Teoria dei processi casuali a tempo continuo. Seconda lezione: Medie statistiche

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1 Teora de process casual a tempo contnuo Seconda lezone: Valore medo e autocorrelazone Esemp Valor med de process Quas Determnat (QD) 005 Poltecnco d Torno

2 Valore medo e autocorrelazone e valore atteso Consentono d dare una descrzone semplfcata del processo (t). Sono anche chamat ndc statstc S basano sul concetto d valore atteso d una varable casuale (o d una sua funzone) = t ( ) Y = g ( ) E{ Y } = E { g ( ) } = gxf ( ) ( xt ; )dx Poltecnco d Torno

3 Mede lnear e quadratche Introdurremo: valore medo statstco autocorrelazone autocovaranza (e varanza) coeffcente d correlazone Comncamo a consderare process real 5 Meda (valore medo statstco) x, t x, x,3 Meda artmetca x,+ x,+ x,3 m = = = = n generale m N = x, N = Poltecnco d Torno 3

4 Dalla meda artmetca alla meda statstca x, t x, x,3 m N = x, N = t t ( ) ( ; ) m t = xf xt dx Valore atteso { ( t) } m ( t) Ε = 7 Esempo d meda t t m ( t ) 0 ( t ) 0 m Poltecnco d Torno 4

5 Autocorrelazone ( t) t τ t t t R ACF: Autocorrelaton functon ( t, t) = ( t) ( t) ( t ) ( t τ ) { } { } Ε = =Ε + t t 9 ( t) Autocovaranza t τ t t t K ( t, t) = ( ) ( ) { t m( t) t m( t) } Ε t t Poltecnco d Torno 5

6 Autocovaranza e varanza ( t) t τ t t t Se t = t coè τ = 0 K ( t, t) = { ( ) } σ Ε t m ( t ) = ( t ) Varanza del processo t t σ = σ t ( ) (Varable casuale) Varanza d Defnzon per process compless ACF * { } R ( t, t ) = E ( t) ( t ) Autocovaranza { { } { } } * K ( t, t ) = E ( t ) E ( t ) ( t ) E t ( ) 005 Poltecnco d Torno 6

7 Esemp Esempo d varanza(/) Sensor ssmc (t) Poltecnco d Torno 7

8 Esempo d varanza (/) (t) m ( t) = 0 ( ) σ σ t = Varanza pccola t t ( ) σ σ t = Varanza grande 5 Esempo d meda e varanza t t σ ( t ) = σ ( t ) Varanza costante m (t) crescente Poltecnco d Torno 8

9 Coeffcente d correlazone ρ ( t, t ) = { t t } { t } { t } E ( ) ( ) E ( ) E ( ) σ ( t ) σ ( t ) 7 Il processo gaussano e le sue mede (/) (t) Rprendamo la defnzone d processo gaussano =,,, x= x x, x,, [ ] [ ], 3 n t = [ t t t t,, 3,, t n ] m= L, 3 x n [ m m, m,, ], 3 m n Matrce d covaranza con element λ j = E {( m )( m )} j j f( x; t) = ( π ) n/ detl exp [ ( x m) T L ( x m)/] Poltecnco d Torno 9

10 Il processo gaussano e le sue mede (/) Esamnamo n dettaglo la denstà d probabltà d ordne n f( x; t) = ( π ) exp n/ detl T [ ( x m) L ( x m)/] λ j = E {( m )( m )} j j m= { m m, m,, }, 3 m n { } { } j = R ( t, t j) E ( t) E ( t j) m = E ( t) La denstà d probabltà d ordne n dpende soltanto dalle mede lnear e quadratche λ { } 9 Valor med de process Quas Determnat (QD) 005 Poltecnco d Torno 0

11 d process QD ( ) t; Φ = gt (; ) Rcordando la defnzone d valore atteso: E { ( t; Φ )} = E { gt (; ) } = gt (; ) fφ( )d { ( t ) ( t )} E { gt ( ; ) gt ( ; ) } E ; Φ ; Φ = = = = gt ( ; ) gt ( ; ) fφ( )d E{.} d un seno con fase casuale (/) Valore medo statstco: ( ) π 0 t; Φ = sn( ft+φ) f Φ () π { ( )} { } 0 E t; Φ = E gt (; Φ ) = sn( π ft+ ) f ( )d Φ 005 Poltecnco d Torno

12 E{.} d un seno con fase casuale (/) { ( )} { } 0 E t; Φ = E gt (; Φ ) = sn( π ft+ ) f ( )d f Φ () Φ Area untara π π E { ( t; Φ )} = E { gt (; Φ )} = sn( π ft 0 + )d = 0 π 3 ACF d una snusode con fase casuale (/3) ( ) π 0 t; Φ = sn( ft+φ ) f Φ ( ) π π { ( ) ( )} { } R ( t, t ) = E t ; Φ t ; Φ = E gt ( ; Φ) gt ( ; Φ ) = sn( πft + )sn( π ft + ) f ( )d 0 0 Φ Poltecnco d Torno

13 ACF d una snusode con fase casuale (/3) R ( t ; t ) = sn( π ft + )sn( π ft + ) f ( )d 0 0 = sn( π ft + )sn( π ft + )d 0 0 π = cos( π f0( t t))d cos( π f ( t + t ) + )d 0 Φ f Φ ( ) π π (contnua) 5 ACF d una snusode con fase casuale (/4) R ( t, t) = cos(πf0( t t))d cos(πf0( t + t) + )d cos( β + ) Poltecnco d Torno 3

14 ACF d una snusode con fase casuale (/4) R ( t, t) = cos(πf0( t t))d cos(πf0( t + t) + )d cos(π f0( t t)) π f Φ () π π = d cos( β + ) 7 ACF d una snusode con fase casuale (3/4) R ( t, t) = cos(πf0( t t))d cos(πf0( t + t) + )d cos(π f0( t t)) π f Φ () π π = d cos( β + ) cos( β π ) cos(β) cos( β ) π Area nulla Poltecnco d Torno 4

15 ACF d una snusode con fase casuale (4/4) R ( t, t) = cos(πf0( t t))d cos(πf0( t + t) + )d cos(π f0( t t)) π f Φ () π π = d cos( β + ) cos( β π ) cos(β) cos( β ) π Area nulla R ( t, t) = cos(π f0( t t)) Poltecnco d Torno 5