Il modello di Black-Scholes. Il modello di Black-Scholes/2

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1 Il modello di Black-Scholes Si raa sosanzialmene del modello in empo coninuo che si oiene facendo endere a 0 nel modello binomiale. Come vedremo, è un modello di fondamenale imporanza, e per esso a Myron Scholes e Rober Meron è sao assegnao il premio Nobel per l Economia nel 996. Le assunzioni fondamenali possono essere riassune in queso modo: i logrendimeni relaivi a inervalli di empo disini sono indipendeni i logrendimeni hanno una disribuzione normale la loro deviazione sandard (volailià sorica σ) è cosane nel empo è possibile ribilanciare i porafogli isane per isane Alre assunzioni minori sono: l assenza di cosi di ransazione la possibilià di invesire o prendere a presio allo sesso asso privo di rischio r Il modello di Black-Scholes/ Soo quese ipoesi, non così irrealisiche in prima approssimazione, è possibile cosruire un porafoglio ribilanciao isane per isane che a scadenza replica il payoff della opzione call. La maemaica è più complessa ma l idea è la sessa della replicazione dei conrai forward o dei payoff del modello binomiale. Il risulao è la famosa formula di Black-Scholes: C = Se d d ln( = = d N ( x) = q ( T ) S K σ N ( d ) Ke T r ( T ) σ ) + ( r q + )( T ) σ T π x e d N ( d ) C = prezzo della call S = prezzo del soosane K = srike price σ = volailià annua r = asso privo di rischio q = asso di dividendo T- = via residua N(x) = funzione di disribuzione di una normale sandard (disrib.norm.s in Excel)

2 Il modello di Black-Scholes/3 Nonosane l apparene complessià, si raa di una formula semplice, facilmene implemenabile anche in Excel (l unica funzione non elemenare è N(x)). La sruura è la solia: valore auale del valore aeso neurale al rischio del payoff. Il caso della pu può essere facilmene ricavao da quello della call araverso la pu/call pariy Il ermine ln(s/k) viene spesso usao come misura del grado di moneyness della opzione Il ermine N(d ) è pari alla probabilià neurale al rischio di esercizio della opzione call Il dividend yield q può essere uilizzao per applicare il modello a opzioni su assi di cambio, commodiies, fuures (con q=r). Il prezzo della call dipende da 6 parameri, ui osservabili ad eccezione di σ (volailià sorica). Le greeks Il vanaggio principale di una formula analiica (in conrapposizione ad esempio a una procedura di simulazione) è la possibilià di fare una analisi di sensiivià, cioè nel nosro caso di valuare la variazione del prezzo della call rispeo alle variazioni dei singoli parameri. Colleivamene le diverse derivae parziali vengono indicae con leere greche; le più imporani sono il dela, l elasicià, il gamma e il hea. Sebbene come vedremo il modello di Black-Scholes non riesca a caurare alcune proprieà dei prezzi delle opzioni, è in grado di cogliere almeno qualiaivamene diverse proprieà delle greeks, che rimangono comunque le principali variabili arge che il rader di opzione conrolla sempre prima di aprire una posizione.

3 Classificazione delle posizioni Molo schemaicamene, possiamo classificare una generica posizione in opzioni araverso dela, gamma e hea di porafoglio. (Cox-Rubinsein, Opion Markes ) Fabio Bellini Verifiche empiriche del modello di BS When judged by is abiliy o explain he empirical daa, opion pricing heory is he mos successful heory no only in finance, bu in all of economics Ross, Sephen A Finance. pp in The New Palgrave Dicionary of Economics, vol....l ideologia dei mercai prevedibili e razionali non è saa accanonaa e l equazione maledea è riapparsa nel crac dei subprime del 008. Anche in queso caso la folle formulea promeeva di simare il valore dei prodoi derivai (i vari Abs, Cdo, ) N.N. Processo agli economisi maggio 009 3

4 Il premio Nobel del 997 Fabio Bellini Il premio Nobel del 997 / Fabio Bellini 4

5 Il premio Nobel del 997 /3 Fabio Bellini Le ipoesi sul soosane Iniziamo valuando quano le ipoesi base del modello di BS siano verificae in praica, ad esempio sul FTSEMIB dal //005: 4.5 x

6 Indipendenza dei logrendimeni Il modello di BS ipoizza che il soosane segua un moo browniano geomerico, a cui discreizzando corrispondono logrendimeni indipendeni e idenicamene disribuii, con una disribuzione normale. L indipendenza dei logrendimeni corrisponde alla cosiddea forma debole della ipoesi dei mercai efficieni (Fama 965). Una prima idea ce la possiamo fare araverso la funzione di auocorrelazione dei logrendimeni: 0.5 Sample auocorrelaion coefficiens sacf values k-values Volailiy clusering Sebbene in queso esempio per alcuni lag si rigea la ipoesi nulla di assenza di correlazione, si riiene che ipicamene la auocorrelazione delle serie finanziarie non sia significaivamene sabilmene diversa da zero. Tuavia la indipendenza è una proprieà molo più fore della assenza di correlazione; se considero la funzione di auocorrelazione dei quadrai dei logrendimeni, che soo l ipoesi nulla dovrebbero essere indipendeni, oengo una rilevane dipendenza seriale (fenomeno noo come volailiy clusering) : 0.4 Sample auocorrelaion coefficiens sacf values k-values 6

7 Normalià dei logrendimeni E evidene la presenza di picchi sia posiivi che negaivi (nel nosro esempio anche dell ordine del 0%) che corrispondono al ben noo fenomeno delle code pesani (fa ails). E anche evidene che c e una alernanza ra fasi di ala volailià e fasi di bassa volailià, che quindi solo in prima approssimazione può essere consideraa cosane QQ Plo of Sample Daa versus Sandard Normal Quaniles of Inpu Sample Sandard Normal Quaniles Normalià dei logrendimeni / Fone: Bloomberg 7

8 Il cigno nero La curva a campana la grande frode inelleuale La curva a campana soddisfa il riduzionismo degli illusi. Taleb, N. Il cigno nero (008) Le ipoesi saisiche sul soosane sono verificae solo in una cera misura, per la presenza di code pesani e di dipendenza seriale (nella volailià). E anche da dire che modelli più realisici devono necessariamene richiedere una maggior numero di parameri e sono quindi inrinsecamene meno robusi rispeo alla normale, che è quindi da considerare un modello ragionevole in prima approssimazione. E da capire che non esisono modelli giusi o sbagliai in assoluo, ma ipicamene la bonà di un modello si misura lungo diverse dimensioni, per esempio la semplicià, la disponibilià di formule analiiche, la robusezza, la difficolà di implemenazione, ec ec. I prezzi delle opzioni La domanda ineressane è però: il modello di BS riesce a riprodurre bene i prezzi delle opzioni osservai? Se applico la formula, rovo effeivamene prezzi vicini a quelli che i rader generano sul mercao delle opzioni? La risposa non è semplice in quano la formula di BS include un paramero non osservabile, la volailià σ, (e abbiamo viso che il suo valore può cambiare di molo cambiando la base di calcolo). Quindi l approccio direo, di sosiuire i 6 parameri nella formula e vedere se i prezzi calcolai delle opzioni sono vicini a quelli osservai, richiede una specificazione precisa della modalià di calcolo della volailià sorica. 8

9 La volailià sorica / La volailià di cui siamo parlando prende il nome di volailià sorica (per disinguerla da quella implicia che inrodurremo in seguio per mezzo del modello di Black-Scholes) ed è pari alla deviazione sandard dei logrendimeni giornalieri, riporaa su base annua. Il logrendimeno giornaliero è definio da X S = S + S = + + = ln S ln S ln dove R è l usuale rendimeno semplice. ( + R ) R I logrendimeni hanno però il vanaggio di essere quanià addiive (ad esempio, il logrendimeno su un anno è la somma dei logrendimeni giornalieri, menre nooriamene non si possono sommare i rendimeni semplici). La volailià sorica / I logrendimeni e i rendimeni semplici si esprimono comunemene in percenuale. La volailià giornaliera è la deviazione sandard dei logrendimeni giornalieri: n g σ = ( X i µ ) n µ = n n i = X i = i Essa varia nel empo e dipende dalla base n (numero di giorni su cui calcolo la media e la deviazione sandard). La volailià annua è daa da σ a = σ g N dove convenzionalmene si prende N=60 (approssimaivamene i giorni di borsa apera). Sono a vole uilizzai indici alernaivi che engono anche cono di massimo, minimo, aperura, chiusura, o anche della inera serie delle quoazioni della giornaa (volailià inraday). 9

10 La volailià sorica /3 Fone: Bloomberg La volailià sorica /4 0,00% 00,00% 80,00% 60,00% 40,00% 0,00% 0,00% 5/05/005 5/05/006 5/05/007 5/05/008 5/05/009 vol 0g vol 50g vol 00g Fone: Bloomberg 0

11 La volailià implicia Osserviamo che l unico paramero della formula di BS che non è osservabile è proprio la volailià; d alro cano il prezzo delle opzioni (sia call che pu) è una funzione monoona crescene della volailià (in alri ermini, il vega di una call o di una pu è posiivo). Dao un prezzo di mercao, esise sempre quindi una unica volailià che inseria nella formula di BS lo produce; è la soluzione della equazione C BS (σ)=p mercao Da un puno di visa maemaico, è un esempio di funzione implicia (nel senso del eorema del Dini). Se il modello di BS fosse correo, opzioni sullo sesso soosane e relaive alla sessa mauriy (che quindi differiscono solo per lo srike) dovrebbero avere la sessa volailià implicia. La volailià implicia / Se il modello di BS fosse correo, opzioni che differiscono solo per lo srike dovrebbero avere la sessa volailià implicia. Il grafico della volailià implicia in funzione dello srike (o della moneyness) viene chiamao lo smile (o lo skew) della opzione. Tipicamene si ha una cera curvaura, ad indicare una cera diparia dal modello di BS per le opzioni molo OTM.

12 Volailià sorica e implicia Fone: Bloomberg