TEMPUS PECUNIA EST COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE FINANZIARIE E AZIENDALI

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1 TEPUS PECUNIA EST COLLANA DI ATEATICA PER LE SCIENZE ECONOICHE FINANZIARIE E AZIENDALI 3

2 Direore Bearice VENTURI Universià degli Sudi di Cagliari Comiao scienifico Umbero NERI Universiy of aryland Russel Allan JOHNSON Universià degli Sudi di Firenze Gian Ialo BISCHI Universià degli Sudi di Urbino Giuseppe ARCA Universià degli Sudi di Cagliari

3 TEPUS PECUNIA EST COLLANA DI ATEATICA PER LE SCIENZE ECONOICHE FINANZIARIE E AZIENDALI Al suo livello più profondo la realà è la maemaica della naura. P Quesa collana nasce dall esigenza di offrire al leore dei raai che aiuino la comprensione e l approfondimeno dei concei maemaici che caraerizzano le discipline dei corsi proposi nelle facolà di Scienze economiche, finanziarie e aziendali.

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5 Bearice Venuri Alessandro Pirisinu Elemeni di aemaica finanziaria per le scienze economiche giuridiche e aziendali

6 Copyrigh XIV ARACNE edirice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN I dirii di raduzione, di memorizzazione eleronica, di riproduzione e di adaameno anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservai per ui i Paesi. Non sono assoluamene consenie le foocopie senza il permesso scrio dell Ediore. I edizione: novembre 2014

7 Indice 9 Prefazione 11 Capiolo I I regimi finanziari 1. La maemaica finanziaria, I concei fondamenali, Il regime dell ineresse semplice, Il regime dello scono commerciale, Il regime dell ineresse composo, I assi equivaleni e i assi converibili, Il asso coninuo e la forza d ineresse, La scindibilià delle leggi finanziarie, I ioli di Sao, 28 Esercizi svoli, 31 Esercizi proposi, Capiolo II Le rendie 1. L equivalenza finanziari, Le progressioni arimeiche e geomeriche, La classificazione delle rendie, I calcoli finanziari per le rendie, I problemi inversi sulle rendie, 55 Esercizi svoli, 57 Esercizi proposi,

8 68 Prefazione Indice 67 Capiolo III I presii: ammorameno e valuazione 1. Il rimborso globale, Il rimborso graduale, L ammorameno ialiano, L ammorameno americano, L ammorameno francese, I problemi finanziari, Il leasing, La valuazione dei presii, 79 Esercizi svoli, 82 Esercizi proposi, Capiolo IV La valuazione degli invesimeni 1. La duraa media finanziaria (duraion), Il empo di recupero (payback period), Il valore auale neo (ne presen value), Il asso inerno di rendimeno (IRR), Il T.A.N. e il T.A.E.G., 99 Esercizi svoli, 100 Esercizi proposi, Capiolo V Inroduzione al calcolo delle probabilià 1. Spazio di probabilià, Variabile casuale, Processo socasico, L ammorameno dei presii obbligazionari, Riferimeni bibliografici

9 7 Prefazione Queso lavoro nasce dal desiderio di offrire a chi affrona lo sudio della maemaica finanziaria una raazione agevole e per quano possibile complea dei diversi ipi di operazioni finanziarie nella maniera in cui si svolgono nella realà dei mercai finanziari. Parendo dalle prime nozioni sui regimi finanziari, il eso affrona le più comuni operazioni finanziarie cere: le rendie; i presii, il loro rimborso e la loro valuazione; si conclude con gli srumeni che vengono uilizzai per la valuazione degli invesimeni (asso inerno di rendimeno, duraion, payback e alri) e con un inroduzione al calcolo probabilisico. Quesi argomeni sono sicuramene efficaci per meglio comprendere le nozioni che verranno affronae nei corsi degli anni successivi al primo, in cui si sosiene l esame di maemaica finanziaria; cioè la finanza aziendale e la ecnica bancaria, per ciarne alcuni. Alla fine di ogni capiolo è anziuo presene una serie di esercizi svoli e commenai che uleriormene approfondiscono la eoria presenaa nel eso; vengono poi proposi alri problemi, per consenire di eserciarsi personalmene nello sudio della maeria anche da un puno di visa operaivo. Cagliari, Luglio 2014 Bearice Venuri Alessandro Pirisinu 9

10 810 Prefazione Presenazione Indice degli auori

11 Capiolo I I regimi finanziari 1. La maemaica finanziaria È quella branca della maemaica che si occupa delle operazioni finanziarie cere: si raa di scambi di somme di denaro nel empo, scambi che sono indipendeni da eveni aleaori. La maemaica finanziaria dunque considera solano operazioni in base alle quali è possibile confronare somme diverse, disponibili in empi diversi, siano esse presae (per ricevere un compenso successivamene) o ricevue (in modo da averne la disponibilià per successivi fuuri invesimeni). I due aspei fondamenali preseni in un operazione finanziaria sono perciò l aspeo moneario e lo scorrere del empo, senza il quale non vi è operazione finanziaria. 2. I concei fondamenali. Le operazioni finanziarie fondamenali sono l operazione di capializzazione e di aualizzazione. Consideriamo la prima operazione di capializzazione, cioè l invesimeno o presio di una somma di denaro. Si definisce il presio come quell operazione che consise nella cessione di una somma in denaro, pauendo la resiuzione a un cero empo fissao, aumenaa di ineressi, cioè del compenso speane al presaore. Si possono dunque individuare gli elemeni fondamenali dell operazione: C: è il capiale impiegao presao al empo 0 ; : è il monane prodoo al empo 1, cioè la somma che viene resiuia a chi ha erogao il presio; I: è l ineresse prodoo dall operazione, cioè il compenso che spea a chi ha presao la somma di denaro. Quesi re elemeni sono legai dalla seguene relazione: = C + I. Da ciò, si ha: I = C. 9 11

12 12 10 Capiolo I Si noi che ui gli elemeni dell operazione sono quaniaivamene definii e fissai, cioè l operazione non dipende da elemeni di incerezza, come accade per qualunque operazione finanziaria cera. L operazione di capializzazione si associa al conceo di ineresse e il monane può essere considerao come il valore fuuro di una somma disponibile oggi per l invesimeno. Schemaizzando l operazione: 0 1 I C Consideriamo adesso l operazione finanziaria di aualizzazione: essa consise nella resiuzione anicipaa al empo 0 di una somma di denaro che inizialmene doveva essere resiuia al empo 1, sabilendo un compenso per l anicipaa esinzione del debio. Anche qui si possono dunque individuare gli elemeni dell operazione: : è il capiale che deve essere resiuio alla scadenza 1 ; VA: è il valore auale, cioè la somma che viene resiuia anicipaamene al empo 0 ; S: è lo scono, cioè il compenso che spea a chi esegue un pagameno prima della sua scadenza sabilia. Quesi re elemeni sono collegai dalla seguene relazione: VA = S. Da ciò, si ha: S = VA. L operazione di aualizzazione dunque si associa al conceo di scono e il valore auale può essere considerao come il valore odierno di una somma che scade in fuuro. Anche quesa operazione può essere schemaizzaa: 0 1 S VA

13 I regi i nanziari 13 I regimi finanziari 11 Adesso, si possono dare alre due imporani definizioni: il asso di ineresse i (ineres rae) è il compenso prodoo da un capiale uniario invesio nell unià di empo; il asso può anche essere indicao come asso percenuale p; i due assi sanno nella p relazione i e, ovviamene, p i 100 ; ad esempio, sono in 100 I corrispondenza i assi p 7% e i 0, 07 ; in generale: i. C il asso di scono d (discoun rae) è anch esso un compenso prodoo da un capiale uniario che viene resiuio anicipaamene in S un empo uniario; in generale: d. = 1 0 : è la duraa dell operazione finanziaria che viene misuraa in anni o frazione d anno, se non alrimeni specificao. In una generica operazione finanziaria, fissai C ed, si definiscono inolre: il faore di capializzazione r: r = C ; il faore di aualizzazione v: v = C. La relazione ra i faori r e v è di proporzionalià inversa: 1 1 essendo r = e v =, si ha: r v 1. v r Vi sono diverse leggi finanziarie, cioè diversi principi con cui vengono calcolae le diverse grandezze sopra indicae, cioè ineresse (I), monane (), ecc. Quesi differeni modi di calcolo danno luogo ai regimi finanziari: i più imporani sono il regime dell ineresse semplice, il regime dello scono commerciale, il regime dell ineresse composo. 3. Il regime dell ineresse semplice Ogni regime finanziario è rappresenao da una legge finanziaria cioè dipende da un assuno fondamenale: nel caso del regime semplice, a-

14 14 12 Capiolo I le assuno è che l ineresse I si calcola sempre sul capiale C, al asso i, per la duraa di empo. In alre parole, l ineresse I è proporzionale al capiale C e al asso i per ua la duraa dell operazione. Ciò significa che: I C i. Ricordando quano indicao nel paragrafo precedene, possiamo ricavare le formule per esprimere il monane e le alre grandezze finanziarie: = C + I = C + Ci = C(1 + i) e quindi: = C(1 + i). La formula del monane è una formula lineare rispeo al empo: ciò indica un legame di direa proporzionalià direa ra empo di capializzazione e monane oenuo. In quesa formula, possiamo enucleare (1 + i), cioè il faore di capializzazione semplice. Se si considera il empo uniario, si ha r = (1 + i) o faore uniario di capializzazione semplice. Graficamene: C( 1 i ) 1 i Adesso, per ricavare la formula del valore auale, basa ricordare che esso è il valore odierno di una somma scadene in fuuro; quindi, logicamene, l aualizzazione è l operazione inversa della capializzazione e la formula del valore auale sarà dunque la formula inversa di quella del monane; per, comodià, anche il valore auale VA può essere indicao con C: 1 VA = C = =. 1 i 1 i

15 I regi i nanziari 15 I regimi finanziari 13 1 Anche in quesa formula, possiamo enucleare, cioè il faore 1 i di aualizzazione semplice. 1 Se si considera il empo uniario, si ha v = o faore uniario di 1 i aualizzazione semplice. Adesso possono essere ricavae le formule dell ineresse I e dello scono, che nel regime semplice prende il nome di scono razionale S r : I = C(1 + i) C = Ci (che, ovviamene, è la legge base del regime semplice); 1 i S r = = 1 =, dove si ha: 1 i 1 i 1 i i - è il faore di scono razionale; 1 i i - d = (considerao il empo uniario) è il faore uniario 1 i di scono razionale. Ques ulimo indica la relazione ra asso uniario i di ineresse e asso uniario d di scono. Da ques ulima relazione, si può d ricavare la relazione inversa ra i e d: i ; ecco perché il 1 d asso d viene anche deo asso di ineresse anicipao. Per compleare il regime semplice, si possono ora indicare le due formule del empo di invesimeno e del asso di capializzazione semplice; dalla formula del monane si ha = C(1 + i); dividendo primo e secondo membro per C si ha: 1 i da cui i 1; C C 1 infine i C che è il asso di capializzazione semplice ;

16 16 14 Capiolo I 1 C che è il empo di capializzazione semplice. i A proposio dell ulima formula, è ineressane ricordare che vi sono diverse convenzioni sul calcolo dei empi: nella maemaica finanziaria si usa generalmene la convenzione dell anno commerciale (cosiddea 30/360): indipendenemene dall anno considerao, la duraa dell anno è di 360 giorni e i mesi sono ui di 30 giorni. Nella concrea realà delle operazioni finanziarie, invece, vi sono alre convenzioni: innanzi uo, si può considerare l anno civile, dove la duraa è di 365 giorni o 366 se l anno è bisesile e la duraa dell operazione viene calcolaa come disanza ra due dae precise (la cosiddea convenzione ac/ac): se si indica con n il numero di giorni ra due dae e con N il numero di giorni dell anno considerao, il rapporo n/n indica la duraa in ermini di frazione d anno. Quesa viene uilizzaa per gli srumeni di mercao finanziario, cioè ioli di duraa medio-lunga come i CCT e i BTP. Inolre, vi sono casi diversi come la convenzione ac/360 (uilizzaa per i BOT), la convenzione ac/365, ecc. 4. Il regime dello scono commerciale In queso regime finanziario lo scono S c si calcola proporzionalmene al capiale alla scadenza, al asso d per la duraa di empo. Ciò significa che: d. S c A parire da quesa formula, ricordando che S c = VA = C, si ha: VA = C = S c = d = (1 d). In quesa formula, possiamo enucleare (1 d), cioè il faore di aualizzazione nello scono commerciale; se si considera il empo uniario, si ha v = (1 d), che è il faore uniario di aualizzazione. Adesso, per ricavare la formula del monane si calcola la formula inversa di quella del valore auale; essendo:

17 I regi i nanziari 17 I regimi finanziari 15 C = (1 d), dividendo il primo e il secondo membro per (1 d), si ha: C 1 = = C. 1 d 1 d In queso regime, la formule del monane è una funzione che, rispeo al empo di capializzazione, rappresena un iperbole: il rao economicamene significaivo è nel primo quadrane fino all asinoo vericale, cioè si può capializzare per un empo corrispondene 1 d all inverso del asso di scono; 1 ad esempio: se d = 0,04, allora 25. 0,04 Graficamene: C 1 d 1 0 max 1 d

18 18 16 Capiolo I 1 Il faore è deo il faore di capializzazione in regime di 1 d scono commerciale e, se si considera, il empo uniario, si ha 1 r o faore uniario di capializzazione. 1 d Per concludere la raazione di queso regime, si può ricavare la formula dell ineresse maurao in regime di scono commerciale: C Cd d I = C = C = = C. 1 d 1 d 1 d d Come si vede, indica il faore di ineresse e, considerao il 1 d empo uniario, si rirova la formula del asso di ineresse anicipao d visa nel regime di ineresse semplice: i. 1 d 5. Il regime dell ineresse composo Nel regime dell ineresse composo l ineresse maurao in ogni periodo viene capializzao nel periodo successivo cioè va a far pare del capiale che fruerà alri ineressi nel periodo successivo. Dunque, per ricavare la formula del monane si considera il capiale C al momeno iniziale dell operazione e poi si considerano i monani 1, 2, 3,, n, scadeni rispeivamene dopo un periodo, due periodi, re periodi, fino all ulimo periodo. Se i è il asso di ineresse, dopo un periodo si ha: = C (1 + i) ; 1 nel secondo periodo, gli ineressi andranno calcolai non più su C come nel regime semplice, ma su 1 per un uleriore periodo, sempre al asso i; dunque: 2 2 = 1 (1 + i) = C (1 + i)(1 + i) = C( 1 i).

19 I regi i nanziari 19 I regimi finanziari 17 2 Si ha insomma 2 = C( 1 i). Il discorso può essere riproposo alla fine del erzo periodo: gli ineressi andranno calcolai su 2 e si ha: = 2 (1 + i) = C( 1 i) (1 + i) = C( 1 i). Generalizzando il procedimeno, si oiene la formula del monane: n = C ( 1 i). n Più semplicemene, la formula viene indicaa: = C ( 1 i), (con numero reale). Come si vede, savola la formula mosra il legame di ipo esponenziale ra empo di capializzazione e monane oenuo: ciò è proprio dovuo al fao che l ineresse maurao in ogni periodo enra a far pare della somma che sarà capializzaa nel periodo successivo. Il faore ( 1 i) è chiamao faore di capializzazione composa ed r ( 1 i) è il faore uniario di capializzazione composa. Per calcolare la formula del valore auale, si procede come negli alri due regimi finanziari: l operazione di aualizzazione è logicamene l operazione inversa di quella di capializzazione e dunque la formula del capiale iniziale (o valore auale) si ricava dalla formula del monane visa sopra, = C ( 1 i) ; dividendo primo e secondo membro per ( 1 i) si oiene: C = VA = = ( 1 i). ( 1 i) Nelle due formule appena ricavae appare ancor più chiaro il senso economico-finanziario di ciò che esse rappresenano: nella formula del monane il segno posiivo dell esponene indica proprio il senso del empo che scorre in avani, cioè il monane è viso in modo prospeico come valore fuuro di una somma oggi disponibile; viceversa, il segno meno all esponene della formula del valore auale sa ad indicare il senso dello scorrere indiero del empo o, meglio, sa ad indicare che il valore auale è viso in modo rerospeivo come il valore

20 20 18 Capiolo I odierno di una somma scadene in fuuro, il cui pagameno viene anicipao. Una vola ricavae le formule del monane e del valore auale, si possono ricavare le alre formule del regime finanziario: l ineresse maurao in capializzazione composa essendo I = C, si ha: I = C ( 1 i) C = C ( 1 i ) 1 ; il faore ( 1 i ) 1 è deo anche faore di ineresse composo ; il asso di capializzazione composa essendo = C ( 1 i), dividendo per C si ha: ( 1 i) = ; C adesso, esraendo la radice -esima del primo e del secondo membro si oiene: 1 + i = ; infine la formula cercaa è: C i = 1 ; C il empo di capializzazione composa essendo = C ( 1 i), dividendo per C si ha: ( 1 i) = ; C adesso, passando al logarimo del primo e del secondo membro si oiene: log (1 i) = log ; C per le proprieà dei logarimi è possibile scrivere: log (1 i) = log logc ; log logc infine, la formula cercaa è: =. log(1 i)