Terza lezione: Processi stazionari

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1 Teoria dei processi casuali a empo coninuo Terza lezione: Concei inroduivi Il conceo di sazionarieà Sazionarieà in senso lao Esempi e modelli 005 Poliecnico di Torino 1

2 Concei inroduivi Significao di sazionarieà I processi sazionari rappresenano una classe molo imporane di processi casuali Consenono di modellare molo bene i fenomeni di regime Iniziamo con alcuni concei inroduivi Poliecnico di Torino

3 Concei inroduivi (1/3) Consideriamo K resisenze ue uguali e alla sessa emperaura N() n 1 ( ) n 1 ( ) n ( ) n ( ) n 3 ( ) n 3 ( ) 5 Concei inroduivi (/3) n 1 ( ) n ( ) n 3 ( ) N() N 1 = N( 1 ) N = N ( ) 1 Se nulla cambia da 1 1 a ci aspeiamo che le due variabili casuali N1 e N N abbiano le sesse caraerisiche saisiche Poliecnico di Torino 3

4 Concei inroduivi (3/3) n 1 ( ) N() N1 N N3 N n ( ) Se nulla cambia nel empo ci aspeiamo che le relazioni saisiche nella coppia N1 N 1 e N N siano uguali a quelli della coppia N3 N 3 e N4, N4 essendo uguale il riardo ra le due variabili di ciascuna coppia 7 Il conceo di sazionarieà 005 Poliecnico di Torino 4

5 Sazionarieà del I ordine () è sazionario del primo ordine se f (;) x = f ( x) + m = + ( ) xf ( x; ) dx = m σ ( ) = ( x m ) f ( x; ) dx = σ Media cosane Varianza cosane 9 Sazionarieà per la media () è sazionario per media se m () = m Aenzione! Non implica.. f ( x; ) = f ( x) Poliecnico di Torino 5

6 Sazionarieà del II ordine Un processo () è sazionario del secondo ordine se (, ;, + ) = (, ; ) f x x f x x i j i j i j n 1 ( ) N() N1 N N3 N4 1 = = 3 + n ( ) 11 Sazionarieà del I e del II ordine Secondo ordine: (, ;, + ) = (, ; ) f x x f x x i j i j i j implica Non implica Primo ordine: f (;) x = f ( x) Poliecnico di Torino 6

7 Sazionarieà per l auocorrelazione Un processo () è sazionario per l auocorrelazione se (, + ) = ( ) R R i j n 1 ( ) N() N1 N N3 N4 1 = = 3 + n ( ) 13 Sazionarieà del II ordine e per l ACF Secondo ordine: (, ;, + ) = (, ; ) f x x f x x i j i j i j implica Non implica Per l auocorrelazione: (, + ) = ( ) R R i j Poliecnico di Torino 7

8 Sazionarieà in senso sreo 1/ Un processo casuale è deo sazionario in senso sreo se le sue proprieà saisiche sono invariani per raslazione dell asse emporale 15 ω (; 1) 1 3 Sazionarieà in senso sreo / ' 1 ' ' 3 ω (; ) Poliecnico di Torino 8

9 Sazionarieà in senso lao Processo sazionario in senso lao Un processo è sazionario in senso lao se è sazionario per la media m ( ) = m e per l auocorrelazione (, + ) R ( ) R i j = Noo con la sigla WSS (Wide Sense Saionary) Poliecnico di Torino 9

10 Varie forme di sazionarieà Secondo ordine: (, ;, + ) = (, ; ) f x x f x x i j i j i j Primo ordine: f ( x ; ) = f ( x) m ( ) = m (, + ) R ( ) R i j = La sazionarieà del secondo ordine implica la sazionarieà in senso lao. Non vale il viceversa 19 Varianza di un processo WSS { ( )} ( ) ( ) Ε = R (, + ) = R (0) ( ) = Ε ( ) { } σ =Ε m = 0 { } m = R 0) m σ σ = cosane ( Poliecnico di Torino 10

11 Proprieà dell ACF di un processo WSS (1/5) ( ) R è una funzione pari dimosrazione: R è una funzione pari. Infai possiamo scrivere x () x dove si è poso { } { ( 0) ( 0 )} { } R () = E () ( + ) = E = E ( ) () = R ( ) 0 = x 1 Proprieà dell ACF di un processo WSS (/5) ( ) { ( )} R ha un massimo assoluo nell origine pari a Ε dimosrazione: definiamo ovviamene Y( ) = () ± ( + ) EY { ()} Poliecnico di Torino 11

12 Proprieà dell ACF di un processo WSS (3/5) Per dimosrare che R ( x è un massimo si consideri il processo ( ) Y ) = () ± ( + ) Ovviamene EY { ()} 0 da cui {[ ]} [ 0 E () ± ( + ) { ()] [ ( )] [ () ( ) ]} = E + + ± + { ()} { ( ) } { () ( ) } = E + E + ± E + 3 Proprieà dell ACF di un processo WSS (4/5) Essendo si oiene E E R x { ()} = { ( + )} = (0) R (0) ± R () x x cioè R ( ) R (0) x x Poliecnico di Torino 1

13 Proprieà dell ACF di un processo WSS (5/5) Indipendenza asinoica Nel caso di processi casuali che modellano fenomeni fisici, due variabili casuali () ( + ) molo lonane ( ) endono ad essere indipendeni. Perano { } { } { } lim R ( ) = lime () ( + ) = lime ()E ( + ) = m 5 Processi WSS e non Media non cosane (no WSS) Auocorrelazione non cosane (no WSS) Varianza non cosane (no WSS) Porebbe essere WSS Poliecnico di Torino 13

14 Segnali persiseni 1 e hanno la sessa media e la sessa varianza, anche per L auocorrelazione non dipende da Ogni realizzazione mosra una cera regolarià I segnali non si esinguono I processi WSS modellano generalmene fenomeni di regime () 1 7 Modelli di fenomeni di regime Modello () misura Poliecnico di Torino 14

15 Membri a poenza media finia x 1( ) x 1( ) è un segnale a poenza media finia E ( x ) 1 P ( x 1) < 9 Esempi e modelli 005 Poliecnico di Torino 15

16 Esempio: sinusoide con fase casuale ( ) π 0 ; Φ = sin( f+φ) ( ;Φ) f Φ (ϕ) π π ϕ 31 Media e auocorrelazione (1/) Già calcolai in precedenza! f Φ (ϕ) 1 π + π 1 E { ( ; Φ )} = sin( π f+ ϕ)dϕ = 0 0 π π π π ϕ Media cosane 1 R ( 1; ) = cos( π f0( 1 )) Poliecnico di Torino 16

17 Media e auocorrelazione (/) ( ;Φ) 1 R ( 1; ) = cos( π f0( 1 )) 1 = 1 + R 1 ( ) = cos( 0 ) πf { ( ; Φ) } 0 E = Processo WSS 33 Processo gaussiano sazionario (1/) () Riprendiamo la definizione di processo gaussiano = [,,, ] x = [ x x, x,, ] 1, 3 n = [ 1,, 3,, n ] m= L 1, 3 x n [ m m, m,, ] 1, 3 m n Marice di covarianza con elemeni λ ij = E {( m)( m )} i i j j f( x; ) = ( π ) 1 n/ del exp T 1 [ ( x m) L ( x m)/] Poliecnico di Torino 17

18 Processo gaussiano sazionario(/) Ricordiamo la densià di probabilià di ordine n f( x; ) = ( π ) 1 exp n/ del [ ( x m) T L 1 ( x m)/] λ = R, ) E{ ( )} E{ ( )} m = E{ ( )} ij ( i j i j Se () è WSS i i λ ij = R ( ) m Un processo gaussiano WSS è anche sazionario in senso sreo mi = m(cosane) 35 Processi WSS a media nulla Molo spesso si usano modelli a media nulla. σ = σ = = R 0 { 0 ( ) } ( 0) =Ε = 0 0 ( ) = 0 ( ) m + ( ) Processo a media nulla m Poliecnico di Torino 18