Sottounità. S6. Disciplina : fisica Docente : Renzo Ragazzon

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1 Soounià. S6 Disciplina : fisica Docene : Renzo Ragazzon,OIRJOLRGLFDOFRORFRPH SDOHVWUDµGLSURJUDPPD]LRQH Le isruzioni che un calcolaore dee eseguire engono scrie uilizzando i cosiddei linguaggi di programmazione Pascal, Forran, C, per fare qualche esempio. Da un puno di isa didaico ciò può porre, soprauo nella scuola secondaria superiore, significaii problemi di empo: anche il più semplice dei programmi richiede dierse ore di lezione, la maggior pare delle quali dee essere impiegaa per inrodurre lo specifico linguaggio di programmazione che si inende usare. Oggi, sfruando le poenzialià dei più diffusi pacchei sofware, è però possibile oiare a ale inconeniene e scriere eri e propri programmi senza in realà conoscere alcun linguaggio di programmazione di ipo radizionale. Ci riferiamo in paricolare ai fogli di calcolo es: Ecel in cui le celle possono essere considerae come ariabili, menre le formule in esse inserie solgono la funzione di isruzioni di assegnazione. Nell unià didaica che proponiamo, si mosra come un numero esremamene ridoo di ali isruzioni sia sufficiene per risolere una classe di problemi paricolarmene imporane: la deerminazione del moo di un puno maeriale araerso equazioni alle differenze finie. Inolre, uilizzando le normali funzioni del foglio di calcolo, sarà anche possibile isualizzare le soluzioni oenue araerso semplici animazioni. Dal puno di isa didaico, ci sembra che queso aspeo non ada sooaluao: si raa infai di una occasione per mosrare come la grafica animaa sia gesia da quelle sesse funzioni maemaiche che sui banchi di scuola appaiono spesso come aride e saiche. Il problema specifico che abbiamo deciso di affronare è il moo di una massa soggea ad una forza cenrale di ipo graiazionale o Coulombiano; è però eidene che la ecnica può essere adaaa facilmene ad alri problemi in cui si conosca la dipendenza funzionale della forza dalla posizione. Vogliamo infine soolineare come la problemaica generale che affroniamo ben si presi a chiarire un conceo fondamenale: i pregi ed i difei delle cosiddee soluzioni numeriche di un problema, rispeo a quelle analiiche oenue senza l uso dei mezzi informaici. 3UHUHTXLVLWL Prerequisii informaici Conoscenza elemenare del sisema operaio Windows 95 o successio Inserimeno di cosani e formule in Ecel Creazione di grafici in Ecel Conceo di ariabile ed isruzione di assegnazione Prerequisii disciplinari Fisica Moo reilineo uniforme ed uniformemene accelerao Conoscenza della legge di graiazione uniersale 1

2 Consapeolezza dei problemi posi dalle forze non cosani Algebra eoriale elemenare Scomposizione di un moo e dei suoi elemeni lungo gli assi caresiani Possesso del conceo, anche non rigoroso, di elocià ed accelerazione isananea Conceo di funzione Algebra eoriale elemenare Familiarià con relazioni del ipo: a e analoghe per la componene di un moo piano. 2ELHWWLYL Obieii Informaici Comprendere il ruolo di alcune sruure fondamenali di un programma: - Isruzioni di assegnazione - Isruzioni di assegnazione con riferimeni circolari es = - Sruure di ierazione Inrodurre gli sudeni alla programmazione, uilizzando come preeso la simulazione di un processo fisico. Obieii disciplinari Fisica Apprezzare il significao della seconda legge della dinamica, inesa come legge di eoluzione deerminisica Comprendere come si possano risolere problemi dinamici in cui le forze non sono cosani Comprendere cosa si inende per soluzioni numerica di un problema dinamico, riconoscendo il ruolo che in ale coneso iene solo da un compuer Obieii inereni il progeo Apprezzare il fao che per isruire un compuer è necessaria una fase in cui si uilizza un linguaggio esuale non iconico in cui il formalismo algebrico-maemaico può solgere un ruolo essenziale. Comprendere che il compuer, di norma, non può imposare la sraegia risoluia di un problema: queso è un compio che spea all uene-programmaore, al quale, perano, si richiedono opporune conoscenze specifiche, non di rado di ipo maemaico o fisico. Rendersi cono del fao che le animazioni grafiche engono gesie da equazioni e funzioni scrie in linguaggio esuale 2

3 6FKHPDGHOOHDWWLYLWjHORURVFDQVLRQHWHPSRUDOH Aiià 1 5minui Si richiama il conceo di isruzione di assegnazione e si mosra coma esso possa essere implemenao in Ecel. In paricolare, si soolinea che le celle di Ecel possono essere considerae come ariabili, menre le formule inserie nelle celle solgono il ruolo di isruzioni di assegnazione. Aiià 2 15 minui Viene chiario il significao delle cosiddee isruzioni di assegnazione con riferimeni circolari, cioè delle isruzioni di assegnazione del ipo = ; successiamene, si mosra come predisporre il foglio eleronico per oenere la correa inerpreazione di ali isruzioni. Aiià 3 35 minui Si ricorda in cosa consise il problema fondamenale della dinamica deerminazione del moo parendo dalle condizioni iniziali, soolineando come la soluzione possa essere oenua araerso relazioni ricorsie. Vengono ricaae le relazioni ricorsie per il moo di una massa in presenza di un campo graiazionale cenrale. Aiià 4 55 minui Si guidano gli sudeni nella preparazione del foglio di laoro con cui simulare il moo di un pianea più in generale, il moo di un puno in presenza di forze cenrali inersamene proporzionali al quadrao della disanza. Verifica degli apprendimeni 60 minui Vengono assegnai agli sudeni due problemi: il primo riguardane gli obieii disciplinari deerminazione del moo di un puno maeriale araerso relazioni ricorsie, il secondo relaio agli obieii informaici isruzioni di assegnazione, uso di sruure d ierazione, uso del foglio eleronico 3

4 $WWLYLWj,OIRJOLRHOHWWURQLFRHOHLVWUX]LRQLGLDVVHJQD]LRQH Obieii: Richiamare il conceo di isruzione di assegnazione Essere in grado di definire ed eseguire una isruzione di assegnazione in Ecel Le isruzioni di assegnazione solgono un ruolo fondamenale in moli linguaggi di programmazione. La prima aiià proposa agli sudeni inende mosrare come ali isruzioni possano essere definie ed eseguie in ambiene Ecel. L insegnane aia la discussione prendendo in considerazione l espressione a = che può essere inerpreaa come una assegnazione mediane la quale la ariabile a assume il alore del rapporo ra le ariabili F e m. Se necessario, il docene dorà soolineare la disinzione ra il conceo di assegnazione e la più familiare relazione di uguaglianza. A queso proposo, non è superfluo ricordare come alcuni linguaggi di programmazione rendano ale disinzione esplicia, ricorrendo a simboli diersi per i due concei edi Pascal. In Ecel, possiamo considerare le celle come ariabili e le formule come isruzioni di assegnazione. Ad esempio, ediamo come la formula appena consideraa possa essere rappresenaa nel foglio di calcolo: F m A B C D 1 Accelerazione Forza Massa 2 =B2/C Nella figura riporaa qui sopra, le celle A2, B2 e C2 possono essere ise come alreane ariabili. In paricolare, possiamo immaginare che le celle B2 e C2 conengano, rispeiamene, il alore della forza applicaa ad un puno e la massa del puno sesso. Se ogliamo che la corrispondene accelerazione compaia in A2, doremo allora assegnare il alore B2/C2 alla ariabile A2. A queso scopo, baserà inserire nella cella la formula =B2/C2 e confermare con inio; in A2 comparirà immediaamene il risulao oluo, come illusrao nella figura seguene. Modificando i alori delle ariabili B2 e C2, il dao in A2 iene aggiornao auomaicamene. A B C D 1 Accelerazione Forza Massa

5 $WWLYLWj,VWUX]LRQLFRQULIHULPHQWLFLUFRODUL Comprendere il significao delle isruzioni con riferimeni circolari Essere in grado di imposare una isruzione con riferimeno circolare in Ecel Dopo aer richiamao il conceo di isruzione di assegnazione, l insegnane propone agli alliei una espressione del ipo = 1 ed aia una bree discussione sulle sue possibili inerpreazioni. Se il simbolo = iene ineso come relazione di uguaglianza, la formula appare poco significaia equazione impossibile; al conrario, se lo sesso simbolo iene ineso come operaore di assegnazione, l espressione corrisponde ad una chiara prescrizione: 1. si calcola il alore del membro desro dell assegnazione, uilizzando il alore di presene in memoria 2. il alore così calcolao iene quindi aribuio alla ariabile. Nel nosro caso, se il alore di presene in memoria fosse =4, l esecuzione dell isruzione lo modificherebbe in =5. I linguaggi di programmazione di ipo imperaio seguono proprio la prescrizione appena descria, anche se possono differenziarsi per la sinassi dell isruzione ad esempio in Pascal si uilizza il simbolo := come operaore di assegnazione. Il passo successio consise nel mosrare come predisporre un foglio eleronico in modo che esso inerprei le isruzioni con riferimeni circolari. Immaginiamo allora che la ariabile sia associaa alla cella A1. Ricordando la corrispondenza ra isruzioni di assegnazione e formule, sarà necessario digiare nella sessa cella A1 il eso =A11, come indicao nella figura seguene. A B C D 1 =A Fao queso, è necessario informare Ecel che inendiamo inerpreare l isruzione in modo analogo a quano accade nei linguaggi di programmazione di ipo imperaio. A queso scopo è necessario agire su alcune imposazioni del programma : dal menu Srumeni selezionare la oce Opzioni aiare la scheda Calcolo spunare la oce Ierazioni 5

6 imposare a 1 il numero massimo di ierazioni Per erificare l effeo delle nuoe imposazioni inseriamo nella cella A1 la formula =A11 e digiiamo inio. In A1 dorebbe comparire il numero 1, in quano il alore delle celle è inizializzao a zero. Per eseguire più ole l isruzione di assegnazione baserà premere ripeuamene il aso F9 1 ; ad ogni pressione il conenuo della cella A1 errà incremenao di una unià, indicando che l isruzione di assegnazione A1=A11 iene inerpreaa come desiderao. 1 Il aso F9 deermina l aggiornameno dei alori inserii nelle celle 6

7 $WWLYLWj TXD]LRQL GHO PRWR LQ SUHVHQ]D GL XQ FDPSR JUDYLWD]LRQDOH FHQWUDOH Scopo di quesa unià didaica è richiamare alcune nozioni fisiche e maemaiche che erranno uilizzae nella simulazione del moo graiazionale. Se necessario, l insegnane dorà ricordare che il problema fondamenale della Dinamica consise in quano segue: Preedere il moo dei puni maeriali parendo dalla conoscenza delle cosiddee condizioni iniziali, cioè dalla posizione e dalla elocià dei puni in un paricolare isane. Si presuppone inolre che il docene abbia spiegao agli alunni come la soluzione delle equazioni del moo possa essere oenua araerso semplici relazioni di ricorrenza, secondo quano indicao nella scheda per insegnani allegaa. Il sisema fisico di cui ci occupiamo è cosiuio da una massa pianea che orbia aorno ad un cenro di forza fisso sella. Per sudiare il moo del pianea è comodo inrodurre un sisema di assi caresiani con origine nel cenro di forze come illusrao in fig. 1. E opporuno che l insegnane ribadisca come la posizione del pianea sia uniocamene deerminaa dalla posizione delle proiezioni H e K sugli assi caresiani; in alri, ermini, è imporane soolineare come il moo K a U a U piano del pianea possa essere analizzao sudiando i moi reilinei compiui da H e K. a U A queso puno, l insegnae inia gli sudeni a calcolare l accelerazione delle proiezioni H e K H in funzione della posizione del pianea. Se Fig. 1 necessario, il docene suggerisce le semplici considerazioni di similiudine con cui oenere la risposa. Tenendo presene che l accelerazione del pianea ha modulo U a = GM 2 2, si ricaa a = GM ; a = GM Scegliendo opporunamene le unià di misura 2, possiamo fare in modo che il prodoo GM abbia alore uniario; le precedeni relazioni dienano così: a = ; a = Basa assumere come unià di empo la quanià L 3 GM doe L è l unià di lunghezza 7

8 8 Secondo quano illusrao nella scheda per l insegnane, la conoscenza delle accelerazioni in funzione della posizione ci consene di deerminare il moo del pianea araerso quaro relazioni ricorsie: = = = = a a Il significao e l uso delle precedeni relazioni può forse essere chiario da un diagramma di flusso, schemaicamene riporao in fig. 2

9 START La prima fase dell algorimo consise nella leura delle condizioni iniziali, poniamo all isane. = in =,in = in =,in = in Il programma calcola quindi le accelerazioni a e a corrispondeni ai alori della posizione presenaa in ingresso. a = a = Le coordinae del pianea al empo engono calcolae uilizzando le prime due relazioni ricorsie. Le nuoe componeni della elocià e engono simae uilizzando la erza e la quara relazione. = = = a = a La procedura iene ieraa sino al raggiungimeno del empo finale. = =? SI NO STOP Fig. 2 9

10 $WWLYLWj6ROX]LRQHGHOOHHTXD]LRQLGHOPRWRHUHODWLYDDQLPD]LRQH L ulima fase della nosra unià è dedicaa alla creazione di un foglio eleronico con cui simulare e isualizzare il moo di un pianea in presenza di una forza graiazionale cenrale. Oiamene, è indispensabile che l uene possa ineragire con il foglio, ad esempio modificando i parameri della simulazione o ariando a piacimeno le condizioni iniziali del problema. Per far queso uilizzeremo una cella, ad esempio la cella A1, in cui scrieremo il numero 1 per aiare la simulazione, oppure il numero 0 per inizializzare il moo. Sarà poi uile disporre di quaro celle per immeere le condizioni iniziali, cioè la posizione e la elocià del pianea nell isane iniziale. Sabiliamo di uilizzare allo scopo le celle B2:B5. In paricolare, inseriremo nelle celle B2, B3, B4, B5 rispeiamene l ascissa iniziale del pianea, l ordinaa iniziale, la componene lungo della elocià iniziale, la componene lungo della elocià iniziale. Una uleriore cella, poniamo C1, errà uilizzaa per memorizzare il passo d inegrazione uilizzao nelle relazioni di ricorrenza. A B C D 1 0 = 0,09 2 iniziale = 1 = 3 iniziale = 1 =. 4 iniziale = 0 =.. 5 iniziale = 1 = Alre quaro celle, D2:D5, andranno uilizzae per calcolare le quaro ariabili fondamenali del problema cioè le due coordinae e che indiiduano la posizione del pianea e le componeni caresiane e della sua elocià. Focalizziamo ora la nosra aenzione sulla cella D4 e cerchiamo di sabilire la formula da inserire. Doremo innanziuo disinguere due casi: il caso in cui A1=0 inizializzazione del problema ed il caso in cui A1=1 simulazione in corso. Se A1 = 0, il programma dee limiarsi a copiare in D2 la condizione iniziale inseria in B4; in D4 dorebbe perano comparire la formula =B4. Al conrario, se A1 =1, Ecel dorebbe applicare la relazione ricorsia = a che, enendo cono dei risulai oenui nella precedene unià, diena = 3/

11 In D4 dorebbe perano comparire la formula =D4-C1*D4/D2^2D3^2^3/2. In definiia, nella cella F2 orremmo scriere una espressione del ipo: se A1 = 0 allora B4 alrimeni D4-C1*D4/D2^2D3^2^3/2. A ale scopo, Ecel conempla una sruura di selezione con la seguene sinassi: SEA1=0; B4; D4-C1*D4/D2^2D3^2^3/2 Una ola chiario come imposare il conenuo della cella D4, l insegnane porebbe lasciare agli sudeni il compio di definire il conenuo delle celle D2, D3 e D5: A B C D 1 1 = 0,09 2 = =SEA1=0; B2; D2D4*C1 3 = =SEA1=0; B3; D3D5*C1 4 = =SEA1=0; B4; D4-C1*D4/D2^2D3^2^3/2 5 = =SEA1=0; B4; D5-C1*D5/D2^2D3^2^3/2 Per maggiore chiarezza, soolineiamo la corrispondenza ra le formule inserie nel range D2:D5 e le relazioni di ricorrenza ricaae nell unià precedene: D2 = D2D4*C1 D3 = D3D5*C1 = = D4 = D4-C1*D4/D2^2D3^2^3/2 = a D5 = D4-C1*D4/D2^2D3^2^3/2 = a Una ola inserie le relazioni di ricorrenza in D2:D5, il foglio di laoro è prono per deerminare il moo del pianea; in paricolare, ad ogni pressione del aso F9, Ecel eseguirà i calcoli indicai nelle celle, facendo così aanzare di un passo l eoluzione emporale del sisema, dal empo al empo. Per isualizzare il moo del pianea con una animazione grafica, baserà semplicemene creare un grafico con un solo puno di coordinae = D2 e = D3 cioè le coordinae del pianea. Premendo una ola il aso F9, i alori di ue le celle engono aggiornai e edremo il pianea compiere un passo della simulazione; enendo premuo il aso F9, riceeremo inece l impressione di un moo coninuo. Uleriori deagli relaii alla preparazione del foglio eleronico possono essere desuni dall esempio che alleghiamo. La elocià dell animazione può essere noeolmene aumenaa se, per effeuare i calcoli, si uilizza una Macro in luogo del aso F9 edi esempio allegao. 11

12 9HULILFDGHJOLDSSUHQGLPHQWL Vengono assegnai due problemi, il primo da risolersi su supporo caraceo, il secondo da solgere al calcolaore. Il empo a disposizione è di 60 minui. Per semplicià, nei problemi sono sae oluamene omesse le unià di misura. Problema 1 Un puno maeriale di massa M=1 si muoe lungo l asse ed è soggeo alla forza elasica F =. All isane =0, il puno ha una elocià 0 = 2 e si roa in 0 = 3. Assumendo che per ineralli di empo =1/10 la elocià e l accelerazione possano rienersi cosani, rispondere ai segueni quesii : i deerminare la elocià del puno per = 1/10 ii deerminare la posizione del puno per = 1/10 iii uilizzando i alori deerminai al puno i e ii calcolare la elocià e la posizione della paricella per =2/10. Problema 2 Predisporre un foglio eleronico che simuli il moo descrio nel problema precedene Soluzione del Problema i = 2 3 = = ii = 3 2 = = iii = = = ; = = =

13 6FKHGD,QVHJQDQWH ² 3UHYLVLRQH GHO PRWR DWWUDYHUVR HTXD]LRQL DOOH GLIIHUHQ]H ILQLWH Consideriamo un puno maeriale che si muoe per semplicià su una rea e poniamoci il seguene problema: se conosciamo la posizione e la elocià del puno in un cero isane, come possiamo calcolare la posizione e la elocià del puno in un isane successio? In base alle definizioni sesse di elocià ed accelerazione, algono le segueni relazioni: = = a doe e a sono la elocià media e l accelerazione media nell inerallo di empo [, ]. Se l inerallo di empo è sufficienemene piccolo, i suddei alori medi possono essere rimpiazzai dai alori isananei della elocià e della accelerazione al empo : = = a Se, inolre, l accelerazione è una funzione della posizione e della elocià queso in sosanza è il reale conenuo della seconda legge della dinamica, le precedeni relazioni dienano = = a, In definiia si ossera che la posizione e la elocià al empo deerminano uniocamene la posizione e la elocià al empo ; a queso puno, i nuoi alori delle grandezze e possono essere inserie nei membri desri delle equazioni, oenendo in queso modo la posizione e la elocià al empo 2. Ierando più ole la sessa procedura possiamo, in linea di principio, deerminare la posizione del puno in qualunque isane successio o precedene. 13