Lez. 10 Forze d attrito e lavoro

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1 4/03/015 Lez. 10 Forze d attrto e lavoro Pro. 1 Dott., PhD Dpartmento Scenze Fsche Unverstà d Napol Federco II Compl. Unv. Monte S.Angelo Va Cnta, I-8016, Napol [email protected]

2 4/03/015 Un magazznere pone una cassa su una superce n pendenza che è nclnata d 30 rspetto all orzzontale. Se la cassa scvola gù lungo l pano nclnato con un accelerazone d modulo g/3, determnare l coecente d attrto dnamco ra la cassa e la superce d appoggo. 3 Consderamo una partcella n moto crcolare unorme. Secondo la seconda legge d Newton, se c è un accelerazone, deve esserc una orza rsultante che la produce. Poché l accelerazone è dretta verso l centro della crconerenza, la orza rsultante deve essere dretta verso l centro della crconerenza. Qund, quando una partcella vagga lungo una traettora crcolare, una orza deve agre sulla partcella verso l nterno causando l suo moto crcolare. 4

3 4/03/015 S consder un oggetto d massa m legato ad un lo d lunghezza r che è atto grare rapdamente lungo una crconerenza orzzontale su un tavolo prvo d attrto. S assuma che l oggetto s muova con veloctà costante n modulo. L nerza dell oggetto tenderebbe a mantenere l moto lungo un percorso n lnea retta, secondo la prma legge d Newton; però l lo mpedsce questo moto, eserctando una orza radale F, sull oggetto tale da mantenerlo sulla sua traettora crcolare. Questa orza, l cu modulo è la tensone del lo, è dretta verso l centro della crconerenza, lungo la drezone del lo

4 4/03/015 Un auto d 1500 kg, che s muove su una strada orzzontale pana, aronta una curva d 35 m d raggo. Se l coecente d attrto statco tra gl pneumatc ed l terreno ascutto è 0,53, trovare la veloctà massma che l auto può mantenere per arontare, con successo, la curva. 7 Un ngegnere cvle desdera rprogettare la strada curva dell esempo precedente n modo che un auto non dovrà dpendere dall attrto per percorrere la crva senza sbandare. In altre parole, un auto che vagga alla veloctà prevsta è capace d superare la curva anche se la strada è coperta d ghacco. Tale curva vene d solto soprelevata, ntendendo con cò che la carreggata è nclnata verso l nterno della curva. Suppon che la veloctà progettata per la curva sa 33.4 m/s (48. km/h) e che l raggo della crva sa d 35 m. A quale angolo la curva dovrebbe essere soprelevata? 8 4

5 4/03/015 La orza d attrto agente su un corpo che s muove n un mezzo vscoso è proporzonale alla veloctà. La rappresentazone matematca d questa orza d vscostà s può esprmere come R = -bv dove v è la veloctà dell oggetto e b è una costante che dpende dalle propretà del mezzo, dalla orma e dalle dmenson dell oggetto. Il segno negatvo rappresenta l atto che la orza vscosa è opposta alla veloctà. 9 Consderando l moto vertcale e sceglendo come postva la drezone rvolta verso l basso abbamo F y = ma y mg-bv = ma L accelerazone dventa nulla quando la orza vscosa dventa uguale al peso. A questo punto, l corpo raggunge la sua veloctà lmte v l e da questo momento contnua a muovers con accelerazone nulla. Dopo questo punto, l moto è quello d una partcella con veloctà costante. La veloctà lmte può rcavars dall eq., ponendo a = 0. Il rsultato è mg bv l = 0 v l = mg/b 10 5

6 4/03/015 Per oggett d grand dmenson che s muovono nell ara con veloctà elevate come gl aere, paracadutst, e le palle da baseball, l modulo della orza d attrto è approssmatvamente proporzonale al quadrato della veloctà: R = ½ DrAv dove r è la denstà dell ara, A è l area della sezone dell oggetto n moto, msurata n un pano perpendcolare alla sua veloctà, e D è una grandezza admensonale determnata emprcamente, nota come coecente d resstenza. 11 F ma mg DrA a g v m v l mg DrA 1 DrAv ma 1 6

7 4/03/015 Il lavoro W svolto da un agente che esercta una orza costante su un corpo è l prodotto del modulo F della orza, del modulo Dr dello spostamento, e cosq, con q l angolo ra vettor orza e spostamento. W FDrcosq Il lavoro è una grandezza scalare. Nel sstema SI l untà d msura del lavoro è l newton metro (Nm), detto anche joule (J). 13 Il lavoro computo da una orza è zero quando la orza è perpendcolare allo spostamento. Il segno del lavoro dpende dalla drezone d F rspetto a Dr. Il lavoro svolto dalla orza applcata è postvo se l vettore assocato alla componente Fcosq è nello stesso verso dello spostamento. Se è nel verso opposto allora W è negatvo. Se la orza costante applcata F agsce parallelamente alla drezone e nel verso dello spostamento, allora q=0 e cosq = 1. In questo caso W = FDr 14 7

8 4/03/015 Un uomo preso dalle pulze del suo appartamento tra un asprapolvere con una orza d modulo F = 50 N. la orza orma un angolo d 30 con l orzzontale. L asprapolvere è trato per unna dstanza d 3 m verso destra. Calcolare l lavoro svolto sull asprapolvere. W = (F cos q) Dr = (50 N) (cos 30 ) (3 m) = 130 Nm = 130 J 15 Consderamo una partcella che s sposta lungo l asse delle sotto l azone d una orza d modulo F, nella drezone, che vara con la poszone, come nella rappresentazone graca n g. In una tale stuazone, per calcolare l lavoro svolto dalla orza, non possamo usare la ormula precedente, poché essa s può applcare soltanto nel caso n cu la orza F è costante n modulo e drezone. Se, tuttava, s mmagna che la partcella compa uno spostamento Dr = D, molto pccolo allora la componente è costante n questo ntervallo e s può esprmere l lavoro svolto dalla orza per questo pccolo spostamento come W 1 F D 16 8

9 4/03/015 Allora l lavoro totale svolto, nello spostamento che va da a, è uguale approssmatvamente, alla somma d un grande numero d tal termn: Se gl spostament D tendono a ero, lm D0 F D W FD I lmt nell ntegrale, = a = denscono quello che è chamato ntegrale dento. F d Se su una partcella agsce pù d una orza, l lavoro totale svolto sul sstema è propro l lavoro computo dalla orza rsultante. 17 Un blocco, su una superce orzzontale lsca, è collegato ad una molla. Se la molla è allungata o compressa d un pccolo tratto dalla sua poszone d equlbro = 0, essa esercterà una orza sul blocco data da F = -k Vsto che la orza vara con, possamo usare l espressone precedente per calcolare l lavoro computo alla orza elastca sulla massa. 18 9

10 4/03/015 Se l blocco compe uno spostamento arbtraro da = a =, l lavoro svolto dalla orza della molla è dato da W 1 1 ( k) d k k Da questa equazone s vede che l lavoro computo dalla orza della molla sul blocco è zero per qualsas moto cu estrem concdono ( = ). 19 Un estremtà d una molla orzzontale (k = 80 N/m) è tenuta ssa mentre una orza esterna è applcata all estremtà lbera, allungandola da a = 0 a b = 4.0 cm. a) Trovare l lavoro svolto dalla orza esterna sulla molla. 1 1 N W kb m 0.04m 0. J b) Trovare l lavoro addzonale svolto nell allungare la molla da b = 4 cm a c = 7 cm. 0.07m 0.04m 0. J N W kc kb m 0 10

11 4/03/015 L energa è uno de concett pù mportant n tutte le dscplne scentche. L energa d un sstema è la msura della sua capactà d compere lavoro. Per descrvere l energa assocata a dverse condzon d un sstema, s usano termn dvers. L energa cnetca è l energa assocata al moto. L energa potenzale è l energa assocata alla congurazone del sstema, per esempo la dstanza che separa due corp che s attraggono. L energa termca è assocata al moto caotco degl atom, molecole e on che costtuscono un sstema, ed è strettamente legata alla sua temperatura. 1 Quando su un corpo agscono delle orze, abbamo F = ma Se la orza rsultante è costante, lo è anche l accelerazone, e lo spostamento può essere messo n relazone con le veloctà nzale e nale, v e v, tramte l equazone del moto unormemente accelerato: v v a D Da cu, rcavando a, segue: a 1 D v v Sosttuendo e moltplcando entramb membr per D ottenamo: 1 1 FD mv mv 11

12 4/03/015 Il membro a snstra è esattamente l lavoro totale computo sul punto materale, per cu: 1 1 W mv mv (½)mv è una quanttà scalare che rappresenta l energa assocata al moto del punto materale e vene chamata energa cnetca K del punto materale: 1 K mv S osserv che l energa cnetca dpende solo dalla veloctà e dalla massa del punto materale, non dalla drezone del moto. Inoltre, l energa cnetca non può ma essere negatva ed è nulla solo quando l punto materale è a rposo. 3 La quanttà espressa dal membro a destra dell equazone rappresenta allora la varazone d energa cnetca del punto materale. Qund l equazone c dà una relazone tra l lavoro totale computo su un punto materale e la sua energa cnetca; l lavoro totale è uguale alla varazone d energa cnetca: W = DK Questo rsultato è noto come teorema del lavoro e dell energa cnetca. C dce che quando W è postvo, l energa aumenta. Se W è negatvo, l energa cnetca dmnusce. Le untà d msura dell energa sono le stesse del lavoro e qund l joule (J). 4 1

13 4/03/015 Un blocco d 6 kg, nzalmente ermo, è trato verso destra su una superce orzzontale lsca da una orza costante orzzontale F d 1 N. Trovare la veloctà del blocco dopo che s è spostato d 3 m. W W v FD K W m K 1N 1 (3m) 36Nm 360J mv (36J ) 6kg m / s 5 13