Sollecitazione di Taglio

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1 Sollectazone d Taglo In lnea teorca s può avere solo sollectazone d taglo, ma n realtà essa s accompagna sempre a momento flettente y T T x Cononostante, anche n presenza d taglo l momento flettente s calcola allo stesso modo, n quanto esso fornsce, nel rfermento assale (x-y) tenson normal, mentre l taglo dà tenson tangenzal Spesso, n I approssmazone, s consdera l taglo unformemente dstrbuto sulla sezone resstente T A Il calcolo della tensone d taglo su una sezone è n realtà assa pù complesso, esso vara sa secondo x che y (n forma parabolca per una sezone rettangolare) In modo pù esatto, ma sempre approssmato (Jourawsky), esso vene medato lungo la drezone dello spessore (z) con la formula La formula fornsce le seguent soluzon elementar Sezone rettangolare: Sezone crcolare: max 3 T A 4 T max 3 A T S J b dmostrazone

2 T xy r b T r dx yx j s xy j s +d y x S consdera d solare un elementno assale (lunghezza dx) S consder l equlbro del paralleleppedo - rr - ss - jj n drezone x Su d esso agscono le tenson normal x (dovute al momento su -rr e jj-ss) ed l taglo yx sulla facca -jj. Facca snstra (n x) agsce momento - tensone massma Facca destra (n x+dx) agsce momento +d - tensone massma 1 A(jj) da b dx 0 1 yx Rcordando che d d Tdx 1 y - y y J J J J y

3 S ha Tdx T T S y da b dx y da J J b J b yx yx A( jj ) A( jj ) c.d.d. Nella precedente S è l momento statco della -rr rspetto all asse neutro, J è nvece l momento d nerza dell ntera sezone y Pertanto, l taglo presenta, lungo y, un andamento domnato dal momento statco esso s annulla al top/bottom e rsulta massmo nella sezone barcentrca taglo x Nel caso d sezone rettangolare, ad esempo, l momento statco s può calcolare come area della parte sottesa alla corda per la dstanza del suo barcentro dall asse neutro h h y1 b h S y1 b y1 y1 y1 4 T h yx y J 4 y Il valore massmo (y=0) Th 3 T yx y 8J A

4 La formula d Jourawsky è applcable anche a sezon non regolar Il tensore delle tenson dovrà comunque rsultare sempre tangente al proflo esterno, pertanto, occorre sovrapporre alle tenson d taglo d Jourasky un altra componente xz (antsmmetrca) che rorent localmente le. Tenson rbaltate

5 Lo sforzo d taglo nduce l elemento a varare d forma (ma non d volume) secondo un angolo d scorrmento Dato che esste l semplce legame = / G tra scorrmento quest ultmo sarà massmo al centro e nullo al top / bottom Le sezon, nzalmente ortogonal all asse, s ngobbano Tuttava, lo scorrmento è uguale per ogn fbra assale, per cu non s nstaurano (per sezon costant) sollectazon o deformazon assal (taglo puro senza flessone) Lo spostamento tra due sezon può essere valutato medante la deformazone (scorrmento) meda d meda dx meda T GA Fattore d taglo

6 Il lavoro d deformazone, n accordo al teorema d Clapeyron, è par all ntegrale, lungo la lnea, della metà della tensone d taglo per lo scorrmento medo W 1 T dx od anche L GA T S 1 W dw da dx A J G L L b TS Jb T S 1 1 T S A W dw da dx da dx A A J b G A G b J L L L A S J b A da Il fattore d taglo può essere calcolato analtcamente

7 Esempo: andamento del taglo n una sezone trangolare TS Jb y S y b y y0 y0 h 3 3 h y h y h h y h y h y b h y y S y b y y0 h 3 3h h y b y b y0 h y T G h J G 3 bh bh h 1 bh b y y y y0 T b h y y 3h T h y y bh bh b h y h Il massmo del taglo s ha quando y= h/ y yh T 3 bh

8 Sollectazone d Torsone È una sollectazone che s verfca molto frequentemente, ad es. negl organ che trasmettono potenza (ass e alber), vt, albero d sterzo, La soluzone s presenta semplce solo nel caso d sezon crcolar (del resto assa dffuse nella tecnca) Ipotes: Sezon pane restano tal ma ruotano Lo stato d tensone è pano Lo scorrmento è CC1 G max Perché tutt punt d una sezone ruotno del medesmo angolo, scorrmento e taglo debbono crescere lnearmente

9 L equlbro a torsone sull ntera sezone dà: r t r da max da A A R R max Jp Grandezze local nella sezone: R r r max ; r ; r ; J J GJ r GJ r t t t t p p p p Angolo d torsone untaro N.B. Non dpende da r Globalmente s possono consderare l angolo d torsone globale e l lavoro d torsone L L 1 L t R GJ G J max t ; W t p p Rcordando nfne che J p D 3 16 t D 4 max 3

10 Lo stato d tensone ndotto dalla torsone, nel rfermento assale s compone d sole B A Nel pano d ohr s trovano punt caratterstc (A-B) che corrspondono all assenza d sollectazon normal A 3 1 B Ruotando d 45 (90 ) nel pano d ohr, s trova l orentazone che annulla le

11 Esempo 1: Grppaggo In un albero n accao d dametro d= 80 mm è fssata una massa volanca, anch essa n accao, con dametro D= 800 mm e spessore s= 50 mm. entre l albero ruota a 60 gr/m, s determna un grppaggo al cuscnetto destro. Calcolare la sollectazone conseguente. assa ed nerza polare del volano rsultano: 4 4 m s D kg 1 D I m kg m Trascurando la massa dell albero, tutta l energa cnetca s trasforma n energa elastca mmagazznata nella torsone, una volta grppato l cuscnetto 1 60 Ec I J 60 Il lavoro d deformazone nvece vale W tors 1 GJ tors p L con 11 E.110 G J p d m Pa

12 Imponendo l uguaglanza delle due energe: 1 tors 1 L I GJ p tors 10 6 G I J p L 60 1 Nm D conseguenza, consderando che l momento sa applcato statcamente, ossa che non s abbano effett dnamc dell albero sovrappost 16 tors max N / mm d 0.08 A questa sollectazone massma, corrsponde una rotazone untara e totale par a 141 Gd max 5 unt / rad mm 5 unt l rad.448

13 Esempo : Calcolo d sollectazone medante sovrapposzone d effett Calcolare tensore tenson nel punto P Azon nterne: Pan Vertcal Pan Orzzontal

14 S calcolano separatamente contrbut n P 1) omento flettente dovuto a P 1 P gace sul pano neutro e qund 0 x,1 pa ) omento flettente dovuto a P P è sulle fbre compresse 3 f , x 3 3 d 60 Pa 3) Sforzo normale dovuto a P P ha la sollectazone d tutta sezone 4 P 43000, x d 60 Pa Sommando tutte le tenson normal n P = , 1,, 3 x x x x Pa

15 Contrbuto d taglo n P 1) Azone taglante dovuta a P 1 P s trova propro dove è massmo lo sforzo tangenzale 4 4 P xy 3 d Pa ) Azone del momento torcente mposto da P 1 S hanno sforz tangenzal che sono massm nelle fbre esterne (punto P) 16 t zy Pa d 60 B A σ Tensone rsultante Pa A eq Vonses Pa B A

16 Per sezon non crcolar problema pù complesso, rsolto nel passato medante analoge: Idrodnamca (Greenhll ) membranale (Prandtl - 196) Andamento a (pseudo)-farfalla Sezon rettangolar AX a b t ; t G a b 3

17 Rettangolar allungate: AX 3 ; 3 a b G a b t t 3 Sottl semplcemente connesse: J tors 1 3 h s 3 AX t s J tors AX ; G J t tors N.B. Il massmo s ha dove lo spessore è massmo Soluzone approssmata sezone rettangolare qualunque: (n= b/a) Deformabltà sezon raccolte (St.Venant) (n= b/a) n ; n 3 n 0.63 q J 40 A p 4 ; q t G J p Formula che approssma la precedente tabella

18 Torsone nelle trav tubolar n parete sottle Quando le sezon sono sottl e chuse, l andamento della d torsone può pensars costante e non a farfalla su ogn possble taglo, s utlzzano le formule d Bredt Sezone costante: t s ; t c 4 G s = area racchusa sezone meda s = spessore (pccolo) c = lunghezza lnea meda Sezone a spessore pccolo ma varable: AX s t IN ; t 4 G c s

19 Esempo: Trave a cassone Una trave a cassone d lunghezza L, è soggetta a momento torcente t. S determn: 1) Lo spessore mnmo de due patt orzzontal, sapendo che la amm = 160 Pa ) L angolo d torsone sapendo che una estremtà è lbera e l altra ncastrata In termn d, la sollectazone ammssble è 160 amm Pa L area sottesa dalla lnea vale mm 3 t t AX sin s IN adm 4.8 mm Utlzzando ora la formula d Bredt per spessor non costant s ha unt t c G s rad 5 Tot unt L rad