Lezione 13. Elementi di controllo digitale

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1 Lezione 13 Elemeni di conrollo digiale

2 Realizzazione dei regolaori Il progeo del regolaore come è sao imposao nelle precedeni lezioni si conclude con la deerminazione della funzione di rasferimeno R(s) del regolaore sesso. Tuavia la funzione di rasferimeno cosiuisce solano un formalismo maemaico per descrivere il comporameno dinamico di un sisema, a parire dal quale occorre realizzare un disposiivo avene quel comporameno dinamico, ed ao alla regolazione del processo soo conrollo. Il modo più naurale di procedere sembra quello di realizzare, in una qualunque ecnologia (eleronica, pneumaica, fluidica) un sisema che preseni la sessa funzione di rasferimeno oenua dal progeo, ed inerfacciarlo con il rasduore della misura della variabile conrollaa, da un lao, e con l auaore, dall alro. Queso è il principio che sa alla base dei sisemi di conrollo analogici. Tuavia, negli ulimi decenni, l avveno ed il successivo impeuoso sviluppo delle ecnologie digiali hanno indoo i progeisi dei sisemi di conrollo ad un crescene ineresse verso l uilizzo dei calcolaori, in paricolare dei microprocessori, all inerno dell anello di conrollo. I sisemi di conrollo digiale, dopo le iniziali difficolà legae principalmene alla, giusificaa, riluanza del mondo indusriale ad abbandonare soluzioni ecnologicamene assesae a favore di alre basae su ecnologie emergeni, hanno via via soppianao i sisemi di conrollo analogici, che oggi sopravvivono soprauo in applicazioni in cui le bande richiese agli anelli di conrollo renderebbero anieconomico il passaggio alla ecnologia digiale (esempi si hanno nel campo del conrollo dei moori elerici). P. Rocco - Dispense di Auomaica Lez. 13-1

3 Inserimeno del calcolaore in un anello di conrollo Un calcolaore opera, in isani di empo discrei, su variabili rappresenae da numeri con precisione finia (dipendene dal numero di bi), ossia su cosiddei segnali digiali. Le variabili di ingresso ed uscia del sisema soo conrollo sono invece funzioni del empo (coninuo), sono cioè cosiddei segnali analogici. Sono segnali analogici anche le misure delle grandezze fornie dai rasduori, come pure i segnali di comando degli auaori. L inserimeno del calcolaore nell anello di conrollo compora allora l adozione di disposiivi per la conversione dei segnali analogici in segnali digiali e viceversa. Tali disposiivi prendono il nome, rispeivamene, di: converiori A/D (analogico/digiale) converiori D/A (digiale/analogico). Uno schema di massima di un sisema di conrollo digiale sarà quindi il seguene (dove µp indica il microprocessore): d y c + e c u m y T A/D µp D/A A S c T Fig. 1 : Sisema di conrollo digiale P. Rocco - Dispense di Auomaica Lez. 13-2

4 Conversione A/D: il campionameno Si consideri un generico segnale analogico v(), R. Si fissi un origine per l asse dei empi e, a parire da ale isane (=0), si considerino isani di empo disani l uno dall alro per un inervallo T C. Si valui quindi il segnale v() in corrispondenza di ui quesi isani: v 0 T 2T 3T 4T 5T C C C C C Fig. 2 : Campionameno Si oerrà una sequenza (o successione) di numeri che indichiamo con: * ( ) ( ) v k = v kt, k =012,,,... C La sequenza di numeri v * (k) si chiama segnale campionao. L operazione compiua prende il nome di campionameno del segnale coninuo v. L inervallo di empo T C si dice periodo (o empo, o inervallo) di campionameno. L inverso del periodo di campionameno, fc = 1 TC si chiama frequenza di campionameno. La pulsazione corrispondene Ω C = 2π T C si chiama pulsazione di campionameno, menre la pulsazione Ω = Ω 2 = π T prende il nome di pulsazione di Nyquis. N C C Nella conversione analogico/digiale è anche ineviabile una quanizzazione del segnale, cioè la suddivisione dell insieme dei valori che può assumere il segnale in un numero finio di inervalli, ciascuno associao ad un numero espresso in bi. Nel seguio non ci occuperemo degli effei della quanizzazione, rienendo l insieme in cui varia v* idenico a quello in cui prende valori v. Si inuisce che all operazione di campionameno è generalmene associaa una perdia di informazione, rispeo al segnale originario analogico. Non sembra infai possibile compiere l operazione inversa, ossia risalire univocamene dal segnale campionao al segnale originario, dal momeno che diversi segnali analogici, anche molo differeni ra loro, possono dar luogo allo sesso segnale campionao: P. Rocco - Dispense di Auomaica Lez. 13-3

5 v 0 T 2T 3T 4T 5T C C C C C Fig. 3 : Segnali analogici che danno luogo allo sesso segnale campionao In paricolare, campionando un segnale sinusoidale con deerminai periodi di campionameno, si può oenere un segnale campionao che esibisce una oscillazione di lungo periodo, del uo assene nel segnale originario: Fig. 4 : Aliasing Queso fenomeno, deo aliasing, impone che il periodo di campionameno sia adeguao alle caraerisiche del segnale soggeo al campionameno. Il campionameno deve essere sufficienemene fio (e quindi il periodo di campionameno sufficienemene piccolo) da cogliere anche le variazioni più rapide del segnale. E abbasanza evidene che per campionare correamene un segnale sinusoidale occorrono almeno due campioni per periodo. Deo T il periodo della sinusoide si avrà quindi: T > 2T 2π T < π T, C ossia, dea ω c = 2π T la pulsazione della sinusoide: P. Rocco - Dispense di Auomaica Lez. 13-4

6 ω<ω N. Se ora si ricorda che un generico segnale a empo coninuo si può scomporre in serie o inegrale (a seconda che sia periodico o aperiodico) di infinie sinusoidi (componeni armoniche), si perviene al seguene risulao: Teorema di Shannon (o del campionameno) Se il segnale soggeo a campionameno v() non ha componeni armoniche a pulsazioni superiori alla pulsazione di Nyquis Ω N =π/t c (segnale a banda limiaa), allora la conoscenza del segnale campionao v * (k), con periodo di campionameno T C, consene di ricosruire esaamene il segnale originario v(), ossia segnale campionao e segnale soggeo al campionameno sono informaivamene equivaleni. Se è rispeaa la condizione del eorema del campionameno, deve essere possibile ricosruire, a parire dalla sequenza complea dei campioni del segnale campionao v * (k), il segnale originario v() ad ogni isane. La formula che risolve il problema è la formula di Shannon: ( ) + N k v () = * sin Ω π v ( k). k= ΩN kπ Scelo il periodo di campionameno del converiore A/D, è anche possibile forzare il segnale di ingresso al soddisfacimeno della condizione del eorema del campionameno, filrando il segnale sesso con un filro passabasso. Tale filro, che va soo il nome di filro anialiasing, avrà pulsazione di aglio inferiore alla pulsazione di Nyquis, in modo da agliare le componeni ad ala frequenza del segnale. F db v() F(s) A/D v*(k) ωf ΩN ω Fig. 5 : Filro ani-aliasing P. Rocco - Dispense di Auomaica Lez. 13-5

7 Conversione D/A La conversione digiale/analogico consise nel ricavare da una sequenza di valori v * (k) cui è associaa una base dei empi, un segnale a empo coninuo, che negli isani associai ai valori v * (k), assuma gli sessi valori della sequenza daa. v* v k T C 2T C 3T C 4T C 5T C Fig. 6 : Conversione D/A La formula di Shannon risolverebbe il problema generando un segnale a banda limiaa: uavia non è uilizzabile negli schemi di conrollo digiale in quano non causale. Il valore di v(), a ciascun isane di empo, dipende infai da ui i valori di v * (k), in paricolare anche da quelli associai ad isani successivi a. Il calcolaore impiegao nel conrollo digiale, operando in empo reale, non può disporre che dei valori passai della variabile di conrollo da converire. Per risolvere il problema si usano allora degli esrapolaori, ossia dei disposiivi che sulla base di un cero numero di campioni (i più receni elaborai dal disposiivo di conrollo digiale), deerminano il valore che dovrà assumere l uscia del converiore fino al successivo campione. In paricolare la soluzione più comunemene uilizzaa consise semplicemene nel manenere cosane l ulimo campione in uo l inervallo di campionameno: v 0 T C 2T C 3T C 4T C 5T C Fig. 7 : Maneniore di ordine zero Il disposiivo che realizza quesa operazione si chiama Maneniore di ordine zero o ZOH (Zero Order Hold). Si osservi che l operazione inroduce un cero riardo del segnale a empo coninuo oenuo, rispeo a quello oenibile via decampionaore di Shannon. Tale riardo è quanificabile in circa meà del periodo di campionameno. P. Rocco - Dispense di Auomaica Lez. 13-6

8 Scela del periodo di campionameno Per quano deo finora, un sisema di conrollo digiale può essere schemaizzao come segue: d y c + e c u m y T AA A/D µp D/A A S c T T C Fig. 8 : Sisema di conrollo digiale Nello schema si è evidenziao che i converiori A/D e D/A operano con lo sesso passo di campionameno e in modo sincrono (con la sessa origine dell asse dei empi). Inolre si è messo in evidenza un evenuale filro anialiasing (AA) da porre a mone del converiore A/D. Ci si pone ora il problema della scela del periodo di campionameno. E noo che in un sisema di conrollo le componeni armoniche significaive dei segnali risiedono nella banda passane del sisema di conrollo, il cui esremo superiore è di norma ben approssimao dalla pulsazione criica ω c. Per rispeare la condizione del eorema di Shannon occorrerà allora che la pulsazione criica sia decisamene inferiore alla pulsazione di Nyquis: ω c << Ω N. Un buon crierio è che le due pulsazioni siano separae da una decade (Ω N ω c =10). In presenza di disurbi con componeni armoniche di ala frequenza o di componeni in ala frequenza del segnale di riferimeno (che non ineressa riprodurre in uscia) è opporuno aneporre al converiore A/D un filro anialiasing. La pulsazione di aglio del filro dovrà essere superiore a ω c (per non agliare componeni armoniche significaive del segnale da campionare) ma inferiore a Ω N (per rispeare la condizione del eorema del campionameno): db ω c ωf ΩN ω sisema di conrollo filro Fig. 9 : Filro anialiasing Si osservi che in fase di progeo del regolaore R(s) occorrerà prevedere un eccedenza di margine di fase necessaria a coprire lo sfasameno indoo dall evenuale filro anialiasing e dal riardo inrodoo dall operazione di manenimeno (ZOH). P. Rocco - Dispense di Auomaica Lez. 13-7

9 Discreizzazione della legge di conrollo Il calcolaore nel sisema di conrollo digiale riceve i campioni dell errore ra riferimeno e variabile conrollaa e deve produrre i campioni della variabile di conrollo, da passare al converiore D/A (ZOH). Nel compiere quesa operazione, il calcolaore deve fare in modo che il legame dinamico esisene ra il segnale errore e la variabile di conrollo sia quano più possibile simile a quello deerminao dalla funzione di rasferimeno R(s) a empo coninuo progeaa per il regolaore: e() R(s) u() e() e* u* A/D µp D/A u() Fig. 10 : Discreizzazione della legge di conrollo Si risolve il problema ricordando che la funzione di rasferimeno non è alro che un formalismo comodo per rappresenare un sisema di equazioni differenziali lineari: x& 1() = a11x1() + a12x2() a1nxn() + be 1 () x& 2() = a21x1() + a22x2() a2nxn() + b2e() M x& n() = an1x1() + an2x2() annxn() + bne() u() = c x () + c x () c x () + de() n n A queso puno, il sisema viene discreizzao con una delle formule noe dal calcolo numerico. Le equazioni risulani sono immediaamane raducibili in un programma di calcolo, codificabile in un qualunque linguaggio di programmazione. Si osservi la flessibilià dell operazione: cambiameni nei parameri del regolaore si raducono in cambiameni di dai del programma (inseribili anche da asiera), menre cambiameni nella legge di conrollo si operano semplicemene modificando (e ricompilando) il programma. Consideriamo per esempio un regolaore PI: KI Rs () = KP +. s Una realizzazione in variabili di sao del regolaore è la seguene: () = e () () = () + () &x u K x K e I P. Adoando la formula di discreizzazione dei rapezi (noa come formula di Tusin nell ambio dei conrolli auomaici), oeniamo: ( ) * * T x k x k e * k e * k 2 * * * u k K x k K e k C ( ) = ( 1) + ( ) + ( 1) ( ) = ( ) + ( ) I dove e * (k) = e(kt C ), u * (k) = u(kt C ). P Le equazioni discreizzae sono raducibili nel seguene programma, da eseguire ad ogni P. Rocco - Dispense di Auomaica Lez. 13-8

10 isane di campionameno: inpu yref, y e := yref-y sae := sae + Tc/2*(e+eold) u := KI*sae + KP*e eold := e P. Rocco - Dispense di Auomaica Lez. 13-9