Processi stocastici. Corso Segnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 2007 Pagina 1 di 33

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1 Processi socasici Inroduzione isemi lineari e sazionari; luuazioni casuali, derive e disurbi; processi socasici sazionari in senso lao, unzione di auocorrelazione e spero di poenza; risposa di un sisema elerico ad un segnale di ingresso casuale. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina di 33

2 egnale e Rumore Il risulao di un esperimeno è generalmene un segnale*, la variazione in unzione del empo di una grandezze isica, a cui è associaa l'inormazione a cui siamo ineressai. Il rumore è uo ciò che può limiare la sensibilià delle misure: luuazioni casuali proprie del segnale oppure luuazioni inrodoe dall'apparao sperimenale: rumore ermico, sho, licker... eei sisemaici: ose bias, derive... disurbi EMC elecromagneic compaibiliy, RFI radio requency inererence *il rumore sesso può essere il risulao dell'esperimeno! Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina di 33

3 isemi e segnali I sisemi più comuni con cui elaboriamo i nosri segnali sono lineari e sazionari, descrii da equazioni dierenziali ordinarie lineari a coeicieni cosani. Il sisema è compleamene descrio da una delle segueni due unzioni:. risposa impulsiva h: la risposa del sisema, l uscia y del sisema all applicazione di un ingresso impulsivo δ y h;. unzione di raserimeno H: la rasormaa di Fourier della risposa impulsiva H + h e Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 3 di 33 jω d

4 Possiamo oenere la risposa del sisema y, per un dao segnale arbirario di ingresso, araverso l inegrale di convoluzione: + y τ h τ dτ h τ τ dτ La rasormaa di Fourier dell inegrale di convoluzione è: Y H X dove Y e X sono rispeivamene la rasormaa di Fourier del segnale d uscia e del segnale di ingresso. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 4 di 33

5 Processi socasici segnali deerminisici: sono segnali di cui possiamo ornire una rappresenazione analiica più o meno complessa. Quesi segnali, olre che nel dominio del empo, possono essere descrii nel dominio della requenza araverso alla rasormaa di Fourier. segnale ad energia inia I [] segnale a poenza media inia I [R τ] segnali periodici + serie di Fourier segnali casuali: sono segnali che non hanno una rappresenazione analiica e, in generale, possono essere rappresenai solano in ermini delle loro proprieà saisiche. Nel caso di un segnale casuale si deve rovare una opporuna scomposizione armonica che sia rappreseniva di ue le ininie realizzazioni del processo. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 5 di 33

6 Processi socasici Medie di insieme vs. medie emporali Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 6 di 33

7 medie di insieme: media:, lim d p N N i i N valore quadraico medio: [ ], lim d p N N i i N covarianza:,,, lim d d p N N i i i N, ; p, è la unzione densià di probabilià del primo ordine, p, ;,, quella del secondo ordine Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 7 di 33

8 medie emporali: media: / / lim d valore quadraico medio: / / lim d varianza: σ auocorrelazione: + + / / lim d R τ τ τ Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 8 di 33

9 La media di insieme è un conceo eorico conveniene poiché è direamene collegaa alle disribuzioni di probabilià, viceversa la media emporale è più vicina alla siuazione sperimenale; non è possibile preparare un numero ininio di sisemi idenici su cui eeuare le misure. Ergodicià Le previsioni eoriche ondae su medie di insieme sono equivaleni alle misure sperimenali basae su medie emporali solo e solo se il sisema è ergodico; la conoscenza di una sola realizzazione permee di individuare ui i parameri saisici del processo. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 9 di 33

10 azionarieà Le caraerisiche del processo casuale non cambiano col empo: rappresenano in un cero senso processi per cui esise un equilibrio saico. i possono deinire diversi ordini di sazionarieà in corrispondenza dell ordine delle disribuzioni di probabilià per cui ciò è veriicao. Processi casuali sreamene sazionari sono quelli per cui le unzioni densià di probabilià associae al processo sono invariani per uno sposameno emporale dell origine dei empi. In generale si indica come processo sazionario di ordine k un processo casuale per cui la unzione densià di probabilià di ordine k soddisa la condizione: per qualsiasi valore di ε. p,,..., k ;,,..., k p,,..., k ; +ε, +ε,..., k +ε Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 0 di 33

11 Processi sazionari in senso lao Wide ense aionary W or weakly saionary I paramerici saisici non sono inluenzai da uno sposameno dell origine della scala dei empi:. E[ + ] lim d µ cosane ed indipendene da. E[ τ ] lim + τ d R τ + unzione solano di τ e il processo è gaussiano quesi parameri lo caraerizzano compleamene I processi W cosiuiscono una classe di processi casuali imporani per il eorema di Wiener-Kinchine: la unzione di auocorrelazione e la densià sperale di poenza sono uno la rasormaa di Fourier dell alro. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina di 33

12 Proprieà della unzione di auocorrelazione: R 0 E[ ] µ + σ R R 0 R τ τ τ R τ massimo della unzione unzione pari Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina di 33

13 Auocorrelazione R τ E[ τ] casi limie R τ 0 e + τ sono praicamene scorrelae; caso limie: la conoscenza del processo ad un isane non dà alcuna inormazione su quano accade agli isani successivi, e +τ sreamene scorrelae, per ogni valore di τ, allora R τ σ δτ; R τ rimane prossima al valore massimo R 0, allora e +τ sono invece sreamene correlae; caso limie: e +τ sono correlae su empi τ molo lunghi, la unzione R τ rimane prossima a R 0 es. a, cosane R τa Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 3 di 33

14 e ha una componene periodica allora R τ presena una componene periodica alla sessa requenza. esempio Consideriamo il seguene caso A cosπ + θ+n, dove A e sono cosani, θ è una variabile casuale disribuia uniormemene nell inervallo 0, π, n un processo W indipendene da θ. R τ E[ A { Acosπ + θ + n } { Acosπ [ + τ ] + θ + n + τ } A E[cosπ + π τ + θ + cos π τ ] + E[A cos π + E[ n A cosπ [ + τ ] + θ ] + E[ n n + τ ] cosπ τ + R n τ ] + θ n La unzione di auocorrelazione coniene una componene armonica alla requenza, la sessa requenza della componene periodica di. + τ ] + Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 4 di 33

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16 la presenza di picchi più o meno srei nella unzione di auocorrelazione R aorno ad alcuni valori di τ indica la presenza di conribui di segnale o disurbi! periodici. empo di correlazione La rapidià con cui la unzione di auocorrelazione R τ passa dal suo massimo per τ 0, e raggiunge lo zero ci indica la quanià di memoria presene nel sisema; i deinisce empo di correlazione τ c il valore di τ per cui R τ R 0 e o in modo equivalene τ c R τ dτ R 0 / 0 Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 6 di 33

17 eoremi sull energia Parseval, Plancherel, Wiener-Kinchine e e sono due unzioni del empo le cui rasormaa di Fourier sono rispeivamene X e X, allora * * d X X d Il eorema Parseval si veriica acilmene sosiuendo ad esempio a X e X la corrispondene rasormaa di Fourier e scambiando gli ordini di inegrazione; il eorema di Parseval è piuoso generale, l unica condizione è che le unzioni e siano assoluamene inegrabili. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 7 di 33

18 Nel caso di un processo casuale andremo a considerare le due unzioni all inerno di un inervallo emporale [-/, /]; al di uori di quesa inesra il valore delle ordinae sarà nullo. Indichiamo ora le unzioni inesrae con e andiamo a porre + τ con τ un opporuno riardo emporale. Poichè è zero quando ±, la sua rasormaa di Fourier esise e dal eorema di Parseval: j πτ + τ d X e d sono sai omessi gli aserischi perchè si considerano unzioni reali. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 8 di 33

19 j πτ + τ d X e d quando poniamo τ 0 oeniamo il eorema di Plancherel energia: [ ] d X d enrambe i lai dell equazione rappresenano l energia oale di ; queso suggerisce il ao che X può essere inerpreao come una densià di energia del processo. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 9 di 33

20 La poenza media del processo è l energia oale divisa per ; per divena: lim X [ ] d lim 0 d - si suppone che esisano i limii; - si è scria la orma unilaerale dell inegrale poichè è reale, allora X è una unzione pari della requenza. - scambiando l ordine ra inegrale e limie possiamo inerpreare unilaerale di poenza. X lim come la densià sperale Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 0 di 33

21 La densià sperale di poenza di un processo sazionario è sreamene legaa alla unzione di auocorrelazione del processo. Riconsideriamo l espressione: j πτ + τ d X e d e dividiamo enrambe i membri per e ne acciamo il limie: lim + τ d lim 0 X cosπτ d l espressione a sinisra è la unzione di auocorrelazione del processo; Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina di 33

22 R + X τ lim cosπτ d 0 scambiando l ordine ra limie e inegrale e ricordando la deinizione di densià sperale di poenza segue: Relazione di Wiener-Kinchine e il suo inverso: R + τ cosπτ d R τ cosπτ dτ densià sperale e unzione di auocorrelazione sono una la rasormaa dell alra. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina di 33

23 pero di poenza Per i processi casuali W possiamo ornire una caraerizzazione sperale araverso alla rasormaa di Fourier della unzione di auocorrelazione: bil + R τ e dτ jπ τ Relazione di Wiener-Kinchine processo reale R τ e sono unzioni reali e pari; rasormaa bilaerale: lo spero è deinio anche per requenze negaive; bil misure densià sperale unilaerale ; unià di misura? unzione di auocorrelazione: quella della grandezza al quadrao; spero di poenza: quella della grandezza al quadrao, per un empo. spesso si considerano speri di ampiezza, deinii come la radice quadraa di speri unilaeri l unià di misura è quello della grandezza su radice di herz. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 3 di 33

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25 Per un sisema lineare: H y [ ] τ τ τ π d e y y j y + 0 E + β β β α α τ α τ d h R yy d - h E sosiuendo R yy τ nell espressione di y e scambiando l ordine di inegrazione [ ] + + τ β α τ β β α α α β τ π β π α π d e d e h d e h j j j y - - E * H H H y Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 5 di 33

26 esempio ilro passa basso Consideriamo un semplice ilro passa basso, del primo ordine, cosiuio da una resisenza R e un condensaore C. Applichiamo al suo ingresso un rumore bianco cos. R σ δτ La unzione di raserimeno è: H + j π RC per cui lo spero del segnale y è: Anirasormando oeniamo: y R yy + π RC τ RC e RC Il ilro modiica il processo bianco inroducendo un empo di correlazione pari alla cosane di empo propria del circuio. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 6 di 33

27 Banda equivalene di rumore Consideriamo un processo casuale y a media nulla. La sua varianza sarà σ y y R yy + 0 d e y è la risposa il segnale d uscia di un sisema lineare ecciao da rumore bianco cos. allora σ y + 0 H d H ma B n 0 y dove B n H ma + 0 H d è la banda equivalene di rumore. la banda equivalene di rumore dipende unicamene dalle caraerisiche.d.. del sisema. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 7 di 33

28 esempio ilro RC Per un sisema del primo ordine, come ad esempio un ilro passa-basso di ipo RC daa la sua.d.. si oiene: H + jπ RC B n H ma 0 H d 0 + jπ RC d 4RC la banda equivalene di rumore dierisce di un aore π/ dalla banda passane a 3 db. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 8 di 33

29 banda equivalene di rumore per alcuni sisemi + H + N j / Q + / j 3dB / o o banda a 3 db 3dB /Q banda equivalene di rumore π / 3dB 0 π / o Q dove N j / 0 corrispondeni rispeivamene al caso di una.d.. di ipo passa-basso e passa-banda. Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 9 di 33

30 Correlazione e speri incrociai Dai due processi casuali e y si deinisce correlazione incrociaa la unzione: R y τ E[ + τ y ] che esprime la relazione saisica dinamica ra due segnali. la unzione di correlazione incrociaa non è più una unzione pari! proprieà: R τ R τ ; y R y τ E[ τ ] E[ y + y y τ ] Ry τ R 0 R 0 y ma yy R ; Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 30 di 33

31 Dalla rasormaa di Fourier della unzione di correlazione incrociaa deiniamo lo spero incrociao come: poichè τ y y + jπ τ Ry τ e dτ R non è più una unzione pari, in generale, unzione complessa di. y è una e e y sono rispeivamene l ingresso e l uscia di un sisema lineare e invariane possiamo ricavare la relazione ra lo spero incrociao y e lo spero di ingresso. R y τ E + τ h α α dα Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 3 di 33

32 τ α α α τ τ π d e d h j y E + scambiando l ordine di inegrazione [ ] + τ α τ α α α π τ π α π d e e d h e j j j y E * H H y y Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 3 di 33

33 Bibliograia... [] Andrea De Marchi, Leizia Lo Presi, Incerezze di misura, CLU, 993. [] Pro. Gian Viorio Palloino, Appuni dal corso egnale/rumore, Doorao di Ricerca in Fisica, Universià degli udi di Roma La apienza, Giugno 998. [3] Van der Ziel, Noise: sources, characerizaion, measuremen, Prenice-hall,Englewood Clis, 970. [4] M.J. Buckingham, Noise in elecronic devices and sysems, John Wiley & Hellis Horwood, 983 [6] A. Ambrozy, Elecronic noise, Mc Graw Hill, 98 [7] N. Gersheneld, he Physics o Inormaion echnology, Cambridge,000 [8] Corso egnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 007 Pagina 33 di 33