urto v 2f v 2i e forza impulsiva F r F dt = i t

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1 7. Urt Sstem a due partcelle Defnzone d urto elastco, urto anelastco e mpulso L urto è un nterazone fra corp che avvene n un ntervallo d tempo normalmente molto breve, al termne del quale le quanttà d moto de sngol corp nteragent sono n generale cambate. m v v f m urto v f v Se l sstema è solato la quanttà d moto totale deve necessaramente conservars. Per esprmere la forza che s svluppa su un corpo durante un urto (d durata t) convene ntrodurre l concetto d mpulso J r e forza mpulsva F r : r r dp J = r F dt = dt dt = p r = p r f p r t t Charamente, se l urto è dealmente stantaneo, t= e un mpulso fnto mplca una forza mpulsva nfnta. Ovvamente è un caso estremo, tuttava n pratca le forze mpulsve che s svluppano negl urt sono spesso notevolmente pù ntense rspetto ad altre forze che determnano l moto. Per esempo, forze elastche o gravtazonal non alterano apprezzablmente la quanttà d moto delle component d un sstema durante un urto dealmente brevssmo (se t= l mpulso d tal forze fnte è zero!). Urto elastco per un sstema solato: asseme alla quanttà d moto s conserva anche l energa meccanca del sstema. Urto anelastco per un sstema solato: vale solo la conservazone della quanttà d moto del sstema, mentre l energa totale può dmnure o aumentare.

2 Esempo: una massa m con veloctà nzale v urta una massa uguale nzalmente ferma. Supponendo l moto undmensonale, determnare l prodotto dell urto nel caso che: a) l urto sa elastco b) le due masse rmangano unte dopo l urto (prma) m v m x (dopo) v v x a) Bsogna mporre la conservazone dell energa e della quanttà d moto. Chamamo v e v le nuove veloctà delle masse dopo l urto, supponendole drette come quella nzale. Questo non togle generaltà alla soluzone, perchè un rsultato negatvo sgnfca semplcemente che n quel caso la veloctà è dretta n senso opposto. mv = mv + mv mv = mv + mv v = v v v =v + (v v ) La seconda equazone s rduce a =v v v e ha due soluzon: v = e v =v che corrsponde alla veloctà nzale (e mplca v =, come se l urto non fosse per nulla avvenuto!). Pertanto dopo l urto le masse s sono scambate le veloctà: v v = L mpulso subto dalla massa che s arresta è J = mv = mv, mentre quello subto dalla massa che s mette n moto è uguale e opposto. b) Basta mporre la conservazone della quanttà d moto per trovare la veloctà fnale del blocco costtuto dalle due masse m unte: mv = (m + m)v f v f / L mpulso subto dalla massa nzalmente n moto con veloctà v è J = mv / mv = mv /, mentre quello subto dalla massa nzalmente ferma è ancora uguale e opposto. S not che n questo tpo d urt l energa totale dmnusce:

3 E = K = mv f mv = 4 mv Nota: n generale la conservazone della quanttà d moto è un equazone vettorale, coè devono conservars separatamente le component del vettore quanttà d moto totale, prma e dopo l urto. Esempo: dmostrare che due masse m ugual che s urtano n un pano n manera elastca, lbere d muovers n qualsas drezone del pano, dopo l urto s muovono n drezon perpendcolar. prma p p dopo p Basta assumere un sstema d rfermento nerzale secondo l quale solo una delle due masse m s muove con veloctà v r e quanttà d moto p v = mv r. La condzone d urto elastco n questo caso mpone che r p = p r + p r p m = p m + p m avendo scrtto l energa cnetca n termn d quanttà d moto anzchè d veloctà. Sosttuendo la prma nella seconda: ( r p + r p ) = p + p p + p + p r p r = p + p da cu rsulta p r p r =, coè due vettor quanttà d moto fnal (e qund le veloctà) sono perpendcolar.

4 Esempo: due carrell d massa m sono aggancat medante una fune tesa, e s muovono a veloctà costante v su una rotaa orzzontale senza attrto. Fra d ess è posta una molla d costante elastca k compressa d una quantt x rspetto alla lunghezza d rposo. Determnare le nuove veloctà de carrell dopo che la fune s è spezzata. fune m k m () () v Essendo l sstema solato da forze esterne nella drezone del moto, s conserva senz altro la veloctà del CM (v ). Qund basta calcolare come è varata la veloctà de sngol carrell rspetto al CM. In base al teorema dell energa (ntervene solo la forza nterna elastca, conservatva): rcordando che K = mv cm + ( K + U nt )= m v, ed essendo costante l prmo termne ottenamo m v = U nt mv = kx v = k m x Questo è l modulo della veloctà d cascuna massa rspetto al CM, ugual e opposte n base a r m v = Infne, sarà v v e v + v. Qund carrell s allontanano l uno rspetto all altro a veloctà costante, mantenendo costante la veloctà del CM.

5 Urt con corp estes Fnchè l sstema all nterno del quale avvene l urto s può consderare solato dall esterno vale la conservazone della quanttà d moto e del momento angolare totale. Se l urto è pure elastco allora s conserva anche l energa cnetca. Le unche forze mpulsve sono pertanto quelle nterne al sstema. Esempo: una massa m con veloctà v urta l estremtà d un asta, nzalmente ferma, d massa trascurable con due masse ugual m a dstanza d. La massa ncdente rmane attaccata all asta dopo l urto. Determnare l moto del sstema dopo l urto (pano orzzontale lsco). Possamo subto stablre che la veloctà del CM resta costante, non essendoc forze esterne orzzontal: mv = 3mv cm v cm 3 Per sfruttare la conservazone del momento angolare, per esempo rspetto al punto fsso Q concdente con l estremo dell asta nzalmente ferma che vene urtato, convene calcolare la poszone del CM: x cm = md 3m = d 3 Possamo ora sfruttare l Teorema d Koeng ( conservazone del momento angolare rspetto a Q: = x cm ( m x cm )+ ( d x cm )[ m ( d x cm )] x cm 3mv cm avendo scelto come verso postvo per le rotazon quello oraro. Infne: d È possble verfcare che l energa cnetca è dmnuta dopo l urto. r L (Q ) = L r (cm) + r cm P r ) nseme alla

6 Urt n presenza d vncol reazon vncolar mpulsve Se l sstema non è pù solato dall esterno ma c sono vncol precs al movmento d alcune sue part, possono svluppars reazon vncolar mpulsve che agscono sul sstema dall esterno, mpedendo la conservazone della quanttà d moto. Esempo: due masse m sono attaccate alle estremtà d un asta lunga d che vene fatta scvolare (moto traslatoro) su un pano orzzontale senza attrto come n fgura, con veloctà v. Determnare la veloctà angolare d rotazone acqusta dall asta quando essa s è aggancata al perno Q. Determnare la reazone vncolare eserctata dal perno Q sull asta nel momento dell urto. S tratta d un urto anelastco, come verfcheremo alla fne. La presenza d una reazone vncolare esterna mpulsva mpedsce la conservazone della quanttà d moto, mentre s conserva senz altro l momento angolare rspetto a Q (momento nullo della forza mpulsva). Possamo scrvere: L (Q ) =costante dmv = dm( d) da cu /d. Qund la quanttà d moto totale del sstema non s conserva al termne dell urto: P = m( d) mv = mv Pertanto l perno Q svluppa sull asta una forza mpulsva dretta verso snstra, J = P = mv. L energa del sstema è dmnuta: K = m ( d ) mv = mv