Affidabilità dei sistemi

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1 dei sisemi Un sisema (o uno qualsiasi dei suoi componeni) può essere soggeo a sress casuali. Es: un fusibile in un circuio; una rave di acciaio soo carico; l ala di un aereo soo l influenza di forze Collasso del componene Lo sao in cui il componene (o il sisema) cessa di funzionare Definizione Se un componene è messo in condizioni di sress in un isane emporale 0 e viene osservao fino a quando collassa, la duraa della via (o il empo necessario al collasso) è una variabile aleaoria che indicheremo con T

2 Definizioni di base Si definisce affidabilià di un qualsiasi disposiivo (sisema o componene) la probabilià che esso funzioni correamene, per un dao empo, in cere condizioni. L affidabilià di un sisema è una probabilià. Regole di decomposizione gerarchica in soo-sisemi Per guaso si inende (a) la cessazione di un disposiivo ad adempiere la funzione richiesa (guasi oali); (b) variazione presazione del disposiivo che lo renda inservibile (guasi parziali); Guasi inermieni 3 Classificazione dei guasi in base al empo di via del sisema Guasi infanili Guasi di usura errori monaggio errori progeazione Guasi casuali Indipendeni dal empo Modo: è il sinomo mediane il quale il guaso è osservao Causa: esrinseca (infanili, sisemaici) o inrinseca (debolezza, usura) Effeo: primaria imporanza, secondaria imporanza Meccanismo: fisico, chimico, meccanico, superameno di soglie limie. 4

3 3 Tasso di guaso in funzione dell eà 5 Qualià Conformià Duraa Manuenzione Cosi Invesimeno (iniziale) Manuenzione Operaivi (personale e/o addesram.) elevaa - Manuenzione Cosi d acquiso maggiori inferiore + Manuenzione Cosi di manuenzione maggiori 6

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5 5 Funzione di guaso Si definisce funzione di guaso Q( la probabilià che il sisema si Guasi per la prima vola nell inervallo (0,: se T rappresena la v.a. duraa di visa del sisema si ha Q( P T ( Proprieà Q(0) 0 0 Q( Q( + limq( per 0 dq( f ( d Densià di guaso 9 Si definisce la funzione funzione di affidabilià 0, successivo[, + ] Definizione P( T > Si definisce Significao probabilisico : di un sisema (o di un suo componene) f ( s) ds P T Definizion e coefficien e di collasso f ( Z (, 0 E' alvola indicaa con il ermine f ( Z( P T ( + f () s ( P T ds P probabilià che il componeneche è durao fino all'isane ( ( T < + T (isanane o), la funzione funzione di hazard collassi nell'inervallodi empo. 0

6 6 Teorema : Se E T ( ) ( ) <, allora E T 0 d Teorema : Q Se T () ale che Q( 0) è una variabile aleaoria coninua, con funzione di guaso 0, allora ' f ( R ( DIM : Z( Z( 0 ) exp Z( s) ds, 0 0 () Z(s)ds log R + cos. ) K exp Z( s) ds dove K dipende dalle condizioni iniziali 0 (a) Quali leggi di collasso è ragionevole assumere per descrivere il deeriorameno di un sisema? (b) Se un sisema è formao dalle componeni A e B di cui si conosce la legge di collasso A B oppure A B quale è la legge di collasso di ali sisemi?

7 7 LEGGI DI PROBABILITA DI COLLASSO NORMALE f () ( µ ) σ exp σ π (eorema del limie cenrale) ESPONENZIALE f ( α exp( α (non ci sono deeriorameni...) Teorema : Sia T il empo di collasso una variabile aleaoria coninua. T ha una disribuzione esponenziale se e solano se Z( α > 0. P ( T > s + T > s) P( T > Il collasso dipende solo dalla lunghezza del periodo rascorso e non dalla sua soria. Si ha : E( T ), V ( T ) α α e Q( P( T exp ( α, exp( α 3 RELAZIONE TRA LEGGE ESPONENZIALE E PROCESSO DI POISSON Si assuma che la roura di un sisema si verifichi a causa di uno o più disurbi casuali (meccanici o chimici).sia N( numero di disurbi verificaosi in [ 0, una variabile aleaoria con disribuzione di Poisson di parameroα. (A) La roura avvienese e solo se si verifica almeno un disurbo casuale. (B) La roura avviene con probabilià - disurbo casuale: exp (-α [ p] ) (C) La roura avviene quando P( T > P( N( 0) exp P( T ( α P( T > P( N( 0) + P( N( ) p + P( N( ) p +... in [0, si sono verificai almeno r disurbi : r k ( α > exp( α k 0 k! r k r ( α α exp( α ( α s) Q( P( T <! 0 k 0 k ( r )! (fd variabile aleaoria gamma con gradi di liberà r) p se e solo se si verifica almeno un exp( α s) ds 4

8 8 WEIBULL Z( ( α β ) β f ( Z( exp (a) (c) 0 β cosane β > crescene, β < decrescene Z( s) ds (b) (d) β β ( α β ) exp( α ), α, β > 0 exp( α > 0 β ( a) α, β,.5, 3, plo della funzione Z( ( b) α, β,.5, 3, plo della funzione Z( ( c) α, β,.5, 3, plo della funzione f ( ( d) α, β,.5, 3, plo della funzione f ( ) 5? Il sisema è composo da un cero numero di componeni e il collasso si verifica per effeo del disurbo peggiore ra una serie di disurbi che subisce il sisema. Il coefficiene di collasso può essere una funzione cosane, crescene o decrescene Se la variabile aleaoria T ha disribuzione di Weibull, allora si ha / β / β E[ T ] α Γ +, V [ T ] α Γ + Γ + β β β dove r α Γ() ( α s) exp( α s) ds 0 ( r )! funzione denominaa funzione gamma. 6

9 9 SISTEMI COMPOSTI Si consideri il seguene sisema: A B T T il empo di via del componene A il empo di via del componene B T? T min (T,T ) R P( T > P( T > P( T > R ( R ( ) n componeni è ( Se n componeni sono messi in serie, ciascuno di essi con funzioni di affidabilià R (, la funzione di affidabilià del sisema cosiuio dagli i n i R (. i 7 Esercizio: Se n componeni affidabilià R ( del empo di i via sono messi in serie, ciascuno di essi con funzione di di ipo esponenziale, deerminare la legge di disribuzione del sisema cosiuio dagli n componeni. Si consideri il sisema: A B T T il empo di via del componene A il empo di via del componene B T? T max (T,T ) Se n componeni sono messi in parallelo, ciascuno di essi con funzione di affidabilià R (, la funzione di affidabilià del sisema cosiuio dagli n componeni è- i n i [ R ( ]. i 8

10 Esercizio: Si assuma che i collegameni ra una cenrale elerica e una cià siano cosiuii da re linee i cui empi di funzionameno sono descrii da variabili aleaorie esponenziali idenicamene disribuie. Quano è affidabile la cenrale elerica? Esercizio: Si assuma che in una asronave ci siano due razzi propulsori, ciascuno con la sua riserva di carburane. E previso inolre un ubo di derivazione per rasporare il carburane ai due razzi secondo il seguene schema: Serbaoio I Serbaoio II TUBO Razzo I Razzo II Il empo di via di ogni serbaoio è disribuio esponenzialmene di paramero a, il empo di via del ubo è disribuio esponenzialmene di paramero b, il empo di via di ogni razzo è disribuio esponenzialmene di paramero c. Qual è il empo di guaso di uo il sisema propulsore? Paragonarlo al caso in cui manchi il ubo e ogni serbaoio è direamene collegao al razzo Sia T, empo di via di un componene eleronico, una variabile aleaoria gaussiana di deviazione sandard 0 ore. Assumendo che dopo un periodo pari a 00 ore, l affidabilià del componene è simaa pari al 99%, deerminare il empo di via medio del componene. 4. Il empo di via di un sisema ha un asso di guaso cosane pari a 0.0. Deerminare per quano ore deve funzionare il sisema affinchè abbia un affidabilià pari almeno al 90%. 5. Un circuio elerico è formao da 4 ransisors, 0 diodi, 0 resisori e 0 composiori. Ogni componene funziona indipendenemene l uno dall alro con asso di guaso 0^(-5), 0^(-6), 8^(-6), 0^(-6) rispeivamene. Deerminare: (a) La funzione di affidabilià; (b) Il empo medio di via; (c) L affidabilià del sisema dopo 0 ore di funzionameno. 0 0