Quantità di moto. F tavola ragazzo

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1 Quanttà d moto Consderamo un ragazzo su uno skateboard mentre cade. La forza peso gestsce l moto erso l basso durante la caduta, Lungo la drezone orzzontale aremo nece che: Mentre l ragazzo cade spnge n aant lo skateboard Lo skateboard per la terza legge d Newton reagsce con una spnta uguale ed opposta sul ragazzo. N La forza rsultante sul pano orzzontale del sstema ragazzo-skateboard è nulla F taola ragazzo Come s spega l moto orzzontale? F ragazzo taola Sa l ragazzo che lo skateboard acqustano energa cnetca che però non può essere spegato con una arazone d energa potenzale gratazonale. Per comprendere questo tpo d moto bsogna ntrodurre una nuoa grandezza fsca: La QUANTITÀ DI MOTO p L ragazzo L taola

2 Quanttà d moto(1) p Nuoa grandezza : la quanttà d moto Ø La quanttà d moto d un corpo d massa m è un ettore par al prodotto della ettore eloctà moltplcato per la massa del corpo stesso p = m Ø La quanttà d moto ha stessa drezone e erso del ettore eloctà Ø Questa grandezza racchude n sé sa le propretà d moto del corpo (tramte la eloctà ) che d resstenza alla modfca d tale moto (tramte la massa m). Ø La quanttà d moto ha un sgnfcato pù generale della massa o della eloctà prese sngolarmente, e dstngue tra corp d masse derse che s muoono con stessa eloctà. Ø Le dmenson della quanttà d moto sono [M][L][T] -1 e l untà d msura è kg m/s Ø La quanttà d moto d un corpo spesso è chamata momento del corpo Ø Se l corpo s muoe n una drezone qualsas dello spazo, p s può descrere medante le sue tre component lungo x,y e z: p = p x î + p y ĵ + p z ˆk doe: p x = m x # " p y = m y # $ # p z = m z

3 Quanttà d moto(2) La quanttà d moto permette d defnre la seconda legge d Newton n una forma generalzzata. La forma che abbamo sto : F = m a ale nfatt solo nel caso n cu m rmanga costante. Rformulando questa legge medante la quanttà d moto, s ncludono anche cas un cu m ara. Legge d Newton generalzzata: La arazone della quanttà d moto d un corpo nell untà d tempo (coè la derata temporale della quanttà d moto) è proporzonale alla rsultante delle forze ad esso applcata ed ha la stessa drezone F = d p Forma generalzzata della 2 legge d Newton La quanttà d moto d una partcella ara se su d essa è applcata una forza rsultante non nulla Se la rsultante delle forze agent su corpo è nulla la quanttà d moto del corpo rmane costante (s consera): Se: F = 0 d p = 0 p = costante

4 Quanttà d moto(3) Naturalmente se m è costante la forma pù generale della seconda legge d Newton s rduce alla ben nota equazone ΣF=ma F = d p = d ( m ) = dm + m d = m d = m a 0 F = m a Ø Il concetto d quanttà d moto è partcolarmente mportante quando applcato ad un sstema costtuto da pù corp Ø S edrà nfatt che se la forza totale agente sul sstema è nulla la quanttà d moto del sstema s consera. Ma come s applca l concetto d quanttà d moto ad un sstema costtuto da due o pù partcelle? Descrzone de sstem d partcelle n termn d forze applcate

5 Sstem d punt materal -Forze nterne ed esterne P F j F = j F j P j F j Ø Consderamo un sstema d punt materal, nteragent tra loro e con l resto dell unerso. Ø In generale su cascun punto agranno forze eserctate dagl altr punt materal costtuent l sstema I Se F E sono forze nterne ed F sono le forze esterne agent sul sstema La forza agente sul sngolo punto j e data dalla rsultante d tutte le forze agent: F j = I F + nj n k F E k Somma d tutte le forze nterne agent sulla partcella j-sma Somma d tutte le forze esterne agent sulla partcella j-sma Ø Per le forze nterne ale l prncpo d azone e reazone: per ogn forza nterna esste un altra forza nterna tale che a coppe s annullno.

6 Sstem d punt materal -Forze nterne ed esterne F j = + F nj Ø Se s consdera la rsultante d tutte le forze agent su tutt punt d un sstema: j Ø Le forze nterne s annullano a coppe qund: n F j = La rsultante delle forze agent su un sstema è par alla rsultante delle sole forze esterne k F k E F = F I + F E Somma d tutte le forze INTERNE agent sul sstema F = F E TOT F I = 0 Somma d tutte le forze INTERNE agent sul sstema Un sstema per l quale la rsultante delle forze esterne agent su d esso è nulla s dce ISOLATO F E = 0 Sstema solato Un sstema che non scamba massa con l esterno s dce CHIUSO

7 Quanttà d moto d un sstema solato In un sstema solato, costtuto da due o pù partcelle la quanttà d moto totale P del sstema s consera: Dmostrazone: Consderamo un sstema costtuto da due partcelle d massa m 1 ed m 2 che nteragscono tra d loro. L nterazone tra due corp aene medante una coppa d forze F e F 21 ugual ed opposte : F E = 0 F 12 = F 21 P = p F 21 + F 12 = 0 = Costante 12 Per l secondo prncpo della dnamca questa relazone s può rscrere: m 1 a1 + m 2 a2 = 0 m 1 d 1 + m 2 d 2 = 0

8 Quanttà d moto d un sstema solato (2) Se la massa delle due partcelle rmane costante nel tempo s può trasformare la somma d derate n una derata della somma: m 1 d 1 + m 2 Ma: Qund : S ha che: d( m 1 ) 1 d( m m 2 2 ) + d m 2 ( ) 2 P = d ( p 1 + p 2 ) = 0 = d P = 0 d( m m 2 ) 2 = 0 = quanttà d moto totale del sstema solato In un sstema solato la quanttà d moto totale del sstema s consera d 2 = 0 m m 2 2 = p 1 + p 2 = P F E = 0 d P = 0 P = costante

9 Esempo dell arcere Un arcere d massa m A = 60kg è fermo su un blocco d ghacco ( assenza d attrto) e tra una frecca d massa m F = 0.50 kg orzzontalmente a 50m/s. L arcere comncerà a muoers mmedatamente dopo l lanco? Se sì, con quale eloctà? Questo eserczo può essere solto solo utlzzando la conserazone della quanttà d moto del sstema ARCIERE-FRECCIA Il sstema n realtà non è solato n quanto sa sulla frecca che sull arcere agsce la forza gratazonale e la normale. Queste forze però sono perpendcolar al moto del sstema. Non esstono qund forze esterne che agscono lungo l asse orzzontale e possamo consderare l sstema solato lungo tale drezone. La quanttà d moto totale del sstema P x lungo la drezone orzzontale (data dalla somma della quanttà d moto dell arcere p Ax con la quanttà d moto della frecca p Fx ) s dee conserare: P = p Ax + p Fx = m A Ax + m F Fx = costante Poché prma del lanco la quanttà d moto del sstema era nulla anche dopo l lanco essa dorà rsultare nulla, qund, dopo l lanco l arcere s dorà muoere n modo da compensare con la sua quanttà d moto la quanttà d moto della frecca: m A A + m F F = 0 P x = m A A + m F F = m A Af + m F Ff = costante m A Af + m F Ff = 0 Af = m F m A Ff = 0.42m s

10 URTI ED IMPULSO- Introduzone Ø Gl urt sono eent comun nella ta quotdana.. Esemp: Una racchetta da tenns che colpsce una pallna, due palle da blardo che s scontrano, un martello che batte sul chodo, un proettle che s confcca n un pezzo d legno Ø L urto è assocato sempre ad un nterazone fra corp conolt molto pù olenta d qualsas forza esterna agente al momento dell urto stesso Ø Nella descrzone dell urto (nell arco d tempo racchuso nel bree nterallo dell urto stesso) s possono qund gnorare gl effett d tutte le forze esterne e focalzzars solo sulle ntense forze d nterazone che danno ta all eento Ø Le forze d nterazone responsabl dell urto partono da un alore nullo (stante prma dell urto) ad un alore molto grande n un tempo molto bree (dell ordne de mcrosecond) per po rtornare a zero. Ø S ntroduce una nuoa grandezza n grado d tener conto dell ntenstà della forza d nterazone ed l tempo durante l quale essa agsce => IMPULSO

11 Impulso e quanttà d moto Abbamo sto che se su una partcella agsce una forza rsultante sua quanttà d moto ara. F tot = d p d p = F tot F tot non nulla la Varazone nfntesma d p nell nterallo nfntesmo d tempo Integrando entramb membr s ottene la arazone della quanttà d moto nell nterallo d tempo Δt=t f -t : d p = F tot f L ntegrale della forza rspetto al tempo è defnto IMPULSO DELLA FORZA I = t f t d p = p f p = Δ p F tot = Δ p L mpulso è l ettore che rappresenta la arazone della quanttà d moto aenuta nell nterallo d tempo Δt. Quando la forza applcata è costante (nel tempo) l mpulso è dato semplcemente dal prodotto della forza per l nterallo d tempo n cu essa è applcata Se F tot =costante I = F tot Δt = Δ p = t f t F tot Impulso della forza F tot I

12 Forze mpulse ed urt Approssmazone dell Impulso: Ø In molte stuazon s può assumere che una delle forze agent su una partcella agsca per un bree nterallo d tempo, ma che n tale nterallo sa molto pù ntensa delle altre. Ø In questa approssmazone s può trascurare l contrbuto all mpulso da parte delle altre forze agent e la arazone d quanttà d moto della partcella sarà determnata dall mpulso della sola forza domnante. Ø Negl urt tra partcelle s assume che la mutua nterazone tra le partcelle nell urto sa molto pù ntensa d tutte le forze esterne. Ø L urto può essere douto ad un contatto fsco tra due corp (aldo solo a lello macroscopco) o ad un nterazone molto ntensa che non preede l contatto fsco ( urto a lello mcroscopco) Ø Quando due partcelle d massa m 1 ed m 2 s urtano (consderamo queste due partcelle come un sstema solato), la loro quanttà d moto totale s consera nfatt: se Δ p 1 e Δ p 2 sono le arazon dell mpulso delle due partcelle durante l urto: Δ p f doe 1 = F 21 Δ p f 2 = F 12 F 12 = F21 Δp 1 = Δp2 Δp p1f p 1 + p 2f p 2 = Δp2 = 0 P P = f = cost % % + p 2 $ #" % % p1 f p f $#" p1 = + 2 % % P Pf La quanttà d moto totale del sstema costtuto dalle due partcelle s consera

13 Urt Abbamo appena sto che negl urt s consera la quanttà d moto del sstema, n generale però NON s consera l energa cnetca. Propro n funzone del comportamento dell energa cnetca gl urt engono dfferenzat n tre categore: Ø Urt elastc ne qual s consera anche l energa cnetca del sstema ΔT=0 Ø Urt anelastc ne qual NON s consera l energa cnetca del sstema ΔT 0 Ø Urt perfettamente anelastc ne qual NON s consera l energa cnetca del sstema (ΔT 0) ed corp dopo l urto rsultano unt l uno all altro e s comportano come un sngolo corpo d massa m 1 +m 2 DA RICORDARE: Mentre la quanttà d moto s consera n tutt tp d urt, l energa cnetca s consera solo negl urt elastc

14 Urt elastc (non c è dsspazone d energa cnetca) Consderamo due partcelle d massa m 1 ed m 2, che s muoono lungo una retta con eloctà nzal 1 e 2, urtano ed escono dall urto con eloctà fnal 1f e 2f Nell urto elastco s conserano sa la quanttà d moto totale del sstema che l energa cnetca. algono qund le relazon: Conserazone della quanttà d moto Conserazone dell energa cnetca m1 1 + m 2 2 = m 1 1f + m 2 2f 1 2 m m 2 = m 1 1 f m f da cu s può rcaare che: 1 + 1f = 2f + 2 Ed anche: " 1f = m m 1 2 $ # m 1 + m 2 % " ' 2m & $ # m 1 + m 2 % ' 2 2f = & 2m 1 # " m 1 + m 2 $ & + m m % # " m 1 + m 2 $ & 2 % NB: le eloctà possono essere poste negate o nulle

15 Dmostrazone per Urto frontale: m1 1 + m 2 2 = m 1 1f + m 2 2f 1 2 m m 2 = m 1 1 f m f Sosttuendo * n s ottene: m 1 m 1 m 1 * ( 1 1f ) = m 2 ( 2 2 f ) ( 2 ) 2 = m f ( f 1 ) 1f + 1 1f ( ) ( ) = m ( )( ) f 2 2 f m 2 ( 2 )( 2f + ) = m ( 1 1f )( ) ( f ) = ( 1f + ) 2 2 f f 2f = 1 + 1f 2 Sosttuendo l espressone per 2f nell equazone della conserazone della quanttà d moto s ottene la eloctà fnale della prma partcella n funzone delle masse delle due partcelle, della sua eloctà nzale e della eloctà nzale della seconda partcella m m 2 2 = m 1 1f + m 2 1f + m 2 1 m 2 2 ( m 1 + m 2 ) 1f = m 2 m 1 ( ) 1 + 2m 2 2 1f = m m 1 2 m 1 + m 2 Con un dscorso analogo s troa la eloctà fnale della seconda partcella: 2f = m m 2 1 ( ) ( ) 2m ( m 1 + m 2 ) 2 ( ) ( m 1 + m 2 ) 2m ( m 1 + m 2 ) 1

16 Urt elastc- qualche caso partcolare " 1f = m m % " 1 2 $ # m 1 + m ' + 2m % 2 1 $ 2 & # m 1 + m ' 2m $ 2 2f = 1 # 2 & " m 1 + m & + m m # 2 % " m 1 + m 2 $ & 2 % Ø Se m 1 =m 2 Ø Se la partcella 2 è nzalmente n quete Ø Se m 1 >>m 2 e 1f = = 0 1f 1 2f 2 1 2f = 1 In un urto frontale tra due partcelle ugual queste s scambano la eloctà 2 = 0 " 1f = m m % 1 2 $ # m 1 + m ' 1 2 & 2m $ 2f = 1 # " m 1 + m & 1 2 % Se una massa molto pesante urta una massa leggera nzalmente ferma, la pallna molto pù pesante prosegue pressochè ndsturbata l suo moto mentre la massa pù pccola rmbalza con eloctà doppa rspetto a quella nzale della partcella pesante Ø Se m 2 >>m 1 e 2 = 0 1f 1 2f 0 Se una massa molto leggera urta una massa molto pesante nzalmente ferma, la pallna leggera nerte la sua drezone mantenendo costante la sua eloctà mentre quella pesante rmane ferma

17 Urto perfettamente anelastco Consderamo due partcelle d massa m 1 ed m 2, che s muoono lungo una retta con eloctà nzal 1 e 2 Dopo un urto perfettamente anelastco tra le due partcelle esse rsultano fuse nseme e s muoono con una stessa eloctà fnale La quanttà totale del sstema s consera: f P = costante p 1 + p 2 = p f m m 2 2 = ( m 1 + m ) 2 f f = m m 2 2 m 1 + m 2 Conoscendo le eloctà nzal delle due partcelle è possble calcolare la eloctà fnale comune

18 Sstema d punt In generale, per determnare completamente l moto d un sstema costtuto da n punt materal, s dee rsolere un sstema d 3n equazon. Abbamo nfatt che: Il moto del sstema errà descrtto da n equazon ettoral (una per cascun punto): m j a j = F j con j=1,n Ed ognuna d queste equazon ettoral può essere rscrtta come tre equazon lungo x,y,z: m j a jx = F jx m j a jy = F jy m j a jz = F jz j = 1,n Defnamo allora per cascun punto -smo le seguent grandezze: Poszone: r eloctà Accelerazone: a = F m quanttà d moto Momento Angolare: L = r m energa cnetca p = m T = 1 2m 2 Per l sstema complesso d punt defnamo noltre: Quanttà d moto totale del sstema P = p = m Momento angolare totale del sstema L = = r m Energa cnetca totale del sstema L 2 T = = 1 2m T

19 Sstema d punt La quanttà d moto è uno strumento molto utle non solo per analzzare gl urt, ma anche per studare l moto traslatoro d oggett estes (coè con dmenson defnte) Fnora abbamo sempre applcato l approssmazone degl oggett a partcelle puntform che qund fossero soggette solo a mot traslator. I corp nella realtà possono essere sottopost sa a mot traslator che a mot rotator (anche n contemporanea) Descrere l moto d un corpo esteso o d un sstema d punt può qund rsultare molto complcato dato che ogn punto del corpo s muoe n manera dfferente dagl altr seguendo traettore dfferent Consderamo per esempo una mazza da baseball che ene lancata roteando n ara. Benché l moto sa complcato e dfferente per cascuna parte della mazza esste un punto della mazza che s muoe come se n esso fosse contenuta tutta la massa della mazza e come se tutte le forze esterne agssero su tale punto => moto parabolco

20 Centro d massa d un sstema S defnsce CENTRO DI MASSA d un corpo o d un sstema d corpo l punto che s muoe come se tutta la massa fosse contenuta n esso e come se tutte le forze esterne agssero su d esso Dal punto d sta matematco: S defnsce Centro d Massa d un sstema d punt materal l punto geometrco la cu poszone è ndduata dal raggo ettore r cm che dentfca la poszone meda pesata n funzone delle masse: r = cm m r = m 1 m r 1 +m 2 r2 +m 3 r3 +m 4 r m n rn m 1 +m 2 +m 3 +m m n NB: Pù un punto del sstema ha massa grande pù sposta erso d se l centro d massa

21 doe r cm = r r cm m r = m 1 m = x Centro d Massa r 1 +m 2 r2 +m 3 r3 +m 4 r m n rn m 1 +m 2 +m 3 +m m n ˆ + y ˆj + z kˆ = x cm î + y cm ĵ + z cm ˆk R cm Centro d massa d due partcelle d massa m 1 ed m 2 poste entrambe sull asse x m x x = = m1x1 + cm m m 1+ m m 2 2 x 2 Se m 2 > m 1, x cm s troerà pù cno alla poszone x 2

22 Centro d massa Esempo: Centro d massa d tre partcelle d massa m 1 ed m 2 ed m 3 come mostrate n fgura. r cm = m r = m 1 m r 1 +m 2 r2 +m 3 r3 m 1 +m 2 +m 3 r 1 x1 = d y1 = 0 m1 = 2m x2 = d + b r2 y2 = 0 m2 = m r 3 x3 = d + b y3 = h m3 = 4m x cm = m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 m 1 + m 2 + m 3 = 2md + m(d +b) + 4m(d +b) 2m + m + 4m = 7md + 5mb 7m = d b y cm = m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 m 1 + m 2 + m 3 = mh 7m r cm = x cm î + y cm ĵ = d b î bĵ = 4 7 h

23 Consderamo un sstema costtuto da n punt materal. Assumendo che la massa totale del sstema rmanga costante possamo determnare la eloctà del centro d massa derando rspetto al tempo l ettore poszone del CM: Moto d un sstema d partcelle cm = d r cm M = Rcordando la defnzone d quanttà d moto totale del sstema: possamo screre: = m d r m = 1 m M m cm = 1 M La quanttà d moto totale del sstema è par al prodotto della massa totale del sstema per la eloctà del suo centro d massa=> coè è uguale alla quanttà d moto d una partcella d massa M che s muoe con eloctà P P = M cm Veloctà del centro d massa Quanttà d moto totale del sstema P = p = m cm

24 Moto d un sstema d partcelle (2) Analogamente a quanto fatto per la eloctà s può rcaare l accelerazone del centro d massa: a cm = d cm = d m Se l sstema d rfermento è nerzale per ogn punto -smo ale l secondo prncpo della dnamca: nt m a = F + m m a = F nt + F E = 1 M m a F E Rcordando che la somma d tuttele forze nterne è nulla: m a = F E = F E a cm = F E M F E = M a cm Teorema del centro d massa: Ø l centro d massa s muoe come un punto materale n cu sa concentrata tutta la massa del sstema ed a cu sa applcata la rsultante delle forze esterne, oppure Ø la rsultante delle forze esterne agent sul sstema d partcelle è uguale alla massa totale del sstema moltplcata per l accelerazone del centro d massa

25 Moto d un sstema d partcelle (3) r cm cm a cm sono dat dalle mede pesate sulle masse de ettor poszone eloctà ed accelerazone de sngol punt e fornscono nformazon sulle propretà mede del moto. Rcordando le defnzon d eloctà del centro d massa e d quanttà d moto totale del sstema: F E = M a cm = M d cm = dm cm P = M cm s ottene che: F E = d P la rsultante delle forze esterne è par alla derata della quanttà d moto totale del sstema Ø Il centro d massa è qund una quanttà matematca, che gode d noteol propretà: 1) Il moto del CM è determnato dalle sole forze esterne F E = M a cm = d P 2) La eloctà del CM è par alla quanttà d moto totale dsa la massa totale del sstema cm = P M 3) a cm = F E Il CM rappresenta l moto globale dell nseme d punt materal. M

26 Accenno a corp rgd ed al moto rotazonale Quando s consderano de corp estes ( una ruota, un dsco, un pattnatore )che ruotano ntorno ad un asse non è possble assmlarl ad un punto materale poché ogn loro punto ruoterà con eloctà e drezon derse Modello d corpo rgdo: S consdera l corpo esteso assmlable ad un nseme d partcelle la cu mutua dstanza rmane costante nel tempo ( l corpo non s deforma ) => è solo un approssmazone n quanto nella realtà la maggor parte de corp sono deformabl. Con l modello d corpo rgdo la trattazone delle rotazon è molto semplfcata Forte analoga tra le grandezze che descrono mot traslazonal e quelle che descrono mot rotazonal: mot traslazonal mot rotazonal Poszone (coord. Cartesane x,y) Poszone (coord. Polar r,θ) Veloctà lneare Accelerazone lneare a Forza rsultante F Veloctà angolare Accelerazone angolare α Momento della forza rsultante Μ

27 Coordnate Polar- eloctà angolare accelerazone angolare Consderamo un dsco che ruota ntorno ad un asse fsso passante per l punto O e perpendcolare alla fgura. Il punto P ene rappresentato dalle sue coordnate polar (r,θ) Durante la rotazone l punto P s sposta d un arco s = rθ Da cu s ottene la poszone angolare θ: L angolo sta a mot rotazonal come la poszone x sta al moto traslazonale In analoga con quanto sto per lo spostamento lneare Δx, s può defnre lo spostamento angolare Δθ : quando l punto P s sposta da una poszone A ad una B con una rotazone lo spostamento angolare è dato da: La eloctà angolare meda ω meda con cu aene questo spostamento è data da: E la θ = s r ω meda = Δθ Δt Δθ = θ B θ A = θ f θ [ω] = [rad][t ] 1 doe l radante è admensonale s ottene facendo l lmte per Δtè0 Δθ ω lm Δt 0 Δt = dθ NB : ω> 0 quando P ruota n senso antoraro (θ crescente)

28 Coordnate Polar- eloctà angolare accelerazone angolare (2) Se la eloctà angolare ara da un alore ω ad un alore ω f nell nterallo Δt l corpo è soggetto ad un accelerazone angolare α. L accelerazone angolare meda e l accelerazone stantanea sono date rspettamente da: α meda Δω Δt ed Δω α lm Δt 0 Δt = dω [α] = [rad][t ] 2 NB : α> 0 quando P ruota n senso antoraro con ω crescente o quando P ruota n senso oraro con ω decrescente Tutt punt d un corpo rgdo ruotando ntorno ad un asse, n un dato nterallo d tempo, spazzeranno lo stesso angolo θ, con la stessa eloctà angolare ω, e la stessa accelerazone angolare α. I mot rotator d un corpo rgdo ntorno ad un asse possono essere completamente caratterzzat medante le tre grandezze θ,ω,α In realtà w ed α sono de ettor n quanto deono portare l nformazone rguardo la drezone dell asse d rotazone ed l erso d rotazone. S defnsce ettore eloctà angolare ω l ettore aente come modulo ω, come drezone la drezone dell asse d rotazone e erso defnto dalla regola della mano destra S defnsce ettore accelerazone angolare l ettore aente come modulo α, come drezone la drezone dell asse d rotazone e erso concorde con ω se ω è crescente o dscorde se ω è decrescente α

29 Momento d una forza Abbamo sto che, per l moto traslatoro, la forza rsultante agente su un corpo è par alla derata temporale della quanttà d moto : F = d p Per procedere con lo studo dnamco de mot rotazonal è necessaro troare un equalente rotazonale delle forze e della quanttà d moto, n modo da poter esprmere un enuncato analogo al 2 prncpo nel caso n cu l moto sa una rotazone. Consderamo d oler aprre una porta. Applchamo a tal scopo 4 forze d uguale ntenstà ma con drezon e punt d applcazone ders La forza F 2 non aprrà la porta F 1 F 3 La forza F 3 aprrà la porta La forza F 4 aprrà la porta ma meno Cardne F 2 F 4 faclmente d F 3 Porta La forza F 1 aprrà la porta ma con dffcoltà L esperenza c dce che la capactà d aprre la porta dpende: 1. Dall ntenstà della forza applcata 2. Dalla dstanza d applcazone della forza dall asse d rotazone (FULCRO 3. Dall angolo d applcazone tra la porta e la forza

30 Momento d una forza(2) S possono rassumere le tre osserazon ntroducendo una nuoa grandezza che rappresenta l analogo rotazonale della forza: IL MOMENTO DELLA FORZA (ndcato con la lettera M o τ) Prendendo n consderazone l precedente esempo della porta: Il momento della forza F 3 sarà scuramente maggore del momento della forza F 4 o della forza F 1. Il momento della forza F 2 sarà nece nullo Cardne (Fulcro) Porta In generale: Dato un corpo rgdo mpernato su un asse, quando su questo corpo s applca una forza F e la retta d azone della forza non passa per l perno l corpo tende a ruotare ntorno all asse. F 1 F 2 F 3 F 4 Il momento della forza M descre la tendenza della forza a far ruotare l corpo ntorno all asse che fa da perno

31 Momento d una forza(3) Il momento M della forza F è defnto come l prodotto ettorale tra l ettore poszone (defnto dal punto n cu è applcata la forza rspetto alla stessa orgne, detto polo) e la forza stessa. O A Momento della forza M = r F M r è perpendcolare al pano determnato da (punto d applcazone rspetto ad O) ed. doe F M = rf snφ = Fb b = r snφ = bracco della forza b = r snφ è l bracco della forza, e corrsponde alla dstanza dell asse d rotazone dalla retta su cu gace F. Il momento della forza sarà nullo se la forza ene applcata lungo la drezone del ettore poszone, coè della retta congungente l punto d azone della forza all asse d rotazone NB: Il momento d una forza descre la capactà della forza stessa d mettere un corpo n rotazone rspetto ad un punto. M r φ F P φ

32 Ø Consderamo una partcella d massa m posta nella poszone con una quanttà d moto (che forma con un angolo φ) e che s muoe Ø S defnsce ettore momento angolare l prodotto ettorale tra e : L = r p = r m Momento Angolare(1) Ø Il momento angolare è l analogo rotazonale della quanttà d moto NB: l prodotto r snθ è la componente d nella drezone perpendcolare a, coè r snφ = r. Analogamente l prodotto p snθ è la componente d nella drezone ortogonale ad : p sn φ = p. p r L r p L = rpsnϕ r p p r L = L = pr = rp = rm L al pano def. da r e p contrbusce al momento angolare solo la componente della eloctà perpendcolare al raggo ettore. r

33 Momento angolare(2) Se φ = 0, π, coè se e sono parallel l momento angolare Questo corrsponde al caso n cu l moto è traslatoro lneare, passante per l orgne Se φ = π/2, coè se e sono perpendcolar l momento angolare L è massmo ed Nel caso d moto crcolare, con centro nell orgne s ha: E qund: r L = rpsnφ = mrsnφ p = 0 r p L = rm = = ωr L = mr 2 ω Inoltre l ettore L è dretto come l asse d rotazone. S può ntrodurre la notazone ettorale: Momento L = mr 2 ω angolare n un moto crcolare poché la eloctà angolare è assocata ad una rotazone ntorno ad un asse fsso, essa ene defnta come un ettore che ha per modulo l alore ω, per drezone la drezone dell asse d rotazone e per erso quello della regola della mano destra L L

34 Relazone tra momento angolare e momento d una forza Defnt l momento d una forza ed l momento angolare possamo rcaare l analogo rotazonale del secondo prncpo della dnamca Consderamo l momento angolare d un corpo rspetto ad un punto posto a dstanza r dal corpo stesso, ed andamo a studarne la arazone nel tempo: d L = d r p ( ) = d r p + r d p = "#$ m + r F F 0 M M = d L S troa qund che: Il momento rsultante delle forze agent su una partcella è par alla derata temporale del momento angolare della partcella. F = d p M = d L

35 Forze central Ø S defnsce forza centrale una forza agente n ogn punto dello spazo la cu drezone passa sempre attraerso un punto fsso, detto centro della forza. Ø Se l centro concde con l orgne d un sstema d rfermento la forza centrale è dretta parallelamente al raggo ettore. Ø Esemp d forze central sono la forza gratazonale e la forza d Coulomb, drette sempre come la congungente l corpo d proa con la sorgente del campo. r F Ø poché nel caso d forze central è parallelo ad, s ha che l momento della forza è nullo: M = r Fc Ø Il momento angolare dee qund essere costante: Coè: per un corpo sottoposto all azone d una forza centrale l momento angolare è una quanttà conserata. NB:Poché L s consera ( e qund non ara la sua drezone) la traettora d una partcella sottoposta alle sole forze central gace su un pano ( che dee rmanere narato n quanto perpendcolare al momento angolare) = 0 M dl = 0 L = costate

36 I flud La matera può presentars n tre stat: Soldo, lqudo e gassoso: Ø Un soldo ha una forma ed un olume ed è ncomprmble Ø Un lqudo ha un olume defnto, non ha una forma propra ed è ncomprmble Ø Le propretà de lqud e de sold dpendono dal loro struttura mcroscopca, oero dal legame tra le molecole. Ø Un gas non ha né olume ne forma defnt ed è comprmble Ø Queste defnzon sono n realtà un artfco, pù n generale lo stato n cu s presenta la matera ene determnato n funzone del tempo necessaro a quella matera per cambare la sua forma sotto l azone d una forza esterna Ø Una sostanza che non è dotata d forma propra è detta fludo. I flud assumono la forma del recpente che l contene. Ø I flud sono un nseme d molecole sstemate casualmente legate da debol forze d coesone e forze eserctate da paret del contentore Ø Sono flud : le sostanze lqude - che hanno olume defnto ed una superfce lmte le sostanze gassose - che non hanno un olume defnto e tendono ad occupare tutto l olume a dsposzone. Dal punto d sta meccanco un fludo s può pensare composto da element nfntesm d massa dm = ρ dv, che scorrono tra loro n una qualunque drezone. Ø Un fludo può essere descrtto da tre parametr denstà, pressone e flusso

37 Denstà Ø Con flud non ha molto senso parlare d massa, ma puttosto d denstà ( o massa olumca). Se consderamo un elemento d olume ΔV d un fludo ntorno ad un certo punto e msuramo la sua massa Δm la denstà è data dal rapporto: Δm ρ = Denstà La denstà d un corpo (o fludo) è una grandezza scalare ed è par alla massa per l untà d olume. Ø L untà d msura della denstà è l kg/m 3 ρ = Ø La denstà d un fludo ara ( anche se debolmente) con la temperatura poché al arare della temperatura ara l olume. Ø La denstà de lqud ρ = M/V è molto maggore d quella de gas (d crca un fattore 10 3 ) m V ΔV Doe m e V sono massa e olume d un campone d fludo Ø Dal punto d sta meccanco un fludo s può pensare composto da element nfntesm d massa dm = ρ dv, che scorrono tra loro n una qualunque drezone.

38 Tabella denstà