La risposta di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà sollecitato da carichi periodici. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

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1 La risposa di un sisema lineare viscoso a un grado di liberà solleciao da carichi periodici Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 1

2 Inroduzione 1/ Un carico p() si dice periodico quando assume indefiniamene gli sessi valori a inervalli di empo cosani, cioè quando p( + n ) = p( ) n =,..., 3,, 1,, 1,, 3,..., in cui è il periodo e ω = π la frequenza. Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure

3 Inroduzione / Ogni carico periodico può essere sviluppao in serie rigonomerica di Fourier secondo la relazione in cui ( ) = a + a n cosω n p + sinω n ω n = nω = n π a = 1 a n = = p( )d p( )cosω n d p( )sinω n d n = 1,, 3,... n = 1,, 3,... n = 1,, 3,... ω n La quanià rappresena la frequenza delle n-sime componeni armoniche, di ampiezza a n e rispeivamene, menre a corrisponde al valore medio del carico all inerno di un periodo. Anche se la serie di Fourier è cosiuia da infinii ermini, di solio ne basano solano alcuni oenere una rappresenazione sufficienemene accuraa della funzione p(). Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 3

4 La risposa sazionaria 1/ Poiché i carichi periodici sono di lunga duraa, si può assumere che dopo un cero empo la pare ransioria della risposa sia compleamene smorzaa. Nel caso di un sisema lineare, la risposa sazionaria può essere calcolaa, applicando il principio di sovrapposizione degli effei, sommando le rispose sazionarie relaive a ogni ermine della serie Si ha ( ) = a + a n cosω n p + sinω n u( ) = a k + a n k D n ( 1 β n )cosω n + ( ξβ n )sinω n + + k D n ( 1 β n )sinω n ( ξβ n )cosω n dove D n = 1 1 β n ( ) + ξβ n ( ), β n = ω n ω Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 4

5 La risposa sazionaria / u( ) = a k + a n k D n ( 1 β n )cosω n + ( ξβ n )sinω n + + k D n ( 1 β n )sinω n ( ξβ n )cosω n D n = 1 ( 1 β n ) + ( ξβ n ), β = ω n n ω Sosiuendo l espressione di D n, si ha infine u( ) = a k + + a n ( 1 β n )cosω n + ( ξβ n )sinω n + k ( 1 β n ) + ( ξβ n ) ( 1 β n )sinω n ( ξβ n )cosω n ( 1 β n ) + ( ξβ n ) k L imporanza relaiva dei ermini della risposa dipende dalle ampiezze a n e delle componeni armoniche del carico e dal rapporo di frequenza β n. I ermini prevaleni sono quelli la cui frequenza è vicina alla risonanza, cioè β n è prossimo all unià. ω n Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 5

6 Un esempio: il carico onda quadra 1/8 Si consideri il seguene carico periodico p p() -p - 3 definio dalle relazioni p( ) = p per < < T p per < < Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 6

7 Un esempio: il carico onda quadra /8 p( ) = p per < < T p per < < I coefficieni della serie di Fourier valgono a = 1 p( )d = 1 p d 1 T p d T = Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 7

8 Un esempio: il carico onda quadra 3/8 a n = p( )cosω n = p cosω n T p cosω n T = = p 1 sinω n ω n = p T sin ω n ω n T 1 sinω n ω n = sin( ) sin ω n ( ) + sin ω n = p T nπ T sin nπ nπ sin = = p sin nπ nπ = ( ) sin ( nπ ) = Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 8

9 Un esempio: il carico onda quadra 4/8 = p( )sinω n = T p sinω n d p sinω n d = = p T cosω n ω + cosω n T = n = p T nπ T cos nπ + cos ( ) cos ( nπ ) ( ) + cos nπ = p 1+ cos nπ nπ = p nπ nπ T cos = ( ) 1 cos nπ Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 9

10 Un esempio: il carico onda quadra 5/8 In definiiva risula a = a n = = = 4 p nπ per n pari per n dispari p( ) = 4 p π 1 n sinω n con n dispari. u() us p() p n = 1 Si noa come al crescere di n diminuisce l ampiezza del ermine corrispondene Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 1

11 Un esempio: il carico onda quadra 6/8 Nella seguene figura la somma di un numero diverso di ermini è sovrapposa al carico assegnao. Si noa che in corrispondenza delle disconinuià la serie converge al valor medio del carico. u() us p() p 1. n = 7 n = Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 11

12 Un esempio: il carico onda quadra 7/8 La risposa è daa dalla sommaoria u( ) = 4 p 1 ( 1 β n )sinω n ( ξβ n )cosω n πk n 1 β n ( ) + ξβ n ( ) con n dispari. Nella figura seguene sono rappresenai a confrono i primi see ermini della risposa per un sisema lineare ad un grado di liberà con T = / e ξ =.5. Si noa che al crescere di n la diminuzione dell ampiezza dei ermini della risposa è più rapida di quelli del carico: la serie della risposa converge più rapidamene di quella del carico. us u() u s n = 1 T =.5! = Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 1

13 Un esempio: il carico onda quadra 8/8 La serie della risposa converge più rapidamene di quella del carico. us u() u s. 1. n = T =.5! = Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 13