UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE STATISTICHE ED ECONOMICHE TESI DI LAUREA Valuazione di opzioni europee in presenza di eeroschedasicià condizionale ed analisi della "volailiy smile" RELATORE: CH.MO PROF. NUNZIO CAPPUCCIO LAUREANDO: ALESSANDRO GALLO ANNO ACCADEMICO

2 Alla mia famiglia

3 Indice Indice Inroduzione Pag. III Capiolo I Concei generali. Azioni. Gli indici di Borsa ialiani.3 Mib Composizione 6.3. Revisione 9.4 Opzioni.5 Mibo Effeo dei dividendi 8 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai. Analisi Black & Scholes 3. Assunzione di log-normalià dei prezzi delle azioni 5.3 Disribuzione del asso di rendimeno 6.4 Sima della volailià in base ai dai sorici 7.5 Equazione differenziale di Black & Scholes 9.6 Valuazione neurale verso il rischio 3.7 Formule di valuazione di Black & Scholes 3.8 Proprieà delle formule di Black & Scholes 34.9 Implicazioni del modello Black & Scholes 36.0 Cause della volailià 4. Volailià implicia 44. Ricerche empiriche sulla volailià implicia 46 Capiolo III Modello GARCH 3. Dai processi ARCH ai processi GARCH Il modello GARCH per la deerminazione del prezzo dell opzione Procedure numeriche Procedure per la riduzione della varianza 65 I

4 Indice Pag. 3.4 Confrono del modello GARCH (,) per la deerminazione del prezzo con il modello Black & Scholes 70 Capiolo IV Applicazioni 4. Dai Sime dei Modelli Disegno della simulazione Mone Carlo Volailià implicia e rapporo IVR Scela dei dai simulai da uilizzare Risulai della simulazione GARCH Risulai della simulazione TARCH Risulai della simulazione EGARCH 97 Appendice A Lisao della simulazione in codice Malab per il modello GARCH 05 Bibliografia 5 II

5 Inroduzione Inroduzione La volailià ha un imporane ruolo nella valuazione del prezzo di un opzione. La noa formula di Black & Scholes è frequenemene usaa per la valuazione di opzioni di ipo europeo, ma ha il difeo di considerare la volailià cosane nel empo. Tale formula è anche usaa per calcolare la volailià del soosane osservando il prezzo dell opzione (volailià implicia); se si effeua il calcolo della volailià implicia in diversi isani, si vede che essa varia sensibilmene con il variare del empo. Da qui l esigenza di verificare il comporameno della volailià nel empo assumendo che i prezzi del soosane seguano diversi modelli economerici. La esi, perano, si propone di confronare la volailià implicia risulane dai re modelli considerai GARCH, TARCH ed EGARCH rispeo al modello Black & Scholes. Dal puno di visa sruurale il lavoro si compone di quaro capioli. Il primo capiolo ha l obieivo di offrire nozioni circa: i più frequeni soosani ipici delle opzioni (azioni e indici azionari) e sulle diverse ipologie delle opzioni; soffermandoci in paricolare sull indice Mib30 e sui conrai Mibo30 (conrao d opzione di ipo europeo scrio sull indice Mib30). Nel secondo capiolo si analizza l approccio Black & Scholes per la valuazione di un derivao; in paricolare, la valuazione di un opzione call di ipo europeo. Black & Scholes sono riuscii a risolvere la loro equazione differenziale al fine di oenere le formule chiuse di valuazione delle calls e pus europee scrie su ioli che non pagano III

6 Inroduzione dividendi. Nel far ciò, hanno dovuo porre alcune assunzioni più o meno fori, ra cui il vincolo della volailià cosane nel empo. Mole ricerche empiriche hanno dimosrao, in realà, che queso vincolo viene violao. Il erzo capiolo si propone di offrire un alernaiva al modello Black & Scholes. Il modello GARCH (Generalized AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy) considerao in queso lavoro è sao sviluppao per accogliere la locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR): versione generalizzaa della risk-neural valuaion relaionship (RNVR). Queso srumeno consene di valuare un derivao in maniera semplificaa rendendo ininfluene il ipo di propensione al rischio degli invesiori nella soluzione finale. Nel quaro capiolo si analizzano le evidenze empiriche dell indice Mib30 al fine di oenere le sime dei parameri per i modelli GARCH, TARCH (Threshold AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy) ed EGARCH (Exponenial GARCH). In quesa pare del lavoro si descrive, inolre, il disegno di simulazione (necessario per valuare le opzioni in un coneso di volailià socasica) che verrà adoao; assumendo alcuni vincoli e decidendo le diverse combinazioni dei parameri per i differeni modelli. Infine, ci soffermeremo sull analisi dei risulai delle diverse simulazioni per i differeni modelli. Tali simulazioni cercheranno di caurare le diverse ipologie di volailià implicia (smile o skew) ipiche dei modelli considerai. Le analisi, inolre, evidenzieranno gli effei che scauriscono nella volailià implicia modificando paricolari parameri dei modelli o aumenando la via residua dell opzione. IV

7 Capiolo I Concei generali Capiolo I Un derivao (derivaive o derivaive securiy) è uno srumeno finanziario il cui valore dipende da quello di alre più fondamenali variabili soosani. Negli anni receni, il mercao dei derivai è divenuo sempre più imporane nel mondo della finanza. Sono re i principali ipi di operaori che operano in queso mercao: gli hedgers, gli speculaori e gli arbiraggisi. Gli hedgers si rovano a dover froneggiare il rischio associao ad un aivià finanziaria e, per ridurre o eliminare queso rischio, ricorrono ai derivai; gli speculaori desiderano scommeere sui fuuri movimeni del prezzo di un aivià, menre gli arbiraggisi cercano di rarre vanaggio da discrepanze dei prezzi in due diversi mercai. Se, per esempio, si accorgono che il prezzo fuures di un aivià derivaa sa andando fuori linea rispeo al prezzo spo, assumono posizioni di segno opposo nei due mercai per oenere un profio. Come si è deo un derivao è collegao ad un soosane. Le principali aivià soosani sono le azioni e gli indici azionari. Qui di seguio si considereranno le caraerisiche di quese aivià con paricolare riferimeno al mercao ialiano.. Azioni Un azione è un documeno che aesa la proprieà di una quoa del capiale sociale di una socieà per azioni (S.p.A.). L azionisa usufruisce dei profii dell azienda per una quoa proporzionale degli uili qualora essi siano disribuii e del parimonio in caso di liquidazione; nel conempo egli acquisisce il dirio a prendere pare alla poliica

8 Capiolo I Concei generali decisionale della socieà, parecipando all assemblea degli azionisi. Le azioni cosiddee ordinarie (common socks) garaniscono la possibilià di parecipazione aiva alla via della socieà. Possiamo disinguere varie ipologie di azioni sulla base di diversi crieri di classificazione. In base ai dirii che l azionisa acquisisce disinguiamo: azioni ordinarie, azioni di risparmio, azioni privilegiae e azioni a voo limiao. In base al regime di circolazione possiamo avere azioni nominaive o azioni al poraore. In base al livello di capializzazione della socieà che emee si è solii disinguere ra blue chips, mid e small caps. Quese disinzioni sono rilevani dal puno di visa dell analisi quaniaiva dao che a ciascun ipo corrispondono caraerisiche che sono diversamene valuae dal mercao. Una classificazione paricolarmene rilevane è quella che consene di disinguere, all inerno di una sessa caegoria di azioni, ioli ad ala e bassa capializzazione (inendendo per valore di capializzazione di una socieà il prodoo ra il numero di azioni quoae in Borsa ed il loro valore di mercao). Con il ermine blue chips (muuao dal gioco d azzardo, dove le fiches di colore blu sono quelle che valgono di più) si è solii indicare azioni relaive a ioli ad elevaa capializzazione. Le azioni sono scambiae su mercai specializzai: durane i periodi di aperura ufficiale si concenra la maggior pare degli scambi che vengono finalizzai per un prezzo ed un quaniaivo (volume). Durane il periodo di chiusura dei mercai esise il modo di procedere a compravendia di azioni: ciascun mercao è organizzao seguendo regole proprie. Un recene fenomeno è quello del rading on-line con la possibilià di compravendia ramie inermediario su Inerne.. Gli indici di Borsa ialiani Gli indici rappresenano panieri più o meno ampi di ioli azionari e possono essere ano grandi da comprendere ue le azioni quoae su un mercao (indici globali), oppure solano alcune (indici parziali) selezionae in base a specifici crieri. La funzione primaria degli indici di Borsa è quella di fornire una rappresenazione sineica dell andameno di prezzo dei ioli che compongono il paniere. Una seconda funzione molo imporane è quella di cosruire l aivià soosane di srumeni

9 Capiolo I Concei generali derivai: gli operaori possono così eseguire operazioni di coperura del rischio in maniera poco cososa ed efficiene, e al empo sesso uilizzare i conrai derivai sugli indici per offrire allo speculaore una leva finanziaria, leverage, che non gli è offera dal mercao spo. L effeo leva è la facolà di conrollare un elevao ammonare di risorse finanziarie, araverso il possesso di una piccola pare di ali risorse, con un basso impiego di capiale. La leva finanziaria è espressa dal rapporo ra il valore delle posizioni apere ed il capiale invesio. Gli indici azionari maggiormene conosciui sono calcolai ufficialmene dalla Borsa ialiana per i diversi mercai: Mercao Ufficiale, Nuovo Mercao, Mercao Risreo e Trading Afer Hours. Gli indici del mercao ufficiale Tra gli indici fornii ufficialmene dalla Borsa ialiana al Mercao Telemaico Azionario (MTA) l indice Mibel (acronimo di Mercao Ialiano della Borsa Telemaica) cosiuisce una misura sineica dell andameno del mercao nel suo complesso. Viene calcolao giornalmene durane la fase della negoziazione coninua (dalle 9.30 alle 7:30 dopo una fase di pre-aperura dalle 8:5 alle 9:5) con frequenza di un minuo sulla base dei prezzi degli ulimi conrai conclusi su ciascuna azione. Il Mibel (calcolao su base =0000) viene riviso annualmene, con l aggiornameno del numero base delle azioni e del prezzo base (prezzo degli ulimi conrai conclusi alla daa di revisione) di ui i componeni. Al conempo, è un indice cosiddeo a base apera avendo la possibilià di includere, in qualsiasi momeno dell anno, nuovi ioli o eliminarne alri, che non rispondano più ai requisii. L indice Mib (Mib sorico, base =000) è anche esso relaivo a ue le azioni quoae nella Borsa ialiana 3 ale indice è calcolao una sola vola al giorno al ermine della sedua di Borsa uilizzando i prezzi ufficiali di ui i componeni. Menre il Mibel regisra valori di minuo in minuo, il Mib rileva un solo valore esclusivamene alla fine della giornaa. Tale differenza caraerizza i due indici, che Un ipo di conrao sui derivai è raao nel paragrafo.4. Dal cui sio ho assuno varie informazioni. 3 Indici Mib seoriali vengono calcolai su panieri che rifleono la suddivisione seoriale del lisino ufficiale. Vengono calcolai alla chiusura di ogni sedua, uilizzando i prezzi ufficiali delle rispeive componeni. Esisono 3 macroseori: Indusriale, Servizi e Finanziario. Al loro inerno si disinguono 0 microseori, per un oale di 3 indici. 3

10 Capiolo I Concei generali offrono evidenemene informazioni diverse e complemenari. Come il Mibel anche il Mib è soggeo a revisione annuale (aggiornameno del numero base delle azioni e del prezzo base al prezzo ufficiale alla daa di revisione), uavia, l inserimeno di nuove azioni quoae e l esclusione di quelle revocae può avvenire in qualunque momeno dell anno. Le 30 socieà che hanno il maggior peso in ermini di liquidià e capializzazione vanno a cosruire l indice Mib30. In seguio, ale indice, verrà approfondio poiché come base di parenza per le analisi successive verranno uilizzai dai giornalieri del Mib30. Il Midex raccoglie, invece, le cosiddee socieà a media capializzazione (le 5 successive in ordine di imporanza a quelle che enrano nella composizione del Mib30). Alri indici azionari vengono diffusi da isiuzioni diverse da Borsa Ialia, ra quesi ricordiamo quelli prodoi dal Servizio analisi della Banca Commerciale Ialiana, ra cui l indice Comi globale ed il Comi30, composo dai 30 ioli più rappresenaivi del mercao. Il Numel ed il Numex Il nuovo mercao è un mercao azionario elemaico specializzao in socieà di dimensione relaivamene ridoe ma ad alo poenziale di crescia. La borsa ialiana calcola e diffonde giornalmene indici informaici dell andameno del nuovo mercao: ricordiamo, in paricolare, il Numel (base =000) relaivo a ue le azioni quoae sul nuovo mercao, calcolao giornalmene durane la fase della negoziazione coninua con frequenza di un minuo sulla base dei prezzi degli ulimi conrai conclusi su ciascuna azione. Il Numex è anch esso relaivo a ue le azioni quoae sul nuovo mercao, ma viene calcolao giornalmene al ermine della sedua di negoziazione. La meodologia di calcolo rispecchia quella del calcolo dell indice Mibel. L IMR Sul mercao risreo vengono negoziai ioli non ammessi alla quoazione ufficiale di Borsa. L indice IMR (base =000) è una misura sineica dell andameno di ue le azioni ammesse alle negoziazioni nel mercao risreo. Viene calcolao 4

11 Capiolo I Concei generali sulla base dei prezzi ufficiali e diffuso una sola vola al giorno al ermine delle negoziazioni su ale mercao. Il Trading Afer Hours Alla chiusura del mercao elemaico ordinario, viene apero un mercao, deo Trading Afer Hours, in cui le negoziazioni si svolgono dalle 8:00 alle 0:30 con una fase di pre-aperura dalle 7:50 alle 8:00. In corrispondenza agli indici del mercao ordinario, la Borsa ialiana fornisce specifici indici (Mibel-s, Mib30-s e Midex-s) che vengono calcolai in modo analogo a Mibel, Mib30 e Midex parendo dai valori delle 7:30, orario di chiusura del mercao. Il valore di quesi indici, diffusi nella sessione afer hours, ha una funzione solo informaiva; nel giorno successivo, infai, le variazioni degli indici coninui andranno riferie ai valori di chiusura della sessione diurna..3 Mib30 L indice azionario Mib30 è un indice sineico cosiuio dalle 30 azioni a più elevaa capializzazione ed a maggiore liquidià quoae sul Mercao Telemaico Azionario; ale indice presena una fore correlazione con lo sviluppo complessivo del mercao azionario ialiano. Assieme al Mibel, il Mib30 è l indice più rappresenaivo dell andameno della Borsa Ialiana: infai, benché cosiuio da un numero limiao di azioni, rappresena correamene l andameno dell inero mercao azionario. Il Mib30 rappresena uno sviluppo dell indice azionario Bci30 (Comi30) messo a puno dalla Banca Commerciale Ialiana (BCI). Nel luglio del 994, la Borsa Ialiana S.p.A. e la BCI hanno concordao il passaggio del Bci30 al conrollo direo della Borsa Ialiana S.p.A. e la rasformazione del nome in Mib30. L unica differenza fra i due sa nel numero delle cifre decimali: i valori del Mib30 sono infai moliplicai per 00 rispeo a quelli del Bci30. La serie emporale di valori del Mib30 per il periodo precedene il 3 oobre 994 viene quindi calcolaa prendendo come riferimeno la serie sorica Bci30. 5

12 Capiolo I Concei generali I valori del Mib30 vengono calcolai con cadenza regolare in base all ulima quoazione di scambio dei vari ioli che lo compongono, e resi noi (dal 3 0obre 994) in empo reale araverso sisemi informaivi eleronici. Figura.: Andameno dell'indice Mib30 Su ale indice è sao cosruio il primo conrao fuure della Borsa ialiana, il Fib30; più recenemene è sao affiancao al Fib30 un alro fuure, il Mini Fib30. Inolre il Mib30 cosiuisce anche l aivià soosane (underlying) ad uno specifico conrao di opzioni, il Mibo Composizione La composizione dell indice e la scela dei pesi dei ioli che lo compongono, vengono effeuae dalla Borsa Ialiana S.p.A, araverso il calcolo dell indice di liquidià e capializzazione (ILC). Per ogni azione quoaa (con riferimeno ai dai aggiornai a 5 giorni di Borsa apera anecedeni la daa di efficacia del provvedimeno) si deermina: La capializzazione media giornaliera (CampMg i ), risulane dal prodoo del numero di azioni in circolazione per la media dei prezzi ufficiali nei sei mesi precedeni (evenualmene reificai in seguio ad operazioni sul capiale), ovvero: CampMg i = Numero di azioni emesse media dei prezzi su sei mesi. 6

13 Capiolo I Concei generali Il volume (conrovalore) medio giornaliero degli scambi (VolMg i ) relaivo allo sesso semesre. Il coefficiene α i definio come: CapMg i α i =. VolMgi Si procede poi ad un calcolo analogo per un indice α M di mercao. α M i N = = N i= CapMg VolMg i i dove N è il numero di azioni preseni nel mercao. Infine, si calcola un Indicaore di Liquidià e Capializzazione ( ILC ) per l i -esimo iolo come segue: i ILC i = CapMg i + α VolMg M i In base all indicaore ILC viene silaa una graduaoria delle azioni e vengono incluse nel paniere le azioni con ILC più elevao.. Dalla graduaoria sono escluse:. Tra le diverse caegorie di azioni di una sessa emiene, le azioni con ILC più basso, considerando la caegoria con ILC più alo;. I ioli il cui α i azionario superi il valore di 0.000, al fine di eviare che azioni caraerizzae da uno scarso livello di liquidià nonosane un elevaa capializzazione enrino a far pare dell indice; 3. Le azioni il cui periodo di conraazione ufficiale presso la Borsa non sia rienuo sufficienemene significaivo; 4. Le azioni per le quali esise, al momeno della selezione, la ragionevole cerezza che i requisii fondamenali necessari alla loro inclusione nell indice 7

14 Capiolo I Concei generali (liquidià, elevaa capializzazione di mercao, conraazione ufficiale) verranno a mancare nei sei mesi successivi; I ioli non inclusi nell indice vengono ordinai in base ai relaivi valori ILC e enui di riserva. Tioli Numero Prezzo Capializzazione Pesi(%) azioni base Auogrill , ,7833 Alleanza Assicurazioni , Auosrade , ,007 Banca Fideuram , ,0495 Banca Inesa ord , ,7566 Banca Mone Paschi Siena , ,63730 Banca Nazionale Lavoro ord , ,07888 Banche Popolari Unie , ,4354 Banco Popolare di Verona e Novara , ,9990 Capialia , ,77043 Edison ord , ,59690 ENEL , ,65368 ENI , , Fia ord , ,63967 Finmeccanica , , Generali , ,07088 Luxoica Group , , Mediobanca , ,7393 Mediolanum , ,860 Mediase , ,94778 Banca Anonvenea , ,338 Sea Pagine Gialle ord , ,58357 Ras ord , , San Paolo IMI , ,86986 Saipem ord , ,73744 Snam Ree Gas , ,74030 STMicroelecronics , , TIM ord , ,60573 Telecom Ialia ord , ,47469 UniCredio Ialiano ord , ,35604 Tabella.:Tioli componeni l indice Mib30 in vigore dal 3 dicembre 003 La formula uilizzaa per il calcolo dell indice Mib30 con base fissaa pari a alla daa del 3 Dicembre 99 è la seguene dove Mib 30 () = p p (, i) ( 0 i) i=, () w i 8

15 Capiolo I Concei generali w () i p = 30 i = ( 0, i) q( 0, i) p( 0, i) q( 0, i) Nelle formule precedeni (caraerisiche di un indice di Laspeyres), p ( 0, i) e q 0,i sono rispeivamene il prezzo-base e il numero-base di azioni in circolazione della i-esima azione e p (, i) è l ulimo prezzo fao regisrare da ciascuna azione inclusa nel paniere alla scadenza di un inervallo di empo presabilio. ( ) Il valore dell indice viene aggiornao di minuo in minuo durane la sedua di Borsa (procedura di fixing) in base al prezzo dell ulimo conrao concluso su ciascun iolo del paniere. Ogni minuo si rileva: il valore dell indice, la sua variazione percenuale, il numero di ioli in fase di negoziazione, la percenuale dei ioli negoziabili rapporaa al peso del paniere, la endenza dell ulimo valore calcolao rispeo al precedene e l ora di rilevazione. Se nel corso della sedua di Borsa un iolo del paniere non è negoziao, per il calcolo dell indice si uilizza il prezzo dell ulimo conrao concluso nella sedua di Borsa precedene. A fine giornaa il Mib30 è calcolao in base al prezzo di chiusura delle Blue chips 4. Ogni giorno, al ermine delle conraazioni, viene calcolao il valore del Mib30 uilizzando i prezzi di riferimeno 5 di ciascun iolo (Mib30-r), valido per la generazione delle basi negoziabili delle opzioni sull indice sesso..3. Revisione La composizione del Mib30 viene rivisa ed evenualmene modificaa due vole l anno, nei mesi di marzo e seembre (revisioni ordinarie). Tali aggiornameni hanno sempre efficacia a parire dal primo giorno di Borsa apera successivo alla scadenza degli srumeni derivai collegai all indice, salvo che nel caso di scissione di socieà. Le revisioni ordinarie essere uavia anicipae o posicipae, previa empesiva comunicazione al mercao, in considerazione di eveni eccezionali; ad esempio, la 4 In Ialia sono dee blue chips le azioni appareneni all'indice Mib30. Rispeo alle alre azioni, offrono, a parià di rendimeno aeso, un rischio generalmene più basso. 5 Il prezzo di riferimeno è pari alla media ponderaa dell ulimo 0% delle quanià negoziae, al neo delle quanià scambiae mediane la funzione cross-order. E uilizzao come paramero di inizio delle negoziazioni della giornaa successiva. 9

16 Capiolo I Concei generali revisione viene posicipaa se si riiene che effeuare inerveni roppo ravvicinai possano generare siuazioni di elevaa volailià: se l indice è già sao aggiornao a gennaio (revisione sraordinaria), in genere, non si procede all aggiornameno di marzo. Si procede, invece, ad una modifica anicipaa del paniere del Mib30 se una socieà emiene di un iolo del paniere si scinde, dando via a due socieà che presenino requisii di capializzazione e liquidià ali che le loro azioni possano essere incluse nell indice. Qualora solo una delle due socieà preseni i requisii di immissione nel MIB 30, non si procede alla revisione anicipaa, ma la composizione dell indice viene modificaa nella successiva revisione regolare. La composizione dell indice è modificaa anicipaamene anche quando viene quoaa una nuova socieà la cui capializzazione è almeno il 3% di quella del mercao, incluso il nuovo iolo. E sao il caso della quoazione dell ENI, le cui azioni sono sae incluse nel Mib30 in anicipo rispeo alla revisione ufficiale. Nel periodo inercorrene ra una revisione e la successiva, avvenimeni eccezionali quali, ad esempio, la cancellazione dalle quoazioni ufficiali di un iolo, la sospensione delle conraazioni per più di dieci giorni consecuivi di Borsa apera, la perdia rilevane ed acceraa di liquidià o capializzazione in seguio ai quali il Mib30 verrebbe presumibilmene a perdere la propria efficacia come indicaore di liquidià e capializzazione di mercao, possono porare all esclusione di una azione dal paniere. In quesi casi, le azioni escluse vengono sosiuie da quelle successive nella graduaoria silaa in base all indicaore ILC dell ulima revisione, e viene effeuao il ricalcalo dei pesi dell inero paniere uilizzando come prezzo-base per ue le azioni quello di aperura del giorno successivo in cui diviene efficace l aggiornameno, e come numero-base delle azioni quello presene sul lisino re giorni di borsa apera anecedeni ale inerveno. Il Mib30 non prevede alcun aggiornameno per il pagameno di regolari dividendi per le azioni componeni il paniere. Per superare ogni erraa percezione di disconinuià da pare del mercao viene calcolaa l incidenza in ermini sia assolui (puni-indice) sia percenuali e se ne diffonde la risulanza araverso i canali informaivi abiualmene uilizzai dagli operaori. Al fine di dare coninuià all indice, in caso di sacco di dividendi sraordinari dalle azioni componeni il paniere, si applica un 0

17 Capiolo I Concei generali coefficiene di reifica seguene modo k, sia al prezzo-base che al numero delle azioni, calcolao nel k = P P D In occasione di ogni inerveno di modifica della composizione del paniere, la coninuià della serie sorica dell indice viene risabilia raccordando, all ulimo valore rivelao prima della revisione, quello calcolao secondo il paniere revisionao. Più precisamene, si assume come base per l indice il suo ulimo valore con il vecchio paniere..4 Opzioni I conrai di opzione su azioni sono sai raai in Borsa per la prima vola nel 973. Le opzioni vengono ora raae in diverse Borse sparse per uo il mondo. Volumi enormi di opzioni vengono negoziai anche nei mercai over he couner da banche e alre isiuzioni finanziarie. Le aivià soosani includono le azioni, gli indici azionari, le value, le obbligazioni, le merci e i conrai fuures. Le opzioni sono conrai che conferiscono il dirio di acquisare (call opion) o vendere (pu opion) una cera quanià di un aivià soosane (underlying) ad una cera daa fuura e ad un prezzo predeerminao al momeno della sipula. La daa indicaa nel conrao è dea daa di esinzione (expiraion dae), daa d esercizio (exercise dae) o scadenza (mauriy). Il prezzo specificao nel conrao è chiamao prezzo di esercizio (exercise price) o prezzo base (srike price). Le opzioni si disinguono in due ipologie: europee o americane 6. Le prime riservano l esercizio del dirio solo alla scadenza del conrao, le seconde permeono l esercizio del dirio in ogni momeno della via. Una differenza sosanziale ra le opzioni e gli alri conrai derivai dei anche dirii coningeni (coningen claims) è deerminaa dal fao che si acquisisce un dirio (facolà) a compiere una cera 6 Si noi che il ermine europea ed americana non si riferiscono alla localizzazione dell opzione o della borsa.

18 Capiolo I Concei generali operazione in un deerminao periodo, e non un obbligo come quello che compee ad una conropare che ha negoziao un qualsiasi alro conrao (basi pensare ad un conrao fuures o ad un conrao forward). Il dirio alla presazione è concesso dal vendiore dell opzione (wrier) all acquirene (buyer) e, per queso, il vendiore riceve una somma monearia chiamaa premio o coso dell opzione: quesa caraerisica, come rappresenao nelle figure. e.3, è alla base dell asimmeria del payoff 7 che spea al deenore dell opzione. Profii Premio Prezzo d esercizio Curva profii/perdie per chi acquisa Premio Prezzo del soosane Curva profii/perdie per chi vende Perdie Figura.: Payoff di un'opzione call Una paricolare erminologia viene adoaa per indicare la posizione su un opzione: chi vende assume una posizione cora (shor posiion), chi invece acquisa assume una posizione lunga (long posiion). Profii Curva profii/perdie per chi vende Prezzo d esercizio Premio Premio Prezzo del soosane Perdie Curva profii/perdie per chi acquisa Figura.3: Payoff di un'opzione pu 7 Il empo necessario affinché il reddio moneario di un invesimeno eguagli il coso iniziale dell invesimeno sesso.

19 Capiolo I Concei generali Il cosiddeo valore inrinseco di un opzione è rappresenao dal differenziale posiivo, per il iolare dell opzione, ra il prezzo di mercao e lo srike price. Nell opzione call è rappresenao dalla differenza ra il prezzo spo di mercao dell aivià soosane, S, e lo srike price, X. Viceversa, per l opzione pu il valore inrinseco è pari alla differenza ra lo srike ed il prezzo spo di mercao. Call = max Pu = max ( 0, S X ) ( 0, X S ) Non può avere un valore negaivo perché il iolare dell opzione, non avendo un obbligo, non la esercierebbe lasciandola decadere. In base al valore inrinseco (inrinsic value) l opzione può essere in-he-money (ITM), a-he-money (ATM) o ou-of-hemoney (OTM). Sao Call Pu In-he-money S>X S<X A-he-money S=X S=X Ou-of-he-money S<X S>X Se un opzione ha valore inrinseco posiivo è dea in-he-money ed è quindi conveniene per il iolare eserciarla. Più precisamene, quando: in una opzione call, il prezzo dell aivià soosane sul mercao è maggiore del prezzo di esercizio; in una opzione pu, il prezzo di esercizio è maggiore del prezzo di mercao dell aivià soosane. L opzione è a-he-money quando ha valore inrinseco pari a zero ed è indifferene per il iolare eserciarla oppure no. Queso è il caso in cui il prezzo d esercizio è uguale al prezzo dell aivià soosane. Porebbe comunque risulare conveniene eserciare l opzione se si considerano le commissioni di inermediazione, dovue 3

20 Capiolo I Concei generali all inermediario, per gli evenuali acquisi sullo sesso soosane e le aspeaive sull andameno fuuro del soosane medesimo. L opzione è ou-of-he-money quando ha valore inrinseco pari a zero ed è quindi non conveniene per il iolare eserciarla. Più precisamene, quando: in una opzione call, il prezzo di esercizio supera il prezzo dell aivià soosane sul mercao; in una opzione pu, il prezzo di mercao dell aivià soosane supera il prezzo di esercizio. Le aivià soosani su cui può essere scria un opzione sono diverse. Possono essere scrie opzioni su value (currency opions), che danno dirio di acquisare o vendere una deerminaa quanià di valua esera: risulano molo uili a isiuzioni finanziarie e invesiori che desiderano coprirsi dal rischio di cambio. Diffuse e imporani sono anche le opzioni su indici (index opions), vole ad esempio all assicurazione di grossi porafogli azionari ben diversificai, e le opzioni su fuures (fuures opions). Le più noe comunque, in Ialia, rimangono le opzioni su azioni, come le opzioni ISO-α, che danno dirio al deenore di acquisare o vendere un loo prefissao di azioni di un cero iolo..5 Mibo30 Mibo30 è la sigla che individua il conrao d opzione di ipo europeo scrio sull indice Mib30. E sao inrodoo dal Consiglio di Borsa il 5 Novembre 995, ed è negoziao sull IDEM (Ialian Derivaives Equià Marke). Il Mibo30 è un conrao d opzione sandardizzao con caraerisiche predefinie. Pagando un premio, pari al prodoo ra il prezzo di negoziazione dell opzione e il moliplicaore del conrao (pari a.5 Euro, imporo aribuio ad ogni puno indice), il conrao aribuisce all acquirene il dirio a riscuoere a scadenza un imporo pari al prodoo ra il moliplicaore e la differenza ra il valore dell indice sabilio al momeno della sipula del conrao (srike price) e il valore alla scadenza (prezzo spo). I conrai fuure, come il Fib30 e il MiniFib30, sono conrai simmerici in cui enrambe le conropari si impegnano ad eseguire a scadenza le condizioni 4

21 Capiolo I Concei generali definie nel conrao sesso; menre il conrao Mibo30 offre una facolà (un opzione appuno) al buyer e compora un obbligo al wrier. Queso implica che, se si acquisa un fuure si rischia una perdia ano maggiore quano più elevaa è la variazione negaiva del prezzo menre se si acquisa un opzione, la massima perdia in cui si può incorrere è pari al premio pagao. Quindi, nel caso di andameno sfavorevole del mercao, il pagameno del premio da pare del buyer svolge una funzione assicuraiva 8, cosiuendo un limie alla perdia; viceversa, nel caso di un andameno favorevole nei prezzi dell underlying, il premio compora una riduzione dei guadagni. Per il vendiore dell opzione, invece, i rischi sono ali dal momeno che le perdie sono poenzialmene illimiae. Riporiamo un esempio, chiarificaore di quano affermao in precedenza, basao sulla abella.: Un invesiore decide di acquisare un opzione call sul Mib30 con scadenza febbraio 004 e con lo srike price pari a puni indice. Il premio è pari a 445. L invesiore versa un imporo pari al premio moliplicao per il moliplicaore del conrao (,5 ):445 x,5 =,5 Alla scadenza l indice vale puni indice. L opzione è in-he-money di 550 puni indice: l invesiore esercia l opzione e dunque gli viene accrediao un imporo pari a:( ) x,5 =.375. Se alla scadenza l opzione fosse saa a-he-money (srike price = valore dell indice), o ou of-he-money (srike price < valore dell indice), non avrebbe avuo alcun valore e sarebbe scadua senza essere eserciaa, avendo così una perdia solo del valore del conrao (,5.) Lo scosameno minimo di prezzo (ick), inizialmene fissao ad puno indice, varia a seconda del prezzo dell opzione: se il prezzo dell opzione è inferiore a 00 puni indice, il ick è pari a puno indice; se è compreso ra 0 e 500 puni indice, il ick vale puni indice; se invece supera i 505 puni indice, il ick è pari a 5 puni indice. Le negoziazioni si svolgono dalle 9:5 alle 7:40, in cui si può procedere alla sipula di conrai con scadenze mensili e rimesrali (marzo, giugno, seembre e dicembre). 8 Per maggiori deagli Leland H., L assicurazione di porafoglio Elemeni eorici e applicaivi, Il Mulino, 999, Bologna. Edizione originale: Porfolio Insurance. 5

22 Capiolo I Concei generali Srike Scadenza Tipo Prezzo Tipo Prezzo Febbraio C - P Febbraio C - P Febbraio C - P Febbraio C 3699 P Febbraio C 30 P Febbraio C - P Febbraio C 30 P Febbraio C 646 P Febbraio C 34 P Febbraio C 804 P Febbraio C 445 P Febbraio C 93 P Febbraio C 76 P Febbraio C - P Febbraio C - P Febbraio C - P Febbraio C - P Febbraio C - P - Tabella.: Alcune Opzioni sull indice Mib30 quoae al 6 gennaio 004 In ogni sedua di Borsa sono quoae conemporaneamene sei scadenze: le due scadenze mensili più ravvicinae e le quaro scadenze rimesrali. Per ogni mese di scadenza, l ulimo giorno di conraazione coincide con il erzo venerdì del mese alle 9:30. Se si raa di un giorno di Borsa chiuso, la scadenza si ha nel primo giorno di Borsa apera precedene. Dal primo giorno di Borsa apera successivo è quoaa la nuova scadenza. Per ogni scadenza call e pu sono quoai almeno 9 prezzi di esercizio ( a-he-money, 4 in-he-money e 4 ou-of-he-money), fissai con inervalli di 500 puni indice. Quoidianamene si inroducono nuovi srike price, qualora il Mib30-r (calcolao sui prezzi di riferimeno e non sui prezzi ufficiali 9 ) subisca variazioni superiori a 500 puni indice. Un invesiore che vuole operare sugli srumeni finanziari negoziai sull IDEM, ad esempio sipulando un opzione Mibo30, deve rivolgersi ad un inermediario (Marke maker) che aesi la propria adesione come Clearing member alla Cassa di Compensazione e Garanzia (CCG). 9 Nel MTA e nel Nuovo Mercao il prezzo ufficiale è il prezzo medio, ponderao per le relaive quanià, di ui i conrai conclusi durane la sedua di Borsa, esclusi i conrai eseguii con la funzione cross-order. Quesa definizione differisce per ogni mercao (Mercao Telemaico dei covered warran, Mercao Telemaico delle obbligazioni e Tioli di Sao, Euromo, IDEM). 6

23 Capiolo I Concei generali La CCG è una socieà per azioni, cosiuia il 3 marzo 99, i cui azionisi sono la Borsa Ialiana S.p.A., 6 banche ed una socieà di inermediazione mobiliare (SIM). La sua aivià, vigilaa dalla CONSOB e dalla Banca d Ialia, consise nell assicurare la compensazione e la conclusione dei conrai sipulai sia sui mercai dei ioli azionari che sui mercai dei derivai. In paricolare funge da Clearing House per i derivai negoziai sull IDEM e sul MIF, 0 ponendosi come conropare negoziale sia dall acquirene, sia dal vendiore dei conrai, in modo che le due pari non enrino mai in conao. La CCG garanisce la chiusura delle posizioni apere, araverso la consegna fisica dell aivià soosane al conrao, o la compensazione con posizioni di segno opposo. Araverso un sisema di margini assicura alle pari l adempimeno delle condizioni conrauali, e in caso di inadempienza di una conropare provvede a regolare quano dovuo eliminando così il rischio di insolvenza. Il vendiore di un Mibo30 deve versare alla CCG un margine iniziale di garanzia, che può essere corrisposo in conane o in Tioli di Sao. Quando si vendono opzioni, infai, occorre cosiuire un deposio di garanzia che ueli l inermediario e la Clearing House dall evenualià che l invesiore si possa rovare in uno sao di insolvenza al momeno dell esercizio dell opzione. i margini richiesi dalla CCG sono esclusivamene margini iniziali; non si richiedono margini di variazione. Nel caso delle opzioni ISO-α il wrier della call può deposiare a garanzia i ioli soosani: ali posizioni non sono soggee a margini. Alla scadenza del conrao, le posizioni in-hemoney sono liquidae in conani, araverso il versameno alla CCG da pare del vendiore della differenza ra lo srike price e il prezzo di liquidazione dell indice, e araverso l accredio del medesimo imporo all acquirene. L accredio è effeuao dalla CCG il primo giorno di Borsa apero successivo a quello di scadenza. Le propose di negoziazione sono inserie in un book e sono caraerizzae da informazioni relaive allo srumeno, alla quanià, al ipo di operazione e alle condizioni impose. Gli operaori possono immeere varie propose, ra cui quella singola (single orders), relaiva ad una sola opzione; combinaa sandard (sandard combinaion orders), relaiva a due opzioni simulaneamene e combinaa non sandard (non sandard combinaion oredrs) relaiva a più opzioni in relazioni non predefinie. Le 0 Mercao regolamenao sul quale si negoziano i fuures e le opzioni aveni come aivià soosane Tioli di Sao e assi d ineresse (fuure sul BTP a 0 anni, fuure sul BTP a 30 anni, fuure sul asso EURIBOR a mese e opzione sul BTP fuure). 7

24 Capiolo I Concei generali propose sono disine ra acquiso/vendia e ordinae in base al prezzo (assume priorià quella con prezzo migliore) e, a parià di prezzo, in base all ordine emporale di immissione. Le opzioni, come ad esempio le Mibo30, sono quindi, srumeni finanziari araverso i quali gli invesiori possono cosiuire un esposizione, o coprirsi da un esposizione sul mercao, con un esborso conenuo di capiale. Consenono inolre di assumere posizioni sul mercao azionario senza, per queso, dover acquisare i ioli dell indice..5. Effeo dei dividendi L azionisa usufruisce della possibilià di parecipare ai profii dell azienda, qualora essi siano disribuii soo forma di dividendo, come iolo di remunerazione del capiale invesio. Affinché sia possibile comprendere la valuare di opzioni scrie su ioli che pagano dividendi si procede ad una breve raazione dell argomeno. Per quano riguarda il raameno dei dividendi, la maggior pare degli indici azionari (ra cui il Mib30) è calcolao in base ai corsi el quel dei ioli, cosicché nei giorni di sacco dei dividendi si verifica, a parià di alre condizioni, una riduzione dell indice causaa dalla riduzione del valore di mercao dei ioli che lo compongono. Una minoranza di indici iene invece cono dello sacco dei dividendi, o con l aggiuna del dividendo già pagao al valore dei ioli inclusi, o con la valuazione dei ioli a corso secco 3 presuno. Se l indice è sufficienemene ampio e le disribuzioni di dividendi sono riparie regolarmene durane l anno, è allora legiimo supporre in prima approssimazione che i dividendi delle azioni che lo compongono siano versai in coninuo ad un asso cosane q, deo dividend yield. Tuavia queso approccio può radursi in errori nella Quesa pare del lavoro viene inseria solo a iolo nozionisico; in quano il lavoro seguene vererà su opzioni europee scrie su ioli che non pagano dividendi. Prezzo di negoziazione comprensivo del raeo di ineresse/dividendo maurao dal giorno dell ulimo godimeno al giorno della negoziazione. Se un iolo è negoziao a corso el quel la pare di ineresse/dividendo maurai speano a chi vende il iolo e non al suo acquirene. Le azioni e le obbligazioni zero coupon sono quoae con quesa modalià. 3 Prezzo al quale è negoziao il solo capiale del iolo. Sul mercao di Borsa ialiano sono negoziai a corso secco i BTP, i CCT e le obbligazioni ad eccezione di alcuni casi paricolari. Per quesi ioli il prezzo pagao all ao della negoziazione e pari alla somma del corso secco e degli ineressi maurai dall ulimo godimeno fino al giorno in cui si liquida l operazione di compravendia. 8

25 Capiolo I Concei generali valuazione, perché i dividendi possono avere un influenza negaiva (posiiva) sul prezzo delle calls (pus) quano più le opzioni siano prossime alla scadenza, quano più gli sacchi siano concenrai durane la via residua dell opzione e quano più le azioni che disribuiscono i dividendi abbiano un grosso peso nell indice; quindi, sarebbe preferibile enere cono dei dividendi che saranno realmene versai dalle socieà durane la via residua dell opzione. Tuavia queso implica che si conosca l ammonare e la daa di sacco dei dividendi con cerezza. Ciò non crea grossi problemi quando l opzione ha una via residua breve, in quano le socieà soliamene annunciano la daa di sacco e l ammonare del dividendo con largo anicipo. I maggiori rischi si hanno, anche su scadenze brevi, in possibili riduzioni dell ammonare del dividendo fino alla sua complea sospensione, menre possibili aumeni dell ammonare sono meno frequeni e più prevedibili. Un uleriore rischio sorge quando si prevede che azioni componeni l indice sacchino un dividendo di ammonare significaivo in prossimià della daa di scadenza dell opzione: in queso caso non si è sicuri se considerarlo o meno, poiché non si conosce con esaezza se la daa di sacco cadrà prima o dopo la daa di scadenza dell opzione. Il Mib30 non è soggeo ad una erosione coninua e cosane del suo valore a causa dei dividendi saccai dalle azioni dell indice sesso. La quasi oalià delle socieà componeni l indice saccano il proprio dividendo una vola l anno nei mesi di aprile, maggio o giugno. Poiché, come abbiamo deo, le socieà annunciano con un cero anicipo lo sacco del dividendo, queso implica che le dae di sacco e gli impori siano prevedibili. Perano, si dovrà apporare un aggiusameno del valore dell indice nel caso in cui vengano disribuii dividendi durane la via delle singole opzioni esaminae. Nel caso di disribuzione coninua dei dividendi si raa in sosanza di reificare il prezzo dell indice S T araverso il faore di scono in regime coninuo al valore del dividend yield, q, e per il empo residuo alla scadenza ( T ). S = S e q ( T ) Nel caso di disribuzione reale dei dividendi, l aggiusameno si oiene in praica soraendo dal prezzo dell indice il valore dei dividendi aualizzando per il empo inercorrene fino alla daa di sacco. 9

26 Capiolo I Concei generali Nel caso del Mib30 si ha S = S 30 i= D e i r i dove sacco. Di è l imporo del dividendo della socieà i-esima e il empo che manca allo Vediamo, nel caso del Mib30, come si possono effeuare i calcoli necessari. Riprendiamo la formula dell indice e la modifichiamo in modo da evidenziare oenendo i ( i) p, Mib 30 avendo definio 30 () = p(, i) i= q ( 0, i) ( 0, i) q( 0, i) = 30 p i= i= 30 p (, i) g(, i) g () i = 30 i = q p ( 0, i) ( 0, i) q( 0, i) Noiamo che g ( i) non sono veri e propri pesi, in quano la loro somma non è necessariamene pari a. Infai i g () i = 30 i= p i= q( 0, i) = ( 0, i) q( 0, i) cioè oeniamo una frazione, moliplicaa per 0.000, con il denominaore pari alla capializzazione base del paniere e il numeraore pari alla somma di ue le azioni nel periodo base. I pseudo-pesi sono i veri moliplicaori dei prezzi delle azioni nel calcolo del valore dell indice, che devono essere uilizzai per pesare i dividendi in modo da ener cono della capializzazione borsisica delle azioni che li disribuiscono, e da rasformare il valore del dividendo pesao da unià monearia in 0

27 Capiolo I Concei generali un valore in puni indice, che quindi può essere derao (dopo essere sao aualizzao) dal valore dell indice. Ad ogni modo, nel corso di lavori empirici che prevedono simulazioni è necessario disporre del valore del dividend yield; alcuni concei che verranno espressi in quesa pare conclusiva del paragrafo saranno di maggior comprensione al leore solo dopo aver preso visione del capiolo successivo. Seguendo similmene la meodologia adoaa da Engle, Noh e Kane 4 è possibile cosruire la serie mensile del dividend yield implicio grazie alla pu-call pariy. La relazione che lega il prezzo della pu con quello della call ; nel caso di opzioni scrie su indici è la seguene c + Xe r ( T ) q( T ) = p + S e dove c e p sono rispeivamene i prezzi della call e della pu, r il risk-free, q il dividend yield, S il valore correne del soosane, X lo srike price, T la via residua dell opzione. Espliciando q oeniamo il dividend yield implicio. ) q = ( T ) r c + Xe ln S ( T ) p Tramie l equazione precedene si sima giornalmene il valore del dividend yield eliminando le osservazioni che rendono nullo o negaivo il numeraore del logarimo. Forzando la pu-call pariy è naurale aspearsi moli casi in cui il valore risula negaivo. Si calcola infine una media mensile, e nel caso risuli negaiva il dividend yield è poso a zero. 4 Engle R. F., Noh J., Kane A., A Tes of Efficiency for he S&P500 Index Opion Marke Using Variance Forecass, Journal of Derivaives,, (994), 7-30.

28 Capiolo I Concei generali

29 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai Capiolo II L obieivo di queso capiolo è quello di ricavare una espressione esplicia del prezzo di equilibrio di un opzione call di ipo europeo scria su ioli che non pagano dividendi. L equazione differenziale di Black & Scholes rappresena un puno conceuale di primaria imporanza nel modello di deerminazione del prezzo delle opzioni opion pricing model. La comprensione di queso approccio, quindi, rappresena il primo passo per comprendere la valuazione delle opzioni e di alri derivai più complessi. Il modello Black & Scholes offre una descrizione meno che perfea del mondo reale; gli operaori però ricorrono, nella praica, molo frequene a ale modello sia perché è di facile uilizzo sia perché richiede la sima di un solo paramero: la volailià. Nel capiolo, olre ad analizzare le assunzioni che deerminano la soluzione proposa da Black & Scholes, si inroduce un conceo chiave per ovviare il problema della sima della volailià: la volailiy smile.. Analisi Black & Scholes All inizio degli anni 70, Fischer Black e Myron Scholes hanno scrio un lavoro fondamenale nel quale hanno ricavao l equazione differenziale che deve essere soddisfaa dal prezzo, c, di ogni derivao che dipende da un iolo che non paga 3

30 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai dividendi. L equazione venne usaa da quesi auori per ricavare le formule di valuazione delle calls e delle pus scrie su azioni. Il loro lavoro, ancora oggi, ha un enorme influenza sul modo in cui gli operaori valuano le opzioni e su come cosruiscono le operazioni di coperura. Black e Scholes scoprirono che soo le loro assunzioni è possibile formare un porafoglio privo di rischio acquisando azioni e vedendo una call europea scria sullo sesso. (Teoricamene, resa privo di rischio solo per un periodo isananeamene breve). Il moivo per cui è possibile formare un porafoglio privo di rischio dipende dal fao che sia il prezzo dell azione sia il prezzo dell opzione sono influenzai dalla sessa fone di incerezza: le variazioni del prezzo dell azione. In ogni breve inervallo di empo, il prezzo di una call è perfeamene correlao, in modo posiivo, con il prezzo del iolo soosane menre il prezzo di una pu è perfeamene correlao in modo negaivo. In enrambi i casi, quando si forma un appropriao porafoglio di azioni e opzioni, il profio o la perdia sulla posizione in ioli viene sempre compensao dalla perdia o dal profio sulla posizione in opzioni cosicché il valore complessivo del porafoglio alla fine del breve inervallo di empo risula sempre noo con cerezza. Si supponga, ad esempio, che in un paricolare isane di empo la relazione ra una piccola variazione del prezzo dell azione, prezzo di una call europea, c, sia la seguene: S, e la conseguene piccola variazione del c = 0, 6 S. Daa quesa relazione, che nel breve periodo può essere consideraa come deerminisica, un porafoglio con, una posizione lunga su 0,6 azioni ed una posizione cora su call è privo di rischio. Queso vale solo per un breve periodo di empo; per resare privo di rischio il porafoglio deve essere aggiusao o ribilanciao spesso. Si veda Black F. e Scholes M., The pricing of Opions and colorae Liabiliies, Journal of Poliical Economy, 8 (maggio-giugno 973), Si veda paragrafo.9. 4

31 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai Le assunzioni fae per ricavare l equazione differenziale di Black e Scholes sono le segueni:. Il prezzo dell azione segue una disribuzione log-normale con media e varianza cosani.. Le vendie allo scopero sono consenie e non esisono resrizioni all uilizzo dei relaivi proveni. 3. Non esisono cosi di ransizione o asse. I ioli sono perfeamene divisibili. 4. L azione non paga dividendi durane la via del derivao. 5. Non esisono opporunià di arbiraggio prive di rischio. 6. I ioli vengono negoziai coninuamene. 7. Il asso d ineresse a breve privo di rischio, r, è uguale per ue le scadenze.. Assunzione di log-normalià dei prezzi delle azioni Una variabile è disribuia in modo log-normale se il logarimo naurale della variabile ha una disribuzione normale. Se il prezzo, S, di un azione segue un moo geomerico Browniano e per il lemma di Io 3 si ha: ds = µ Sd + σsdz (.) σ d ln( S) = µ d + σdz (.) Di conseguenza ln( S T ) segue un processo di Wiener generalizzao e ln( S T ) ha la seguene disribuzione. 3 Si veda Io K., On Sochasic differenial Equaions, Memoirs, American Mahemaical Sociey, 4 (95), -5. 5

32 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai dove ln σ ( S ) ln( S ) N µ ( T ), σ ( T ) T (.3) S è il prezzo dell azione nel fuuro isane di empo T, S è il prezzo T dell azione al empo correne e N ( m, s) sa ad indicare una disribuzione normale con media m e deviazione sandard s. La deviazione sandard di ln ( S T ) è proporzionale a T. Ciò vuol dire che la nosra incerezza circa il logarimo del prezzo dell azione, così com è misuraa dalla sua deviazione sandard, è proporzionale alla radice quadraa di quano lonano guardiamo in avani nel empo. Il valore aeso di S T e la sua varianza sono: E µ ( T ) ( S T ) = Se VAR µ ( T ) ( T ) ( S ) = S e [ e ].3 Disribuzione del asso di rendimeno. (.4) Le proprieà di log-normalià dei prezzi delle azioni possono essere usae per avere informazioni sulla disribuzione probabilisica del asso di rendimeno dell azione (composo coninuamene) relaivo al periodo ra e annuo (composo coninuamene) relaivo al periodo ra e T. 4 Se T. Sia η il asso di rendimeno S T = Se η( T ) applicando il ln() si ha 4 E imporane disinguere ra il asso di rendimeno annuo composo coninuamene, η, e il asso di rendimeno annuo non composo. Ques ulimo pari a ST S T S il quale è sempre maggiore di η. 6

33 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai ST η = ln T S (.5) in base alle proprieà delle disribuzioni normali, sosiuendo l equazione (.3) nell equazione (.5) si ha che il asso di rendimeno annuo composo dell azione (composo coninuamene) è disribuio in modo normale con media deviazione sandard σ / ( T ). Ovvero µ σ / e σ σ η N µ, T.4 Sima della volailià in base ai dai sorici (.6) Per simare la volailià del prezzo di un azione si può uilizzare la serie sorica dei suoi assi di variazione 5. Di solio, il prezzo di un azione viene rilevao ad inervalli di empo fissi (ad esempio, ogni giorno, ogni seimana od ogni mese). Sia : n + : il numero di osservazioni S i : il prezzo dell azione alla fine i-esimo inervallo (i = 0,, n) τ: la lunghezza dell inervallo in anni e sia u i S = ln Si i u Dao che S e i, u è il asso di rendimeno composo coninuamene (non annualizzao) relaivo all inervallo. Una sima, s, della deviazione sandard delle u e daa da Si = i i i 5 Nel proseguo della esi spiegheremo un alro meodo per deerminare la volailià del prezzo di un azione basao sulla volailià implicia. 7

34 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai s = n n ( u i u ) i= dove u è la media delle u i. In base all equazione (.3), la deviazione sandard delle u i è pari a σ τ. Perano, la variabile dove s * è una sima di σ τ. Ne segue che lo sesso σ può essere simao da s, * s = s τ * L errore sandard di quesa sima è approssimaivamene pari a s / n. Scegliere un valore appropriao per n non è facile. A parià di condizioni, più dai si usano maggiore è l accuraezza. Tuavia, σ cambia nel empo e i dai roppo vecchi possono non essere rilevani per prevedere il fuuro. Un compromesso che sembra funzionare abbasanza bene è quello di usare i prezzi di chiusura giornalieri degli ulimi giorni. Una regola praica che viene spesso usaa è quella di far corrispondere il periodo di empo nel quale si misura la volailià con il periodo di empo al quale va applicaa. Perano, se si raa di valuare un opzione a mesi si useranno mesi di dai sorici. Una quesione imporane è poi quella dell unià di misura del empo: dovendo simare, ed usare, i parameri di volailià occorre decidere se il empo vada misurao in giorni di calendario o in giorni lavoraivi. Ricerche empiriche condoe finora suggeriscono l adozione dei giorni lavoraivi. In alri ermini, ai fini del calcolo della volailià, si dovrebbero ignorare i giorni in cui le borse sono chiuse. Le formule precedeni assumono che il iolo non paghi dividendi ma possono essere adaae al caso in cui il iolo paghi dividendi. Il asso di rendimeno, un inervallo di empo che include una daa di sacco dei dividendi è dao da u i, relaivo ad u i Si + D = ln Si dove D è l imporo del dividendo. Il asso di rendimeno relaivo agli alri inervalli resa uguale. Tuavia, dao che i faori fiscali giocano un ruolo di rilievo nel 8

35 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai deerminare i assi di rendimeno in prossimià di una daa di sacco dei dividendi, probabilmene è meglio scarare ue le osservazioni relaive ad inervalli che includono una daa di sacco..5 Equazione differenziale di Black & Scholes Assumiamo che il prezzo spo, nell equazione (.). S, dell azione segua il processo presenao Sia c il prezzo di una call o di un alro derivao che dipende da S. La variabile c deve essere una cera funzione di versioni discree si ha: e c c c = µ S + + S e. Perano in base al lemma di Io 6 nelle S = µ S + σs z c σ S S c + σs z S (.7) (.8) dove S e c sono le variazioni di S e c in un piccolo inervallo di empo,. in riferimeno al lemma di Io, i processi di Wiener da cui è influenzaa la dinamica di e c sono gli sessi; in alri ermini, nelle equazioni (.7) e (.8), i S z equivalgono a ε 7. Ne segue che, scegliendo un porafoglio composo dall azione e dal derivao, il processo di Wiener può essere eliminao. Il porafoglio appropriao è così composo: -:derivao c + :azione. S 6 Si veda Io K., (95). 7 Due sono le proprieà fondamenali affinché z segua un processo di Wiener: Proprieà : z è legaa a dall equazione z = ε dove ε è un esrazione casuale da una disribuzione normale sandardizzaa. Proprieà : I valori di z in due qualsiasi inervalli di empo, diversi ra loro, sono indipendeni. 9

36 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai Il deenore di queso porafoglio è coro di un derivao e lungo di una quanià di azioni pari a c / S. Sia V il valore del porafoglio; e quindi per definizione si ha: c V = c + S S (.9) La variazione, V, del valore del porafoglio nell inervallo di empo è daa da c V = c + S S Sosiuendo le equazioni (.7) e (.8) nell equazione (.0) si oiene (.0) c c = c σ S S Dao che in ques equazione non figura il ermina (.) z, il porafoglio è privo di rischio durane l inervallo di empo. Le assunzioni elencae nel paragrafo. implicano che il porafoglio deve rendere nel prossimo isane di empo lo sesso asso di rendimeno dei ioli a breve privi di rischio. Se rendessero di più, gli arbiraggisi porebbero far profii vendendo ioli privi di rischio per finanziare l acquiso del porafoglio; se rendessero di meno, essi porebbero far profii vendendo il porafoglio per finanziare l acquiso di ioli privi di rischio. Ne segue V = rv dove r è il asso d ineresse privo di rischio. Sosiuendo in base alle equazioni (.9) e (.) e dopo alcuni passaggi algebrici si ha c c rc + rs + σ S S c S = (.) 30

37 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai L equazione (.) è l equazione differenziale di Black e Scholes. Ha mole soluzioni, una per ogni derivao che dipende da S. La soluzione paricolare che si oiene risolvendo l equazione dipende dalle condizioni al conorno (boundary condiions). Quese condizioni definiscono il valore del derivao per valori esremi di S e. Nel caso di una call europea, la principale condizione al conorno è Nel caso di una pu europea è ( S ) c = max X,0 quando =T. ( X ) c = max S,0 quando =T. Il porafoglio con valore correne V resa privo di rischio solo per un periodo di empo infiniesimo. Quando S e cambiano anche c / S cambia. Perano, per manenere il porafoglio privo di rischio, è necessario aggiusare frequenemene le proporzioni relaive del derivao e dell azione in porafoglio..6 Valuazione neurale verso il rischio La valuazione neurale verso il rischio (RNVR) è senza dubbio lo srumeno più imporane per l analisi dei derivai. Trae origine da una proprieà fondamenale dell equazione (.), cioè dall equazione differenziale di Black e Scholes: in ques equazione non figurano variabili che sono influenzae dalla propensione al rischio degli invesiori. Le variabili che appaiono nell equazione sono il prezzo correne dell azione, il empo, la volailià dell azione e il asso d ineresse privo di rischio. Tue quese variabili non dipendono dalla propensione al rischio degli invesiori. L equazione di Black e Scholes non sarebbe indipendene dalla propensione al rischio degli invesiori se conenesse il asso di rendimeno aeso dell azione, µ. Il livello di µ dipende dalla propensione al rischio: più elevaa è l avversione al rischio degli invesiori, più elevao sarà il µ relaivo ad ogni iolo. Forunaamene, nel ricavare l equazione, i ermini in µ si elidono ra di loro. 3

38 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai Il fao che l equazione differenziale di Black e Scholes sia indipendene dalla propensione al rischio degli invesiori ci consene di uilizzare un ingegnosa argomenazione. Se è vero che la propensione al rischio non figura nell equazione differenziale, ne segue che essa non può influenzare la soluzione. Perano, al fine di deerminare il valore correne, c, del derivao possiamo fare qualsiasi assunzione circa la propensione al rischio degli invesiori. In paricolare, possiamo semplicemene assumere che siano ui neurali verso il rischio. In un mondo in cui gli invesiori sono neurali verso il rischio, il asso di rendimeno aeso di ui i ioli è uguale al asso privo di rischio, r. Ciò perché gli invesiori non richiedono alcun premio per assumersi dei rischi. E anche vero che, in un mondo neurale verso il rischio, il valore auale di ogni fuuro pagameno può essere oenuo aualizzando il valore aeso al asso privo di rischio. Perano, l assunzione che il mondo sia neurale verso il rischio semplifica noevolmene l analisi dei derivai. Si ricordi ad esempio un opzione europea che paghi alla scadenza una cera funzione del prezzo, al empo T, dell azione soosane. Innanziuo si calcola il valore aeso, al empo T, di queso derivao assumendo che il asso di rendimeno aeso dell azione sia r piuoso che µ ; poi, queso valore aeso viene aualizzao al empo correne usando r come asso per l aualizzazione. Va enuo presene che l assunzione di neuralià verso il rischio rappresena solo un espediene ecnico per oenere le soluzioni dell equazione differenziale di Black e Scholes. Le soluzioni oenue sono valide comunque e non solo nel caso in cui gli invesiori siano neurali verso il rischio. Quando passiamo da un mondo neurale verso il rischio ad un mondo di avversione al rischio, due sono le cose che succedono; cambia il asso di rendimeno aeso dell azione e cambia il asso d ineresse da usare per aualizzare il valore finale dei derivai. Quesi due effei però, si compensano esaamene ra di loro..7 Formule di valuazione di Black & Scholes Black e Scholes sono riuscii a risolvere la loro equazione differenziale al fine di oenere le formule chiuse di valuazione delle calls e pus europee scrie su ioli che 3

39 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai non pagano dividendi. Quese formule sono rappresenae dalle equazioni (.4) e (.5). In un mondo neurale verso il rischio, il valore aeso alla scadenza di una call europea è [ max( S X,0)] Eˆ T dove il simbolo Ê sa ad indicare l operaore valore aeso in un mondo neurale verso il rischio. In base all argomenazione della valuazione neurale verso il rischio, il valore c di una call europea si oiene aualizzando ques espressione in base al asso d ineresse privo di rischio: c = e r( T ) Eˆ [ max( S X,0)] T (.3) in un modo neurale verso il rischio, la variabile ln ( S T ) ha la disribuzione probabilisica riporaa nell equazione (.4) con µ sosiuio da r. La valuazione del lao desro dell equazione (.3) rappresena un applicazione del calcolo inegrale 8. Il risulao è dove d c = SN ln = r( T ) ( d ) Xe N( ) d ( S / X ) + ( r + σ / )( T ) σ T (.4) d ( S / X ) + ( r σ / )( T ) ln = = d σ σ T T S T 8 Se g è la funzione di densià di in un mondo neurale verso il rischio, daa dall equazione (.4) ( ) X ( T ) ( T ) T r T con r al poso di µ, l equazione (.3) divena c = e S X g S ds. w Sosiuendo S T con e, ques inegrale viene rasformao in un alro che dipende dalla disribuzione normale piuoso che log-normale. 33

40 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai N ( x) è la funzione di disribuzione cumulaa di una variabile che si disribuisce in modo normale con media nulla e deviazione sandard paria ad (ossia è la probabilià che ale variabile assuma un valore inferiore ad x ). L equazione (.4) può anche essere scria nel modo seguene: c = e r ( T ) r( T ) [ SN d ) e XN( )] ( d L espressione N ( d ) è la probabilià (in mondo neurale verso il rischio) che l opzione venga eserciaa, cosicché XN ( d ) è il prezzo d esercizio moliplicao per la probabilià che il prezzo d esercizio verrà pagao. L espressione valore aeso (in un mondo neurale al rischio) di una variabile che è pari a S T > X ed è pari a zero alrimeni. Il valore di una pu europea può essere deerminao in modo analogo a quello viso per la call europea. In alernaiva, si può usare la pu-call pariy. Si ha quindi p = Xe r ( T ) N( d ) SN( ) d SN r( T ( d ) e ) S T è il se (.5) Si noi che, per ricavare le equazioni (.4) e (.5), si è assuno che il asso d ineresse privo di rischio, r, sia cosane. In praica, quando si usano quese equazioni, il asso di ineresse, r, viene poso uguale a quello relaivo ad un invesimeno privo di rischio di duraa T dell opzione., ossia di duraa pari alla via residua.8 Proprieà delle formule di Black e Scholes Quando il prezzo dell azione, S, divena molo elevao, la call verrà quasi ceramene eserciaa. Divena quindi simile ad un conrao forward 9 con prezzo di consegna X. Perano il prezzo della call dovrebbe essere S ( T ) r Xe. 9 I conrai forward sono derivai paricolarmene semplici. Sono accordi per comprare o vendere un aivià ad una cera daa fuura, per un cero prezzo. Di solio vengono sipulai ra due isiuzioni finanziarie o ra un isiuzione finanziaria ed uno dei suoi clieni socieari. 34

41 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai In effei, queso è il prezzo della call fornio dall equazione (.4), dao che, quando divena molo elevao, d e d assumono valori molo grandi e ( d e S sono prossimi ad ; menre il prezzo di una pu europea, N ) N( ) d p, ende a zero. Queso è infai il prezzo della pu fornio dall equazione (.5), dao che ( ) d sono enrambi prossimi a 0. N en ( ) d Si consideri ora cosa succede quando la volailià, σ, ende a zero. Dao che l azione divena priva di rischio, il suo prezzo crescerà al asso r, porandosi a empo T ed il valore finale della call sarà r Se ( T ) al max r( T ) [ Se X, 0] Aualizzando al asso r, il valore correne della call sarà pari a e max r( T ) r( T ) [ Se X,0] = max[ S Xe, 0] r( T ) Per verificare che queso risulao sia coerene con l equazione (.4), si consideri innanziuo il caso in cui risuli ( / X ) + rt 0. Al endere di S ( T ) r > Xe. Quesa disuguaglianza implica che ln S > σ a zero, e d endono a e N( d ) d endono ad e l equazione (.4) divena + cosicché N( d ) c = S Xe r ( T ). Nel caso in cui sia S < Xe r( T ) ln ( S / X ) + rt < 0 si ha invece che a zero, e d endono a cosicché d N ( ) e ( ) d d. Al endere di σ N endono ad 0 e l equazione (.4) fornisce un prezzo call pari a zero. Perano, il prezzo call, al endere di σ a zero, è sempre uguale a max[ S il prezzo della pu è sempre uguale a ) Xe r(t,0]. Analogamene, si può dimosrare che ( [ Xe r T ) max S,0] al endere di σ a zero. 35

42 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai.9 Implicazioni del modello Black & Scholes Il modello Black & Scholes può essere uilizzao per sabilire alcune imporani caraerisiche dell andameno dei prezzi delle opzioni. Per esprimere la variazione di prezzo di un opzione (variabile dipendene) è imporane individuare rispeo a cosa varia (variabile indipendene), la direzione della variazione (il segno) e di quano varia (coefficiene di variazione). Sono sei i faori che influenzano il prezzo di un opzione scria su un azione: Il prezzo correne dell azione. Il prezzo d esercizio. 3 La via residua. 4 La volailià del prezzo dell azione. 5 Il asso d ineresse privo di rischio. 6 I dividendi aesi durane la via dell opzione. In queso paragrafo vedremo cosa succede ai prezzi delle opzioni quando uno di quesi faori cambia menre ui gli alri resano invariai. I risulai sono sai riassuni nella Tabella.. Prezzo dell Azione e Prezzo d Esercizio Il valore finale di una call che viene eserciaa è pari alla differenza ra il prezzo dell azione ed il prezzo d esercizio. Perano, le calls valgono di più al crescere del prezzo dell azione e valgono di meno al crescere del prezzo d esercizio. Per una pu che viene eserciaa, il valore finale è pari alla differenza ra il prezzo d esercizio e il prezzo dell azione. Perano le pus si comporano in modo opposo a quello delle calls. Valgono di meno al crescere del prezzo dell azione e valgono di più al crescere del prezzo d esercizio. Via Residua Si consideri ora l effeo della daa di scadenza. Sia le calls che le pus americane valgono di più al crescere della via residua. Per capire perché, si considerino due opzioni che differiscono ra loro solo per la daa di scadenza. Chi possiede l opzione con la via residua maggiore ha ue le opporunià di esercizio del possessore 36

43 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai dell opzione con la via residua minore e alre ancora. Perano, l opzione con la via più lunga deve valere almeno quano l opzione con la via più breve. Le calls e le pus europee non valgono necessariamene di più al crescere della via residua. Ciò perché non è vero che il possessore dell opzione europea con via residua maggiore abbia ue le opporunià di esercizio del possessore dell opzione europea con via residua minore. Chi possiede l opzione europea con la via più lunga può eserciarla solo alla scadenza. Si considerino due calls europee scrie sulla sessa azione, una con scadenza ra mese e l alra con scadenza ra mesi. Si supponga che ra 6 seimane verrà pagao un cospicuo dividendo. Lo sacco del dividendo farà scendere il prezzo dell azione. Ciò può comporare che l opzione con la via più lunga valga meno dell opzione con la via più breve. Volailià In prima approssimazione si può dire che la volailià del prezzo di un iolo misura quana incerezza esise circa i fuuri movimeni del prezzo del iolo. Al crescere della volailià cresce la probabilià che la performance del iolo risuli molo brillane o molo modesa. Per chi possiede il iolo, quesi due risulai endono a compensarsi l uno con l alro. Non è invece così per chi possiede una call o una pu. Chi possiede una call rae beneficio dagli aumeni di prezzo dell azione ma ha un rischio inferiore (downside risk) limiao, perché nel caso di una riduzione del prezzo dell azione il massimo che può perdere è il prezzo dell opzione. Analogamene, chi possiede una pu rae beneficio dalle riduzioni del prezzo dell azione ma ha un downside risk limiao nel caso di un aumeno del prezzo dell azione. Perano, il valore delle calls e delle pus aumenano al crescere della volailià. Tasso d Ineresse Privo di Rischio Il asso di ineresse privo di rischio influenza il prezzo di un opzione in modo meno chiaro. All aumenare dei assi di ineresse nell economia, il asso di crescia aeso del prezzo dell azione ende ad aumenare. Tuavia, per chi deiene un opzione, il valore auale di ogni fuuro flusso di cassa diminuisce. Enrambi quesi effei endono a deprimere il valore di una pu. Perano, il prezzo di una pu diminuisce all aumenare del asso d ineresse privo di rischio. Nel caso delle calls, il primo effeo ende a far 37

44 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai crescere il prezzo dell opzione menre il secondo ende a deprimerlo. Si può dimosrare che il primo effeo domina sempre il secondo; in alri ermini, il prezzo di una call aumena sempre all aumenare del asso d ineresse privo di rischio. Quese argomenazioni ipoizzano che le alre variabili resino invariae. In praica, quando i assi di ineresse aumenano (diminuiscono), i prezzi azionari, endono a scendere (aumenare). Perano, l effeo neo di una variazione dei assi di ineresse e della conseguene variazione dei prezzi azionari può essere opposo a quello che è sao appena descrio. Dividendi I dividendi fanno diminuire il prezzo delle azioni nel giorno di sacco. Si raa di una caiva noizia per il valore delle calls e di una buona noizia per il valore delle pus. Perano, la relazione ra il valore di una call e l imporo dei dividendi aesi è negaiva menre la relazione ra il valore di una pu e l imporo dei dividendi aesi è posiiva. Nella abella. si indicherà con il segno + correlazioni diree (prezzo dell opzione aumena all aumenare della variabile indipendene) e con il segno - correlazioni inverse (prezzo dell opzione diminuisce all aumenare della variabile indipendene). Variabile Call europea Pu europea Call americana Pu americana Prezzo dell azione + + Prezzo d esercizio + + Via residua?? + + Volailià Tasso d ineresse + + Dividendi + + Tabella.: Sinesi degli effei sul prezzo delle opzioni su azioni derivani dall aumeno di valore di ciascuna variabile, ferme resando ue le alre. Gli operaori cercano di immunizzare i propri porafogli di opzioni da piccole variazioni di prezzo dell aivià soosane che possono verificarsi in un breve periodo di empo. Quesa sraegia è noa come dela hedging. Quindi passano a considerare due misure chiamae gamma e vega. Il gamma è la derivaa del valore 38

45 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai del porafoglio rispeo al dela. Sia il Gamma che il Dela sono imporani perché rilevano il rischio di una posizione in ermini rispeivamene di opzioni e di soosane. Avere una posizione Gamma elevaa, sia essa posiiva che negaiva, implica un elevao rischio-opzioni. Avere una posizione Dela elevaa, implica un elevao rischio-soosane, rialzisa se posiiva e ribassisa se negaiva. Il vega è la derivaa del valore del porafoglio rispeo alla volailià dell aivià soosane. Annullando il gamma, il porafoglio può essere immunizzao dalle variazioni relaivamene grandi del prezzo dell aivià soosane. Annullando il vega, il porafoglio può essere reso insensibile alle variazioni di volailià. Vengono esaminai anche il hea ed il rho. Il hea è la derivaa del valore del porafoglio rispeo al empo; il rho è la derivaa del valore del porafoglio rispeo al asso d ineresse privo di rischio. Infine, gli operaori effeuano a vole delle analisi degli scenari per conoscere il valore delle loro posizioni in diverse possibili simulazioni. Un imporane uso del modello per la deerminazione del prezzo dell opzione serve per ribilanciare il porafoglio affinché resi privo di rischio. Nel proseguo si presenano le greche nel caso di opzioni calls o pus europee scrie su ioli che non pagano dividendi che seguono il modello Black & Scholes. (Dela): 0 quano varia il prezzo dell opzione a frone di una variazione del soosane S. Tale rapporo indica il numero di unià dell azione che dovremmo deenere (assumiamo un posizione lunga) per ogni opzione vendua (assumiamo una posizione cora) al fine di creare una sraegia di dela hedging. In prima approssimazione: c = S in paricolare pu call = = N N( d ) ( d ) 0 Più formalmene, = c / S, dove c è il prezzo dell opzione call e S quello del soosane. 39

46 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai Γ (Gamma): è equivale alla derivaa del dela del porafoglio rispeo al prezzo dell aivià soosane. Se il gamma è piccolo, il dela cambia molo lenamene e gli aggiusameni per manenere il porafoglio neurale rispeo al dela non vanno fai di frequene. Al conrario, se il gamma è grande in ermini assolui, il dela è molo sensibile alle variazioni del prezzo dell aivià soosane. In prima approssimazione: in paricolare Γ = V S N Γ = Sσ ' ( d ) ( T ). Λ (Vega): è la derivaa del valore del porafoglio rispeo alla volailià dell aivià soosane, σ. Finora abbiamo assuno che la volailià dell aivià soosane il derivao sia cosane; in realà, la volailià cambia nel empo. Ciò vuol dire che il valore del derivao può cambiare, olre che per una variazione del prezzo dell aivià soosane o per il passare del empo, anche perché cambia la volailià. Se il Vega è elevao in ermini assolui, il valore del porafoglio è molo sensibile a piccole variazioni della volailià; se al conrario, il Vega è basso, le variazioni di volailià hanno poca influenza sul valore del porafoglio. In prima approssimazione: in paricolare V Λ = σ Λ = S ' ( T ) N ( d ) Più formalmene, Γ = V / S, dove V è il valore correne del porafoglio e S quello del soosane Più formalmene, Λ = V / σ, dove V è il valore correne del porafoglio e σ la volailià del soosane 40

47 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai θ (Thea): 3 dell opzione è la derivaa del valore del porafoglio rispeo alla via residua T (cioè al diminuire di emporale (ime decay) del porafoglio. In prima approssimazione: in paricolare Θ Θ call pu SN = SN = V Θ = ( T ) ' ( d ) ( T ) ' ( d ) ( T ) σ rxe σ + rxe T ). A vole è anche deo declino r r ( T ) N( d ) ( T ) N( d ) ρ (Rho): 4 è la derivaa del valore del porafoglio rispeo al asso di ineresse, r. in paricolare ρ = V r ρ ρ pu call = X = X r( T ) ( T ) e N( ) d r( T ) ( T ) e N( ) d dove e sono definii dall equazione (.4), d d N ' ( x) è la disribuzione di probabilià di una normale sandardizzaa e N ( x) la sua cumulaa, menre V è espresso nell equazione.9..0 Cause della volailià Alcuni analisi hanno sosenuo che la volailià del prezzo di un azione è causaa solo dall arrivo casuale di nuove informazioni sui fuuri assi di rendimeno dell azione. Alri riengono che gran pare della volailià sia causaa dagli sessi scambi di ioli. 3 Più formalmene, Θ = V / ( T ), dove V è il valore correne del porafoglio e T la via residua dell opzione 4 Più formalmene, ρ = V / r, dove V è il valore correne del porafoglio e r il asso d ineresse. 4

48 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai Perano, un problema ineressane è se la volailià dei ioli raai in Borsa rimane invariaa quando le Borse sono chiuse. Fama e French 5 hanno condoo una verifica empirica su ques argomeno. Quesi auori hanno esaminao i prezzi di chiusura giornalieri delle azioni per un lungo periodo di empo ed hanno calcolao: La varianza dei assi di rendimeno delle azioni relaivi all inervallo ra la chiusura di un giorno e quella del giorno successivo, limiaamene alle osservazioni non separae da giorno fesivi; La varianza dei assi di rendimeno delle azioni ra la chiusura del venerdì e la chiusura del lunedì. Se i giorni lavoraivi equivalgono ai fesivi, la varianza sub dovrebbe essere re vole più grande della varianza sub. Fama rovò che era maggiore solo del per ceno. I risulai di French sono simili. La varianza sub era maggiore solo del 9 per ceno. Quesi risulai suggeriscono che la volailià è molo maggiore quando le borse sono apere rispeo a quando sono chiuse. I soseniori dell opinione secondo cui la volailià è causaa solo dalle nuove informazioni porebbero sosenere che le nuove informazioni arrivano soprauo durane le ore di conraazione 6. Tuavia, alcuni sudi sui prezzi fuures di prodoi agricoli, che dipendono ampiamene dalle condizioni amosferiche, hanno dimosrao che quesi prezzi si comporano in modo simile ai prezzi delle azioni; sono cioè molo più volaili durane le ore di conraazione. Presumibilmene, le noizie sulle condizioni amosferiche sono equamene disribuie nei vari giorni. L unica conclusione ragionevole sembra essere quella che la volailià è in una cera misura causaa dalle sesse conraazioni. 7 Quali sono le implicazioni per la sima della volailià e per il modello Black & Scholes? Se si usano dai giornalieri, i risulai esposi suggeriscono che, per misurare 5 Si veda Fama E. E., The Behavior of Sock Marke Prices, Journal of Business, No. 38, (965), French K. R., Sock Reurns and he Weekend Effec, Journal of Financial economics, No. 8 (980), In realà, ques affermazione è discuibile. Spesso, gli annunci imporani (ad es., quelli relaivi al faurao e agli uili) vengono fai quando le borse sono chiuse. 7 Per una discussione di queso puno si veda French K., Roll R., Sock Reurn Variances: he Arrival of Inforamion and he Reacion of Traders, Journal of Financial Economics, No. 7, (986),,

49 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai la volailià, si possono ignorare i giorni in cui le Borse sono chiuse. La volailià annua va ricavaa dalla volailià giornaliera in base alla seguene formula: volailià annua = volailià giornaliera x numero di giorni lavoraivi in un anno E queso l approccio che viene in genere usao dagli operaori. Di solio si assume che i giorno lavoraivi in un anno siano 5. Anche se, come sembra, la volailià è in gran pare causaa dalle sesse conraazioni, gli ineressi vengono pagai in base al calendario civile. Sulla base di quesa considerazione, si possono uilizzare due diverse misure emporali quando si valuano le opzioni: 8 τ = giorni lavoraivi mancani alla scadenza /giorni lavoraivi in un anno τ = giorni di calendario mancani alla scadenza/ giorni di calendario in un anno e aggiusare così le formule Black & Scholes presenae nel paragrafo.7 nel modo seguene e c = SN p = Xe rτ ( d ) Xe N( d ) ( d ) SN( ) rτ N d dove d ln = ( S / X ) + ( rτ + σ τ / ) σ τ d ln ( S / X ) + ( rτ σ τ / ) = = d σ τ σ In praica, ques aggiusameno non fa mola differenza ranne nel caso delle opzioni di duraa molo breve. τ 8 French D. W., The Weekend Effec on he Disribuion of Sock Prices: Implicaions for Opion Pricing, Journal of Financial economics, 3 (984),

50 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai. Volailià implicia L unico paramero delle formule di valuazione Black & Scholes che non può essere osservao direamene è la volailià del prezzo dell azione. Si è viso nel paragrafo.4 come possa essere simao in base ad una serie sorica dei prezzi dell azione. E ora opporuno menzionare un alro approccio che uilizza la cosiddea volailià implicia (implied volailiy). Si raa della volailià nel prezzo delle opzioni osservaziono sul mercao. Per illusrare l idea che è alla base di ques approccio, si supponga che il premio di una call scria sul Mib30, nel caso in cui non vengano disribuii dividendi, sia pari a 464,97 ( 66,4) 9 quando S = 500, X = 9500, r = 5% e T =0,5 (3 mesi). La volailià implicia è quel valore di σ che, inserio nell equazione (.4), dà c = 464,97. Purroppo, non è possibile inverire l equazione (.4) in modo da esprimere σ in funzione di S, X, r, T e c. Tuavia, si può usare una procedura ieraiva per rovare il σ implicio. Possiamo ad esempio iniziare provando σ = 0,. Si oiene così un valore di c pari a 38,36, che è roppo basso. Dao che c è una funzione crescene di σ, il valore di σ deve essere più alo. Possiamo provare σ = 0,3. Si oiene così un valore di c pari a 65,9, che è roppo alo, il che vuol dire che σ è compreso ra 0, e 0,3. Possiamo provare σ = 0,5. Anche queso valore risula roppo alo ( c = 506,33), cosicché σ è compreso ra 0, e 0,5. Procedendo in queso modo, si può dimezzare ad ogni inerazione l inervallo in cui σ è compreso ed il valore correo di σ può essere oenuo con l accuraezza richiesa. 0 In queso esempio la volailià implicia è pari a 0,3456 ossia al 3,456 per ceno annuo. Le volailià implicie possono essere uilizzae per verificare le opinioni del mercao circa la volailià di un paricolare iolo. Quese opinioni muano nel empo. Le volailià implicie possono anche essere usae per simare il prezzo di un opzione dal 9 Vedi paragrafo.5. 0 Queso meodo è sao presenao per fini esemplificaivi. In praica, per calcolare la volailià implicia, si usano di solio procedure numeriche più efficaci, come il meodo Newon-Raphson. La procedura di Newon-Raphson è saa disegnaa per risolvere un equazione del ipo f (x) = 0. si inizia con una congeura della soluzione: x = x 0. Si oengono quindi sime via via migliori della soluzione: ' x = x, x = x, x = x3,, usando la formula xi+ = xi f ( xi ) / f ( xi ). Di solio, x è esremamene vicino alla soluzione esaa. 44

51 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai prezzo di un alra opzione. Molo spesso si oengono diverse volailià implicie sulla base di opzioni scrie sullo sesso iolo e si vuole calcolare una volailià implicia complessiva. Diversi sono i meodi proposi in leeraura per ricavare un valore unico della volailià implicia. Media arimeica In paricolare Scmalensee e Trippi impiegano la media arimeica delle volailià di ue le opzioni escludendo quelle deep-in-he-money e quelle deep-ou-of-he-money, in quano poco rappresenaive delle aspeaive del mercao riguardo la volailià fuura. In praica gli Auori considerano solo le opzioni più rappresenaive del mercao, che sono anche quelle con maggior numero di conraazioni, e fanno la media arimeica delle volailià implicie calcolae. In queso caso la volailià implicia è daa da: σ N (, T ) = σ (, T ) dove: N :numero di opzioni considerae σ i (, T ) :volailià implicia calcolaa in dall opzione con prezzo di esercizio X e scadenza T. i N i= i Media ponderaa Laané e Rendleman, invece, considerano ue le opzioni sul soosane, calcolano le volailià implicie per ogni prezzo di esercizio, e ne fanno la media pesaa: in paricolare i pesi sono rappresenai dal volume delle ransizioni avvenue. In queso caso le opzioni con maggior numero di conraazioni influiranno maggiormene sul calcolo delle volailià implicie; in paricolare si ha: Scmalensee R., Trippi R. R., Common Sock Volailiy Expecaions Implied by Opion Premia Juornal of Finance, Vol. 33, (978), Laané H. A., Rendleman R. J. Jr., Sandard Deviaions of Sock Price Raios Implied in Opion Prices, Journal of Finance, Vol. 3, (976),

52 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai dove: σ M M (, T ) = σ (, T ) i= i n i M :numero oale degli scambi dell opzione osservaa in e scadenza in T σ i (, T ) :volailià implicia calcolaa in dall opzione con prezzo di esercizio X i e scadenza T n i :numero degli scambi dell opzione con un deerminao prezzo di esercizio X i Meodo Harvey e Whaley Quesi due Auori 3 hanno proposo di usare le sole opzioni a-he-money perché sono quelle più sensibili alle variazioni della volailià 4, e quindi conengono più informazioni sull andameno fuuro della volailià sessa.. Ricerche empiriche sulla volailià implicia Il modello Black & Scholes assume che i rendimeni del soosane seguano una disribuzione normale con volailià cosane. Evidenze empiriche hanno dimosrao, comunque, che il modello non è oalmene coerene con realà per almeno quaro moivi. Sudi precedeni di Mandelbro 5 e Fama 6 hanno indicao che i rendimeni a breve nei mercai azionari e delle maerie prime non sono disribuii normalmene ma hanno code più pesani, cioè hanno disribuzioni lepocuriche. Comunque, per orizzoni di invesimeno più lunghi di un mese, la disribuzione dei rendimeni sembra convergere a una disribuzione normale. 7 3 Harvey R. C., Whaley R. E., S&P 00 Index Opion Volailiy, Journal of Finance, Vol. 46, No. 4, (99), La sensibilià di un opzione rispeo al σ è misuraa dalla derivaa parziale del prezzo rispeo al σ. 5 Mandelbro B., The Variaion of Cerain Speculaion Prices, Journal of Business, Vol. 36, (963), Fama E. F., The Behavior of Sock Marke Reurns, Journal Of Business, Vol. 38, (965), Fama E. F., Foundaions of Finance, Basic Books, (976). In paricolare: Capiolo 46

53 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai Evidenze più receni hanno mosrao che l assunzione di volailià cosane è spesso violaa nei mercai finanziari. 8 3 C è una endenza per le variazioni dei prezzi azionari a essere negaivamene correlai con le variazioni della volailià. 9 Queso è spesso impuao come effeo leva. 4. Il cosiddeo effeo smile, risulao di osservazioni empiriche della volailià implicia delle opzioni con la sessa daa di esinzione confronae con differeni prezzi di esercizio. Se si rappresena la volailià implicia rispeo ai prezzi d esercizio si possono osservare due disine ipologie: volailiy smile e volailiy skew. 30 Quando il empo alla scadenza aumena, quese curve ipicamene si appiaiscono per valori eserni. 3 L effeo smile è ipicamene descrio da una forma ad U mosrando volailià implicia elevaa nelle opzioni in-he money e ou-of-he-money e volailià bassa per le opzioni a-he-money. 3 La volailiy smile è saa risconraa nelle opzioni riferie all indice azionario S&P nel periodo precedene al crash del 9 oobre e nelle opzioni legae alla valua 35. Dopo il crash, comunque, si è osservao spesso una volailià implicia di ipo skew. Gli sudi effeuai dopo il crash sulle opzioni legae all indice S&P 500 e sui fuures mosrano che la volailià implicia decremena in maniera monoona all aumenare del prezzo d esercizio relaivo al livello dell indice Taylor S. J., Modelling Financial Time Series, John Wiley & Sons, (986), Chiceser. 9 C è mola leeraura in queso senso; in paricolare ciiamo: Schwer G. W., Why Does sock Marke Volailiy Change Over Time?, Journal of Finance, Vol. 44, (989), Gallan A. R., Rossi P. E., Tauchen G., Sock Prices and Volume, Review of Financial Sudies, Vol.5, No., (99), Quesa forma di volailià è anche chiamaa sneer leeralmene ghigno. 3 Vedi Ghysels E., Harvey A., Renaul E., Sochasic Volailiy Discussion Paper 95s-49, (995), Cirano, Universià di Monreal. 3 C è mola leeraura in queso senso; in paricolare ciiamo: Heynen R., An Empirical Invesigaion of Observed Smile Paerns, The Review of Fuures Markes, 3, No., (994), Dumas B., Fleming J., Whaley R., Implied Volailiy Funcions: Empirical Tes, Journal of Finance, Vol. 53, No. 6, (Dicembre 998), Sheikn A. M., Transacion Daa Tes of S&P 00 Call Opion Pricing, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, Vol. 6, (99), Si veda il rapporo della commissione Brady ovvero Repor of he Presidenial ask Force on Marke Mechanisms, Gennaio Taylor S. J., Xu X., The Magniude of Implied Volailiy Smiles: Theory and Empirical Evidence for Exchange raes Review of Fuures Markes, Vol. 3, (994), Vedi Rubinsein M., Implied Binomial Trees, Journal of Finance, Vol. 69, (994), Taylor S. J., Xu X., Implied Volailiy Shapes when Price and Volailiy Shocks are Correlaed, Working Paper, (994). 47

54 Capiolo II Un approccio per la valuazione dei Derivai 48

55 Capiolo III Modello GARCH Capiolo III Vari sudi empirici hanno mosrao che l assunzione di volailià cosane nel empo nel modello di Black & Scholes è spesso violaa nei mercai finanziari. Quindi vengono adoai modelli GARCH (Generalized AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy ) per descrivere i cambiameni di volailià. Il corrispondene modello GARCH per la deerminazione del prezzo dell opzione di Duan è capace di descrivere il cosiddeo effeo smile, il quale può essere rovao spesso nei prezzi dell opzione. Un imporane limiazione a cui è sooposo il modello GARCH è il vincolo di posiivià dei parameri α e β per la deerminazione della varianza condizionaa; inolre queso modello non iene cono dell effeo leverage che deermina il conribuo di uno shock negaivo dei rendimeni sulla varianza condizionale. Per ovviare a quesi inconvenieni, nel prossimo capiolo, si preseneranno alri due modelli per la deerminazione del prezzo dell opzione: il modello TARCH (Threshold AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy) che considera l effeo leva e il modello EGARCH (Exponenial GARCH) che olre a considerare l effeo leva non ha vincoli sui parameri. 49

56 Capiolo III Modello GARCH 3. Dai processi ARCH ai processi GARCH Engel inrodusse un modello ARCH(p) (AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy) nel quale la varianza condizionaa σ innovazioni al quadrao riardae di p periodi ε, ovvero: è una funzione lineare delle e σ = α 0 + αε α pε p con i > 0 ( 0 ) φ, ε N σ α i (3.) dove φ è il se di informazioni disponibili fino al periodo. Una proprieà molo imporane di queso processo è che la disribuzione marginale di ε è sempre lepocurica. Si prenda, ad esempio, un modello ARCH(); la curosi marginale delle ε, è pari a: 4 E( ε ) [ E( ε )] ( α ) 3 = 3α. La curosi è ovviamene più grande di 3; se α < / 3 ende all infinio. Perciò, i modelli di ipo ARCH sono consiseni con le proprieà empiriche delle disribuzioni dei rendimeni nei mercai finanziari. Bollerslev 3 propose un esensione dei processi ARCH per enere cono della persisenza senza considerare moli riardi, ovvero il processo GARCH ( p, q ). σ = α + α ε σ α pε p + βσ +... βq q Engle Rober F., Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion, Economerica Vol. 50, No 4, (98), Bollerslev T., Engle Rober F., Nelson Daniel B., ARCH Models Handbook of Economerics, Vol. 4, (994), Cap. 49, Bollerslev T., Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, Vol. 3 (986),

57 Capiolo III Modello GARCH con α > 0 e β > 0 per i = 0,,..., p e j =,..., q i j (3.) In generale, il valore di p nell equazione (3.) sarà più piccolo del valore p dell equazione (3.). 3. Il modello GARCH per la deerminazione del prezzo dell opzione Si consideri un economia a empo discreo 4 e si indichi con il prezzo del soosane al empo. Il suo asso di rendimeno in un periodo di empo è assuno essere condizionaamene disribuio log-normale soo una misura di probabilià P, ovvero: S S ln S = r + λσ σ + ε (3.3) dove ε ha media zero e varianza condizionaa σ soo misura P. r è il asso di rendimeno (cosane) di un iolo privo di rischio (composo coninuamene) e λ il premio (cosane) per un unià di rischio. Soo log-normalià condizionaa, si ha un exp r λσ. asso di rendimeno aeso uguale a ( + ) Si assuma, inolre, che ε segua un processo GARCH ( p, q ) soo misura di probabilià P : ( 0 ) φ, ε N σ σ = α + 0 p q α iε i + i= j= β σ j j con p 0; q 0; α 0 > 0; α i 0, i =,..., p ; β j 0, j =,..., q 4 Duan J C., The GARCH Opion Pricing Model Mahemaical Finance, Vol. 5, No. (995),

58 Capiolo III Modello GARCH dove φ è il se di ue le informazione disponibili al empo. In alre parole, la varianza condizionaa è una funzione lineare dei disurbi passai al quadrao e delle passae varianze condizionae. Il prezzo dell opzione è deerminao enendo cono della normalià condizionaa di ε. Usando una specificazione alernaiva per, come ad esempio il processo EGARCH di Nelson 5 o quello di Glosen 6, i risulai base per la deerminazione del prezzo dell opzione non cambieranno finché la normalià condizionaa degli ε reserà in essere. Per assicurarsi la sazionarieà in varianza per il processo GARCH p, q, p α + q i i= j= β j è assuno essere minore di 7. Il processo GARCH specificao in (3.4) σ ( ) si riduce ad un processo log-normale omoschedasico nel modello sandard Black & Scholes se p = 0 e q = 0. Queso assicura che il modello Black & Scholes sia un caso speciale del modello precedenemene specificao. Si è viso in precedenza come nel modello di Black e Scholes la propensione al rischio degli invesiori non abbia alcun ruolo nel deerminare la valuazione delle opzioni. Infai i ermini che dipendono dal asso di rendimeno aeso del iolo, il cui livello dipende a sua vola dalla propensione al rischio via il premio al rischio, non compaiono nell equazione differenziale di Black e Scholes. 8 Nella soluzione di quesa, allora, si può assumere la neuralià al rischio di ui gli operaori, imponendo che il asso di rendimeno aeso di ui i ioli sia uguale al asso risk free, cioè E S S = e ( / ) r. A causa della presenza di eeroshedasicià il risulao di Black e Scholes non è più valido, poiché evidenemene occorre ener cono della presenza di varianza non 5 Nelson D., Condiional Heeroskedasiciy in Asse Reurn: A new Approch, Economeria, No. 59, (99), Glosen L., Jagannahan R., Runkle D., Relaionship beween he Expeced Value and he Volailiy of he Nominal Excess on Sock Journal Finance, No. 48, (993), Vedi Teorema di Bollerslev (986). Se la somma è uguale ad nel caso di un processo GARCH(,), il processo è aribuibile come un processo GARCH inegrao. Nelson (990) mosra che il processo IGARCH è sazionario ed ergodico sebbene la varianza sia infinia. Infai, il processo GARCH porebbe essere ancora sreamene sazionario se la somma delle α i e β j fosse maggiore di. La condizione sufficiene e necessaria per la sua sazionarieà è connessa al maggior esponene di Lyapunov di una sequenza paricolare di marici random. Vedi Bougerol P., Picard N., Saionariy of GARCH Processes and Some Nonnegaive Time Series Journal Economerics, No. 5 (99), Vedi equazione.4. 5

59 Capiolo III Modello GARCH cosane. Duan definisce la misura di probabilià neurale al rischio in modo ale che il modello di volailià rimanga qualiaivamene lo sesso. Definizione 3.. Si dice che una misura Q per la deerminazione del prezzo soddisfa LRNVR (locally risk-neural valuaion relaionship) se la misura Q è muuamene e assoluamene coninua rispeo alla misura P e S / S φ si disribuisce in maniera log-normale (soo Q ), e Var Q r ( S S ) e Q E = / φ. P [ ln( S / S ) φ ] Var [ ln( S / S ) φ ] = quasi ceramene rispeo alla misura P. Nella definizione 3., le varianze condizionae soo le due misure sono richiese essere uguali. Queso è desiderabile perché si può osservare e quindi simare la varianza condizionaa soo la misura P. Quesa proprieà e il fao che la media condizionaa può essere sosiuia dal asso privo di rischio produce un modello ben specificao che non dipende localmene dalle preferenze. La locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR) è, comunque insufficiene per l eliminare i parameri di preferenza. Tuavia il modello aggiusao, è fore abbasanza per ridurre ogni considerazione di preferenza verso il premio per il rischio, λ. Quesa asserzione sarà verificaa più ardi nel eorema 3.. Nella definizione 3., l uguaglianza delle varianze condizionae è una relazione quasi cera. Fin quando Q è assoluamene coninua rispeo a P, la relazione quasi cera soo P reserà valida anche soo Q. Duan prova che soo opporune condizioni per le preferenze dell invesiore la LRNVR è valida. Teorema 3.. Se l agene rappresenaivo è colui che massimizza l uilià aesa e la funzione di uilià è separabile nel empo e addiiva, allora LRNVR resise soo le segueni re condizioni: 9 9 Per approfondimeni Duan J C., (995) vedi appendice. 53

60 Capiolo III Modello GARCH (i) La funzione di uilià è absolue risk aversion 0 e i cambiameni logarimici del processo aggregao sono disribuii normalmene con media cosane e varianza soo misura P (ii) La funzione di uilià è relaive risk aversion e i cambiameni logarimici del processo aggregao sono disribuii normalmene con media cosane e varianza soo misura P (iii) La funzione di uilià è lineare. La media cosane e la varianza assuna per il processo in (i) e (ii) del eorema 3. assicura che il asso di ineresse impiegao sia cosane. Quindi queso garanisce la consisenza con l assunzione del asso di ineresse cosane faa in precedenza. Sebbene sia possibile sviluppare il modello con assi di ineresse socasici, il modello risulane divenerà considerevolmene molo complicao. L assunzione del asso di ineresse cosane permee il confrono con il modello Black & Scholes solamene nella dimensione dell eeroschedasicià. Duan presena il seguene eorema che descrive l implicazione del LRNVR. Teorema 3.. Il LRNVR implica che, soo misura Q, dove e S ln S = r σ + ξ ( 0 ) φ, ξ N σ 0 Absolue risk aversion è una misura di avversione al rischio; cosi definia: U ( w) R A ( w) = ' U ( w) dove w è la ricchezza e U è la funzione di uilià di Von Neumann-Morgensern, la quale è limiaa e ' ammee derivaa seconda. U è l uilià marginale della ricchezza menre U è il asso di cambio dell uilià marginale rispeo alla ricchezza. b Esempio: funzione di uilià quadraica U ( w) = a + bw cw, con w > ; R A ( w) = c /( b cw). c Relaive risk aversion è una misura di rischio proporzionale al livello della ricchezza così definia: '' U RR ( w) = w = RA ( w) w. ' U Esempio: funzione di uilià logarimica U ( w) = ln w ; R R ( w) =. '' '' 54

61 Capiolo III Modello GARCH σ = α + 0 p q α i ( ξ i λσ i ) + i= j= β σ j j Il eorema 3. implica che la forma del processo GARCH ( p, q) rimane valida rispeo a LRNVR. L innovazione della varianza (variance innovaion) è governaa da p variabili casuali chi-quadrao non-cenrali ognuna con un grado di liberà, menre il processo GARCH, soo misura di probabilià governao da P, può essere viso come un processo p innovazioni chi-quadrao cenrali. Il paramero di non-cenralià comune per il processo di varianza condizionaa soo misura Q è il premio per il rischio, λ. Per vedere ciò, si necessia di porare fuori il faore σ i dai ermini enro la parenesi e ammeere che sandard soo la misura Q. ξ / σ è una variabile casuale normale i Il eorema 3. suggerisce che il premio per il rischio λ, influenza il processo di variabilià condizionaa sebbene il rischio sia sao localmene neuralizzao soo la misura Q i per la deerminazione del prezzo. In alre parole, LRNVR è non equivalene a RNVR. La necessià di disinguere ra la locale e la globale valuazione neurale verso il rischio scompare quando i coefficieni che governano l innovazione della varianza sono uguali a zero. Se si sceglie una specificazione alernaiva per i rendimeni del soosane, ad esempio un processo EGARCH, si può ugualmene osservare un risulao simile al eorema 3.. Ogni qual vola la variabile ε appare nell equazione della varianza condizionaa, dovrebbe essere sosiuia da ξ λσ, menre ogni alro ermine rimane invariao. Sebbene i risulai per la deerminazione del prezzo dell opzione sono ad hoc per il processo GARCH di Bollerslev, essi sono applicabili, dopo piccole modifiche, anche ad alre specificazioni. Per calcolare i payoffs sui derivai si richiede l aggregazione dei rendimeni sul soosane per giungere ad un possibile prezzo finale riferio ad un fuuro isane nel empo, T. Il prezzo finale del soosane è derivao nel seguene corollario. 55

62 Capiolo III Modello GARCH Corollario 3.. S T = S exp s s= + s= + T T ( T ) r σ + ξ s Il prezzo del soosane, aualizzao al asso privo di rischio, possiede delle proprieà ipiche di un processo di Maringale. Harrison e Kreps 3 sabilirono, per primi, l imporanza di quese proprieà per la eoria della deerminazione del prezzo dell opzione. L approccio della valuazione neurale verso il rischio viene a vole chiamao misura equivalene di maringala (equivalen maringale measure). Soo la specificazione GARCH ( p, q), una opzione call di ipo europeo con prezzo d esercizio X e con scadenza T ha valore al empo uguale a : Corollario 3.3. C GH = e ( T ) r Q E [ max( S X,0) φ ] T Soo la specificazione GARCH ( p, q), φ è la sigma-algebra generaa da { S ε,..., ε, σ σ }, p+,..., q+. Una semplificazione sosanziale con riferimeno a φ può essere oenua adoando il modello più popolare, ovvero un GARCH (, ). dove e S ln S = r σ + ξ ( 0 ) φ, ξ N σ σ 0 ( ξ λσ ) = α + α βσ i i + i (3.4) Per la dimosrazione vedi appendice Duan J C., (995). 3 Harrison M., Kreps D., Maringales and Arbirage in Muliperiod Securiies Markes, Journal of Economic Theory, No. 0, (979), Vedi anche, Harrison M., Pliska S., Maringales and Sochasic Inegrals in he Theory of Coninuous Trading, Soch. Process. Apllic., No., (98),

63 Capiolo III Modello GARCH Per un modello GARCH,, S e assieme servono come saisica sufficiene per ( ) T φ. In alre parole, il GARCH (,) σ non è un processo di Markov univariao, ma può essere ineso come un processo di Markov bivariao. Il modello per la deerminazione del prezzo dell opzione GARCH (,) espliciamene riflee lo sao del prezzo del soosane in due dimensioni: livello di prezzo e volailià condizionaa. Quesa dimensione aggiuniva permee al prezzo del modello di rifleere un ala o una bassa varianza del soosane quando lo sao dell economia cambia. Purroppo, però, quando non sono disponibili formule chiuse per la valuazione dei derivai si deve ricorrere a delle procedure numeriche. Queso perché il prezzo dell opzione è il valore del payoff aeso, dove il valore aeso è calcolao in riferimeno alla disribuzione di probabilià del prezzo a ermine del soosane. Un imporane uso del modello per la deerminazione del prezzo serve anche, per adoare una sraegia di dela hedging. Per usare ale ecnica in una sruura GARCH, si deve per primo derivare la corrispondene formula dela. Indichiamo il dela dell opzione GH GARCH al empo con. GH = e ( T ) r E Q S S T I [ S X ] φ T dove I [ S T X ] è una funzione indicarice. Per una pu di ipo europeo, il suo prezzo e il suo dela può essere derivao usando la relazione di pu-call pariy. Può essere dimosrao che il prezzo dell opzione GARCH e il dela si riduce all equivalene delle formule di Black & Scholes quando il processo soosane è omoschedasico. 3.3 Procedure numeriche Il meodo che viene scelo in praica dipende dalle caraerisiche del derivao da valuare e dal grado di accuraezza richieso. 57

64 Capiolo III Modello GARCH Procedure ad albero o Laice framework Una ecnica uile e molo diffusa per valuare le opzioni su azioni e alri derivai compora la cosruzione di un cosiddeo albero binomiale. Si raa di un albero che rappresena i diversi senieri che porebbero essere seguii dal prezzo dell azione durane la via del derivao. La procedura assume che le variazioni del prezzo di un azione siano compose da un gran numero di piccoli movimeni. Quesa è l assunzione soosane ad una procedura numerica proposa per la prima vola da Cox, Ross e Rubinsein. 4 Si consideri la valuazione di un opzione scria su un iolo che non paga dividendi. Iniziamo col dividere la via dell opzione in un gran numero di inervalli di lunghezza. Assumiamo che in ogni inervallo il prezzo dell azione passi dal valore iniziale, S, ad un dei due nuovi valori possibili, Su e Sd ; in generale, u > e d <. Perano, la variazione da S a Su è al rialzo o up e la variazione da S a Sd è al ribasso o down. Si assume che la probabilià di un rialzo sia pari a probabilià di un ribasso sia pari a p. p e che la I parameri p, u e d devono essere ali da deerminare valori correi della media e della varianza del prezzo dell azione alla fine dell inervallo. Daa l assunzione che gli operaori siano neurali verso il rischio, il asso di rendimeno aeso dell azione è pari al asso d ineresse privo di rischio, r. 5 Quindi il valore aeso del prezzo r dell azione alla fine dell inervallo è Se, dove S è il prezzo dell azione all inizio dell inervallo. Ne segue che da cui Se r = psu + ( p)sd e r = pu + ( p)d (3.5) 4 Cox J. C., Ross S. A., Rubinsein M., Opion pricing: A simplied Approach, Juornal of Financial Economics, No. 7, (979), In praica, r, viene di solio poso uguale al asso zero coupon realivo ad un iolo con duraa pari alla via residua dell opzione; r, però, può essere reso funzione del empo. 58

65 Capiolo III Modello GARCH Nel caso di assunzione di log-normalià dei prezzi azionari con assenza di sacco di dividendi (dividend yield) durane la via dell opzione, la varianza del prezzo dell azione r σ in un piccolo inervallo di empo è pari a S e ( e ). Dao che la varianza [ ] di una variabile X è pari a ( X ) E( X ) segue che E, dove E indica il valore aeso, ne da cui S σ ( e ) = ps u + ( p) S d S pu + ( p) r e d [ ] e r + σ = pu + ( p) d. (3.6) Le equazioni (3.5) e (3.6) impongono due condizioni su p, condizione imposa da Cox, Ross e Rubinsein è la seguene: u e d. Una erza u =. d Si può dimosrare che quese re condizioni implicano a d p = ; u d u = e σ ; d = e σ ; dove r a = e e i ermini di ordine superiore a sono sai ignorai 6. L albero dei prezzi azionari che si considera quando si usa il modello binomiale è quello illusrao in figura In alernaiva, possiamo risolvere esaamene le equazioni (3.5) e (3.6) soggee al vincolo u oenendo b = a σ ( e ) ( a + b + ) + ( a + b + ) 4a u = ; a. = / d a d r p = dove a = e e u d 59

66 Capiolo III Modello GARCH 3 Su Su Su Su S S Sd Sd Sd 3 Sd Figura 3.: Modello di albero binomiale uilizzao per valuare un'opzione su azioni Al empo zero il prezzo dell azione, S, è noo. Al empo, esisono due prezzi possibili, Su e Sd ; al empo esisono re prezzi possibili, Su, S e Sd ; e così via. In generale, al empo i, esisono i + prezzi possibili. Si raa di Su j j d i j = 0,,..., i. Si noi che, nella figura 3., per calcolare il prezzo dell azione in corrispondenza di ciascun nodo dell albero, si è uilizzaa la relazione u = / d. Ad esempio, Su d = Su. Si noi inolre che l albero si ricombina, nel senso che una variazione al rialzo seguia da una variazione al ribasso pora allo sesso prezzo che si oiene quando una variazione al ribasso è seguia da una variazione al rialzo. In queso modo il numero dei nodi dell albero si riduce considerevolmene. Le opzioni vengono valuae dalla fine dell albero (al empo T ) e ornando indiero. Al empo T il valore dell opzione è noo. Ad esempio una call vale max S T X,0, dove ST è il prezzo dell azione al empo ( ) T e X è il prezzo d esercizio. Daa l assunzione di neuralià verso il rischio, il valore dell opzione ad ogni nodo corrispondene al empo T può essere calcolao come valore aeso dell opzione al empo T aualizzando in base al asso d ineresse privo di rischio r, per un 60

67 Capiolo III Modello GARCH periodo di empo corrispondene al empo T. Analogamene, il valore dell opzione ad ogni nodo può essere calcolao come valore aeso dell opzione al empo T aualizzao in base al asso d ineresse privo di rischio per un periodo di empo, e così via. Se l opzione è di ipo americano, si deve verificare ad ogni nodo se convenga o meno eserciare l opzione anicipaamene. Alla fine, ornando indiero lungo uo l albero, si oiene il valore dell opzione al empo zero. L approccio originale di Cox, Ross e Rubinsein non rappresena l unico modo per cosruire un albero binomiale. Invece di porre u = / d nelle equazioni (3.5) e (3.6), si può assumere p = 0, 5. In al caso, rascurando i ermini di ordine superiore a, una soluzione delle due equazioni è daa da ( σ / ) u = e r + σ ; d ( r σ / ) σ = e Rispeo all approccio di Cox, Ross e Rubinsein, quesa procedura ha il vanaggio che le probabilià sono sempre pari a 0,5, quale che sia il valore di σ o il numero di inervalli. 7 In alernaiva agli alberi binomiali, si possono usare alberi rinomiali. Si supponga che pu, pm e siano le probabilià di movimeni al rialzo, inermedi e al ribasso in ciascun nodo e che sia la lunghezza dell inervallo di empo. Nel caso di un iolo che non paga dividendi, i valori dei parameri che, rascurando i ermini di ordine superiore a pd, consenono di uguagliare media e varianza dei prezzi del iolo sono u = e σ 3 d = u p d σ = r σ + 6 p m = 3 p u σ = r σ L albero cosruio secondo le indicazioni di Cox, Ross e Rubinsein presena l inconveniene di comporare probabilià negaive quando σ < r. La procedura alernaiva che è saa qui descria non è soggea a ques inconveniene. 6

68 Capiolo III Modello GARCH Nel caso di un iolo che paga un dividend yield coninuo r con r q q, basa sosiuire la variabile. I calcoli per un albero rinomiale sono analoghi a quelli per un albero binomiale. Si può dimosrare che l approccio dell albero rinomiale equivale al meodo esplicio delle differenze finie. Simulazioni con il meodo Mone Carlo Si consideri un derivao di sile europeo (durane la cui via non occorre prendere alcuna decisione) con valore finale c T al empo T. Il suo valore al empo è c = E ˆ r ( T ) ( c T e ) (3.7) dove Ê è il valore aeso in un mondo neurale verso il rischio e r rappresena la media del asso d ineresse isananeo privo di rischio nel periodo ra e T. Se si assume che il asso privo di rischio sia noo, l equazione precedene si semplifica nella seguene c = e r ( T r ) Eˆ ( c ) (3.8) dove r rappresena il asso zero coupon con scadenza al empo T. Si consideri ad esempio il caso in cui il derivao dipenda da una sola variabile socasica. Si supponga che quesa variabile non sia un asso d ineresse, in modo da poer usare l equazione (3.8). Usando un processo simile a quello descrio nel paragrafo. si simula uno dei possibili senieri che può essere seguio dalla variabile in un mondo neurale verso il rischio. Si può così deerminare il valore finale del derivao, che può essere considerao come un esrazione casuale dall insieme di ui i possibili valori finali. Quindi si simula un secondo seniero per la variabile e si deermina un secondo campione di valore finale. Uleriori senieri campionari generano uleriori campioni di valori finali. Dopo aver generao un gran numero di valori finali (ad esempio, 0.000), se ne calcola la media arimeica per simare Ê. Quindi, usando l equazione (3.8), si può deerminare il valore correne del derivao. T ( ) c T 6

69 Capiolo III Modello GARCH In alernaiva, si può aualizzare ogni valore finale campionario, non appena viene deerminao, per poi calcolare la media arimeica dei risulai oenui. Chiameremo simulazioni il calcolo di ogni valore finale (o di ogni valore finale aualizzao). Perano, la procedura che è saa descria consise in simulazioni. Se la variabile è rappresenaa dal asso d ineresse a breve privo di rischio, r, o da un alra variabile legaa a r, la procedura è simile a quella che è saa ora descria, faa eccezione per il asso di aualizzazione, che è diverso per ogni simulazione. Per descrivere più formalmene il meodo Mone Carlo quando c è una sola variabile soosane, si supponga che la variabile sia θ. Sia s la volailià di θ e mˆ il suo asso di crescia aeso in un mondo neurale verso il rischio. Per effeuare le simulazioni, la via del derivao va divisa in N inervalli, ciascuno di lunghezza. La versione discrea del processo seguio da θ in un mondo neurale verso il rischio è Dove ) θ = mθ + sθε (3.9) θ è la variazione di θ nell inervallo e ε è un esrazione casuale da una disribuzione normale sandardizzaa. 8 Per effeuare una simulazione, occorrono esrazioni casuali indipendeni da una disribuzione normale sandardizzaa. Sosiuendo quese esrazioni casuali nell equazione (3.9), si oengono i valori di per gli isani di empo 0,,,..., T. Si genera così un seniero emporale per θ e si può deerminare un valore finale campionario per il derivao. Quando il derivao dipende da diverse variabili socasiche, occorre generare in ogni simulazione il seniero emporale di ciascuna variabile per poi calcolare il valore finale del derivao. Va soolineao che, ai fini della simulazione, i processi socasici di ue le variabili, inclusa r, sono quelli che le variabili seguirebbero in un mondo neurale verso il rischio. N θ 8 Quando θ segue un moo geomerico Browniano (cioè quando m ) e s sono cosani), è lievemene più accurao assumere ( θ + θ )/ θ sia disribuio in modo log-normale. Sulla base dei risulai del paragrafo., si può dimosrare che l equazione (3.9) divena θ + θ = θe ) ( m s / ) + sε. 63

70 Capiolo III Modello GARCH Il meodo Mone Carlo può essere eseso senza difficolà ai casi in cui vengono effeuai pagameni durane la via del derivao ma non può essere facilmene usao per valuare i derivai di sile americano. Il numero delle simulazioni da effeuare dipende dall accuraezza richiesa. Se si effeuano N simulazioni indipendeni nel modo che è sao descrio, si calcola di solio la deviazione sandard, olre che la media, dei valori correni del derivao oenui nelle N simulazioni. Si indichi con µ la media e con ω la deviazione sandard. La variabile µ è la sima del valore correne del derivao. L errore sandard della sima è ω. N Perano, l inervallo di confidenza al 95% per il prezzo, c, del derivao è,96ω,96ω µ < c < µ +. N N Da ques espressione si vede che la nosra incerezza circa il valore del derivao è inversamene proporzionale alla radice quadraa del numero delle simulazioni. Per raddoppiare l accuraezza di una sima, dobbiamo, quindi, quadruplicare il numero delle simulazioni. Il meodo Mone Carlo ende ad essere numericamene più efficiene delle alre procedure nel caso in cui il derivao dipenda da re o più variabili socasiche. Ciò dipende da fao che, in prima approssimazione, il empo richieso dal meodo Mone Carlo cresce in modo lineare con il crescere del numero delle variabili, menre il empo richieso dalle alre procedure cresce esponenzialmene con il numero delle variabili. Il meodo Mone Carlo presena il vanaggio di fornire un errore sandard della sima. E un approccio che consene di valuare derivai con valori finali complessi e processi socasici complessi. Può essere usao quando il valore finale del derivao dipende da una cera funzione dell inero seniero emporale seguio dalla variabile (non dal solo valore finale della variabile). Un limie delle simulazioni con il 64

71 Capiolo III Modello GARCH meodo Mone Carlo è che possono essere effeuae solo nel caso dei derivai di sile europeo. Il Meodo Carlo consene di calcolare i parameri necessari per le operazioni di coperura. 9 Supponiamo di essere ineressai alla derivaa di c rispeo a q, dove c è il valore correne del derivao e q è il valore di una variabile soosane o di un paramero. Innanziuo, si usa il meodo Mone Carlo nel modo consueo per oenere una sima, c, del valore correne del derivao. Quindi si modifica leggermene il valore di q e si calcola un nuovo valore correne c, usando lo sesso insieme di esrazioni casuali generao per le simulazioni precedeni. Una sima della derivaa di c rispeo a q è daa da c c. q Il numero delle simulazioni, N, deve resare invariao quando si simano c e c. Esisono, inolre, alre procedure numeriche 0 come ad esempio i meodi delle differenze finie (meodo implicio delle differenze finie e meodo esplicio delle differenze finie ), approssimazioni analiiche, in paricolare per le opzioni di ipo americano 3, meodo Markov chain, meodo Neural nework Procedure per la riduzione della varianza Se le simulazioni vengono effeuae nel modo che è sao decrio finora, per simare c con ragionevole accuraezza occorre usare in genere un valore molo elevao di N, con consegueni noevoli cosi in ermini di empo di calcolo. Qui di seguio 9 Vedi paragrafo.9. 0 Duan J.C., Laices and Markov Chains for Numerical Pricing of Derivaes Roman School of Managemen, Universiy of Torono, (00). Brennan M., Schwarz E. S., The valuaion of American Pu Opions, Journal of Finance, No. 3 (977), Hull J., Whie A., Valuing Derivaive Securiies Using The Explici Finiive Difference Mehod, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, No. 5 (990), Barone-Adesi. G., Whaley R. E., Efficien Analyic Approximaion of America Opion Values, Journal of Finance, No. 4, (987), In ambiene GARCH, Youngsoo C., An analyical approxiamion opion formula under he garch model Depermen of mahemaics, Hankuk Universiy of foreign sudies, Korea, (003),

72 Capiolo III Modello GARCH verranno esaminae alcune ecniche di riduzione della varianza che porano a comprimere enormemene i empi di calcolo. Tecnica della Variabile Anieica Se si adoa la ecnica della variabile anieica, in ogni simulazione si devono deerminare due valori. Il primo, secondo, c c, è quello calcolao nel modo consueo; il, viene calcolao cambiando il segno a ui i campioni esrai casualmene dalle disribuzioni normali sandardizzae. (Se ε è il campione usao per calcolare c, si usa ε per calcolare ). Il valore campionario del derivao calcolao in ogni simulazione è la media di quesi due valori. Quesa ecnica funziona bene perché quando un valore si rova sopra a quello effeivo, l alro ende a rovarsi soo, e viceversa. Sia c la media di e c : c c c + c c =. (3.0) La sima finale del valore del derivao è la media delle c. Se ω è la deviazione sandard delle c ed N è il numero delle simulazioni (ossia il numero delle coppie di valori che sono sae calcolae), l errore sandard della sima è ω / N. Tecnica della Variabile di Conrollo La ecnica della variabile di conrollo può essere usaa quando ci sono due derivai simili, A e B. Il primo è quello soo osservazione; il secondo è simile al primo, ma può essere valuao in base ad una formula analiica. Supponiamo che X sia uno simaore obieivo del prezzo del derivao A. Una variabile casuale Y è chiamaa variabile di conrollo per X se essa è correlaa con X e il suo valore aeso γ è conosciuo. La variabile casuale di conrollo lineare X ( α ) è definia come 4 X ( α ) = X α( Y γ ) 4 Kleijnen J. P. C., Rubinsein R. Y., Mone Carlo Sampling and Variance Reducion Techniques, Discussion paper No. 940, Cener for Economic Research, Tilburg Universiy, (994). 66

73 Capiolo III Modello GARCH dove α è un paramero scalare. La varianza di X ( α ) è minimizzaa da (3..) α ( X, Y ) Var( Y ) = Cov / la varianza minimale risulane è, quindi, Var [ X( α )] = ( ρ ) ( Var X XY ) dove ρ denoa il coefficiene di correlazione ra X e Y. Poiché la Cov X,Y è XY ( ) sconosciua, il coefficiene di conrollo oimale simulazione. Simando sia α Cov ( X,Y ) che ( Y ) regressione lineare è applicaa per simare α. deve essere simao dalla Var significa che l analisi della Campionaura per Imporanza La campionaura per imporanza (imporance sampling) si spiega meglio con un esempio. Si supponga di voler calcolare il prezzo di una call deep ou of he money con prezzo d esercizio X. Se i senieri emporali vengono deerminai nel modo consueo, gran pare porerà ad un valore finale nullo per la call. Si spreca così empo di calcolo, dao che i senieri con valore finale nullo conribuiscono molo poco alla deerminazione del valore dell opzione. Cercheremo quindi di selezionare solo i senieri imporani, ossia i senieri con prezzi dell azione superiori a X alla scadenza. Se F è la disribuzione probabilisica non condizionaa (marginale) del prezzo dell azione e δ è la probabilià (noa analiicamene) che il prezzo risuli maggiore di X alla scadenza, allora G = F / δ è la disribuzione probabilisica del prezzo dell azione condizionaa dal fao che il prezzo sia maggiore di X. Se si adoa la campionaura per imporanza, i campioni vengono esrai da G piuoso che da F. La sima del prezzo dell opzione è la media dei valori finali aualizzai moliplicaa per δ. 67

74 Capiolo III Modello GARCH Campionaura Sraificaa La campionaura sraificaa (sraified sampling) compora la suddivisione in srai, o inervalli, della disribuzione probabilisica soosane e l esrazione dei campioni da ciascun inervallo in base alla probabilià che è ad esso associaa. Se il numero degli inervalli è elevao, si può usare la media o la mediana, condizionaa dal fao di rovarsi nell inervallo, come valore rappresenaivo dell inervallo sesso. (Quando verranno esrai i campioni dall inervallo, si prenderà sempre il loro valore rappresenaivo). Curran 5 ha uilizzao quesa procedura per valuare sia le calls europee sia le opzioni che dipendono dal seniero emporale seguio dalla variabile soosane (pah dependen opions). Nel caso di una disribuzione normale sandardizzaa suddivisa in n inervalli, il valore rappresenaivo dell i-esimo inervallo è N i 0,5 n dove n = 4 N N è l inversa della disribuzione normale cumulaa. Ad esempio, quando i valori rappresenaivi di ciascuno dei quaro inervalli sono N ( 0,5), ( 0,375), N ( 0,65) e N ( 0,875). La funzione N può essere calcolaa ieraivamene usando una delle approssimazioni per o pacchei sofware adai. Un approssimazione che si può facilmene oenere è daa dalle segueni equazioni: N dove N ( x) N = N ' 3 ( x)( a k + a k + a k ) ( x) x < 0 k = + γx γ = 0, x 0 a = 0, Curran M., Sraa Germs, Risk, Marzo 994,

75 Capiolo III Modello GARCH e a = 0,0676 a 3 = 0, N ' x / ( x) = e π Ques approssimazione fornisce valori di N ( x) che sono accurai fino alla quara cifra decimale e per i quali l errore sandard non è mai superiore a 0,000. In alernaiva si può seguire l approccio suggerio da Moro. 6. Meodo dei Momeni Il meodo dei momeni (momen maching) compora l aggiusameno dei campioni esrai da una disribuzione normale sandardizzaa in modo da assicurare l uguaglianza ra i momeni campionari (in genere il primo e il secondo, ma possibilmene anche i momeni di ordine superiore) e i corrispondeni momeni della disribuzione probabilisica. Si supponga che i campioni esrai da una disribuzione normale, usai per calcolare la variazione di valore di una cera variabile in un cero periodo di empo, siano ε ( i n. Per assicurare l uguaglianza dei primi due i ) momeni, calcoliamo la media campionaria, m, e la deviazione sandard campionaria, s. Quindi definiamo nel modo seguene i campioni aggiusai ( i n) : y i y i i m = ε. s Correamene, la media dei campioni aggiusai è nulla e la deviazione sandard è pari ad. Quesi campioni aggiusai vengono usai per effeuare le simulazioni. Il meodo dei momeni consene di ridurre i empi di calcolo ma può creare problemi di memoria, dao che ogni esrazione deve essere manenua in memoria fino alla fine della simulazione. Il meodo dei momeni è a vole chiamao ricampionaura quadraica, (quadraic resampling). Spesso viene usao insieme alla ecnica della 6 Moro B., The Full Mone Risk, Febbraio 985,

76 Capiolo III Modello GARCH variabile anieica. Dao che ques ulima assicura auomaicamene l uguaglianza dei momeni dispari, l obieivo del meodo dei momeni divena quello di assicurare l uguaglianza del secondo momeno e possibilmene del quaro. Successioni Quasi Casuali Una successione quasi-casuale (dea anche successione a bassa discrepanza ) è una successione di campioni rappresenaivi esrai da una disribuzione probabilisica. 7 Le successioni quasi casuali hanno il vanaggio di comporare un errore sandard proporzionale a / N invece che a / N, dove N è la numerosià campionaria La campionaura quasi-casuale è simile alla campionaura sraificaa. L obieivo è quello di oenere valori rappresenaivi delle variabili. Nella campionaura sraificaa si assume di sapere in anicipo quani campioni verrano esrai. La campionaura quasi-casuale è più flessibile. I campioni vengono selezionai in modo da riempire le disanze ra i campioni già esrai. In ogni sadio della simulazione i puni campionai sono all incirca equi-disanziai nello spazio probabilisico. 3.4 Confrono del modello GARCH (,) per la deerminazione del prezzo con il modello Black & Scholes Sebbene il processo omoschedasico usao nel modello Black & Scholes sia un caso speciale del processo GARCH per la deerminazione del prezzo dell opzione, l inerpreazione del modello Black & Scholes nella sruura GARCH è considerevolmene molo complicaa. Ipoizzando che i rendimeni subordinai al passao siano governai da un processo GARCH(,) ; l idea porebbe essere quella di applicare il modello Black & Scholes uilizzando la disribuzione marginale dei rendimeni come disribuzione di riferimeno. Quindi la varianza da uilizzare nel modello Black & Scholes è pari a σ = α ( α + β ) 0. 7 Broheron R., Mone Carlo Mooring, Risk Dicembre 994,

77 Capiolo III Modello GARCH Si ricorda però, che la formula analiica di Black & Scholes richiede una valuazione neurale al rischio; quindi soo l assunzione incorrea di omoschedasicià quando il processo che governa la realà è eeroschedasico si deve ricorrere, non alla neuralizzazione del rischio di naura globale ma bensì, alla locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR) per manenere la consisenza del modello. Duan dimosra alcune proprieà del processo GARCH(,) dopo aver assuno LRNVR. Esso suggerisce che un uso correo del LRNVR modificherà alcune caraerisiche chiave del processo GARCH. Teorema 3.3. Soo misura di probabilià Q, se λ < ( α β )/ α (i) (ii) La varianza marginale sazionaria di ξ ha un processo lepocurico Q (iii) Cov ( ξ σ, σ ) = λα α [ ( + λ ) α β ] + 0, allora ξ è uguale a α [ ( + λ ) α β ] 0 La varianza marginale dei rendimeni GARCH, soo la misura di probabilià originale P, è ( 0 α β α ). E anche vero che la varinaza condizionaa è in correlaa con i rendimeni del soosane riardai soo la misura P. Dal eorema 3.3 l assunzione di LRNVR induce un incremeno nella varianza marginale α 0 [ ( + λ ) α β ]. Ciò compora anche che la varianza condizionaa può essere negaivamene (posiivamene) correlaa con i rendimeni del soosane riardai se il premio per il rischio è posiivo (negaivo). Come affermao in precedenza, il prezzo dell opzione Black & Scholes nella sruura GARCH dovrebbe essere inerpreao usando un assunzione incorrea di omoschedasicià e quindi un incorrea deviazione sandard incondizionaa. Il prezzo dell opzione call Black & Scholes porebbe essere valuao usando l equazione.4 0 ( con σ = α α β ) commeendo così uno sbaglio. Dal momeno che il processo GARCH, soo assunzione di LRNVR, è ancora lepocurico, sarà più probabile per le opzione ou-he-money finire in-he-money. Queso implica che il prezzo dell opzione GARCH sarà più elevao di quello Black & Scholes. La lepocurosi rende più probabile anche il processo inverso, ovvero che 7

78 Capiolo III Modello GARCH un opzione in-he-money finisca ou-he-money; queso, comunque, non implica prezzi minori per le opzioni in-he-money rispeo ai prezzi Black & Scholes. Ciò è vero perché ci deve essere una compensazione in aumeno nella probabilià nel valore più elevao per far si che le opzioni in-he-money raggiungano uguali valori. Olre che a quese osservazioni generali, il confrono ra quesi due modelli può essere solamene fao per via numerica. 7

79 Capiolo IV Applicazioni Capiolo IV 4. Dai La serie sorica dei rendimeni del Mib30 uilizzaa in queso lavoro copre un inervallo emporale che va dal luglio 998 al 30 giugno 003. Per le analisi sono sai uilizzai alcuni noi sofware: Eviews per le sime dei modelli, Excel e Malab per le elaborazioni. Nel seguio sono presenae le saisiche descriive e una breve analisi dei dai, i quali saranno poi uilizzai nelle sime dei modelli. Per prima cosa è saa cosruia la serie sorica del Mib30. Dopo averne calcolao i logarimi è saa cosruia la serie sorica dei rendimeni giornalieri, rappresenaa in figura Log-Rendimeni Osservazioni Figura 4.: Log-rendimeni giornalieri Mib30 Calcolaa sui dai di chiusura. 73

80 Capiolo IV Applicazioni Dalle saisiche riporae in abella 4. si può facilmene noare che la disribuzione dei rendimeni è lepocurica e presena una lieve asimmeria a sinisra; il valore molo elevao del es Jarque-Bera indica il rifiuo dell ipoesi di normalià. Saisica Valore Osservazioni 55 Media Mediana Massimo Minimo Sd. Dev Asimmeria Curosi Jarque-Bera n di riardi Ljung-Box Q-saisics applicaa sui rendimeni Ljung-Box Q-saisics applicaa al quadrao dei rendimeni Tabella 4.: Saisiche descriive dei log-rendimeni mib30 Il fenomeno della volailiy smile può essere osservao nella volailià implicia delle opzioni sull indice azionario Mib30. In diversi giorni di conraazione (alla fine della sessione di Borsa) sono sai raccoli dai riguardani il prezzo delle Mibo. La figura 4. non ha lo scopo di calcolare la volailià del soosane osservando il prezzo delle opzioni ma di evidenziare il fenomeno della volailiy smile ; la linea raeggiaa rappresena i valori della volailià implicia risulane dai prezzi delle opzioni osservae menre quella coninua rappresena una linea di endenza. Le volailià implicie indicae nella figura soosane si riferiscono a delle opzioni con una via residua relaivamene breve (rimangono 44 giorni di conraazione). La differenza ra le due volailià porebbe essere impuabile sia ai bassi volumi (inferiore ai 00) delle opzioni in corrispondenza alle varie moneyness (ci sono dei casi limie di un solo conrao scambiao per opzioni deep-ou-of-he-money e deep-in-hemoney) sia ad un paricolare momeno del mercao. Se fosse così dovrei uilizzare uno dei meodi descrii nel paragrafo.. 74

81 Capiolo IV Applicazioni 3,00%,00%,00% 0,00% 9,00% 8,00% 7,00% 6,00% 0,8 0,85 0,86 0,88 0,89 0,9 0,9 0,94 Moneyness 0,96 0,98,00,0,04,08,,6 Figura 4.: Volailià implicia (volailiy smile) delle opzioni sul Mib30 negoziae il 8 luglio 003 con un livello dell'indice soosane pari a Sime dei Modelli Le abelle che seguono presenano le sime dei parameri dei diversi modelli di volailià (GARCH(,), TARCH(,), EGARCH(,)) che saranno uilizzai nelle simulazioni per sudiarne il comporameno della volailià implicia in rapporo al modello Black & Scholes. Con l uilizzo del sofware Eviews e ponendo il vincolo λ = 0 e asso d ineresse, risk free, uguale a zero si sono rovae le segueni sime sui parameri per i diversi modelli. Le sime dei parameri per i diversi modelli sono accompagnae dalle sime robuse degli sandard error. 3 In abella 4. vengono visualizzae le sime per i vari parameri del modello GARCH(,). 3 Gli sandard error inserii nelle abelle sono calcolai usando il meodo descrio da Bollerslev e Wooldridge. Vedi Bollerslev T., Wooldridge J. M., Quasi-Maximum Likelihood Esimaion and Inference in Dynamic Models wih Time Varying Covariances Economeric Reviews, (99), No.,

82 Capiolo IV Applicazioni Paramero Coefficiene Sd. Error Sa. T. δ,99773,569357,46544 Equazione della varianza α 7,46E-06,85E-06, α 0,9653 0,046 3,5093 β 0, ,038476,0777 n di riardi Residui sandardizzai Ljung-Box Q-saisics 0 3,09 4,64 0 3,43 4, ,7 34, ,960 49,58 Quadrao dei residui sandardizzai Tabella 4.: Sime dei parameri per il modello GARCH(,) per la deerminazione del prezzo dell opzione basao sull equazione (3.4) Il modello TARCH per la deerminazione del prezzo dell opzione Il modello TARCH 4 o modello GJR 5 generalizza il modello GARCH per permeere agli shocks negaivi sui rendimeni di incremenare maggiormene la volailià. Quesa asimmeria è chiamaa frequenemene leverage. Il modello TARCH (,) ha varianza condizionaa così definia: σ = α 0 + αε + βσ + γd ε (4.) L effeo leverage è misurao da γ, che deermina il conribuo di uno shock negaivo dei rendimeni sulla varianza condizionaa. D è una variabile dummy che assume valore se ε < 0 e 0 alrimeni; α,α 0 e β hanno la medesima inerpreazione del modello GARCH (,). 4 Zakoian J., M., Threshold Heeroskedasic Models, Journal of Economics and Conrol, No. 8, (994), Glosen L., R., Jagannahan R., Runkle D., E., On he Relaion Beween he Expoeced Value and he Volailiy of he Nominal Excess Reurn on Socks, Journal of Finance, No. 48, (993),

83 Capiolo IV Applicazioni Nella specificazione di queso modello, la derivaa seconda della volailià rispeo al prezzo correne del soosane non esise. Se ε > 0 la cosane che premoliplica la derivaa dell errore è solo α (non c è il ermine del leverage), se invece ε < 0 la cosane è pari a α + γ. La varianza marginale del processo TARCH (,) è pari a: σ = α ( α + β + 0.5γ ) 0 Seguendo la meodologia uilizzaa da Duan per il modello GARCH, specifichiamo il modello TARCH (,) per il processo dei rendimeni azionari. Soo la misura Q, che soddisfa (LRNVR), il processo è così definio: con S ln S = r σ + ξ ( 0 ) ξ φ N, σ σ ( ε λσ ) + βσ + γ ( ε ) = α 0 + α D λσ Menre il prezzo azionario al empo T può essere così definio: (4.) S T = S exp s s= + s= + T T ( T ) r σ + ξ s Il valore dell opzione call con prezzo d esercizio X può essere oenuo, prendendo il valore aeso condizionao dei payoff a ermine soo misura Q e aualizzando il valore aeso risulane al asso d ineresse privo di rischio. C TARCH = e ( T ) r Q E [ max( S X,0) φ ] T 77

84 Capiolo IV Applicazioni Il corrispondene valore dell opzione pu di ipo europeo si può rovare uilizzando la condizione di pu-call pariy. In abella 4.3 vengono visualizzae le sime per i vari parameri del modello TARCH(,). Paramero Coefficiene Sd. Error Sa. T. δ -0,4757, ,09404 Equazione della varianza α 5,94E-06,0E-06, α 0, ,0336,44900 β 0, ,0665,09079 γ 0,555 0, ,79655 n di riardi Residui sandardizzai Ljung-Box Q-saisics 0 3,93 7,390 0,780 8, ,469 39, ,787 56,754 Quadrao dei residui sandardizzai Tabella 4.3: Sime dei parameri per il modello TARCH(,) per la deerminazione del prezzo dell opzione basao sull equazione (4.) Il modello EGARCH per la deerminazione del prezzo dell opzione Un imporane limiazione dei modelli ARCH e GARCH sono la cosrizione di posiivià dei parameri α i e β j per la deerminazione della varianza condizionaa. Inolre il modello GARCH assume che l impao delle ε, nella volailià condizionaa dipende solo dalla grandezza, ma non dal segno, dell innovazione. Sudi empirici hanno mosrao che i cambiameni dei prezzi azionari sono negaivamene correlai con i cambiameni di volailià. Per superare quesi inconvenieni, Nelson 6, 6 Nelson D., B., Condiional Heeroskedasiciy in Asse Reurns: A New Approach,Economerica, Vol. 59, (99),

85 Capiolo IV Applicazioni inrodusse il modello GARCH esponenziale, (EGARCH) nel quale il logarimo della varianza condizionaa è così specificaa 7 : 0 ln ln = b a b E a a a σ σ ε σ ε σ ε σ (4.3) per ( ), 0 N σ ε la variabile sandardizzaa σ ε segue una disribuzione normale sandard e conseguenemene π σ ε = E. 8 Il paramero caura l effeo leva. Per good news a a > 0 σ ε l impao delle innovazioni ε è ( ) + a a σ ε b a e per bad news < 0 σ ε si ha ( ) a b a a σ ε. Se 0 = a a, allora risponde simmericamene a ln σ σ ε. Per produrre un effeo leva, deve essere negaivo. Il fao che il processo EGARCH sia specificao in ermini di log-volailià implica che sia sempre posiivo e, conseguenemene non ci sono vincoli sui segni dei parameri del modello. La volailià marginale del processo EGARCH è: a a σ (, ) ( ) ( ) ( [ ] = = 0 0,,,, / exp m b a m b a m b a b b a a F b a a F b a a b a a π σ ) ) con ) ( )] ( [ exp b a m a b m m a a b a a b N F = (4.4) dove è la disribuzione normale sandard cumulaa. N[ ] Seguendo la meodologia uilizzaa da Duan per il modello GARCH, specifichiamo il modello EGARCH (. Soo la misura Q, per la deerminazione del prezzo, che, 7 Per convenienza espliciiamo un modello EGARCH(,) 8 Johnson N., L., Koz S., Disribuions in Saisics Coninuous Univariae Disribuions, Wiley & Sons, New York, (970). 79

86 Capiolo IV Applicazioni soddisfa la valuazione locale neurale verso il rischio (LRNVR), il processo dei rendimeni azionari è così definio: con lnσ a a ξ S ln S = r σ + ξ λ + a ξ = 0 + a b σ σ π ( 0 ) ξ N σ φ, λ + b lnσ dove r è il asso d ineresse privo di rischio, λ è il premio per il rischio, (4.5) sono parameri indipendeni. Per assicurare la sazionarieà, b è assuno essere b minore di uno. Menre il prezzo azionario al empo T può essere così definio: a0, a a, a b e S T = S exp s s= + s= + T T ( T ) r σ + ξ s Il valore dell opzione call con prezzo d esercizio X può essere oenuo, prendendo il valore aeso condizionao dei payoff a ermine soo misura Q e aualizzando il valore aeso risulane al asso d ineresse privo di rischio. C EGA = e ( T ) r Q E [ max( S X,0) φ ] T Il corrispondene valore dell opzione pu di ipo europeo si può rovare uilizzando la condizione di pu-call pariy. In abella 4.4 vengono visualizzae le sime per i vari parameri del modello EGARCH(,). 80

87 Capiolo IV Applicazioni Paramero Coefficiene Sd. Error Sa. T. δ 0,834,6963 0,590 Equazione della varianza a -0, ,0566-3, a , ,9895 a a 0, , , b b 0,9677 0, ,8566 n di riardi Residui sandardizzai Ljung-Box Q-saisics 0 3,868,8 0 3,460 35, ,5 45, ,4 60,876 Quadrao dei residui sandardizzai Tabella 4.4: Sime dei parameri per il modello EGARCH(,) per la deerminazione del prezzo dell opzione basao sull equazione (4.5) Il paramero δ è lasciao libero in sede di sima; poi uilizzando la sima robusa degli sandard error vengono calcolai gli inervalli di confidenza ad un livello α = 99% per verificare se nei re modelli considerai il paramero δ porebbe essere poso pari a -½. Inervallo di confidenza per il modello GARCH ) δ µ z Sd. error = (-,743 ; 6,34) α Inervallo di confidenza per il modello TARCH ) δ µ z Sd. error = (-4,89 ; 3,894) α Inervallo di confidenza per il modello EGARCH ) δ µ z Sd. error = (-3,363 ; 5,03) α Si può osservare che il valore -½ cade all inerno di ciascun inervallo calcolao. 8

88 Capiolo IV Applicazioni 4.3 Disegno della simulazione Mone Carlo Dal momeno che la disribuzione del prezzo a ermine del soosane non può essere derivaa analiicamene, si usano delle simulazioni Mone Carlo per calcolare i prezzi delle opzioni call con i diversi modelli considerai. Il prezzo simulao dell opzione call in (empo iniziale) valuaa con i diversi modelli di volailià è dao da: S T C mod ( T ) r ( S, σ, T ) = e E{ max[ S X,0], S, σ, T } ) mod C, = e T ( n, S, σ T ) n ( T ) r [ max( Si, T X, 0) ] n i= T T ( T ) r σ i, s + ξi, s s= + s= + Si, T = Se ( ) ξi N σ i =,... n, T 0, i, T T = + j; j =,4, 6,89,5 in modo da considerare più scadenze. (4.) dove σ è la varianza marginale dei rendimeni oenua dalla combinazione dei parameri del modello considerao, n = è il numero di simulazioni 9, menre σ,i è la varianza condizionaa dei modelli presi in considerazione. Le simulazioni sono sae eseguie con l ausilio di un M-file creao in codice Malab per oimizzare i calcoli e i risulai. In Appendice A è sao riporao solo quello relaivo alla simulazione del prezzo dell opzione call valuao con il modello GARCH, che nonosane la semplicià risula essere ineressane dao che può essere uilizzaa, con piccole modifiche, anche per gli alri modelli di valuazione dell opzione di ipo call. 9 Engle R.F., Rosenberg J. V., GARCH Gamma, Journal of Derivaives, No., (995),

89 Capiolo IV Applicazioni Per migliorare l efficienza nella valuazione del prezzo dell opzione sono sae uilizzae alcune ecniche di riduzione della varianza in paricolare il meodo della variabile anieica e la ecnica della variabile di conrollo. Come spiegao in precedenza 0 per applicare il meodo della variabile anieica vengono calcolai in realà due prezzi dell opzione; il primo risulane dalle innovazioni ξ j associae al modello considerao, menre il secondo scaurisce dalle innovazioni ξ j. La media di quesi due prezzi procura l oupu per una simulazione. Inolre il corrispondene prezzo Mone Carlo soo le assunzioni di Black & Scholes, BS C è usao come variabile di conrollo dal momeno che esise una soluzione analiica per la formula di Black & Scholes, BS C ~. dove La volailià ~ C BS = S N r( T ) ( d ) Xe N( d ) ( S / X ) + ( r + σ / )( T ) ln BS d = e d = d σ BS T σ T BS (4.) σ BS per il modello Black & Scholes è posa uguale alla volailià marginale σ dei diversi processi di volailià. mod Il risulane prezzo dell opzione call relaivo ai vari modelli C ( n) definio ~ mod mod C ~ BS [ C ] BS ( n) = C ( n) q( n) C ( n) ~ è allora così dove q ( n) Cov = mod BS ( C ( n), C ( n) ) BS Var C ( n) ( ) (4.3) 0 Vedi paragrafo Schmi C., Opion Pricing Using EGARCH Models, ZEW Discussion Paper No. 0, (996), Mannheim Vedi equazione (.4). 83

90 Capiolo IV Applicazioni Il prezzo dell opzione, C ( ) è calcolao sfruando, all inerno della simulazione, mod n il meodo della variabile anieica menre anche, la variabile di conrollo. ~ C mod ( n) è il prezzo risulane applicando, Dopo aver preso visione delle sime dei parameri dei diversi modelli si è deciso di operare le simulazioni sui segueni valori dei parameri. Per semplicià si assume che il asso di ineresse, risk-free, sia zero. Quesa assunzione semplifica anche la definizione di moneyness, m Volailià implicia e rapporo IVR Per un confrono grafico ra i vari modelli considerai e i prezzi delle opzioni Black & Scholes, si derivano le volailià implicie che scauriscono dai prezzi simulai delle opzioni. Considerando l equazione (.4), si sono calcolae le volailià implicie σ mod,imp dei prezzi delle opzioni call, risulani dalle simulazioni dei vari modelli di volailià considerai, per differeni valori di moneyness ( S / X ) e di maurià ( T ) ovvero ~ C BS S = C σ mod, imp,, r T. X mod, (4.4) Le volailià marginali σ dei vari modelli sono usae come sime per la volailià nel calcolo del coso dell opzione Black & Scholes. Per faciliare il confrono ra i modelli, si calcola un rapporo ( IVR ) ra la volailià implicia del modello considerao σ mod, imp e la corrispondene volailià σ BS usaa per la deerminazione del prezzo Black & Scholes, ovvero σ IVR = σ mod, imp BS σ = mod, imp σ (4.5) 3 Nella leeraura, la moneyness è sia definia come S / X o F / X, dove forward. Per r = 0, enrambe le definizioni sono, di conseguenza, ideniche. F denoa il prezzo 84

91 Capiolo IV Applicazioni 4.5 Scela dei dai simulai da uilizzare Per simare il coso delle opzioni call con ragionevole accuraezza occorre usare in genere un valore molo elevao di n, con consegueni noevoli cosi in ermini di empi di calcolo. In queso paragrafo si esamineranno per via grafica gli sandard error, dei cosi delle opzioni call, che scauriscono dalle diverse ecniche di riduzione della varianza. Le diverse ecniche uilizzae, nei re modelli considerai, per la deerminazione del coso dell opzione call sono: nessun meodo di riduzione della varianza (semplice), meodo della variabile anieica, meodo della variabile anieica associao alla ecnica della variabile di conrollo. In base all esperienza appena conclusasi, gli sandard error risulani dalle simulazioni per la deerminazione del prezzo dell opzione indicano che il meodo della variabile anieica associao alla ecnica della variabile di conrollo (prezzo Black & Scholes 4 ) coincide con il solo meodo della variabile anieica; queso perché i coefficieni di conrollo oimale q(n) 5 sono prossimi allo zero. Dal puno di visa eorico ciò avviene perché ogni singolo modello considerao è poco o per nulla correlao con il modello Black & Scholes. Dal puno di visa praico quesi risulai scauriscono perché nelle simulazioni l insieme dei campioni esrai in comune, ra il modello considerao e il modello Black & Scholes, è composo da realizzazioni di variabili normali sandardizzae indipendeni. Se non si uilizzasse queso insieme di ~ informazioni il coso C BS BS 6 n. Inolre, già con n = , le differenze ra C BS ( n) C non sarebbe più il valor medio di ( ) e BS C ~ sono pressoché nulle. Se, invece, si meono a confrono gli sandard error prodoi nelle simulazioni, uilizzando la sola variabile anieica con il meodo semplice (ovvero senza uilizzo di procedure per la riduzione della varianza), si vede chiaramene, dalle figure 4.3 e 4.4, un enorme beneficio risulane da una fore diminuzioni della variabilià del coso dell opzione, specialmene se si considerano opzioni a-he-money e in-he-money; menre per le opzioni ou-of-he-money la riduzione della variabilià del coso è meno evidene. 4 Op. ci., Schmi C., Vedi equazione (4.3). 6 Vedi equazione (3.) e di conseguenza equazione (4.3). 85

92 Capiolo IV Applicazioni Ciò dipende dal meodo della variabile anieica; in queso coneso, il meodo agisce solo dopo aver effeuao una rasformazione non lineare, max( S T X,0). Figura 4.3: Sandard Error relaivo al modello GARCH per la deerminazione del prezzo dell opzione (scadenza ad mese e volailià 3,7%) Nel grafico 4.3 si vede chiaramene che, per le opzioni ou-of-he-money, le curve prodoe dagli sandard error (associae ai rispeivi meodi di riduzione della varianza: semplice e variabile anieica) hanno una forma molo simile daa dal fao che il valore 0 è in misura dominane. Ragionameno inverso, invece, se si vuole spiegarne l andameno della curva, relaiva ad opzioni in-he-money, associaa al non uilizzo di procedure per la riduzione della varianza. Quesa argomenazione, però, spiega solo il moivo della coda desra più pesane (curva degli sandard error associaa all uilizzo della variabile anieica) ma non della forma. Per spiegare ciò, si deve far ricorso alla ecnica uilizzaa per la cosruzione della variabile anieica; per cui se si verifica un valore, S, sopra a quello effeivo, l alro ende a rovarsi soo, e viceversa mediando così i prezzi delle opzioni. 86

93 Capiolo IV Applicazioni Dai grafici analoghi, relaivi alle alre combinazioni (indipendenemene dai modelli considerai), si può noare che la curva racciaa dallo sandard error (linea blu), la quale fornisce informazioni sulla variabilià del coso dell opzione senza considerare alcuna ecnica di riduzione della varianza, ende ad assumere la forma di una rea all aumenare sia della scadenza sia della volailià; menre i valori dello sandard error relaivi all uilizzo della variabile anieica (linea verde) ende ad assumere una forma che volge la concavià verso il basso. Figura 4.4: Sandard Error relaivo al modello TARCH per la deerminazione del prezzo dell opzione (scadenza a mesi e volailià 7,36%) Le analisi che verranno svole si baseranno sul coso dell opzione call simulao con il solo meodo della variabile anieica 7 mod, C ( n) queso perché si è pouo verificare che il coso call rovao senza nessun meodo di riduzione della varianza produce uno sandard error molo maggiore. 7 Ciò implica che, al numeraore del rapporo IVR si assegna la volailià implicia che scaurisce dal coso C mod ( n) ; vedi equazione (4.5). 87

94 Capiolo IV Applicazioni Anno Volailià sorica 33,78% 0,37%,36% 9,36% 8,6% Tabella 4.5: Volailià sorica del Mib30 Inolre, nei casi in cui la volailià annualizzaa del processo considerao sia inferiore del 0%, la simulazione risulane dal non uilizzo di ecniche di riduzione della varianza, per n =50.000, può molo frequenemene imbaersi nell impossibilià di calcolare, per le opzioni call con scadenza breve, la volailià implicia. Segnaliamo però, abella 4.5, che la serie della volailià sorica del Mib30 accoglie valori superiori al 0%. 4.6 Risulai della simulazione GARCH In queso paragrafo si analizzano i risulai relaivi alle diverse simulazioni dovui alle differeni combinazioni dei parameri; paricolare enfasi viene posa sulle caraerisiche della volailià implicia che scaurisce adoando un modello GARCH(,). Le figure che seguono, riporano in ordinaa il rapporo IVR e in ascissa la moneyness, permeendo così un confrono con la volailià implicia del modello Black & Scholes corrispondene. Nel paragrafo 4. si è simao un modello GARCH(,) associao ai rendimeni dell indice Mib30. Tali parameri vengono enui in considerazione per fornire un orienameno circa la possibile dimensione dei parameri. Nella abella 4.6 sono riporai i valori paramerici per il modello GARCH(,), le moneyness e le diverse scadenze considerae nell analisi. Parameri Valori α α 0.00, 0.5, 0.50 β 0.800, 0.85, λ 0 0 r S m = r( T ) Xe 0.80, 0.8,,.9,.0 T mese,, 3, 4, 5, 6, 9, mesi Tabella 4.6: Simulazione basaa sul modello GARCH(,) 88

95 Capiolo IV Applicazioni La variazione di α, β e T forniscono 64 differeni combinazioni dei parameri. Ciò accade perché la combinazione α + β <. α = 0.50, = β viola la condizione Per essere consisene con la naura discrea delle serie simulae, assumiamo che un anno sia composo da 5 (negoziazioni) giorni. Faori come 50 o 5 sono anche ipicamene usai per annualizzare la volailià sorica dai dai giornalieri. Perciò, un mese è definio da 5 / = (negoziazioni) giorni. La volailià iniziale 8, σ, è posa uguale alla volailià non condizionale dei diversi processi uilizzai; l implicazione è che si roverà correnemene al suo livello medio di lungo periodo. Un cambiameno in queso valore iniziale avrà effei sul valore dell opzione. La abella 4.7 mosra le volailià marginali (annualizzae) di modelli GARCH(,) per paricolari combinazioni parameriche (il paramero α 0 è poso uguale a quello simao in abella 4.).. α GARCH 0,800 0,85 0,850 0,00 3,7% 5,83% 9,39% 0,5 5,83% 9,39% 7,4% 0,50 9,39% 7,4% * Tabella 4.7: volailià marginale annualizzae per un modello GARCH(,) β Nel processo GARCH(,) la volailià marginale aumena con l aumenare dei coefficieni α e β nella sessa proporzione. In figura 4.5 si vedono gli effei del cambiameno del empo di scadenza; ci si accorge che l effeo smile decresce con un incremeno della via residua di un opzione. Nei mercai finanziari, le disribuzioni dei rendimeni convergono alla normalià se si incremena l orizzone emporale degli invesimeni 9. Il fao che, i prezzi GARCH delle opzioni convergono ai prezzi Black & Scholes soo aggregazione emporale rende consisene quano affermao in precedenza. 8 Vedi equazione (4.). 9 Vedi Capiolo II, paragrafo.. 89

96 Capiolo IV Applicazioni I risulai della figura 4.5 sono basai su un modello GARCH che per cosruzione non coniene un paramero leva quindi la volailià implicia non può essere di ipo skew. Figura 4.5: Curve IVR: Modello GARCH(,) con parameri α =0,5, β =0,800. Per le opzioni a-he-money, la volailià implicia del modello GARCH è sisemaicamene più piccola della corrispondene volailià Black & Scholes; ciò implica un minore prezzo delle opzioni basae su un modello GARCH rispeo alle corrispondeni opzioni Black & Scholes. BS denoa l indice IVR per il modello Black & Scholes, il quale è sempre uno. La figura 4.6 visualizza chiaramene l effeo smile della volailià implicia lungo ua la moneyness. Per le opzioni a-he-money, la volailià implicia del modello GARCH è sisemaicamene più piccola della corrispondene volailià implicia Black & Scholes, ma l implied volailiy raio (IVR) è più grande di sia per le opzioni in-he-money ( S / X > ) sia per le opzioni ou-of-he-money ( S / X < ). Le analisi rivelano uleriormene che per le opzioni deep-ou-of-he-money le curve IVR, se aumeniamo la volailià conseguenza dell aumeno del paramero β, endono a sliare in basso. 90

97 Capiolo IV Applicazioni Figura 4.6: Curve IVR: Modello GARCH(,) con parameri α =0,00, scadenza mesi. Ciò si verifica sempre per i casi in cui la scadenza è inferiore a 3 mesi menre con l aumenare della via residua dell opzione quesa caraerisica porebbe essere, a vole, smenia ma se ciò accade succede solo ra curve IVR che scauriscono da modelli GARCH che hanno una differenza di β minore di 0,05. Il comporameno della curva IVR per le opzioni deep-in-he-money è invece meno prevedibile ma denoa una caraerisica imporane; i valori assuni dalla curva IVR sono sisemaicamene più bassi rispeo ai valori assuni per le opzioni deep-ou-of-hemoney ovvero la curva IVR non è simmerica. Le figure 4.7 e 4.8 mosrano i comporameni delle curve IVR, a parià di volailià del modello GARCH e della via residua dell opzione. Nei grafici si evidenzia che, per le opzioni a-he-money, aumenando β e di conseguenza diminuendo α, l indice IVR pur rimanendo inferiore ad ende ad aumenare. La figura 4.8 soolinea che la caraerisica precedenemene ciaa permane vera, anzi viene amplificaa, se si aumena la via residua dell opzione; ovvero le curve IVR endono quasi a non inersecarsi ra di loro. 9

98 Capiolo IV Applicazioni Figura 4.7: Curve IVR: Modello GARCH(,) con volailià 9,39%, scadenza mese. Figura 4.8: Curve IVR: Modello GARCH(,) con volailià 9,39%, scadenza 9 mesi 9

99 Capiolo IV Applicazioni 4.7 Risulai della simulazione TARCH In queso paragrafo si analizzano i risulai relaivi alle diverse simulazioni con modelli TARCH(,) dovui a differeni combinazioni dei parameri, ponendo paricolare enfasi sulle volailià implicie che scauriscono adoando ali modelli. I risulai, precedenemene acquisii, della sima dei parameri per il modello TARCH(,) servono per fornire un possibile orienameno. Nella abella 4.8 vengono riporai i valori paramerici per il modello TARCH(,), le moneyness e le diverse scadenze considerae nell analisi. Parameri Valori α α 0.05, 0.08 β 0.800, 0.85, γ 0.0, 0.5 λ 0 r 0 S m = r( T ) Xe 0.80, 0.8,,.9,.0 T mese,, 3, 4, 5, 6, 9, mesi Tabella 4.8: Simulazione basaa sul modello TARCH(,) La variazione di α, β, γ e T forniscono 88 differeni combinazioni dei parameri. Ciò accade perché la combinazione α = 0. 08, β = e γ = 0. 5 rende il denominaore della varianza negaivo infai α + β + 0.5γ >. Le abelle 4.9a e 4.9b mosrano le volailià marginali (annualizzae) di modelli TARCH(,) per paricolari combinazioni parameriche (il paramero α 0 è poso uguale a quello simao in abella 4.3). α TARCH 0,800 0,85 0,850 0,05,3% 4,3% 7,30% 0,08 4,6% 8,4% 7,36% Tabella 4.9a: Volailià marginale annualizzae per un modello TARCH(,) con paramero γ = 0. 0 β 93

100 Capiolo IV Applicazioni α TARCH 0,800 0,85 0,850 0,05 4,3% 7,30% 4,47% 0,08 8,4% 7,36% * Tabella 4.9b: Volailià marginale annualizzae per un modello TARCH(,) con paramero γ = 0. 5 β Come ci si aspea la volailià marginale per i modelli TARCH(,), con i medesimi valori dei parameri α e β, aumena se si accresce il paramero di leverage, γ. La figura 4.9 visualizza chiaramene la volailià implicia di ipo skew classica dei modelli che conengono l effeo leverage. La curva IVR ha una forma decrescene lungo i primi valori della moneyness ( l opzione è ou-of-he-money ) per poi assumere una forma crescene lungo i resani valori; queso è risconrabile e molo evidene per le opzioni che hanno una via residua breve. I resani grafici relaivi a ue le alre combinazioni dei parameri evidenzino curve IVR analoghe a quelle riporae in figura 4.9. La volailià implicia del modello TARCH è sisemaicamene più grande della corrispondene volailià implicia Black & Scholes solo per le opzioni deep-in-he-money la cui via residua è molo breve. Figura 4.9: Curve IVR: Modello TARCH(,) con α =0,08 β =0,850 e γ =0,0. 94

101 Capiolo IV Applicazioni In figura 4.0 si vedono gli effei della variazione del paramero β in un modello TARCH. Un aumeno di ale paramero deermina uno sposameno della curva IVR in basso (alcune eccezioni si possono risconrare nei modelli TARCH, con una bassa volailià annualizzaa, per le opzioni deep-ou-of-he-money con scadenza ad mese). Figura 4.0: Curve IVR: Modello TARCH(,) con α =0,05 γ =0,5 e scadenza 3 mesi. E saa svola un analisi per meere in evidenza gli effei che si risconrano nei modelli TARCH che differiscono ra loro solo rispeo ad un diverso valore del paramero γ. Le curve IVR, relaive a modelli TARCH con paramero leva pari a 0,0, assumono sisemaicamene valori più elevai 0 rispeo alle corrispondeni curve IVR associae ad un paramero γ =0,5. Inolre, si è risconraa un uleriore caraerisica empirica; Se si effeua la derivaa prima della curva IVR per le opzioni deep-in-he-money, si scopre che inizialmene il asso di crescia, per i modelli TARCH con un γ pari a 0,0, è maggiore ma quesa differenza diminuisce aumenando la via residua dell opzione fino a inverire la 0 Alcune eccezioni si hanno nei valori IVR relaivi ad opzioni deep-in-he-money. 95

102 Capiolo IV Applicazioni endenza iniziale ; generalmene, considerando già un opzione con scadenza a 3 mesi, il asso di crescia della curva IVR per un modello TARCH con paramero γ =0,5 è superiore rispeo al asso di crescia che scaurisce da un modello con un paramero γ =0,0. Moneyness Modello TARCH con γ =0.0, scadenza mese Modello TARCH con γ =0.5, scadenza mese Modello TARCH con γ =0.0, scadenza 4 mesi Modello TARCH con γ =0.5, scadenza 4 mesi, , , , , , , , , , , Tabella 4.0: valori relaivi al asso di crescia ra due modelli TARCH(,) Per comprendere meglio quano affermao vengono inserii i grafici 4. e 4. e la abella 4.0. Figura 4.: Curve IVR: Modello TARCH(,) con α =0,08 β =0,85 e scadenza mese. Se si considerano i due modelli TARCH(,) con α =0,05 e β =0,85, si può accerare la singolarià di un asso di crescia, del modello basao su γ =0,5, sempre superiore. 96

103 Capiolo IV Applicazioni Figura 4.: Curve IVR: Modello TARCH(,) con α =0,08 β =0,85 e scadenza 4 mesi. 4.8 Risulai della simulazione EGARCH In queso paragrafo si descrivono i risulai relaivi alle diverse simulazioni con modelli EGARCH(,), analizzando in paricolare le volailià implicie che scauriscono adoando ali modelli. Nella abella 4. vengono riporai i valori paramerici per il modello EGARCH(,), le moneyness e le diverse scadenze considerae nell analisi. Parameri Valori a a 0.00, -0.0, -0.0 a a 0.5, 0.5, 0.35 b b 0.95 λ 0 r 0 S m = r( T ) Xe 0.80, 0.8,,.9,.0 T mese,, 3, 4, 5, 6, 9, mesi Tabella 4.: Simulazione basaa sul modello EGARCH(,) 97

104 Capiolo IV Applicazioni La variazione di parameri. aa, a b e T forniscono 7 differeni combinazioni dei La abella 4. visualizza le volailià marginali (annualizzae) di modelli EGARCH(,) per paricolari combinazioni parameriche (i parameri e b sono posi uguali a quelli inserii in abella 4.). a0 a a EGARCH a b 0,5 0,5 0,35 0,00,0%,88% 4,8% -0,0,45% 3,8% 4,66% -0,0 3,86% 4,54% 5,85% Tabella 4.: Volailià marginale annualizzae per un modello EGARCH(,) Come ci si aspea, la volailià marginale del processo EGARCH incremena con a b menre l effeo leva a a ha solo una minor influenza. Le figure 4.3 e 4.4 mosrano gli effei della variazione del paramero a b il quale misura l impao della dimensione delle innovazioni enrambe le figure, la scadenza è fissaa ad mese. ξ σ sulla volailià. In Figura 4.3: Curve IVR: Modello EGARCH(,) con a a = 0.00, scadenza mese 98

105 Capiolo IV Applicazioni La figura 4.3 visualizza chiaramene il modello smile della volailià implicia lungo la moneyness. Per le opzioni a-he-money, la volailià implicia del modello EGARCH è sisemaicamene più piccola della corrispondene volailià implicia Black & Scholes, ma l implied volailiy raio è più grande di sia per le opzioni in-he-money sia per le opzioni ou-of-he-money. Il modello di volailià smile in figura 4.3 assomiglia molissimo ai risulai oenui per il modello GARCH. La figura 4.3 è basaa sulle simulazioni con a a = 0, cioè senza un effeo leva menre il paramero di leverage è fissao a -0,0 per le simulazioni soosani la figura 4.4. Variando ora, da 0,5 a 0,35 si produce dei modelli di volailià implicia compleamene differeni. Per a b piccoli valori di, l effeo obliquo che aribuisce il paramero alla volailià implicia è chiaramene dominae. Il modello EGARCH compora volailià implicie più elevae del modello Black & Scholes per le opzioni call in-he-money ma volailià implicie minori per le opzioni ou-he-money. a a a b a a Figura 4.4: Curve IVR: Modello EGARCH(,) con a a = -0.0, scadenza mese Per comprendere meglio l effeo leva sulla volailià, ricordiamo che un paramero negaivo a a implica, a parià delle alre condizioni, che le innovazioni posiive siano associae con decremeni di volailià e viceversa. Le opzioni ou-of-he-money 99

106 Capiolo IV Applicazioni richiedono elevai rendimeni posiivi del soosane per finire in-he-money alla scadenza. Dal momeno che, le innovazioni posiive producono una minore volailià, i prezzi EGARCH delle opzioni call ou-of-he-money dovrebbero essere minori dei corrispondeni prezzi Black & Scholes. Queso spiega le forme asimmeriche delle curve IVR in figura 4.4. Noa, comunque, che con un incremeno di a relaivo a a a, l effeo smile riemerge gradualmene. b a a b La figura 4.5 mosra la variazione dell effeo leva quando a varia ma è cosane a 0,5. Si vede chiaramene, che al decrescere del paramero a a il rapporo IVR è soggeo ad un effeo obliquo. Queso fenomeno si sviluppa in senso aniorario aorno al valore di moneyness. Figura 4.5: Curve IVR: Modello EGARCH(,) con = 0.5, scadenza mese a b 00

107 Capiolo IV Applicazioni Figura 4.6: Curve IVR: Modello EGARCH(,) con =0.00 = 0.35 a a a b In figura 4.6 si vedono gli effei del cambiameno del empo di scadenza; si può vedere che l effeo smile decresce con un incremeno della via residua di un opzione. I prezzi EGARCH delle opzioni convergono ai prezzi Black & Scholes se si incremena l orizzone emporale degli invesimeni queso deriva dal fao che le disribuzioni dei rendimeni convergono alla normalià; soo aggregazione emporale rende consisene quano affermao in precedenza. I risulai della figura 4.6 sono basai su un modello EGARCH senza l effeo leva e, perciò, non si può rovare una volailià di ipo skew. Anche in figura 4.7 si vedono gli effei del cambiameno del empo di scadenza ma in queso caso siamo alla presenza di un modello EGARCH asimmerico. Con a a fissao a -0,0 e a b a 0,5; si può ancora vedere che, in generale, gli effei della volailià implicia sono più energici per le opzioni con scadenza più breve rispeo a quelle con scadenza più disane. Comunque, si deve annoare delle eccezioni per le opzioni deep-ou-of-he-money con moneyness minori di 0,9. Il rapporo IVR di una call con scadenza ad mese con moneyness pari a 0,80 è 0,9848 menre il rapporo decremena 0

108 Capiolo IV Applicazioni fino a 0,8975 per una opzione call con scadenza a 3 mesi e incremena di nuovo fino a 0,945 per un opzione con scadenza a mesi. Figura 4.7: Curve IVR: Modello EGARCH(,) con =-0.0 = 0.5 a a a b Queso effeo ineressane è dovuo al fao che, soo aggregazione emporale, il fenomeno della volailià smile sparisce più velocemene del fenomeno della volailià di ipo skew. E da aggiungere che queso ipo di grafico si è rovao con ue le alre combinazioni di a e a dove a. a b a < 0 Tue le simulazioni che servono per deerminare il seniero emporale del soosane e di conseguenza i prezzi delle opzioni richiedono un valore iniziale della volailià, σ. Una scela naurale è la volailià marginale del corrispondene modello EGARCH come definio nell equazione 3.5. i risulai delle precedeni figure sono ue basae su queso valore iniziale. Sarebbe ineressane sapere se i risulai della simulazione sono sensibili rispeo alla scela del valore iniziale. Le figure 4.8 e 4.9 cercano di verificare queso. Usando un valore iniziale della volailià di 5,36% il quale è più piccolo della volailià marginale pari a 3,8% (basaa su a a b =-0,0 e =0,5 ), ha l effeo di sliare le curve della volailià implicia in basso a Vedi abella 4.. 0

109 Capiolo IV Applicazioni (confrona figure 4.7 e 4.8). La base razionale economica diero a queso cambiameno è piuoso ovvia. I prezzi Black & Scholes non vengono modificai dal momeno che essi sono ancora calcolai in base alla sessa volailià marginale ma i prezzi EGARCH diminuiscono e ale diminuzione è dovua alla volailià iniziale che condiziona le volailià successive. La volailià e gli effei dei prezzi sembrano essere piuoso sosanziale ma si dovrebbe ricordare che la differenza nel valore iniziale è molo grande. La figura 4.9 illusra gli effei sull uso di una volailià iniziale relaivamene grande pari a 9,36% (pari alla volailià sorica annualizzaa nell anno 00). Non risula sorprendene che una volailià iniziale più grande faccia sliare le curve IVR in basso (confrona figure 4.7 e 4.9). Perciò, la scela del valore iniziale deermina la posizione delle curve IVR. E, invece, ineressane noare che la forma delle curve IVR non sono molo colpie dalle variazioni sulla volailià iniziale. Risulai analoghi si sono risconrai anche per i modelli GARCH(,) e TARCH(,). Figura 4.8: Curve IVR: Modello EGARCH(,) con a a =-0.0, a b = 0.5 e condizione iniziale: bassa volailià (pari a 5,36%) 03

110 Capiolo IV Applicazioni Figura 4.9: Curve IVR: Modello EGARCH(,) con a a =-0.0, a b = 0.5 e condizione iniziale: ala volailià (pari a 9,36%). 04

111 Appendice A Appendice A M-file soosane è sao realizzao in codice Malab e uilizzao per deerminare il prezzo delle opzioni call di ipo europeo con soosane un modello GARCH(,). La procedura calcola il coso e lo sandard error associao delle opzioni call usando: il meodo semplice, la ecnica della variabile anieica e il meodo della variabile anieica associao alla variabile di conrollo; inolre per ogni meodo si deermina il coso dell opzione call per differeni mauriy e per diverse moneyness. I parameri iniziali riguardano le scele adoae. Codice %Modello: GARCH(,) implemenao nella versione di Duan soo LRNVR clear all forma bank fid=fopen('c:/dai/chiusura.x','r'); %Acquisisco la serie sorica reale raieoria=fscanf(fid,'%f'); %Parameri =lengh(raieoria); r=0; % Risk-free lamda=0; %premio per il rischio dela=(-0.5); T=5; N=50000; %N di simulazioni 05

112 Appendice A %Sime dei parameri della varianza condizionaa del processo w= ; alfa=0.00; bea=0.800; %Varianza marginale del processo sigsaz=w/(-(+lamda^)*alfa-bea); %Valori della moneyness considerai m=[0.80:0.0:.0]; l=lengh(m); %Inizzializzazioni mese=; mese=4; mese3=63; mese4=84; mese5=05; mese6=6; mese9=89; mese=5; oriz=[mese mese mese3 mese4 mese5 mese6 mese9 mese]; o=lengh(oriz); ep=zeros(n,t+); ep=zeros(n,t+); epb=zeros(n,t+); sig=zeros(n,t+); sig=zeros(n,t+); ST=zeros(N,o+); STa=zeros(N,o+); ST(:,)=raieoria(); STa(:,)=raieoria(); via=zeros(n,l); vib=zeros(n,l); va=zeros(n,l); empo=repma(0,[ o]); a=repma(0,[ o]); srike=repma(0,[ l]); q=repma(0,[ l]); q=repma(0,[ l]); q3=repma(0,[ l]); q4=repma(0,[ l]); q5=repma(0,[ l]); q6=repma(0,[ l]); q9=repma(0,[ l]); q=repma(0,[ l]); 06

113 Appendice A cgarchilde=zeros(n,l); cgarchilde=zeros(n,l); cgarchilde3=zeros(n,l); cgarchilde4=zeros(n,l); cgarchilde5=zeros(n,l); cgarchilde6=zeros(n,l); cgarchilde9=zeros(n,l); cgarchilde=zeros(n,l); %Condizione iniziale sulla varianza varcond=sigsaz; %Srike price for(i=:l) srike(i)=raieoria()/m(i); end %Coefficieni per aualizzare for(i=:o) empo(i)=oriz(i)/t; a(i)=exp(-r*empo(i)); end %Traieorie simulae for(j=:n) epb(j,)=normrnd(0,); ep(j,)=epb(j,)*sqr(varcond); sig(j,)=varcond; ep(j,)=-epb(j,)*sqr(varcond); sig(j,)=varcond; end for(j=:n) for(i=:t+) sig(j,i)=w+alfa*(ep(j,i-)-lamda*sqr(sig(j,i-)))^+bea*sig(j,i-); sig(j,i)=w+alfa*(ep(j,i-)-lamda*sqr(sig(j,i-)))^+bea*sig(j,i-); epb(j,i)=normrnd(0,); ep(j,i)=epb(j,i)*sqr(sig(j,i)); ep(j,i)=-epb(j,i)*sqr(sig(j,i)); end end %Calcolo del prezzo del soosane for(j=:n) ST(j,)=raieoria()*exp(oriz()*r+dela*sum(sig(j,:mese+))+sum(ep(j,: mese+))); 07

114 Appendice A STa(j,)=raieoria()*exp(oriz()*r+dela*sum(sig(j,:mese+))+sum(ep(j, :mese+))); end for(j=:n) ST(j,3)=raieoria()*exp(oriz()*r+dela*sum(sig(j,:mese+))+sum(ep(j,: mese+))); STa(j,3)=raieoria()*exp(oriz()*r+dela*sum(sig(j,:mese+))+sum(ep(j, :mese+))); end for(j=:n) ST(j,4)=raieoria()*exp(oriz(3)*r+dela*sum(sig(j,:mese3+))+sum(ep(j,: mese3+))); STa(j,4)=raieoria()*exp(oriz(3)*r+dela*sum(sig(j,:mese3+))+sum(ep(j, :mese3+))); end for(j=:n) ST(j,5)=raieoria()*exp(oriz(4)*r+dela*sum(sig(j,:mese4+))+sum(ep(j,: mese4+))); STa(j,5)=raieoria()*exp(oriz(4)*r+dela*sum(sig(j,:mese4+))+sum(ep(j, :mese4+))); end for(j=:n) ST(j,6)=raieoria()*exp(oriz(5)*r+dela*sum(sig(j,:mese5+))+sum(ep(j,: mese5+))); STa(j,6)=raieoria()*exp(oriz(5)*r+dela*sum(sig(j,:mese5+))+sum(ep(j, :mese5+))); end for(j=:n) ST(j,7)=raieoria()*exp(oriz(6)*r+dela*sum(sig(j,:mese6+))+sum(ep(j,: mese6+))); STa(j,7)=raieoria()*exp(oriz(6)*r+dela*sum(sig(j,:mese6+))+sum(ep(j, :mese6+))); end for(j=:n) 08

115 Appendice A ST(j,8)=raieoria()*exp(oriz(7)*r+dela*sum(sig(j,:mese9+))+sum(ep(j,: mese9+))); STa(j,8)=raieoria()*exp(oriz(7)*r+dela*sum(sig(j,:mese9+))+sum(ep(j, :mese9+))); end for(j=:n) ST(j,9)=raieoria()*exp(oriz(8)*r+dela*sum(sig(j,:mese+))+sum(ep(j,: mese+))); STa(j,9)=raieoria()*exp(oriz(8)*r+dela*sum(sig(j,:mese+))+sum(ep( j,:mese+))); end %Valore inrinseco a=; b=l; for(gg=:o) for(j=:n) for(i=:l) vib(j,i)=max(st(j,gg+)-srike(i),0); via(j,i)=max(sta(j,gg+)-srike(i),0); end end va=(vib+via)/; %Valore inrinseco sfruando la variabile anieica swich gg case vig=va; value=vib; case vig=va; value=vib; case 3 vig3=va; value3=vib ; case 4 vig4=va; value4=vib; case 5 vig5=va; value5=vib; case 6 09

116 Appendice A vig6=va; value6=vib; case 7 vig9=va; value9=vib; oherwise vig=va; value=vib; end end %Valori uilizzando la variabile anieica %Sandard error sdg=sd(vig,0,); sdg=sd(vig,0,); sdg3=sd(vig3,0,); sdg4=sd(vig4,0,); sdg5=sd(vig5,0,); sdg6=sd(vig6,0,); sdg9=sd(vig9,0,); sdg=sd(vig,0,); %Coso call garch garch=a()*sum(vig(:n,:))/n; garch=a()*sum(vig(:n,:))/n; garch3=a(3)*sum(vig3(:n,:))/n; garch4=a(4)*sum(vig4(:n,:))/n; garch5=a(5)*sum(vig5(:n,:))/n; garch6=a(6)*sum(vig6(:n,:))/n; garch9=a(7)*sum(vig9(:n,:))/n; garch=a(8)*sum(vig(:n,:))/n; %Valori senza nessun meodo di riduzione della varianza %Sandard error sdvalue=sd(value,0,); sdvalue=sd(value,0,); sdvalue3=sd(value3,0,); sdvalue4=sd(value4,0,); sdvalue5=sd(value5,0,); sdvalue6=sd(value6,0,); sdvalue9=sd(value9,0,); sdvalue=sd(value,0,); %Coso call garch cg=a()*sum(value(:n,:))/n; cg=a()*sum(value(:n,:))/n; 0

117 Appendice A cg3=a(3)*sum(value3(:n,:))/n; cg4=a(4)*sum(value4(:n,:))/n; cg5=a(5)*sum(value5(:n,:))/n; cg6=a(6)*sum(value6(:n,:))/n; cg9=a(7)*sum(value9(:n,:))/n; cg=a(8)*sum(value(:n,:))/n; % Formula analiica di Black-Scholes SBS=zeros(N,o+); SBSA=zeros(N,o+); SBS(:,)=raieoria(); SBSA(:,)=raieoria(); vol=sqr(sigsaz)*sqr(t); r=r*00; for i=:l callchiusa(i) = blsprice(raieoria(),srike(i),r,empo(),vol); callchiusa(i) = blsprice(raieoria(),srike(i),r,empo(),vol); callchiusa3(i) = blsprice(raieoria(),srike(i),r,empo(3),vol); callchiusa4(i) = blsprice(raieoria(),srike(i),r,empo(4),vol); callchiusa5(i) = blsprice(raieoria(),srike(i),r,empo(5),vol); callchiusa6(i) = blsprice(raieoria(),srike(i),r,empo(6),vol); callchiusa9(i) = blsprice(raieoria(),srike(i),r,empo(7),vol); callchiusa(i) = blsprice(raieoria(),srike(i),r,empo(8),vol); end %Simulazione del prezzo Black-Scholes for (j=:n) for(i=:(o+)) SBS(j,i)=raieoria()*exp(((r-(vol^)/)*empo(i-))+vol*sqr(empo(i- ))*epb(j,i)); SBSA(j,i)=raieoria()*exp(((r-(vol^)/)*empo(i-))+vol*sqr(empo(i- ))*(-epb(j,i))); end end a=; b=l; for(gg=:o) for(j=:n) for(i=:l) vib(j,i)=max(sbs(j,gg+)-srike(i),0); via(j,i)=max(sbsa(j,gg+)-srike(i),0); end end va=(vib+via)/; swich gg

118 Appendice A case vibs=va; case vibs=va; case 3 vibs3=va; case 4 vibs4=va; case 5 vibs5=va; case 6 vibs6=va; case 7 vibs9=va; oherwise vibs=va; end end %Valori simulai uilizzando il modello Black-Scholes %Sandard error sdbs=sd(vibs,0,); sdbs=sd(vibs,0,); sdbs3=sd(vibs3,0,); sdbs4=sd(vibs4,0,); sdbs5=sd(vibs5,0,); sdbs6=sd(vibs6,0,); sdbs9=sd(vibs9,0,); sdbs=sd(vibs,0,); %Coso call B-S simulao callbs=a()*sum(vibs(:n,:))/n; callbs=a()*sum(vibs(:n,:))/n; callbs3=a(3)*sum(vibs3(:n,:))/n; callbs4=a(4)*sum(vibs4(:n,:))/n; callbs5=a(5)*sum(vibs5(:n,:))/n; callbs6=a(6)*sum(vibs6(:n,:))/n; callbs9=a(7)*sum(vibs9(:n,:))/n; callbs=a(8)*sum(vibs(:n,:))/n; %Coefficieni di conrollo oimale for i=:l rasf=cov(vig(:,i),vibs(:,i)); q(i)=rasf(,)/rasf(,); rasf=cov(vig(:,i),vibs(:,i)); q(i)=rasf(,)/rasf(,); rasf=cov(vig3(:,i),vibs3(:,i));

119 Appendice A q3(i)=rasf(,)/rasf(,); rasf=cov(vig4(:,i),vibs4(:,i)); q4(i)=rasf(,)/rasf(,); rasf=cov(vig5(:,i),vibs5(:,i)); q5(i)=rasf(,)/rasf(,); rasf=cov(vig6(:,i),vibs6(:,i)); q6(i)=rasf(,)/rasf(,); rasf=cov(vig9(:,i),vibs9(:,i)); q9(i)=rasf(,)/rasf(,); rasf=cov(vig(:,i),vibs(:,i)); q(i)=rasf(,)/rasf(,); end for j=:l for i=:n cgarchilde(i,j)=vig(i,j)-q(j)*(vibs(i,j)-callchiusa(j)); cgarchilde(i,j)=vig(i,j)-q(j)*(vibs(i,j)-callchiusa(j)); cgarchilde3(i,j)=vig3(i,j)-q3(j)*(vibs3(i,j)-callchiusa3(j)); cgarchilde4(i,j)=vig4(i,j)-q4(j)*(vibs4(i,j)-callchiusa4(j)); cgarchilde5(i,j)=vig5(i,j)-q5(j)*(vibs5(i,j)-callchiusa5(j)); cgarchilde6(i,j)=vig6(i,j)-q6(j)*(vibs6(i,j)-callchiusa6(j)); cgarchilde9(i,j)=vig9(i,j)-q9(j)*(vibs9(i,j)-callchiusa9(j)); cgarchilde(i,j)=vig(i,j)-q(j)*(vibs(i,j)-callchiusa(j)); end end %Valori uilizzando la variabile anieica + variabile di conrollo %Sandard error sdgm=sd(cgarchilde,0,); sdgm=sd(cgarchilde,0,); sdgm3=sd(cgarchilde3,0,); sdgm4=sd(cgarchilde4,0,); sdgm5=sd(cgarchilde5,0,); sdgm6=sd(cgarchilde6,0,); sdgm9=sd(cgarchilde9,0,); sdgm=sd(cgarchilde,0,); %Coso call garch garchm=a()*sum(cgarchilde(:n,:))/n; garchm=a()*sum(cgarchilde(:n,:))/n; garchm3=a(3)*sum(cgarchilde3(:n,:))/n; garchm4=a(4)*sum(cgarchilde4(:n,:))/n; garchm5=a(5)*sum(cgarchilde5(:n,:))/n; garchm6=a(6)*sum(cgarchilde6(:n,:))/n; garchm9=a(7)*sum(cgarchilde9(:n,:))/n; garchm=a(8)*sum(cgarchilde(:n,:))/n; 3

120 Appendice A for i=:l volailiy(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(),garch(i),00000); valuevol(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(),cg(i),00000); volailiy(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(),garch(i),00000); valuevol(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(),cg(i),00000); volailiy3(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(3),garch3(i),00000); valuevol3(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(3),cg3(i),00000); volailiy4(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(4),garch4(i),00000); valuevol4(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(4),cg4(i),00000); volailiy5(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(5),garch5(i),00000); valuevol5(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(5),cg5(i),00000); volailiy6(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(6),garch6(i),00000); valuevol6(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(6),cg6(i),00000); volailiy9(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(7),garch9(i),00000); valuevol9(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(7),cg9(i),00000); volailiy(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(8),garch(i),00000); valuevol(i)=blsimpv(raieoria(),srike(i),r,empo(8),cg(i),00000); end %coefficiene meodo variabile anieica IVR=volailiy/vol; IVR=volailiy/vol; IVR3=volailiy3/vol; IVR4=volailiy4/vol; IVR5=volailiy5/vol; IVR6=volailiy6/vol; IVR9=volailiy9/vol; IVR=volailiy/vol; %coefficiene senza nessun meodo di riduzione della varianza I=valuevol/vol; I=valuevol/vol; I3=valuevol3/vol; I4=valuevol4/vol; I5=valuevol5/vol; I6=valuevol6/vol; I9=valuevol9/vol; I=valuevol/vol; 4

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