1 Le equazioni per le variabili macroscopiche: i momenti dell equazione di Boltzmann

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1 FISICA DEI FLUIDI Lezone 5-5 Maggo 202 Le equazon per le varabl macroscopche: moment dell equazone d Boltzmann Teorema H a parte, non è facle estrarre altre consderazon general sulla funzone denstà d probabltà dell equazone d Boltzmann. Un approcco molto nteressante tuttava consste nel consderare moment d tale equazone. Attraverso lo studo dell ntegrale d collsone, s è verfcato che una costate (la massa), la quanttà d moto mv, e l energa cnetca mv 2 /2, sono nvarant d urto. Vsto che tal quanttà non sono nente altro che prm tre moment dell equazone d Boltzmann, qu c proponamo d trovare le equazon d evoluzone per queste osservabl macroscopche. Dunque no scrveremo le equazon d conservazone per le suddette osservabl macroscopche, legate alle funzon d dstrbuzone nel seguente modo: ρ(x, t) = f(v)dv vf(v)dv < v(x, t) > = = vf(v)dv, () f(v)dv ρ v < v(x, t) 2 2 f(v)dv > = = v 2 f(v)dv f(v)dv ρ Scrvamo dunque un equazone d evoluzone per una quanttà conservata. Per fare cò s moltplca l equazone d Boltzmann per la φ(v) e s ntegra rspetto a v. φ(v ) f(v ) dv + φ(v )v f(v ) dv = x (2) φ(v )(f(v )f(v 2) f(v )f(v 2 )) V n ds 2 dv 2 dv m S + 2 Per quanto vsto precedentemente, se φ è un nvarante d urto, allora l secondo membro, l ntegrale d collsone, è dentcamente nullo. Consderamo l prmo termne a prmo membro della (2) e rscrvamolo come (possamo evtare d scrvere la dpendenza da v n quanto non c e ambgutà): φ f dv = φfdv φ(v) (ρ < φ >) ρ < > f φ dv = Rcordamo che, anche se non detto esplctamente l nvarante d urto è nel caso generale una funzone d φ(v, x) e ndpendente dal tempo, qund l ultmo termne è nullo. Consderamo ora l secondo termne nella (2): φv f x dv = x φvfdv (3) fv φ x dv = φ (ρ < φv >) ρ < v x x > (4)

2 Sosttuendo quest rsultat nella (2) s ottene: φ (ρ < φ >) + (ρ < φv >) ρ < v >= 0 (5) x x Può rsultare pù utle a volte scrvere l equazone n forma tensorale: (ρ < φ >) + φ (ρ < φv j >) ρ < v j >= 0 (6) x j x j dove s sono consderate le component d x = (x, x 2, x 3 ) e d v = (v, v 2, v 3 ). Eserczo: determnare l equazone d conservazone nel caso n cu c sano anche delle forze esterne. Partre dall equazone (7): (e) f(v ) + v f(v ) + F f(v ) = x m v (7) = N (f(v )f(v 2) f(v )f(v 2 )) V n ds 2 dv 2 S + 2 Assumere la forza ndpendente dalla veloctà e utlzzare l teorema d Gauss per rdurre uno degl ntegral sapendo che la funzone d dstrbuzone tende a zero quando le veloctà sono ± nfnto. Il rsultato che s ottene è: φ (ρ < φ >) + (ρ < φv >) ρ < v x x > ρ < F (e) φ >= 0 (8) m v. Equazone d conservazone della massa o d contnutà Consderamo la (8) e mettamo φ =, s ottene: ρ + (ρ < v >) = 0 (9) x Ora defnamo u =< v > come l vettore a tre component u = (u, v, w) Oppure scrvendo le component d u = (u, u 2, u 3 ) ρ + (ρu) = 0 (0) ρ + (ρu ) = 0 () x dove s è utlzzata la notazone per cu gl ndc dopp corrspondono ad una somma. Le tre equazon appena scrtte sono forme analoghe della legge d conservazone della massa.

3 .2 Equazone d conservazone della quanttà d moto Per ottenere l equazone d conservazone della quanttà d moto basta porre φ = v nella (6) ncludendo anche le forze esterne per ottenere: (ρ < v >) + (ρ < v v j >) ρ x j m F (e) = 0 (2) dove s è ndcato con F (e) =< F (e) > (la forza esterna è d tpo macroscopco) Il valore medo della veloctà è u =< v >; dunque s possono defnre le fluttuazon della veloctà (che sono quelle che contrbuscono all energa cnetca nterna del gas) come v = v u, dove ovvamente < v >= 0, ossa per defnzone, le fluttuazon d veloctà sono a meda nulla. Il flusso d quanttà d moto ρ < v v j > può essere rscrtto nel seguente modo: < v v j >=< (u + v )(u j + v j) >=< u u j + u v j + u j v + v v j >= u u j + u < v j > +u j < v > + < v v j >= u u j + < v v j > (3) Dunque l equazone d conservazone della quanttà d moto è data da: (ρu ) + Dove s è defnto l tensore degl sforz x j (ρu u j ) + x j τ j ρ m F (e) = 0 (4) τ j = ρ < v v j > (5) Il tesore degl sforz è smmetrco n quanto scambando con j non camba nulla e qund al posto d 9 component ne dobbamo calcolare solo 6. Nella fsca de flud s è solt, e po vedremo anche l perché, scrvere l tensore degl sforz come somma d due tensor, n cu l prmo ha solo gl element sulla dagonale prncpale e l altro nvece ha tracca nulla (ossa la somma degl element sulla dagonale prncpale è nulla): τ j = 3 τ kkδ j + (τ j 3 τ kkδ j ) = 3 τ kkδ j σ j (6) Qu τ kk = τ + τ 22 + τ 33 e evdentemente σ j = (τ j 3 τ kkδ j ). S dentfcherà po l prmo termne a secondo membro con la pressone: p = 3 ρ < v v + v 2v 2 + v 3v 3 >= 3 ρ < v 2 > (7) C sono alcune quanttà n fsca che, a dfferenza de vettor, necesstano pù delle 3 component per una descrzone completa. Infatt se s vuole defnre lo sforzo n un punto (forza per untà d superfce) è necessaro specfcare nove component. Queso s fa consderando una matrce 3 3 n cu cascun elemento è ndvduato da un lettera con due pedc j. Il prmo pedce ndca la drezone normale alla superfce sulla quale lo sforzo è consderato e l secondo ndce ndca la drezone nella quale lo sforzo agsce. I termn sulla dagonale sono gl sforz normale, mentre quell fuor dagonale sono gl sforz tangenzal o sforz d taglo

4 Il secondo tesore σ j, detto devatorco (a tracca nulla), è, come vedremo, quello responsable della sforz d taglo o vscos. L equazone d conservazone della quanttà d moto può dunque essere rscrtta nel seguente modo: (ρu ) + (ρu u j ) + τ kk δ j x j 3 x j σ j x j + ρ m F (e) = 0 (8) Utlzzando le propretà della δ s ottene: (ρu ) + (ρu u j ) + τ kk σ j x j 3 x x j ρ m F (e) = 0 (9) Rscrvamo tale equazone n modo dverso applcando le regole della dervata d un prodotto: ρ u + ρu + ρu u j ρ u + u u j + ρu j + x j x j x j 3 τ kk x σ j x j ρ m F (e) = 0 (20) Tale equazone può essere rscrtta con l auto dell equazone d contnutà. Moltplchamo nfatt ambo membr l equazone d contnutà per u, s ottene: u ρ + u u j ρ x j + u ρ u j x j = 0 (2) Dunque l prmo, l terzo e l quarto termne a prmo membro della (20) s annullano per avere l equazone: ( ) u ρ + u u j = τ kk + σ j + ρ x j 3 x x j m F (e) (22) S not che τ j, a cu no abbamo assegnato n modo pù o meno arbtraro l nome d tensore degl sforz, non è assolutamente noto n quanto esso è defnto come meda d ensamble del prodotto delle fluttuazon v v j e qund per per conoscerlo è necessaro conoscere la funzone d dstrbuzone e qund rsolvere l equazone d Boltzmann. 2 La necesstà d una chusura L equazone d conservazone della quanttà d moto (e quella dell energa) non rsulta un sstema chuso n quanto l tensore degl sforz è una ncognta del problema. Per conoscere questo tensore è necessaro effettuare l seguente ntegrale: ρ < v v j >= v v jfdv, (23) dove f è soluzone dell equazone d Boltzamnn. Dunque rsulta necessaro rsolvere prma l equazone d Boltzmann per poter avere nformazon macroscopche. La procedura da adottare è quella d Chapman-Enskog. Essa permette d trovare soluzon approssmate dell equazone d Boltzmann e consste nell nserre nell equazone d Boltzamnn una sere d potenza del tpo: f = ɛf (0) + ɛ 2 f () + ɛ 3 f (2) +... (24)

5 dove la quanttà ɛ << rappresenta l numero è d Knudsen, ossa l rapporto tra l lbero cammno medo e la scala macroscopche del problema n esame; le f () sono ncognte che vanno determnate analzzando l equazone per ogn potenza d ɛ. Se s consdera la soluzone all ordne zero, l equazone macroscopca della quanttà d moto corrsponde all equazone d Eulero, mentre la soluzone corretta al prmo ordne fornsce l equazone d Naver-Stokes. 2. Soluzone all ordne 0: L equazone d Eulero All ordne zero la soluzone dell equazone d Boltzmann corrsponde a quella d equlbro maxwellano. Infatt, per numer molto pccol d Knudsen, l sstema molto rapdamente s porta n equlbro locale. S not che le grandezze macroscopche possono dpendere dallo spazo e dal tempo. In ogn punto dello spazo la dstrbuzone è quella maxwellana, tuttava essa può dpendere da valor macroscopc dvers a seconda della coordnata spazale. Calcolamo dunque l termne ρ < v v j > supponendo che la f sa maxwellana: f (0) (v) = Be A(v u)2 (25) con A, B e u precedentemente calcolat. E facle verfcare che se j rsulta che: ρ < v v j >= v v jf (0) dv = 0 per j (26) ossa termn fuor dagonale del tensore degl sforz sono null. Calcolamo ora termn sulla dagonale prncpale. Utlzzamo la scomposzone (6) e calcolamo per esempo l seguente termne: 3 τ kk = ρ 3 < v v + v 2v 2 + v 3v 3 >= (v 3 v + v 2v 2 + v 3v 3)f (0) dv. (27) Utlzzando la (25), ed effettuando l ntegrale, è facle mostrare che 3 τ kk = ρk BT m = p, (28) ossa, s ottene propro la pressone termodnamca. Dunque all ordne zero, l equazone d conservazone della quanttà d moto rsulta essere: ( ) u ρ + u u j = p + ρ x j x m F (e) (29) Questa equazone prende l nome d equazone d Eulero. S not come nell equazone compaano la forze esterne d volume. References [] C. Cercgnan, Ludwg Boltzmann e la Meccanca Statstca, Percors della Fsca, 997 [2] S. Harrs, An ntroducton to the theory of the Boltzmann equaton, Dover, 97 [3] K. Huang, Statstcal Mechancs, John Wley and Sons 987