L analisi delle serie storiche

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1 L analisi delle serie soriche Per serie sorica si inende un insieme di dai ordinai secondo un crierio cronologico. Ogni dao è associao ad un paricolare isane o inervallo di empo. Se a ciascun isane o inervallo di empo è associao un unico dao (è osservao un unico fenomeno) la serie è dea univariaa. Se i fenomeni osservai per ogni isane sono più di uno la serie è dea mulipla. La caraerisica peculiare delle serie soriche è la dipendenza ra osservazioni successive. Nel seguio ci occuperemo di serie soriche univariaeequispaziae, ossia osservazioni relaive ad un unico fenomeno rilevao ad inervalli di empo equidisani ra loro. La noazione uilizzaa generalmene per indicare una serie sorica è:, K,, K, n dove indica la variabile aleaoria al empo.

2 ESEMPIO: Vendie della Pine Producs Ld. Anno Trim. Vendie Anno Trim. Vendie Anno Trim. Vendie Anno Trim. Vendie 995 Gen- Mar Gen- Mar Gen- Mar Gen- Mar 54 Apr- Giu 4 Apr- Giu Apr- Giu 0 Apr- Giu 34 Lug- Se 8 Lug- Se 30 Lug- Se 30 Lug- Se 48 O- Dic 5 O- Dic 56 O- Dic 68 O- Dic V e n d ie rim e s ra li d e lla P in e P ro d u c s L d. 8 0 Vendie ($mil) T -9 5 T T -9 6 T T -9 7 T T -9 8 T T rim e s re 3 ESEMPIO: Produzione vino, regione Piemone ANNO ANNO ANNO , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 Serie sorica della resa dei erreni colivai a vigna in Piemone Resa 00,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0, Anni

3 Esempi di serie soriche Serie soriche economiche: Quoazione giornaliera di ioli sul mercao azionario. Rilevazioni rimesrali delle forze lavoro. Dai rimesrali sul PIL di un deerminao paese. Vendie mensili di un cero prodoo. Serie soriche fisiche: Livello giornaliero delle precipiazioni in una paricolare area. Dai mensili sull inquinameno amosferico rilevai da una cenralina. Serie soriche demografiche: Rilevazione annuale del numero di nai o di mori in un cero paese. Tassi annuali di naalià di una paricolare nazione. 5 Gli obieivi dell analisi delle serie soriche sono: descrivere l andameno del fenomeno sudiao spiegare il meccanismo che ha generao i dai prevedere i valori fuuri del fenomeno sulla base dei valori passai. 6

4 Le serie soriche possono essere: deerminisiche f ( ) conoscendo i valori passai della serie è possibile prevederne con cerezza i valori fuuri socasiche ( ) u f + conoscendo i valori passai della serie è possibile prevedere solo in pare l evoluzione fuura del fenomeno. 7 8

5 9 L analisi delle serie soriche: approccio classico Si basa su analisi di ipo descriivo e ha lo scopo di scomporre la pare deerminisica della serie sorica nelle sue componeni, isolandole per poerle sudiare meglio. approccio moderno Suppone che la serie sia ormai saa depuraa della sua pare deerminisica e si concenra sullo sudio della componene socasica cercando di individuare il processo socasico che ha generao i dai. 0

6 Operazioni preliminari di pulizia: conrollare la coninuià della serie Verificare che la grandezza sudiaa sia saa misuraa nella sessa maniera durane uo l arco emporale considerao. conrollare la lunghezza della serie Deerminare qual è la cadenza dei dai e la fase ciclica araversaa all inizio e alla fine della rilevazione. conrollare le variazioni di calendario Depurare la serie dall evenuale effeo del diverso numero di giorni che compongono gli inervalli di empo in cui il fenomeno è rilevao. Prevedere il valore fuuro di una serie sorica in assenza di rend Medie mobili Single Exponenial Smoohing

7 Le medie mobili Le medie mobili rappresenano un semplice srumeno previsivo. Si basano sull assunzione che il valore fuuro del fenomeno possa essere previso come media degli ulimi valori osservai per la sua serie sorica., K,, K, n Daa la serie il valore assuno al empo n+ viene quindi previso sulla base delle ulime h osservazioni come: ˆ n n+ h n h+ 3 ESEMPIO: Produzione vino, regione Piemone 69,70+ 79,3+ 8,6 3 ANNO MM3 MM5 MM , , ,6 69,70+ 79,3+ 8,6+ 84,50+ 68, ,50 77, ,93 8, ,6 78,53 76, ,58 73,56 76, ,78 68,6 74,9 74, ,33 7,87 73,8 75, ,68 75,5769,70+ 79,3 7,58 + 8,675, ,50+ 68,93+ 67,6+ 68, ,89 78,7 74,3 74, ,7 77,30 76,05 73, , 73,09 75,48 73, ,0 7,94 74,77 74, ,66 75,38 75,94 76,83? 999 8,35 80,0 76,53 76, ,43 8,07 77,63 77, ,44 80,5 80,7 77, ,68 8,4 8, 79, ,5 76,5 78,3 78, ,4 75,0 76,99

8 ESEMPIO: Produzione vino, regione Piemone Serie sorica della resa dei erreni colivai a vigna in Piemone Resa 00,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 MM3 MM5 MM Anni 5 Le previsioni oenue araverso il meodo delle medie mobili dipendono ovviamene dalla scela di h. E necessario quindi scegliere h in modo da minimizzare l errore di previsione. Una possibile misura dell errore di previsione è l indice MAD (Mean Absolue Deviaion) definio come MAD n h+ n h ˆ 6

9 ESEMPIO: Produzione vino, regione Piemone ANNO MM3 ˆ MM5 ˆ MM7 ˆ , , ,50-77,06 8,6 68,93 67,6-8,99 78,53 68,58 73,56 79,78 68,6 78,33 7,87 7,44 3,06,8 4,98,53 6,46 76,9 9,67 76,43 7,85-74,9 5,50 74,35 73,8 4,53 75,79 5,43, ,68 75,57, 7,58 4, 75,65, ,89 78,7,38 74,3,76 74,87, ,7 77,30,60 76,05 0,35 73,78 8, , 73,09 3, 75,48 0,74 73,3, ,0 7,94,6 74,77 9,43 74,60 9, ,66 75,38 4,8 75,94 3,7 76,83, ,35 80,0,33 76,53 5,8 76,8 5, MAD 78,43 86,44 64,68 63,5 8,07 80,5 8,4 76,5 3,64 6,9 7,73 3,36 7,70 Media 77,63 80,7 8, 78,3 0,80 6,7 7,54 5,6 6,95 Media 77,39 77,64 79,00 78,85,04 8,80 4,3 5,70 7 6,4 Media Un modo inuiivo per calcolare inervalli di confidenza per le previsioni oenue araverso il meodo delle medie mobili è basao sull uilizzo del MAD. ˆ ± α ; n ( h+ ), 5 MAD Tale inervallo sfrua la seguene relazione ra deviazione sandard σ e MAD: σ, 5 MAD 8

10 Serie sorica della resa dei erreni colivai a vigna in Piemone 0,00 00,00 Resa 80,00 60,00 40,00 MM7 In. conf. alpha 5% 0,00 0, Anni 9 Le medie mobili possono essere anche uilizzae per lisciare la serie sorica, ossia per ridurre le fluuazioni casuali e rendere più evidene l andameno di fondo della serie. Per lisciare una serie si fa generalmene ricorso alle medie mobili cenrae: ad esempio, in una media mobile cenraa a 5 periodi ciascun ermine della serie viene ricalcolao facendo la media ra il ermine sesso, i ermini relaivi ai due periodi precedeni e quelli relaivi ai due periodi successivi. In generale, una media mobile cenraa a h periodi (con h numero dispari) si calcola come: MMC + ( h ) / i hi ( h ) / 0

11 ESEMPIO: Produzione vino, regione Piemone ANNO ,70 79,3 8,6 MMC3 77,06 8,99 MMC7 69,70+ 79,3+ 8, ,50 78,53 74, ,93 73,56 75, ,6 68,6 75, ,58 7,87 74, ,78 75,57 73, ,33 78,7 73, ,68 76,89 65,7 69,70 77, ,3+ 8,6 74, ,50+ 68,93+ 67,6+ 68,58 73,09 76,837 7,94 76, , 75,38 77, ,0 80,0 77, ,66 8,07 79, ,35 80,5 78, ,43 8,4 76, ,44 76, ,68 63,5 7,4 ESEMPIO: Produzione vino, regione Piemone Serie sorica della resa dei erreni colivai a vigna in Piemone R esa 00,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 MMC3 MMC Anni

12 Spesso è uile calcolare le medie mobili per valori di h pari. Queso si rende generalmene necessario nel caso in cui i dai a disposizione siano ad esempio rimesrali o annuali. Tuavia, per valori pari di h, il ermine calcolao con la media mobile non corrisponde a nessun periodo di osservazione della serie originaria. Per ovviare a queso problema, una vola calcolae le medie mobili, si oiene il ermine -esimo della serie facendo la media ra le due medie mobili a ridosso del periodo: / + ' h i hi h / h / i ' + MMC MMC hi h / + MMC ' ' ( MMC + MMC ) 3 ESEMPIO: Vendie di acqua minerale nel Regno Unio Monh Sales '000s MMC4' MMC4 MMC' MMC gen feb-04 mar-04 apr-04 mag-04 giu-04 lug-04 ago-04 gen-06 feb-06 mar-06 apr-06 mag-06 giu-06 lug-06 ago-06 se-06 o-06 nov-06 dic ,00 56,75 307,5 40,00 53,00 695,75 355,00 373,00 39,00 46,50 60,5 797,75 05,5,5 040,00 86,00 47,88 8,00 358,63 47,00 63,88 78,50 384,5 364,00 38,50 47,5 54,38 709,00 94,50 08,75 076,3 95,00 447,83 45,4 64,9 63,00 650,67 66,75 67,75 677,58 450,3 455, 607,7 6,96 640,83 656,7 667,5 674,67 4

13 ESEMPIO: Vendie di acqua minerale nel Regno Unio Serie sorica delle vendie di acqua minerale nel Regno Unio Vendie Sales '000s MMC4 MMC gen-04 mar-04 mag-04 lug-04 se-04 nov-04 gen-05 mar-05 mag-05 lug-05 Mesi se-05 nov-05 gen-06 mar-06 mag-06 lug-06 se-06 nov-06 5 Si noi che calcolare la media mobile cenraa per valori pari di h equivale a calcolare una media mobile cenraa ponderaa a h+ ermini. Infai per h si ha ad esempio: MMC ' h + h / i i h / i i MMC ' + h / + h i i h / + i i MMC ' ' ( MMC + MMC ) i i + + i i

14 Limii delle medie mobili Il vanaggio di uilizzare le medie mobili come srumeno previsivo è legao alla loro semplicià. Tuavia le medie mobili presenano dei limii non rascurabili: Non sfruano ua l informazione a disposizione. Se esisono una endenza di fondo all aumeno o alla diminuzione, oppure delle oscillazioni sisemaiche, quese vengono percepie con riardo ano maggiore quano più grande èh. Tali limii sono solo parzialmene risoli dall uilizzo di medie mobili ponderae. 7 Serie sorica delle vendie mensili di acqua minerale in migliaia di serline Vendie Sales '000s MM3 MM5 MM gen-04 mar-04 mag-04 lug-04 se-04 nov-04 gen-05 mar-05 mag-05 lug-05 se-05 nov-05 gen-06 mar-06 mag-06 lug-06 se-06 nov-06 gen-07 Mese Serie sorica dei salari lordi medi mensili degli impiegai nell'indusria (ex Repubblica Federale Tedesca) 4000, ,00 Reddio 3000,00 500,00 000,00 500,00 000,00 500,00 Salari lordi mensili MM3 MM5 MM7 0, Anni 8