sono nel lavoro della segreeria e per essere saa così paziene in qs periodo, Lory, la più baagliera senza peli sulla lingua, Fede, l aaccapezza migliore soprauo soo elezioni!, Palmo, l unico uomo bioec ra mille donne, grazie per le sere in cui hai spiegao le selle, Vale Genile, grazie per la semplicià, la serieà e la grina che mei nelle cose, Giorgia, una bioec rinaa con i banchei di agoso, e Michela e Cecilia, grazie per avermi sempre apero la pora di casa vosra. Un ringraziameno molo affeuoso va a ue le maricole che sono sae come un venicello primaverile: l Agnese, per come sei allegra e svampia, Mary Caa, grazie per avermi voluo così bene da subio, e per essere sempre un richiamo alle cose essenziali,ceci, per aver subio acceao la proposa della segreeria (sarai una segrearia super!), Serena, per la risaa assordane e conagiosa, Lucia, grazie per la ua deerminazione e il non lasciari mai abbaere,e grazie per aver diffuso la ricea della focaccia (a parire dalla Mary), Davide Bolo, grazie per essere venuo a sudiare con me a Pasqua, Cae, per i uoi abbracci consolaori, Marina, una delle bioec più preseni nella sala sudio di maemaica, l Ale Scidà, la maricola più acculuraa, Tuoman, grazie per esseri sempre preoccupao per me (fin roppo!!), e a PQ il chimico pesarese un pò esroverso. Un grazie speciale ai più vecchi, cioè quelli che ho inconrao nei primi due anni di universià, ma che sono sai alreano imporani e preseni: FraNori, Paolo Bassani, Gigi, Elena Rocchi: il gruppo di sudio di fisici più sgangherao che io abbia mai viso, ma allo sesso empo con un modo di sare insieme, anche con caraeri con-

90 84 Ringraziameni rasani, che mi ha affascinao da subio, Benny, Nofero, grazie per i uoi gruppi di sudio, grazie perchè ogni vola che c era qualcosa sapevo che poevo conare su di e, FraG, grazie per le lunghe chiaccherae pos-diaconie in cui i sei sorbia ane mie paranoie, ma in cui mi hai aiuao a guardare le cose in modo diverso, andandoci più a fondo, grazie per quella supenda giornaa pos-esame in cui mi hai porao in giro per i musei di Bologna, Sissi, grazie perchè se mi sono così ano appassionaa al lavoro della segreeria lo devo a e, un servire la nosra comunià (i nosri amici) che mi ha insegnao cosa vuol dire grauià e donarsi compleamene, grazie perchè è sao bello condividere qs esperienza a vole faicosa, ma mole più vole liea,chiaraerc, per i uoi consigli e per la familiarià che ho sempre senio sando con e, Chiara Marini, per la sua dolcezza e Chiara Marzaduri, la scienziaa più precisa e organizzaa, Piru, per i uoi indimenicabili mocassini e per il ua casa-marsupio (ora e lo confesso abbiamo pagao uno per rubarelo!!purroppo u e ne sei subio procurao un alro), Manu Loca, Filo Marchioni, grazie per la commovene convivenza del febbraio del 2000 dopo la quale uo è cambiao, Bob, Loca, la cicciofila del blasco, PaoloG, uomo d alri empi grazie per ui i fanasici volanini che hai sfornao per lo Suden Office, TeoV, Ano Ceno, Capo, nella classifica delle lese u sei sempre sao il RE, Filo Medri, grazie per avermi aiuao a superare il mio ulimo esame con Malab, Gianca, da maricola sei sao uno dei primi con cui ho avuo a che fare...guarda come sono ridoa adesso (scherzo!), Erika, Beccari, grazie per la confidenza e l amicizia che c è subio saa ra di noi, Di Rico, Enrico, grazie per essere sao vicino a me per gran pare del empo passao a Bologna. Ringrazio i miici regaz della segreeria cenrale, che sono per me esimonianza di cosa significa fare la gloria di Dio anche solo facendo mille elefonae o facendo passare un avviso: grazie Chicca e Eli Dalpane, i due capisaldi della segreeria, per me esempi di disponibilià oale agli alri, Pesa, efficienissimo, Anna Cecchi, la più precisa, Canaps, roppo dolce, Maddy e Baffy, sempre disponibili, l Elena, per le mille disponibilià e la Laurea, perchè sei roppo fore!!. Un grazie anche alle segrearie di facolà, in paricolare la SaraG, la Bighi (basa con i uoi esami bazza!), e la Celese con cui ho passao il empo in fila durane le verifiche

91 Ringraziameni 85 in sede. Un grazie anche alle mie compagne d apparameno: alla Monica G., per aver cucinao nelle nosre cene d appa (il risoo con il radicchio non lo dimenicherò facilmene!), alla Barbara, per la ua enacia, alla Roby, la uo pepe di casa, all ElisaB, grazie per avermi aiuao con le ore, e perchè non è vero che sei un disasro, ce la mei ua quando devi fare qualcosa.., e alla Nico, grazie per gli anni passai insieme in appa, e per il uo asavadava che ci ha ormenao non so per quano empo! Un grazie paricolare alla Marianna, per le foo e il filmino fai al campo nella nosra miica camera (so ancora aspeando la magliea che mi hai promesso!!), a Franco, per la sua ironia, e alla Manu, per le sue favolose focacce genovesi!, e perchè il suo bar è un cosane puno di rirovo per ui noi. Grazie anche ai miei amici di Groammare, con cui sono cresciua, e anche se ora ci vediamo solo a Pasqua e a Naale, è bello ogni vola rirovarsi come se il empo non fosse mai passao: Magda, Mirko, Sergio, Micaela, Valenina, Enrico. Infine, ma non per ordine di imporanza, ringrazio la Zohra, mia grande compagna in ogni cosa, fin dalla prima vola c è subio sao qualcosa che ci ha unio e non ci ha fao più separare, grazie per essermi sempre vicina, per essere una provocazione coninua, per avermi cosreo sempre a chiedere il perchè faccio le cose, per le ue schiarrae in camera in cui volevi per forza insegnarmi le canzoni, le ue mille barzellee, le foo, il fanasico viaggio a Londra (mi sono diveria un casino!), gli aperiivi, e un sacco di alre cose che non posso elencare perchè non finirei più. Comunque grazie mille per il grande bene che mi vuoi.