SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

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1 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI Sisema: Definizione di Sisema Da un puno di visa fisico e un disposiivo ce modifica un segnale x(), deo ingresso, generando il segnale ), deo uscia. Da un puno di visa formale il segnale d ingresso x() viene manipolao ramie un generico operaore maemaico indicao con O[.]. Il risulao delle operazioni maemaice eseguie sull ingresso e il segnale d uscia ). Scema a blocci x() Sisema O[ x() ] ) 2 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

2 Sisemi Lineari Tempo-Invariani (LTI) Lineare: l uscia generaa dalla combinazione lineare di due o piu ingressi e uguale alla combinazione lineare delle uscie generae dai singoli ingressi y ()=O[x ()] y 2 ()=O[x 2 ()] ax ()+bx 2 () Sisema Lineare O[ax ()+bx 2 ()]=a O[x ()]+b O[x 2 ()] ay ()+by 2 () Tempo Invariane: l uscia generaa da un segnale riardao e uguale all uscia generaa dal segnale originale riardaa. )=O[x()] x( ) Sisema Tempo Invariane O[x( )] ) 3 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI Risposa all impulso Risposa all impulso: e l uscia del sisema quando l ingresso e l impulso. Viene soliamene indicaa con il simbolo () [ δ ( )] ( ) = O δ() Sisema O[δ() ] () Se il sisema e empo-invariane, la forma della risposa all impulso non dipende dall isane in cui si applica l impulso. Quando l ingresso e un impulso anicipao o riardao l uscia e uguale ad () anicipaa o riardaa: Se il sisema e ance lineare, noa la risposa all impulso, e possibile calcolare l uscia del sisema quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi: [ δ ( ) + bδ ( ) + cδ ( )] = a () + b( ) + c ( ) O a 2 [ δ ( )] ( ) = O 2 4 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

3 Rappresenazione dei segnali come combinazione lineare di impulsi Un qualsiasi segnale x() puo essere rappresenao come somma inegrale di impulsi riradai e pesai x( ) ( ) d δ ( ) d ) δ ) x( ) =50 δ ( ) x ( ) δ ( ) SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI La convoluzione x() come somma inegrale di impulsi pesai e riardai Sisema Lineare: uscia a una combinaz. lineare di ingressi e la comb. lineare delle singole uscie y ( ) = O x ) [ ( ) ] = O x( ) δ ( ) d O[ δ ( )] d = ( ) d = ( ) x( ) d ) ( ) = x( ) Sisema TI: O[δ(-)]=(-) Cambio variabili Inegrale di convoluzione (o semplicemene convoluzione) uscia = convoluzione ra ingresso e risposa all impulso del sisema LTI 6 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

4 Calcolo dell inegrale di convoluzione ) ) ( ) d L inegrando ( ) x ( ) e il prodoo ra il segnale x() e la risposa all impulso () ribalaa in raslaa di (verso desra se >0, verso sinisra se <0) x( ) ( ) x( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI Esempi di calcolo della convoluzione () ) ) ( ) d x( ) ( ) = = rec(2) rec( / 2) x() () SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

5 Inegrando x ( ) Esempi di calcolo della convoluzione (2) x( ) x( ) = rec(2) ( ) ( ) = rec( / 2) ( ) = -/4 = Inegrale ) ) ( ) d ( ) = +/4 = +/2 = +3/4 = + = +5/4 ) /2 9 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI Esempi di calcolo della convoluzione (3) ) ) ( ) d x ( ) = ( ) = rec( ) x() () SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

6 Inegrando x ( ) ( ) Esempi di calcolo della convoluzione (4) x( ) x ( ) = ( ) = rec( ) ( ) ( ) = - = -2/3 = -/3 = 0 = +/3 = +/3 = + Inegrale ) ) ( ) d SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI - + ) Causalià dei Sisemi L.T.I. () Definizione: Un Sisema L.T.I. è deo causale se l uscia ) per un = 0, dipende dai valori dell ingresso x() solo per valori della variabile 0. La condizione di causalià è molo imporane se la variabile indipendene è il empo: in queso caso un sisema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse infai il sisema sarebbe in grado di predire il fuuro. x() Sisema O[ x() ] ) Condizione da rispeare per garanire la causalià: ( ) = 0 per < 0 2 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

7 Causalià dei Sisemi L.T.I. (2) Spesso uilizzeremo rispose all impulso del ipo: () Quesa risposa all impulso non è causale: puo essere resa causale araverso opporuni roncameni (nel empo, se () si esende da - a ) e riardi. () Uilizzare () invece ce () significa rascurare i riardi necessari a rendere causale la risposa all impulso. 3 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI Effei della convoluzione (filro passa-basso) x() Le componeni del segnale rapidamene variani nel empo (ad ala frequenza) vengono eliminae dalla convoluzione con una risposa all impulso lenamene variane nel empo (filro passa-basso) Simbolo della convoluzione () ) ) ( ) 4 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

8 Effei della convoluzione (filro passa-alo) x() Le componeni del segnale lenamene variani nel empo (a bassa frequenza) vengono eliminae dalla convoluzione con una risposa all impulso rapidamene variane nel empo (filro passa-alo) Simbolo della convoluzione () ) ) ( ) 5 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI Esercizi - Dao il sisema LTI con risposa all impulso ()=exp(-/t o )u(), rovare l uscia ) quando l ingresso x()= δ()+3δ(- T o )-2δ(-2 T o ). Quano vale T o )? 2 - Dao il sisema LTI con risposa all impulso ()= 3δ(- T o ), rovare l uscia ) quando l ingresso x()= +cos(2p/ T o ). Quano vale 0)? 3 - Dao il sisema LTI con risposa all impulso () e ingresso x() di figura, disegnare l uscia ). Quano vale )? x( ) () SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI