Soluzione del compito di Fisica febbraio 2012 (Udine)

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1 del compto d Fsca febbrao (Udne) Elettrodnamca È data una spra quadrata d lato L e resstenza R, ed un flo percorso da corrente lungo z (ved fgura). Dcamo a e b le dstanze del lato parallelo pù vcno e pù lontano dal flo. La spra s muova con veloctà v nel pano rz verso l flo. Trovare: a) l flusso del campo B attraverso la spra; b) la fem e la corrente I ndotte nella spra, specfcandone l verso; c) la forza totale agente sulla spra. a) Il campo magnetco è del tpo Bot-Savart, l flusso è qund Φ( B) B da spra b µ π r Ldr µ π Llog b t a t ove s è scelto d orentare la superfce della spra parallelamente al campo, coè n verso antoraro. b) la fem s trova dervando rspetto al tempo dφ fem dt ( B) µ ( ) a t L π b( t) ( t) a( t) b( t) a' ( t) a ( t) a ( ) ( ) ( t) a( t) µ L v a( t) b( t) a( t) b( t) b' µ b Lv π π

2 ove s è posto a' ( t) b' ( t) v e b( t) a( t) L la corrente è data da I fem R, l verso d entrambe è oraro. c) Sccome le forze agent su lat parallel all asse r sono ugual e contrare, basta consderare le forze agent su lat parallel all asse z. Queste sono F b ILB b( t) ( ) F a ILB( a( t) ) la forza totale agente sulla spra dovuta al campo magnetco è dunque F tot F a F b IL[ B( a( t) ) B( b( t) )] IL µ π a t ( ) b( t) Sccome F a è maggore d F b la forza rsultante è dretta nel verso r postvo. µ π a t IL ( )+ L [ ] ( ) a t

3 Relatvtà Relatvtà L energa relatvstca E d un sstema costtuto da pu` partcelle (j,...n) contene, n generale, l energa cnetca K CM del centro d massa del sstema e l energa nterna (l energa a rposo m j c e l energa cnetca rspetto al centro d massa, K j, de costtuent e l energa potenzale U dovuta alla loro nterazone) E K + m c + K CM j j j j + U Sa dato un sstema costtuto da due corp ugual d massa m, collegat da una molla d massa trascurable. Inzalmente corp sano ferm e la molla sa carca. E` dunque presente un energa potenzale U, che supporremo nota. a) Determnare l valore d E nello stato nzale, n funzone delle masse de corp costtuent e dell energa nterna del sstema. Successvamente la molla scatta e due corp vengono lancat n vers oppost con uguale velocta`. b) Determnare E nello stato fnale, d nuovo n funzone delle masse de corp costtuent e dell energa nterna del sstema. c) Trovare la velocta` fnale v de due corp n funzone d m e U (suggermento: mporre la conservazone d E e usare l espressone dell energa cnetca relatvstca). a) l energa relatvstca nello stato nzale e` E mc + mc + U mc + U b) e nello stato fnale mc mc K mc K E f E E c) Imponamo la conservazone dell energa relatvstca ne segue f mc + U mc + K ovvero K U Esprmendo l energa cnetca n forma relatvstca K ( γ ) + mc ( γ ) mc ( ) mc γ

4 ottenamo l espressone d γ n funzone d U γ + U mc v c U + mc e nfne, rsolvendo per la velocta`

5 Ottca geometrca Un sstema d lent e` formato da una lente convergente d lunghezza focale f 5 cm e da una seconda lente convergente d focale f cm posta a 7 cm a destra della prma. Un oggetto e` posto a dstanza o cm a snstra della prma lente. Dsegnare l sstema. Determnare a) la dstanza dell mmagne dovuta alla prma lente e le caratterstche dell mmagne (R/V, D/C) e l ngrandmento relatvo; b) la dstanza dell mmagne dovuta alla sola seconda lente, le caratterstche dell mmagne e l ngrandmento relatvo; c) le caratterstche dell mmagne dovuta alle due lent e l ngrandmento relatvo; Il sstema e` l seguente a) Applchamo l equazone delle lent alla prma lente o f + e f o da cu 6 cm, l mmagne e` reale (R). L ngrandmento e` dato da G 3 o qund l mmagne e` capovolta (C) e ngrandta.

6 b) Applchamo l equazone delle lent alla seconda lente o d 7 6 cm da cu o f + e f o e - cm, l mmagne e` vrtuale (V). L ngrandmento e` dato da G + o qund l mmagne e` drtta (D) e ngrandta. c) L mmagne d tutto l sstema e` vrtuale, capovolta (VC) e ngrandta, l ngrandmento vale G G G ( 3) ( + ) 6

7 Elettrostatca Un condensatore clndrco d raggo nterno a, raggo esterno b e lunghezza L (molto maggore d b, d modo che gl effett d bordo sano trascurabl), e` rempto d un olo solante d costante delettrca relatva ε r. Il condensatore e` collegato ad una battera d fem F. Trovare a) la capacta` C del condensatore; b) la carca Q erogata dal generatore per carcare l condensatore; c) l energa elettrostatca U mmagazznata nel condensatore; d) l energa elettrca totale E fornta dal generatore. Gustfcare la rsposta. a) La capacta` s trova come rapporto fra carca e ddp. Quest ultma s calcola a partre dal campo elettrco, che a sua volta s puo` calcolare dalla legge d Gauss Q / L E πε r Q / L b V log πε a b) la carca erogata dal generatore per carcare l condensatore e` Q CF C Q V πεl b log a c) l energa elettrostatca mmagazznata nel condensatore e` U CF d) l energa totale fornta dal generatore e` par alla carca erogata per la fem : E QF CF. Questa energa e` l doppo d quella mmagazznata nel condensatore, una parte dell energa e` nfatt dsspata nella resstenza del crcuto (n partcolare nella resstenza nterna del generatore). S dmostra con calcolo dretto che tale energa e` ndpendente dal valore della resstenza e vale propro quanto l energa mmagazznata nel condensatore.

8 Magnetsmo E` dato un flo ndefnto pegato a 9 grad nel punto A e gacente nel pano xy, percorso da corrente I. S consder un punto P posto sulla perpendcolare al pano passante per A, a dstanza d dal pano (ved fgura). a) Determnare le component cartesane del campo magnetco generato dal flo nel punto P. b) Scrvere l espressone del campo rsultante n forma vettorale. c) Scrvere l espressone del campo magnetco nel punto Q smmetrco a P rspetto al pano. Suggermento: determnare prelmnarmente l campo magnetco prodotto da una meta` d un flo ndefnto. Sfruttando la smmetra d rflessone rspetto ad un punto, l campo generato da meta` d un flo ndefnto e` par a meta` del campo generato da tutto l flo: B 4π d a) per la seconda regola della mano destra l tratto d flo lungo x produce un campo n P con sola componente lungo y, mentre l tratto lungo y produce un campo con sola componente lungo x: B y 4 π d b) n forma vettorale B( P) ( ˆ ˆj ) 4 π d B x 4 π d c) nel punto Q l campo ha stesso modulo e drezone, ma verso opposto B( Q) ( ˆ ˆj ) 4π d