ALTRE APPLICAZIONI DELLA CRESCITA ESPONENZIALE

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1 ALTE APPLICAZIONI DELLA CESCITA ESPONENZIALE Gli sessi modelli possono descrivere fenomeni che appaiono in ambii molo diversi Daazione di maeriale biologico (decadimeno radioaivo) Livello di glucosio nel sangue Modello di diffusione dell AIDS (Modello di Ho) Modello di diffusione di una malaia infeiva (Modello di Bernoulli) Lucia Della Croce Maemaica applicaa

2 DATAZIONE AL CABONIO C14 E noo che gli elemeni radioaivi sono insabili, nel senso che decadono in isoopi di alri elemeni mediane l emissione di paricelle alpha (nuclei di elio), paricelle bea (eleroni) o fooni. Si può descrivere il processo di decadimeno di un numero elevao di nuclei radioaivi basandosi sulla seguene legge sperimenale: La diminuizione del numero di nuclei radioaivi durane un inervallo di empo è direamene proporzionale alla lunghezza dell inervallo e al numero di nuclei preseni all inizio dell inervallo. Lucia Della Croce Maemaica applicaa

3 N() Numero di nuclei radioaivi al empo Inervallo di empo N ( ) N( ) kn( ) K cosane di proporzionalià N( ) N( ) lim kn( ) Lucia Della Croce Maemaica applicaa

4 Si oiene cioè l equazione differenziale lineare: dn d kn() che risola (separando le variabili ed inegrando, vedi Malhus coninuo) fornisce la soluzione: N ( ) N exp( k( )) N N( ) Legge di decadimeno radioaivo Lucia Della Croce Maemaica applicaa

5 Valuazione del paramero K Conoscendo il empo di dimezzameno è possibile rovare il valore di K Half-ime (o empo di dimezzameno) 1 N exp( k( )) N exp( k( )) 2 1 N( ) N( ) 2 Nexp( k( )) 1 N exp( k( )) 2 exp( k k k)) 1 exp( k k)) 2 exp( k)*exp( k)*exp( k) 1 exp( k )*exp( k) 2 Lucia Della Croce Maemaica applicaa

6 exp( k) 1 2 k 1 ln( ) 2 k ln(2) Con ale valore di k il modello può essere uilizzao per avere predizioni di N() per empi Lucia Della Croce Maemaica applicaa

7 Una delle prime srumenazioni uilizzae al Briish Museum per la daazione al C14 DETEMINAZIONE DELL ETA DI EPETI ACHEOLOGICI Lucia Della Croce Maemaica applicaa

8 E noo che una piccola percenuale del carbonio presene in amosfera si presena nella forma radioaiva C14. Quesa si fissa nei viveni con una concenrazione iniziale di una pare su 75 miliardi, cioè N 1 ( 75 )1 9 (1.33*1 I nuclei C14 decadono in aomi di azoo emeendo paricelle bea. Quindi gli esseri viveni (o che sono vissui ) conengono una cera quanià di nuclei radioaivi C14. ed è noo che il empo di dimezzameno del C14 è dao da (in anni): 3 )*1 La concenrazione di C14 in un deerminao repero biologico segue la legge: N ) N exp( k( )) ( Lucia Della Croce Maemaica applicaa *1 12

9 Uilizzando quesa informazione, si calcola la cosane k per il carbonio C14: k ln(2) *1 4 Conoscendo la concenrazione auale (empo ) di C14 in un essuo si ha allora : N N exp( k( )) N N N exp( k( )) (reciproci) N N exp( k( * )) ln( N / k N ) Se ad esempio fosse: N *1 ln( N / N ) ln( ) ln(1.33) ln(1.33) k anni 23anni 1.24 Lucia Della Croce Maemaica applicaa

10 LIVELLO DI GLUCOSIO NEL SANGUE Lucia Della Croce Maemaica applicaa

11 Siuazione : ad un paziene viene somminisrao del glucosio araverso fleboclisi ( mg per secondo per liro di sangue) Il glucosio viene quindi meabolizzao con una velocià proporzionale alla sua concenrazione. x() concenrazione di glucosio al empo dx d Kx() L andameno di x al variare del empo seguirà allora una legge del ipo: x( ) exp( K( )) x exp( K( )) K x x( ) Lucia Della Croce Maemaica applicaa K

12 glucosio mg/l Ponendo = x( ) x exp( K) (1 exp( K)) K 12 1 x*exp(-k*)+(/k)*(1-exp(-k*)) al endere di 8 6 /K = x ( ) K empo Lucia Della Croce Maemaica applicaa

13 Calcolo della soluzione dell equazione differenziale: dx d Kx() x x dx Kx d 1 log( Kx) log( Kx ) K Kx Kx exp( k( )) x 1 log( Kx ) K passando ai reciproci x Kx log( ) K( ) Kx Kx Kx exp( k( )) Kx ( kx )exp( k( )) Kx kx )exp( k( )) ( x( ) exp( K( )) x exp( K( )) K K Lucia Della Croce Maemaica applicaa

14 Problema Il paziene ha un livello iniziale di glucosio Il medico vuole innalzare queso livello a Per quano empo è necessario enere il paziene soo flebo? Oppure: Problema x x m Il paziene viene sooposo a infusione per un empo T. Quano empo occorre per ornare al livello iniziale? x Lucia Della Croce Maemaica applicaa

15 Possiamo uilizzare la precedene formula : x( ) x exp( K) (1 exp( K)) K cercando il valore * ale che: x ( * ) xm exp( K) x xm K xm / K exp( K) K K x / K log( x / K) log( x / K) m * log( x / K) log( xm / K) K Lucia Della Croce Maemaica applicaa

16 Problema: Se il paziene viene sooposo a infusione per un empo T, quano empo occorre per ornare al livello iniziale? Al empo T si avrà: x( T) x exp( KT ) (1 exp( KT )) K Successivamene cessa la somminisrazione di glucosio e quindi la variazione di concenrazione seguirà la legge : dx d Kx() x( ) cexp( K( T)) (si è poso =) c x(t) valore iniziale al empo T Lucia Della Croce Maemaica applicaa

17 x() iassumendo: x exp( KT ) (1 exp( KT )) K x( T)exp( K( T)) T T Occorre ora rovare cioè: x( ) x T ale che: x( T )exp( K( T )) x x(t) è il valore misurao al empo T, quindi è un valore noo Lucia Della Croce Maemaica applicaa

18 x exp( k( T )) x( T ) k( T) log( x) log( x( T)) T 1 K log x( T ) log( x ) K,, x Volendo una formula che dipende solo da e non da x(t), basa sosiuire il valore già calcolao x( T) x exp( KT ) (1 exp( KT )) K oenendo: (esercizio) 1 K log(1 Kx ) log(exp( Lucia Della Croce Maemaica applicaa KT) 1)

19 MODELLO DI DIFFUSIONE DI UNA MALATTIA INFETTIVA Modello di Bernoulli (176) Inrodoo per valuare l efficacia dell inoculazione come proezione del vaiolo Due popolazioni all inizio ideniche: x () () con x() () sopravvissui al empo di una popolazione che non subisce x () conao con il virus () sopravvissui al empo di una popolazione che viene in conao con il virus Lucia Della Croce Maemaica applicaa

20 Problema Confrono dei sopravvissui nelle due popolazioni sudio della funzione: g () () x () Lucia Della Croce Maemaica applicaa

21 IPOTESI del modello di Bernoulli x () 1. La popolazione diminuisce solo in base al asso naurale di moralià dx() d x () asso di moralià naurale 2. Un individuo infeao ha solo due possibilià: muore o si immunizza ( ) S( ) ( ) I sopravvissui della popolazione infeaa sono formai dagli individui Susceibili ( cioè quegli individui che possono essere infeai ) e da quelli già immunizzai ( imossi) In queso modello non si considerano gli Infeivi, cioè quegli individui in grado di diffondere l infezione. Lucia Della Croce Maemaica applicaa

22 3. La proporzione di individui che hanno conrao il vaiolo e non muoio ma si immunizzano è cosane (1 ) 4. Il numero di individui colpii dal vaiolo è proporzionale ai Susceibili v( ) S( ) Velocià di infezione Lucia Della Croce Maemaica applicaa

23 Sudio della popolazione () (sopravvissui ra gli infeai) ( ) S( ) ( ) S () diminuisce per more naurale e per infezione secondo l ipoesi 3 ds() d S( ) S( ) more naurale infezione Lucia Della Croce Maemaica applicaa

24 () diminuisce per more naurale e aumena secondo l ipoesi 2 d() d ( ) (1 ) S( ) si sono ammalai more naurale frazione di ammalai che non sono mori ma immunizzai Sommando d ( ) ds( ) d( ) d d d S( ) S( ) ( ) S( ) S( ) S( ) ( ) S( ) Lucia Della Croce Maemaica applicaa

25 () segue la legge: numero di individui che pur essendo venui in conao con il virus sono sopravvissui d () d ( ) S( ) E possibile ora eseguire il confrono ra le due popolazioni, cioè è possibile sudiare la funzione: g () () x () Lucia Della Croce Maemaica applicaa

26 Per rovare l espressione della funzione : g () () x () ricaviamo l equazione differenziale di cui essa è soluzione. Per confronare i sopravvissui non infei con i sopravvissui venui in conao con il virus, sudiamo come varia nel empo il loro rapporo : dg() d Lucia Della Croce Maemaica applicaa

27 ( ) ( ) dg( ) d ( ) x( ) d ( ) dx d d d d x() 2 x ( ) x( ) S( ) x( ) x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x ( ) ( ) S( ) x( ) x( ) x( ) ( ) S( ) S( ) g () x( ) ( ) ( ) dg( ) S( ) g () d () Se si riuscisse ad espliciare il ermine lineare a variabili separabili S () () si ridurrebbe ad una equazione differenziale Lucia Della Croce Maemaica applicaa

28 Sudio del ermine S () () proporzione di individui ancora viveni che non hanno conrao il virus E ecnicamene più conveniene valuare il reciproco: f() () S () df () d ( ) ds( ) S( ) d d ( ) d 2 S() 1 d ( ) ( ) ds( ) 2 S( ) d S( ) d Lucia Della Croce Maemaica applicaa ( ) S( ) S( ) S( )

29 ( ) ( ) ( ) S( ) S( ) S( ) f() f() In conclusione: df () d f () 1 f() S() () f () 1 all inizio ua la popolazione che viene in conao col virus è susceibile di ammalarsi Lucia Della Croce Maemaica applicaa

30 f( ) (1 )e icordando che f() () S () S ( ) 1 ( ) (1 ) e Lucia Della Croce Maemaica applicaa

31 Calcolo di g () () x () dg( ) S( ) g () d () 1 g () (1 ) e dg() d (1 ) e g () 1 f() eq. differenziale lineare go ( ) 1 Lucia Della Croce Maemaica applicaa

32 ()/x() isolvendo: g( ) (1 ) e 1.2 Previsione del modello non dipende da asso di moralià bea.6 dipende da cioè dal poere di immunizzazione e dalla velocià d infezione, empo Il empo impiegao per sabilizzarsi dipende da Il modello prevede che il rapporo ra i sopravvissui nelle due popolazioni si sabilizzi al valore 1 Lucia Della Croce Maemaica applicaa

33 f f df f df () d d f() 1 f f df f f f log( f ) log( f ) log 1 f 1 exp( ( )) f (1 )exp( ( )) f (1 )exp( ( )) Lucia Della Croce Maemaica applicaa

34 dg() d (1 ) e g () g g dg d g( ) (1 ) e g g dg e d g( ) e ( (1 ) e ) g g dg e d g( ) e (1 ) log g g g 1 log e (1 ) 1 g (1 ) e Lucia Della Croce Maemaica applicaa