Teoria degli errori. La misura implica un giudizio sull uguaglianza tra la grandezza incognita e la grandezza campione. Misure indirette: velocita

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1 Teora degl error Processo d msura defnsce una grandezza fsca. Sstema oggetto. Apparato d msura 3. Sstema d confronto La msura mplca un gudzo sull uguaglanza tra la grandezza ncognta e la grandezza campone Metodo d msura: Msure drette: lunghezza, tempo Msure ndrette: velocta Sensblta d uno strumento: la mnma dfferenza apprezzable tra l valore della grandezza da msurare e quella campone. 8 < < 9 (8.5 ± 0.5) [unta'd msura] O HA SESO RIPORTARE IL RISULTATO DI UA MISURA IDICADO U UMERO DI CIFRE DECIMALI MAGGIORE DI QUELLO ECESSARIO PER IDICARE LA SESIBILITA DELLA MISURA S.M. Lenz - Msura

2 Classfcazone degl error d msura Ogn msura e affetta da error e d conseguenza l valore vero d una grandezza non e ma noto. Classfcazone degl error: Error sstematc: falsano la msura sempre nello stesso senso (strumento dfettoso, calbrazone sbaglata, ecc.). Opportune correzon a posteror. Error casual: dovut a condzon spermental fluttuant (temperatura) dsturb estrane alla msura (vbrazon) defnzone vaga della grandezza a msurare. Dmnuscono rpetendo la msura molte volte S.M. Lenz - Msura

3 Meda Artmetca msure d una grandezza fsca con lo stesso strumento e n condzon spermental dentche,,..., Ideogramma Valore msurato Valore medo umero d msura Errore della sngola msura: Meda artmetca: ε Valore vero Errore d * ε( ) Cancellazon parzal * ε S.M. Lenz - Msura 3

4 Scart dalla meda La meda artmetca da una stma del valore vero che puo essere consderata pu accurata del valore d una grandezza msurata tra le esegute Per conoscere l accuratezza della meda artmetca, bsogna conoscere * l accuratezza delle sngole msure perche ε non puo essere calcolato se allora e una buona stma d z e una buona stma d Scarto dalla meda: z z ( ) Bsogna trovare una somma d numer postv!!! ε 0 Varanza S z ( ) Per rtrovare una grandezza omogenea con Scarto quadratco medo: µ S ( ) S.M. Lenz - Msura 4

5 S.M. Lenz - Msura 5 Varanza d d z d d S d d 0 ) ( ) ( Il valore pu probable (meda artmetca) mnmzza la varanza ) ( ) ( S + + La varanza s puo scrvere pu semplcemente:

6 Dstrbuzone degl error casual Densta d probablta : funzone che permette d calcolare la probablta d ottenere un rsultato contenuto n un generco ntervallo (, +Δ) Se Δ 0 la probablta e proporzonale a Δ P P( [, + d] ) d Probablta d ottenere un rsultato n un ntervallo fnto: densta d probablta P [, ] + P( ) d P( ) d Il numero d msure che s prevede dano un rsultato compreso tra e : ( ) P( ) d S.M. Lenz - Msura 6

7 Dstrbuzone degl error Istogramma numero d volte grandezza valore atteso + < > P( ) d varanza + S < > < > ( < > ) P( ) d S.M. Lenz - Msura 7

8 Dstrbuzone normale o gaussana Rpetendo molte volte la msura d una grandezza valor ottenut sono meno frequent quando gl scart dalla meda sono pu grand. La dstrbuzone rsulta approssmatvamente smmetrca rspetto alla meda stessa Msure ndpendent: l rsultato d una msura non e condzonato da quello delle msure precedent. La funzone analtca che descrve la densta d probablta e : P ( *) ( ) σ σ e π P( ) e' massma n * P( ) 0 se ± larghezza proporzonale a σ < < > * > < > σ S.M. Lenz - Msura 8

9 S.M. Lenz - Msura 9 Dstrbuzone normale o gaussana 68.3% ) ( * * + σ σ d P 99.7% ) ( 3 * 3 * + σ σ d P 95.5% ) ( * * + σ σ d P σ

10 Confronto con l stogramma Per l confronto con l stogramma: ( *) ( ) e σ σ π S.M. Lenz - Msura 0

11 Propagazone degl error Msure ndrette L errore nella msura ndretta d una grandezza vene ottenuto a partre degl error d msura delle grandezze d base. Lo scarto quadratco medo d una grandezza (sara dedotta a lezone) rsulta: F (,,,,, ) j F µ F µ + < j F F j ρ j µ µ j dove ρj µ rappresentano gl error d msura delle grandezze d base e e l coeffcente d correlazone S.M. Lenz - Msura

12 S.M. Lenz - Msura Propagazone degl error relatv Esempo: t v t t v t v t v t t µ + µ µ Lo scarto quadratco medo d v e : Dvdendo entramb membr per v µ + µ µ t v t v s ottene:

13 S.M. Lenz - Msura 3 Legge d propagazone degl error relatv In generale, se la grandezza F e data da un prodotto d grandezze d base: ( ) c j,,,,, F µ µ F c F

14 Interpolazone lneare Sano e y due grandezze fsche msurate, legate da una relazone d tpo lneare: y a + b parametr a e b da determnare n modo d dare la mglore nterpolazone lneare de valor msurat (, ) La stma rsulta semplce se s verfcano le seguent condzon:. le msure delle grandezze e y sono affette da error ndpendent. gl error su sono trascurabl 3. gl error su y seguono la dstrbuzone normale * trascurabl ( a b ) δy y + dstanza tra l valore vero e quello msurato y La mglore stma d a e b s ottene mnmzzando gl scart Q δy ( y a b ) Q a Q b n n y ( a b y 0 a b ) 0 n n S.M. Lenz - Msura 4

15 Metodo de mnm quadrat I parametr a e b s ottengono con le seguent espresson E gl error s possono ottenere con le formule d propagazone degl error S.M. Lenz - Msura 5

16 S.M. Lenz - Msura 6 Meda pesata Se le dverse msure non sono esegute con la stessa precsone, al posto della meda artmetca s può calcolare l valore pù probable dando un peso dverso a ogn msura. n n a a Meda pesata a σ Peso σ σ σ n n Errore della meda L errore della meda rsulta mnore d tutt gl error delle sngole msure

17 Prma esperenza d Laboratoro Moto d una sltta nella gudova a. Preparazone della postazone:. collegare l banco alla rete elettrca. accendere l computer e l compressore. verfcare la poszone orzzontale della gudova v. verfcare la poszone del sonar b. Prma msura: moto rettlneo unforme. msurare veloctà n funzone del tempo per 5 volte spngendo la sltta verso l magnete (delcatamente!). Stmare l angolo d nclnazone della gudova e rmetterla n poszone orzzontale.. msurare poszone della sltta n funzone del tempo lancandola col magnete. Verfcare l andamento lneare. rpetere la msura 5 volte e rportare rsultat dell nterpolazone sul foglo d calcolo per vedere la dspersone della veloctà v. aggungere un dsco metallco alla sltta e studare l azone del magnete c. Seconda msura: moto unformemente accelerato. nclnare l pano della gudova verso l sonar ( gro5 ). msurare l accelerazone per 5 nclnazon dverse (/ gro per volta). rportare valor nel foglo d calcolo e verfcare se l accelerazone è solo dovuta alla forza peso S.M. Lenz - Msura 7

18 Studo dell azone del magnete () S.M. Lenz - Msura 8

19 Studo dell azone del magnete () S.M. Lenz - Msura 9

20 Materale per l laboratoro S.M. Lenz - Msura 0

21 Seconda esperenza d Laboratoro a. Preparazone della postazone:. collegare l banco alla rete elettrca. accendere l computer e l compressore. verfcare la poszone orzzontale della gudova v. verfcare la poszone del sonar b. Prma msura:. nclnare la gudova verso l sensore d forza (che sosttusce l magnete) d 0 e, utlzzando la sltta con la molla verso l sensore d forza, spngerla delcatamente verso l sensore d modo che rmbalz. msurare poszone della sltta n funzone del tempo e calcolare l accelerazone n dscesa e n salta. rpetere la msura 5 volte e rportare rsultat sul foglo d calcolo con l loro errore. Calcolare la meda pesata v. calcolare l valore d g e della forza d attrto meda con loro error S.M. Lenz - Msura

22 Seconda esperenza d Laboratoro S.M. Lenz - Msura

23 Seconda esperenza d Laboratoro S.M. Lenz - Msura 3

24 Seconda esperenza d Laboratoro Moto d una sltta nella gudova e urt c. Seconda msura: urt. rportare la gudova n poszone orzzontale. urto perfettamente anelastco: utlzzando le sltte con l velcro, mantenere una ferma e spngere l altra dal sonar verso la prma sltta che vene rlascata un attmo prma dell urto. Msurare la velocta prma e dopo l urto e verfcare la conservazone della quantta d moto.. urto elastco: rpetere l punto ) utlzzando una sltta con la molla. v. urto elastco (lento): spngere la sltta con la molla verso l sensore d forza. Verfcare la relazone tra l mpulso della forza e la quantta d moto nel foglo d calcolo e stmare la durata dell urto. Il fondoscala del sensore d forza vene posto a 0. v. urto anelastco (stantaneo): utlzzando la sltta con la barretta d dametro maggore s rpete l punto precedente e s stma la durata dell urto S.M. Lenz - Msura 4

25 Urto perfettamente anelastco S.M. Lenz - Msura 5

26 Urto elastco lento S.M. Lenz - Msura 6

27 Urto anelastco (stantaneo) S.M. Lenz - Msura 7

28 Msura del momento d nerza d un volano S.M. Lenz - Msura 8

29 Momento d attrto S.M. Lenz - Msura 9