5. Baricentro di sezioni composte

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1 5. Barcentro d sezon composte Barcentro del trapezo Il barcentro del trapezo ( FIURA ) s trova sull asse d smmetra oblqua (medana) della fgura; è suffcente, qund, determnare la sola ordnata. A tal fne, l trapezo può essere scomposto nelle tre fgure semplc,,, delle qual sono note l area e l barcentro ( TABELLA ). UNITÀ E TABELLA (cm ) Dstanze Moment statc A (cm ) a a b b c c Il momento statco complessvo vale: a b c A = + + = ( a + b + c ) = ( B + b ) e l area complessva: A = a c + b + = ( a + b + c ) = ( B + b ) L ordnata del barcentro è qund: A = A B + b = B + b Esste una nteressante costruzone grafca, utlzzata con una certa frequenza ( FIURA ). S rporta la base mnore sul prolungamento della base maggore e, (8) b a b c B FIURA Barcentro del trapezo. Coprgt 0 Zancell edtore S.p.A., Bologna [599]

2 b M B H K b M B FIURA Barcentro del trapezo: determnazone grafca. P Per la smltudne de due trangol M H e M K s può mpostare la proporzone tra le bas e le altezze: B b + b = + B : : ( ) da cu: B b + b = + B ( ) Rcavando l ncognta, dopo alcun passagg s ottene un espressone dentca alla (8). dalla parte opposta, s rporta la base maggore sul prolungamento della base mnore. L ntersezone tra la congungente gl estrem de due prolungament e l asse medano è l barcentro del trapezo (P). Soluzone grafca dell applcazone Le aree delle fgure,, vanno sosttute con un sstema d vettor d ntenstà par a 00 cm, 00 cm, 500 cm, orentat n drezone e concentrat ne barcentr,, ( FIURA ). S determna qund la rsultante e la sua retta d azone, parallela all asse. S orentano po vettor n drezone e s determna la rsultante e la sua retta d azone, parallela all asse. L ntersezone delle rette d azone delle due rsultant è l barcentro della sezone assegnata. AC P I II III IV II III I P I IV III II IV I II III IV scala dstanze: 00 scala aree: cm = 00 cm FIURA Barcentro: determnazone grafca. O Coprgt 0 Zancell edtore S.p.A., Bologna [599]

3 Altre applcazon 4 Nella FIURA 4 è rappresentata, con tutte le msure n centmetr, la sezone d una trave a doppa T dotata d for crcolar ce consentono l passaggo delle tubazon degl mpant. Determnare l barcentro. Soluzone La sezone possede un asse vertcale d smmetra retta: l ascssa del barcentro è qund nota e va rcercata la sola ordnata. Scelto l rfermento cartesano, la sezone va suddvsa n sezon (per esempo,,, 4, 5), d ognuna delle qual occorre calcolare l area A, la dstanza del barcentro dall asse e l momento statco A relatvo all asse. Alle aree mancant 4 e 5 s deve attrbure segno negatvo ( TABELLA ). TABELLA (cm ) Dstanze Moment statc A (cm ) 0 50 = = = π5 = 78, ,5 5 π5 = 78, ,5 A = 54,9 A = ,5 5 7, (a) O 7,5 5 7, (b) FIURA 4 Trave a doppa T con for crcolar. FIURA 5 Trave a L. Coprgt 0 Zancell edtore S.p.A., Bologna [599]

4 L ordnata del barcentro vale: A = A 0 79 = = 54, 9 5, 4 cm Nel sstema d rfermento adottato l ascssa del barcentro, ce s trova sull asse d smmetra, vale = 5 cm. 5 S determn l barcentro della sezone a L della FIURA 5a. Soluzone analtca La fgura possede un asse d smmetra retta nclnato d 45 rspetto all orzzontale, sul quale s trova l barcentro. Essendo dunque = è suffcente determnare una sola coordnata. Suddvsa la sezone assegnata n sezon e scelto l rfermento cartesano, s calcola una qualsas delle due coordnate (per esempo ). Facendo rfermento a dat rportat nella TABELLA rsulta: TABELLA A = A = =, 7 cm 00 (cm ) Dstanze Moment statc A (cm ) 0 = = A = 00 A = Soluzone grafca Con rfermento alla FIURA, s dsegnano due vettor proporzonal alle aree 800 e 0 delle sezon e, passant per rspettv barcentr. La poszone della rsultante s può determnare con un polgono funcolare o ance con la costruzone relatva al sstema d due sole forze parallele (untà D, paragrafo 5). AC AC,7,7,7,7 FIURA Rcerca grafca del barcentro. FIURA 7 Rcerca grafca del barcentro, con dversa suddvsone. 7 4 Coprgt 0 Zancell edtore S.p.A., Bologna [599]

5 È possble suddvdere la sezone n modo dverso; partcolarmente nteressante è la suddvsone eseguta nella FIURA 5b: la sezone è un quadrato d lato ; la sezone è un quadrato d lato 0, ovvamente d area negatva. Soluzone analtca Tenendo conto de dat della TABELLA 4 s a ancora: A = A = =, 7 cm 00 TABELLA 4 (cm ) Dstanze Moment statc A (cm ) = = A = 00 A = Soluzone grafca La determnazone grafca del barcentro è ndcata nella FIURA 7; l vettore ce rappresenta l area negatva a verso opposto a quello del vettore ce rappresenta l area postva. S determn l ordnata del barcentro della sezone d FIURA 8. La sezone è tpca delle trav n cemento armato precompresso FIURA 8 Sezone composta da fgure rettangolar e trangolar. Coprgt 0 Zancell edtore S.p.A., Bologna [599] 5

6 Soluzone La sezone presenta un asse vertcale d smmetra; l ascssa del barcentro è qund nota (nel rfermento adottato s a = 0). La sezone è suddvsa ne rettangol,, 5 e ne trangol e 4, d cu area e momento statco andranno conteggat due volte. Elaborando dat nel modo consueto ( TABELLA 5) s rcava: A = A 4 49, 7 = = 4, 9 cm 09 TABELLA 5 (cm ) Dstanze Moment statc A (cm ) 0 5 = , ( 5/) = 0 + (/) 5 = 7 70 = (7 7/) = / = 7, 849,7 A = 09 A = 4 49,7 Coprgt 0 Zancell edtore S.p.A., Bologna [599]