Processi stocastici e affidabilità

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1 Processi socasici e affidabilià ω Dao un esperimeno casuale, si assuma di associare ad ogni ( ω ) esio ω una funzione x, di. Risula così definio un insieme di funzioni del empo, deo processo socasico, che verrà indicao con X ( ) oppure omeendo la dipendenza da ω. X

2 Fissao ω = ω, X (, ω) rappresena una funzione deerminisica, dea realizzazione del processo socasico. Fissao =, X (, ω) rappresena una variabile aleaoria. Fissao = e ω = ω, X (, ω) rappresena un... ( ( ) ( )) Fissai due isani e, si ha una coppia di v.a. X, X 2 ( X ( ), X ( 2 ),, X ( n )) 2 2 Fissai n isani,,,, si ha un veore di v.a. n Un processo socasico si dice noo se è noa la disribuzione ( ( ) ( 2 ) ( n )) congiuna di X, X,, X per ogni n 2

3 Fissao un isane ( ) = [ ] F x, P X ( ) x rappresena la f. disribuzione del I ordine f ( x, ) = F ( x, ) rappresena la f. densià del I ordine x Ripeiamo N vole un esperimeno ed osserviamo N realizzazioni. ( ) Assegnai x e, indichiamo con n il numero di realizzazioni che all'isane ransiano per una posizione inferiore ad x. Si ha F x ( ) / (, ) n N x x ( ) x ( ) ( x x + x) ( ) Analogamene, dai due numeri x e, se indichiamo con n il numero di realizzazioni che ransiano nell'inervallo, n all'isane si ha f ( x, ) = P x < X ( ) x + x x N 3

4 Fissai due isani e 2 ( ) = [ ] F x, ; x, P X ( ) x ; X ( ) x rappresena la f. disribuzione del II ordine 2 f ( x, ; x, ) = F ( x, ; x, ) rappresena la f. densià del x x2 II ordine Processi di rinnovo Def : Un processo di rinnovo (o di coneggio) è un processo socasico a valori ineri nonnegaivi che cona il numero di occorrenze (successive) di un cero eveno (ad esempio un guaso) nell'inervallo (0, ] quando i empi inercorreni ra due consecuivi eveni sono descrivibili mediane v.a. i.i.d. N( ) N( 2) N( 3) 0 T T 2 T 3 T 4 dove T, T2, T3, T 4, sono i.i.d. 4

5 3 Def: Si chiama empo di aesa W T T T n = n N ( ) per l'eveno n-esimo, la v.a. 2 0 T T2 T T 3 4 W W2 W3 W4 N( ) = num. indici n ali che 0 < Wn raieoria Il principale obbieivo della eoria dei rinnovi è derivare proprieà su ( ) N o W conoscendo la disribuzioni delle variabili T. n i N ( ) ( ) = [ ] per ogni inero P N k P Wk k 0 T T2 T T 3 4 W W2 W3 W4 5

6 Siccome W = T + T + + T è una somma di v.a. allora... n 2 n... è possibile cosruire la funzione generarice dei momeni, oppure ( ) = ( ) 0 k ( ) = [ ] ( ) = ( )...indicaa con F P W e con f df / d si ha k k k k f f s f ( s)d s (inegrale di convoluzione) dove k f ( s) è la densià di probabilià associaa alle { T } i ( ) Perano P N ( ) ( ) = k = P N k P N k + = = F ( ) F ( ) k k + E N( ) = M ( ) (dea funzione dei rinnovi) = Fk [ ] ( ) Def k = : Un processo di rinnovi si dice di Poisson di asso λ > 0 se: () N(0) = 0; (2) Ha incremeni indipendeni; (3) N( + s) N( s) Po( λ) 6

7 La (3) implica che gli incremeni sono sazionari La (3) implica anche che E [ N( ) ] = λ Menre è facile verificare la condizione () e (2), non è alreano facile verificare la condizione (3). Perano viene daa una II definizione di processo di Poisson, equivalene alla prima ma di più facile verifica dal puno di visa delle applicazioni. Def : Un processo di rinnovi si dice di Poisson di asso λ > 0 se: () N(0) = 0; (2) Ha incremeni indipendeni e sazionari; ( N = ) = λ + o( ) ( N ) = o( ) (3) P ( ) e P ( ) 2 Dimosriamo che sono equivaleni LIMITE DEL PROCESSO DI BERNOULLI 7

8 0 τ 2τ 3τ 4τ nτ = nτ e ricordando che la v.a. di Poisson è il risulao di un processo di limie sulla legge di disribuzione di una v.a. binomiale, la v.a. che cona il numero di successi in (0, ] è di Poisson di paramero λ. DISTRIBUZIONE DEGLI INTERRARRIVI 8

9 N ( ) P[ N( ) = 0] = exp( λ) = P[ T > ] 0 T T 2 Teorema: Nel caso di un processo di Poisson la legge degli inerrarrivi è esponenziale [ 2 > = ] = P[ 0 eveni in ( s, s + ] T = s] = P[ 0 eveni in ( s, s + ] ] = exp( λ) P T T s Teorema : Il empo di aesa fino all'eveno n-esimo ha legge gamma di paramero n e λ. n ( λ) f ( ) = λ exp( λ) ( n )! Esercizio: Si assuma che la roura di un sisema si verifichi a causa di uno o più disurbi casuali meccanici o chimici. Sia N() il numero di disurbi verificaosi in (0,]. Assumiamo che N() ha legge di Poisson di paramero a. Deerminare la disribuzione degli inerarrivi quando (a) la roura avviene se e solo se si verifica almeno un disurbo casuale. (b) La roura avviene con probabilià p se e solo se si verifica almeno un disurbo casuale. (c) La roura avviene quando in (0,] si sono verificai almeno r disurbi (cold sand-by sysem con r iems esponenziali) 9

10 Alre variabili di ineresse S = T + T + + T N ( ) 2 N ( ) somma random (via residua) γ SN ( ) + (via correne) (via oale) = δ = S N ( ) β = γ + δ δ β γ Sudiamo quese variabili nel caso Poisson S N ( ) S N ( ) + (via residua) P [ s] γ SN ( ) + γ > = = [ ( + ) ( ) = 0] P N s N = exp( λs) γ s S + s N ( ) S N ( ) + 0

11 (via correne) δ = S N ( ) [ ] se P δ s = s δ Esponenziale roncaa!! Es di v.a. non assol. coninua S N ( ) s s S N ( ) + [ δ ] ( ) exp( λ ) se P s = P T s = s s (via oale) β γ δ λ λ = + E [ β ] = + ( e λ ) λ Perano E[ β ] = + ( e ) = E[ T ] λ λ λ (paradosso dei rinnovi) Con queso puno di visa, si fissa e si sudia l'inervallo emporale che coniene, ossia S S N ( ) + N ( ). Dal puno di visa probabilisico, è inuiivo che gli inervalli più lunghi abbiano maggiore probabilià di ricoprire un cero isane, sicchè S S è più lungo di T. N ( ) + N ( ) i

12 Teorema dei rinnovi h (2) M ( + h) M ( ) per λ Alri processi? ( ( + ) = + ( ) = ) = λn + ( ) ( ( + ) = ( ) = ) = µ n + ( ) ( ) ( ) P N n N n o P N n N n o P N( + ) = m N( ) = n = o se n m 2 2

13 Gaussiani 3