MODELLISTICA E SIMULAZIONE cred.: 5 7,5 Recupero 1 prova: 25 luglio 2005

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1 Poliecnico di Milano I a Facolà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiene e il Terriorio MODELLISTICA E SIMULAZIONE cred.: 5 7,5 Recupero prova: 5 luglio 005 COGNOME NOME FIRMA: [7,5 credii] Voo: ATTENZIONE! - Non è consenio consulare libri, appuni, ecc. - Le rispose devono essere giusificae e riporae su quesi fogli. - Nel eso [C] rappresena il numero di leere del cognome e [N] del nome. ESERCIZIO Si vuole simulare il seguene sisema coninuo discreizzandolo col meodo di Eulero: Si riempia la abella seguene & = 4 y = + + u u y () y() [N] () y() 3 [N] (3) y(3) [7,5 credii] Si commeni la scela del passo uilizzao. Uilizzando un passo di discreizzazione uniario (0)=0 y(0) = (0)/ ()=(0)+ [f((0,u(0))]= 0+[]= y()=()/=/= ()=()+ [f((),u())]=+[++]=6 y()=y()/=6/=3 (3)=()+ [f((),u())]=6+[9+3+[n]]=8+[n] y(3)=y(3)/=34/= Il passo uniario scelo per la discreizzazione appare decisamene roppo elevao, daa la rapidià con cui variano sia lo sao che l uscia, uavia una scela che apparirebbe migliore, ad esempio 0. o anche 0.05 avrebbe comporao un numero elavao (30 o 60) passi per riempire la abella.

2 ESERCIZIO Si calcoli l equilibrio dello sao e dell uscia del seguene sisema empo-discreo, e se ne discua la sabilià ( + ) = () + () + 3u() ( + ) = () () u() () y() = + () [ C] sapendo che il valore dell ingresso è: u = Per il calcolo dell equilibrio occorre imporre che lo sao rimanga cosane e quindi risolvere le due equazioni = = che danno = 4 / 7 = 9 / 7 da cui si oiene il valore dell uscia all equilibrio 4 9 y = 7[ C] 7 Per quano riguarda la sabilià, occorre conrollare se gli auovalori della marice A del sisema sono in modulo minori di. A = Alernaivamene, essendo un sisema del ordine, si possono applicare le condizioni su raccia e deerminane r(a) < +de(a) e de(a) <, che, lee in alro modo, dicono che condizione necessaria per la sabilià è che r(a) <. Dao che, nel nosro caso, r(a) = 3, si può subio concludere l insabilià del sisema.

3 ESERCIZIO 3 Un maeriale radioaivo A si degrada del 50% in un periodo di 00 anni formando un alro elemeno B, il 3[C]% del quale, a sua vola, degrada in un composo inere C in 00 anni. Si formuli queso fenomeno come sisema dinamico, definendo chiaramene le variabili di sao e specificando di che ipo di modello si raa. Se il maeriale A si degrada del 50% in 00 anni e se immaginiamo un modello discreo del ipo: A(+) = ka() e che all inizio ci sia una quanià A(0), si avrà: A(00) = 0,5A(0) = k 00 A(0). Quindi 0,5=k 00 e k= 00 0,5 cioè k=0,993. Analogo ragionameno vale per il composo B per il quale B(+) = -hb() e si avrà quindi h= 00 0,03[C]. Assumendo dunque come variabili di sao le quanià A, B e C dei re composi, il modello sarà A(+) = ka() B(+) = hb() + (-k)a() C(+) = (-h)b() che è un modello lineare a empo discreo con passo emporale anno. Nauralmene, con qualche complicazione in più, si sarebbe pouo adoare anche un modello coninuo, la cui soluzione, per il maeriale A, è A(00) = 0,5A(0) = e -00k A(0) da cui 0,5 = e -00k e quindi 00k =-ln(0,5), cioè k= -0,69/00= -0,007. Si noi che l ipoesi di rienere cosane la quanià degradaa di A per ui i 00 anni darebbe una degradazione annua del 5%, cioè k=0,95. Un approssimazione insoddisfacene, perchè in 00 anni produrrebbe invece una degradazione di 0,95 00 =0,006 invece di 0,5.

4 ESERCIZIO 4 Si risponda, usando solo lo spazio disponibile, alle segueni domande: Come ipi di problemi raa il modello di Sreeer-Phelps? Esisono alri modelli per quesi problemi? Serve a raare problemi di inquinameno fluviale da sosanze biodegradabili. Alri modelli per queso ipo di problemi sono QUAL, WODA,... [7,5 credii] Quando lo sao di un sisema dinamico si dice raggiungibile? Quando, variando l ingresso in ui i modi possibili, è possibile porarvi lo sao del sisema, a parire da sao iniziale nullo e in empo finio. [5 credii] Che cos è la legge di conrollo? E una reroazione di ipo puramene algebrico sullo sao del sisema u=k+v che può servire a modificare la dinamica del sisema complessivo. [7,5 credii] Che cos è uno simaore asinoico? E una copia arificiale di un sisema lineare in grado di replicare il funzionameno del sisema sesso e di riprodurne, almeno asinoicamene lo sao, qualunque fosse lo sao iniziale sia del sisema che dello simaore. [5 credii] Che cosa si inende per modello ARMA(,)? Un modello lineare con ermini auoregressivi e a media mobile, cioè del ipo y(+) = αy()+βy(-)+γu() Che cos è la risposa in frequenza di un sisema lineare? La risposa in frequenza è una coppia di funzioni R(ω) e φ(ω) che rappresenano il rapporo ra le ampiezze e lo sfasameno ra la sinusoide in ingresso a un sisema lineare asinoicamene sabile e la sinusoide che si oeine in uscia, a ransiorio esaurio.

5 ESERCIZIO 5 [solo 7,5 credii]. Si vuole simulare in Ecel il movimeno del seguene sisema: & & = a = e + b f + d + c + d + con a =, b = 0., c = 0., d =, e =, f = La abella soosane mosra un foglio di lavoro imposao per la simulazione mediane il meodo di Eulero. Nelle celle B4:G4 sono sai inserii i parameri del sisema, in B8:C8 le condizioni iniziali dello sao e in E8 il passo di discreizzazione. Le celle B:E3 e soosani sono invece sae imposae per calcolare l indice del passo k, il corrispondene isane di empo, i valori calcolai delle variabili e al passo k. A B C D E F G H parameri 3 a b c d e f condizioni iniziali passo 7 (0) (0) simulazione k 0 3 Scrivee le formule da inserire per compleare l implemenazione del meodo, scrivendole in modo ale che, ove possibile, possano essere copiae e incollae senza modifiche nelle celle soosani. Calcolae inolre i risulai delle formule e inserieli nelle corrispondeni celle del foglio di lavoro. Cella C D E C3 D3 E3 Formula = $E$8*B = B8 = C8 = $E$8*B3 = D+$E$8*($B$4*D+$C$4*D^+$D 4*D*E/($E$4+D)) = E+$E$8*($F$4*E +$G$4*D*E/($E$4+D)). Illusrae concisamene l uilizzo della funzione REGR.LIN( ) in Ecel. Calcola l equazione e le saisiche di una linea rea che si adai al meglio ai dai noi uilizzando il meodo dei minimi quadrai. Quindi resiuisce una marice di valori con i parameri della linea e, opzionalmene, le relaive saisiche. La sinassi è REGR.LIN(y_noa;_noa;cos;sa) dove le prime due marici conengono i dai noi di e y; cos = FALSO dice se la rea deve passare per l origine e se sa = VERO vengono fornie anche le saisiche sui risulai....