Lezione 1. Introduzione alle proprietà strutturali. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 1 1
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- Sabrina Bello
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1 ezione. Inroduzione alle proprieà sruurali F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez.
2 F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. k x k y k u k x k x z G z z z z z z Qual è il «significao» di quesa cancellazione? Esempio: cancellazione polo/zero
3 x y Si espliciino le equazioni di sao k xk uk k x k x x y k x k k x k xk k x k x k u k Si osservi che per x k x y x allora per ogni k il sisema, dal puno di visa ingresso/uscia, è idenico a k xk uk k x k Quindi, quando si ha condizione iniziale x, z z Il fao che ci sia una cancellazione nella funzione di rasferimeno consise nel fao che una variabile di sao non si veda nella rappresenazione ingresso/uscia. F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 3 G
4 a funzione di rasferimeno è dea rappresenazione eserna del sisema, menre quella in variabili di sao è dea rappresenazione inerna. In generale, però, non hanno il medesimo conenuo informaivo (la rappresenazione di sao dice sempre uo, la funzione di rasferimeno solo se non ci sono cancellazioni) appresenazione inerna A, B, C, D appresenazione eserna G z CzI A B D x y k Axk Buk k Cxk Duk? realizzazione Y z con zu z x G F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 4
5 Noa - appresenazioni equivaleni di sisemi TI x y Ax Bu Cx Du Cambiameno di variabili di sao x con det x y x y Tx Tx T Ax Bu TAT x TBu Cx Du CT x Du Ax Bu Cx Du A TAT, B TB, C A, B, C, D A, B, C, D CT, D D F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 5
6 A, B, C, D A, B, C, D sesso sisema (diversa rappresenazione di sao ma sesso legame ingresso-uscia) Auovalori Gli auovalori si A e di A sono uguali. Per quesa ragione la sabilià è una proprieà sruurale, poichè non dipende dalla paricolare rappresenazione del sisema. Equilibrio de A de A e Movimeno sesso movimeno dell uscia y in corrispondenza del medesimo ingresso e della condizione iniziale x Tx F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 6
7 Esempio di simulazione = + = = 3 7 = = ingresso random uscia sao x sao x 7
8 appresenazione della raieoria delle variabili di sao nello spazio di sao x -x F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 8
9 Effeuiamo un cambiameno di variabili di sao usando la rasformazione = = e nuove variabili di sao saranno quindi calcolae a parire dalle vecchie così = = Il sisema viene quindi rappresenao come segue = + = = = 4 9 = = 3 = = Come cambierà il comporameno del sisema applicando il medesimo (idenico) ingresso di prima? F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 9
10 uscia non cambia. Il comporameno ingresso/uscia rimane inalerao. Il sisema è lo sesso, è solo sao modificao lo spazio di sao. uscia vecchia uscia nuova F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez.
11 sao x vecchio sao x nuovo sao x vecchio sao x nuovo F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez.
12 appresenazione della raieoria delle variabili di sao nello spazio di sao x -x vecchio nuovo o spazio di sao è sao ruoao e scalao. F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez.
13 F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 3 x x u y x x u x x x u x x x u y a ree è descria dalle segueni equazioni: Esempio: scela delle variabili di sao Due induori in parallelo
14 e equazioni della ree ammeono quesa scriura in variabili di sao: x Ax Bu A B y Cx Du a funzione di rasferimeno è: C = C + = + D C è una cancellazione! Per analizzare il sisema si effeui il seguene cambio di variabili di sao: x T x con T Si osservi che det x x x cioè: x x x F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 4
15 F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 5 Du Cx y Bu Ax x D D CT C TB B TAT A
16 a funzione di rasferimeno è (ovviamene) uguale: s s G s G s C si A B D s s s Qual è il suo significao della cancellazione? a rappresenazione nelle nuove variabili di sao ci aiua: x x y x u x u ingresso u non influenza x, nè direamene, nè ramie x. uscia y non è influenzaa da x, nè direamene, nè ramie x. Nel legame ingresso/uscia non si vede lo sao x. Infai x è la differenza ra le correni negli induori e sono sempre uguali! F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 6
17 iscrivendo le equazioni del sisema dinamico «ridoo» e calcolando la funzione di rasferimeno si ha: x y x u x u u y G s s s x x u y x Non posso «conrollare» indipendenemene le due correni negli induori. F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 7
18 Nelle prossime lezioni saranno sudiae le proprieà sruurali dei sisemi dinamici che spiegano i problemi connessi con le cancellazioni (e non solo). a più noa delle proprieà sruurali è la sabilià. Alre proprieà sruurali sono: aggiungibilià e conrollabilià Osservabilià e ricosruibilià Quese proprieà saranno definie per sisemi TI a empo discreo, ma le definizioni poranno essere esese ai sisemi dinamici a empo coninuo (ed ai sisemi ad eveni), a pao di presare alcune aenzioni. F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 8
19 In quale misura è possibile influire sulla dinamica dei sisemi agendo sull ingresso? aggiungibilià: fissao lo sao iniziale, qual è l insieme di sai in cui può essere porao il sisema agendo sull ingresso? x u u u n. x x?? x x. u u u n x f x n x n Conrollabilià: fissao lo sao finale, qual è l insieme degli sai a parire dai quali esise qualche ingresso che pora il sisema nello sao finale? Per i sisemi lineari le proprieà di raggiungibilià e di conrollabilià sono riferie allo sao x=. Quindi si parla di insiemi di sai conrollabili (a ) e sai raggiungibili (da ). F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. 9
20 In quale misura è possibile deerminare lo sao di un sisema a parire dai dai di uscia (ed ingresso)? Osservabilià: è possibile deerminare lo sao al empo misure di uscia (ed ingresso) a empi precedeni icosruibilià: è possibile deerminare lo sao al empo misure di uscia (ed ingresso) a empi successivi usando F. Previdi - Conrolli Auomaici - ez. k k k k k k usando I concei di osservabilià e ricosruibilià si riferiscono quindi alla possibilià di deerminare lo sao di un sisema a parire dai dai di uscia (e di ingresso). Infai non sempre le variabili di sao sono direamene misurabili, ma possono essere necessarie/uili per risolvere un problema di conrollo. Si pone quindi un problema di sima o ricosruzione dello sao.
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