E. Il campo magnetico

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3 E. Il campo magnetco V è un mportante effetto che accompagna sempre la presenza d una corrente elettrca e s manfesta sa all nterno del conduttore sa al suo esterno: alla corrente elettrca è sempre assocata la presenza d un campo magnetco. e affronteremo ora lo studo, esamnando prma le forze con cu s manfesta la sua presenza e consderando po come esso venga prodotto dal movmento delle carche elettrche. 1. Le forze tra magnet Gà nell antchtà s conosceva la magnette, un ossdo d ferro (Fe 3O 4) che possede naturalmente la capactà d attrare pccol pezz d ferro (l nome alla cttà d Magnesa nell attuale Turcha, ne cu press s trovava con partcolare abbondanza). sapeva anche che pezz d ferro o d altr materal, se avvcnat a petre d magnette o meglo se post a contatto con esse, vengono magnetzzat, ossa acqustano la stessa propretà d attrarre altr pezz d ferro (trasformandos n quell che ogg chamamo magnet o calamte). olo alcun materal possono essere magnetzzat: l ferro, l nchel, l cobalto e alcune loro leghe. A quest materal s dà l nome d sostanze ferromagnetche. Vengono prodotte calamte d forme molto dverse: le pù comun sono le calamte rettlnee a forma d sbarra rettlnea, quelle a forma d ferro d cavallo e gl agh magnetc, costtut da una sottle lamnetta d accao magnetzzata sospesa al suo punto centrale, ntorno al quale può ruotare (fgura 1 e 2). Fgura 1. Una calamta attra della lmatura d ferro. Fgura 2. Un ago magnetco. ell antchtà s sapeva anche che le petre d magnette tendono a orentars nella drezone nord-sud, come testmona l uso della bussola per la navgazone. Ogn magnete ha due regon, dette pol magnetc, nelle qual le propretà magnetche sono pù ntense. Uno de pol tende a drgers nella drezone del nord ed è detto polo nord del magnete, mentre l altro, che tende a drgers verso l sud, è detto polo sud del magnete. verfca che l polo nord d un magnete respnge l polo nord d un altro magnete e lo stesso avvene per due pol sud, mentre l polo nord d un magnete e l polo sud d un altro magnete s attraggono l uno con l altro (fgura 3). Il motvo per l quale magnet tendono a orentars nella drezone nord-sud è che la Terra stessa è un ggantesco magnete, con l polo sud magnetco nelle vcnanze del suo polo nord geografco, e l polo nord magnetco nelle vcnanze del polo sud geografco: un qualsas pezzo d materale magnetzzato tende qund a orentars con l suo polo nord nella drezone del polo sud magnetco della Terra (e qund verso l suo polo nord geografco) e l polo sud nella drezone opposta.

4 a) b) Fgura 3. a) Pol magnetc d segno contraro s attraggono; b) pol magnetc dello stesso segno s respngono. Fgura 4. Una bussola è costtuta da un ago magnetco appoggata su un perno vertcale con attrto mnmo. L ago magnetco s dspone approssmatvamente nella drezone nord-sud. Gl altr punt cardnal possono essere rcavat allneando opportunamente la scala graduata della bussola. Fgura 5. Dvdendo una barra magnetzzata n due part, s orgnano due nuov pol magnetc oppost nel punto d dvsone, n modo che s ottengono due barre ognuna con due pol magnetc oppost: non è possble separare pol magnetc d un magnete. on sono ma stat osservat pol magnetc solat. e s tagla a metà un magnete a forma, per esempo, d sbarra con due pol magnetc alle estremtà, nel punto d dvsone s generano due nuov pol magnetc n modo che cascuno de due framment ottenut costtusce un nuovo magnete, con l suo polo nord e l suo polo sud (fgura 5). La drezone e l verso del vettore nduzone magnetca Il fatto che un polo magnetco eserct delle forze su pezz d ferro o su altr pol magnetc post nelle sue vcnanze manfesta la presenza d un campo magnetco nello spazo crcostante l polo magnetco. Per defnrne la drezone e l verso occorre tener presente che corp magnetzzat presentano sempre due pol magnetc e l campo magnetco esercta su d ess un azone rotatora dovuta alla presenza non d una sngola forza, ma d una coppa d forze. Consderamo allora un magnete a sbarra come quello mostrato nella fgura 6, nella quale è ndcato n verde l polo nord del magnete e n rosso l polo sud. Avvcnamo al polo nord del magnete un pccolo ago magnetco sospeso per l suo barcentro e lbero d ruotare. L ago magnetco s orenterà n modo che l suo polo sud, attratto dal polo nord del magnete, punt verso d esso. e muovamo l ago magnetco, allontanandolo dal polo nord del magnete e ponendolo n altr punt dello spazo, osserveremo che n ogn punto l ago magnetco s oren

5 ta n una ben determnata drezone. Rsulta naturale sceglere questa drezone, per ogn punto dello spazo, come la drezone del vettore utlzzato per descrvere l campo magnetco. empre utlzzando l ago magnetco d prova, è possble defnre anche un verso per l vettore utlzzato per descrvere l campo magnetco: concretamente, s attrbusce a questo vettore l verso che va dal polo sud al polo nord dell ago magnetco d prova. Fgura 6. Il campo magnetco esercta su un ago magnetco d prova un azone rotatora dovuta alla presenza d una coppa d forze. B Fgura 7. In ogn punto dello spazo l vettore nduzone magnetca ha la drezone e l verso n cu s dspone un ago magnetco posto n quel punto. Defnamo qund un vettore detto nduzone magnetca, ndcato con l smbolo, n manera tale che n ogn punto dello spazo la drezone d concde con quella n cu s orenta un ago magnetco d prova e l suo verso è quello che va dal polo sud al polo nord dell ago magnetco d prova. Vedremo pù avant come s defnsce l ntenstà d questo vettore e qual è la sua untà d msura nel stema Internazonale. Le lnee d flusso del campo magnetco Con lo stesso procedmento che abbamo utlzzato per traccare le lnee d flusso del campo elettrco, è possble dsegnare le lnee d flusso del campo magnetco: a partre da un punto P c s sposta d un pccolo tratto l nella drezone e verso ndcat dall ago magnetco d prova, portandos al punto P. sposta l ago magnetco d prova n P e c s porta nel punto P, e così va. ottene così una lnea spezzata che, per l tendente a zero, concde con la lnea d flusso del campo magnetco passante per P (fgura 8). L andamento delle lnee del campo magnetco all esterno del magnete può essere vsualzzato con una semplce esperenza. colloca l magnete n poszone orzzontale su un pano e s pone sopra d esso un sottle foglo plastca o d cartoncno. sparge po su questo foglo della lmatura d ferro. Questa s dspone secondo le lnee del campo magnetco. Infatt ogn granello d lmatura, che ha una forma allungata, s magnetzza per effetto del campo magnetco del magnete e s comporta come un pccolo aghetto magnetco, dsponendos nella drezone della lnea del campo magnetco passante per quel punto. La fgura 9 mostra l andamento delle lnee d campo d un magnete a forma d sbarra: le lnee d campo escono dal polo nord del magnete e, dopo aver descrtto un percorso curvo, entrano nel polo sud del magnete.

6 (P) B (P ) P P B (P ) P Fgura 8. Costruzone delle lnee d flusso del campo magnetco. Fgura 9. Lnee del campo magnetco prodotto da un magnete a sbarra vsualzzate dalla lmatura d ferro. Utlzzando magnet d forma dversa s possono ottenere confgurazon dverse del campo magnetco. Un caso partcolarmente nteressante è quello del campo magnetco all esterno d un magnete a forma d C, cu due pol corrspondano a due superfc pane affaccate l una all altra come nella fgura 10: le lnee del campo magnetco n questa regone sono de segment d retta perpendcolar alle superfc che costtuscono pol del magnete, drette dal polo nord al polo sud del magnete. Il campo magnetco al centro d questa regone non ha soltanto la stessa drezone n tutt punt, ma anche la stessa ntenstà: s tratta d un campo magnetco unforme. Fgura 10. Tra le superfc pane parallele che costtuscono pol d un magnete a forma d C s ha un campo magnetco unforme dretto dal polo nord al polo sud. 2. Le forze tra magnet e corrent elettrche L espermento d Oersted La scoperta dell nterazone tra corrent elettrche e magnet s deve al fsco danese Hans Chrstan Oersted ( ). e suo esperment, effettuat nel 1820, Oersted ottenne seguent rsultat:

7 un ago magnetco posto nelle vcnanze d un flo rettlneo percorso da una corrente elettrca s dspone perpendcolarmente al flo (fgura 11); - se l ago magnetco vene spostato con contnutà nella drezone verso cu punta, s mantene perpendcolare al flo descrvendo una crconferenza ntorno ad esso; - l nversone del verso della corrente che percorre l flo provoca una rotazone d 180 dell ago magnetco. Fgura 11. Espermento d Oersted: gl agh magnetc s dspongono perpendcolarmente a un flo percorso da corrente, descrvendo una crconferenza ntorno ad esso. e s nverte l verso della corrente tutt gl agh magnetc ruotano d 180. Venva così dmostrato che non solo magnet, ma anche le corrent elettrche producono un campo magnetco. L espermento d Oersted mostra che le lnee d flusso del campo magnetco generato da un flo rettlneo percorso da una corrente elettrca sono delle crconferenze concentrche al flo, dsposte su pan perpendcolar ad esso. Il verso d questo campo magnetco dpende dal verso della corrente che percorre l flo. Per ndvduarlo vene utlzzata la regola della mano destra così formulata: posto l pollce della mano destra nella drezone e verso della corrente che percorre l flo, le altre dta ndcano l verso n cu sono orentate le lnee d flusso del campo magnetco che ruotano ntorno al flo. Fgura 12. Regola della mano destra per la determnazone del verso del campo magnetco prodotto da un flo percorso da corrente.

8 L ntenstà del vettore nduzone magnetca verfca spermentalmente non solo che un flo percorso da corrente elettrca genera un campo magnetco, ma anche che un campo magnetco esercta una forza su un flo percorso da corrente elettrca. Immagnamo d sospendere a un dnamometro un flo rettlneo d lunghezza l, n modo che rest dsposto orzzontalmente, collegato a un crcuto elettrco. Inseramo qund l flo, sospeso al dnamometro, tra pol d un grosso magnete a forma d C, n modo che rsult perpendcolare alla drezone delle lnee del campo magnetco che n questa regone, come sappamo, è unforme (fgura 13). Potremo osservare che l allungamento del dnamometro vara al varare dell ntenstà della corrente che percorre l flo: l campo magnetco esercta sul flo una forza dretta vertcalmente, verso l alto o verso l basso a seconda del verso della corrente che percorre l flo. L ntenstà F d questa forza, che è ndcata dalla varazone d lunghezza del dnamometro, rsulta drettamente proporzonale all ntenstà della corrente che percorre l flo e alla lunghezza l del flo. Possamo qund scrvere F = Bl dove B è una costante d proporzonaltà che non dpende dalle dmenson del flo e dall ntenstà della corrente elettrca che lo percorre, ma soltanto dalle caratterstche del campo magnetco n cu l flo s trova. e s rpete l esperenza collocando l flo tra pol d un altro magnete, sempre mantenendo l flo perpendcolare alla drezone delle lnee del campo magnetco, s otterrà un valore dverso per la costante d proporzonaltà B: maggore se l magnete è pù forte, mnore se l magnete è pù debole. La costante d proporzonaltà B, che dpende soltanto dal magnete utlzzato, può qund essere utlzzata come ntenstà del vettore nduzone magnetca nella regone n cu è stato posto l flo. (1) - + Fgura 13. Msura della forza eserctata da un campo magnetco unforme su un flo rettlneo percorso da corrente. Come potremmo utlzzare un metodo d questo genere per msurare l ntenstà del campo magnetco n un caso pù generale? Consderamo un punto P qualsas nello spazo. Ponendo n P un pccolo ago magnetco possamo determnare la drezone e l verso del vettore nduzone magnetca n questo punto. Collochamo qund n P un conduttore rettlneo d lunghezza l, pccola, dsposto perpendcolarmente alla drezone del vettore nduzone magnetca, e msuramo l ntenstà F della forza a cu l conduttore è soggetto quando è percorso da una corrente elettrca d ntenstà. D accordo con la formula (1) l rapporto

9 F B = l (2) c dà allora l ntenstà del vettore nduzone magnetca nel punto P. La relazone (2) può essere utlzzata per defnre l untà d msura dell nduzone magnetca : nel stema Internazonale l untà d msura dell nduzone magnetca corrsponde a un campo magnetco nel quale un flo della lunghezza d un metro percorso da una corrente elettrca con ntenstà d un ampere e dsposto perpendcolarmente alle lnee d flusso del campo magnetco è soggetto a una forza d un newton. A questa untà d msura s dà l nome d tesla (smbolo T) n onore del fsco croata kolaj Tesla ( ). Il tesla è un untà d msura puttosto grande, che corrsponde a un campo magnetco d notevole ntenstà. I magnet pù potent producono camp magnetc con un ntenstà d alcun tesla, mentre l campo magnetco terrestre, responsable dell orentamento verso l nord geografco dell ago delle bussole, ha ne dvers punt della superfce terrestre un ntenstà compresa all ncrca tra 10-5 e 10-4 T. La forza eserctata da un campo magnetco su un flo rettlneo percorso da corrente Consderamo ora come l ntenstà e della drezone della forza eserctata dal campo magnetco su un flo rettlneo percorso da corrente elettrca dpendono dalla dsposzone del flo rspetto alla drezone delle lnee del campo magnetco. Tornamo a consderare l dspostvo spermentale llustrato nella fgura 13. Qual sono la drezone e l verso della forza eserctata dal campo magnetco sul flo? a l flo, sa la lnee del campo magnetco gaccono n un pano orzzontale, mentre la forza è dretta vertcalmente, verso l alto o verso l basso. Qund la forza eserctata dal campo magnetco sul flo ha drezone perpendcolare a quella del pano contenente l flo e l vettore nduzone magnetca. Per quanto rguarda l verso d questa forza, vale la regola della mano destra formulata n questo modo: se ponamo l pollce della mano destra nella drezone e verso della corrente che percorre l flo e l ndce della mano destra nella drezone e verso del vettore nduzone magnetca, allora l dto medo rsulta dretto nel verso della forza (fgura 14). e po, sempre mantenendo orzzontale l flo, lo ruotamo n modo da varare l angolo θ tra la drezone del flo e quella del campo magnetco (fgura 15), allora l ntenstà F della forza dmnusce fno a rdurs a zero quando θ = 0. trova che vale la relazone F = lb sen θ (3) B F Fgura 14. La regola della mano destra per la forza eserctata da un campo magnetco su un flo percorso da corrente: posto l pollce della mano destra nella drezone e verso della corrente che percorre l flo e l ndce nella drezone e verso d, l medo dsposto perpendcolarmente alle altre due dta ndvdua l verso della forza.

10 θ Fgura 15. L angolo θ tra la drezone ndvduata dal flo e le lnee d flusso del campo magnetco. Le forze eserctate da un campo magnetco su una spra percorsa da corrente La formula (3) fornsce l ntenstà della forza che un campo magnetco unforme esercta su un flo rettlneo d lunghezza l percorso da una corrente elettrco. In molt cas, però, possamo avere a che fare con fl d forma qualsas, non necessaramente rettlne, post n un campo magnetco non unforme. Come è possble n un caso del genere determnare la forza che l campo magnetco esercta sul flo quando è percorso da una corrente elettrca? Per calcolare la forza eserctata da un campo magnetco su un flo percorso da corrente nel caso pù generale, possamo suddvdere l flo n un grande numero d trattn cascuno d lunghezza l e calcolare la forza eserctata dal campo magnetco su cascun trattno d flo utlzzando la formula (3), come mostra la fgura 16. In generale l crcuto potrà essere deformato da questo sstema d forze. e però l crcuto è suffcentemente rgdo da non deformars, l sstema d forze ad esso applcato potrà essere rdotto a una forza rsultante e a una coppa d forze d momento M. l Fgura 16. La forza eserctata dal campo magnetco su un flo d forma qualsas percorso da corrente s ottene dalla composzone delle forze eserctate su cascun elemento d flo d lunghezza l.

11 EF - + E HE F 90 + θ θ θ H θ FG G θ GH Fgura 17. Le forze eserctate da una campo magnetco unforme su un crcuto rettangolare percorso da corrente. Consderamo per esempo l caso d un crcuto ndeformable d forma rettangolare EFGH posto n un campo magnetco unforme n modo che la normale al pano che lo contene form un angolo θ con le lnee del campo, come mostra la fgura 17. Indchamo con x la lunghezza de lat orzzontal EF e GH e con y la lunghezza de lat vertcal FG e HE. Consderamo qund le forze eserctate dal campo magnetco su cascun lato del crcuto quando esso è percorso da una corrente d ntenstà. - Il lato EF del crcuto d lunghezza x forma un angolo (90 + θ) con l campo magnetco. L ntenstà della forza EF eserctata su d esso dal campo magnetco rsulta qund, per la formula (3), par a F EF = xb sen (90 + θ) Applcando la regola della mano destra e consderando l verso della corrente che percorre l lato EF del crcuto come mostrato dalla fgura 17, rsulta che questa forza è dretta vertcalmente verso l alto. - Anche l lato GH ha lunghezza x. È percorso dalla corrente n verso opposto a quello del lato EF e forma qund un angolo (270 + θ) con l campo magnetco. L ntenstà della forza GH eserctata su d esso dal campo magnetco rsulta uguale a quella d EF: F GH =F EF = xb sen (270 + θ) = xb sen (90 + θ) Poché però la corrente che percorre GH ha verso contraro rspetto a quella che percorre EF, la forza GH è dretta verso l basso. Le due forze EF e GH hanno la stessa retta d azone e s equlbrano l una con l altra: EF + GH = 0. - La forza FG che l campo magnetco esercta sul lato FG del crcuto d lunghezza y ha modulo F FG = yb

12 e forma un angolo θ con l pano ndvduato dal crcuto, come mostra la fgura La forza HE eserctata sul lato HE del crcuto ha la stessa ntenstà F HE = F FG = yb e verso contraro rspetto a FG. Le due forze FG e HE costtuscono una coppa d forze l cu bracco è par a y sen θ. Il momento M d questa coppa ha qund modulo par a M = F FG x sen θ = xyb sen θ = AB sen θ (4) dove A = xy è l area del crcuto. La drezone del vettore M è quella vertcale, perpendcolare a quella del pano contenente le forze FG e HE. Qund le forze eserctate dal campo magnetco sul crcuto rettangolare percorso dalla corrente tendono a ruotare l crcuto, portandolo verso l pano perpendcolare alla drezone del campo magnetco. può dmostrare che questo avvene per qualsas crcuto costtuto da una lnea chusa pana, qualsas sa la sua forma, e che l modulo del momento meccanco che agsce sul crcuto è sempre dato dalla formula (4) nella quale con A è ndcata l area del crcuto. e l crcuto è costtuto da una bobna composta da n spre tutte d area A, s sommano vettoralmente moment meccanc eserctat su cascuna spra, tutt ugual tra loro, e qund l ntenstà del momento meccanco M eserctato sulla bobna rsulta moltplcato per n: M = nab sen θ Il fatto che l momento meccanco M eserctato sulla bobna moble rsult drettamente proporzonale all ntenstà della corrente elettrca che la percorre è sfruttato per la realzzazone del galvanometro, l dspostvo da cu dpende normalmente l funzonamento degl amperometr. Il galvanometro è costtuto da una pccola bobna d flo conduttore lbera d ruotare nel campo magnetco prodotto da un magnete o da un altra bobna fssa. Il passaggo nella bobna moble della corrente d cu s vuole msurare l ntenstà genera un campo magnetco e per questo sulla bobna agsce una coppa d forze che tende a farla ruotare. Questa rotazone è contrastata da una molla: l angolo d cu la bobna e l ndce ad essa fssato rsultano ruotat è tanto maggore quanto maggore è l ntenstà della corrente. (5) HE θ b E F 90 + θ θ θ x sen θ FG Fgura 18. Vsta dall alto delle forze eserctate da una campo magnetco unforme su un crcuto rettangolare percorso da corrente rappresentate nella fgura 17.

13 Il moto d una carca elettrca n un campo magnetco appamo che la corrente elettrca è dovuta al moto ordnato delle partcelle dotate d carca elettrca present all nterno de conduttor. Rsulta naturale allora potzzare che la forza che osservamo quando un conduttore percorso da una corrente elettrca è posto n un campo magnetco sa la rsultante delle forze eserctate dal campo magnetco sulle sngole carche elettrche n movmento. A partre dall espressone (3) della forza eserctata da un campo magnetco su un flo rettlneo percorso da una corrente elettrca possamo allora rcavare l espressone della forza eserctata dal campo magnetco su una carca elettrca n movmento. Come vedremo, l rsultato che s otterrà è n accordo con le traettore osservate per l moto d partcelle dotate d carca elettrca poste n un campo magnetco. La forza eserctata dal campo magnetco su una carca elettrca n movmento Consderamo un flo metallco d lunghezza l percorso da una corrente elettrca d ntenstà, posto n un campo magnetco dretto perpendcolarmente rspetto al flo. appamo che se θ è l angolo compreso tra l flo e le lnee del campo magnetco, sul flo agsce una forza la cu ntenstà è data dalla formula (3): F = lb sen θ (3) La corrente elettrca che percorre l flo metallco è dovuta al moto degl elettron d conduzone present nel metallo e la sua ntenstà è data dalla formula = n eqv d nella quale n e è la denstà d elettron d conduzone nel metallo, q è la carca elettrca dell elettrone, è l area della sezone trasversale del conduttore e v d la veloctà del moto d derva degl elettron d conduzone nel metallo. ella relazone (6) l prodotto l dell area della sezone trasversale del flo per la sua lunghezza è l volume V del flo. Moltplcando l volume V del flo per la denstà n e d elettron d conduzone s ottene l numero totale d elettron d conduzone present nel flo: = n ev = n el l = qv d ha qund che nserta nella formula (3) dà F = qv db sen θ (8) L ntenstà F della forza che l campo magnetco esercta sul flo percorso da corrente è, come dcevamo, la rsultante delle forze eserctate su sngol elettron d conduzone n moto cascuno con una propra veloctà v. Dvdendo la formula (8) per l numero d partcelle carche n movmento present nel flo s ottene la seguente espressone per la forza eserctata da un campo magnetco su una partcella dotata d carca elettrca q: F = qvb sen θ (9) (6) (7) v q > 0 q < 0 v Fgura 18. Drezone e verso della forza eserctata dal campo magnetco su partcelle n movmento con carca elettrca postva (a snstra) e con carca elettrca negatva (a destra).

14 v q < 0 q > 0 v Fgura 19. Traettore d due partcelle carche, una postva (a snstra) e l altra negatva (a destra) n moto perpendcolarmente rspetto alle lnee d flusso d un campo magnetco unforme. Possamo qund dre che la forza eserctata da un campo magnetco su una partcella carca n movmento è sempre dretta trasversalmente rspetto alla drezone del campo magnetco e a quella del moto della partcella così come quella eserctata dal campo magnetco su un flo percorso da corrente è dretta trasversalmente rspetto alla drezone del campo magnetco e quella della corrente, e che la sua ntenstà è proporzonale al prodotto della veloctà per l ntenstà del campo magnetco. Il suo verso dpende dal segno della carca elettrca della partcella (fgura 18). Il moto d una partcella carca n un campo magnetco unforme La forza che un campo magnetco esercta su una partcella dotata d carca elettrca n movmento ha un effetto che dffersce per un aspetto mportante da quell degl altr tp d forze che abbamo ncontrato fno ad ora. ormalmente, nfatt, una forza compe un lavoro agendo su un corpo n movmento e la sua azone sul corpo ne fa varare l valore assoluto della veloctà, oltre che eventualmente la drezone. el caso del campo magnetco, però, la forza è sempre dretta perpendcolarmente rspetto alla veloctà del corpo a cu è applcata e percò anche allo spostamento del corpo. Qund, l lavoro computo dal campo magnetco è sempre nullo. La forza magnetca che agsce su una carca elettrca n moto n un campo magnetco non compe lavoro e non può qund far varare l energa cnetca della partcella: l azone del campo magnetco non può modfcare l modulo v della veloctà d una partcella carca, ma solo la sua drezone. Consderamo allora una partcella dotata d una carca elettrca q n moto con veloctà v perpendcolarmente a un campo magnetco unforme. Poché l modulo v della veloctà della partcella non vene modfcato dal campo magnetco, la forza che l campo magnetco esercta sulla partcella ha ntenstà F costante che per la formula (9) rsulta par a F = qvb Questa forza è sempre dretta perpendcolarmente rspetto alla traettora della partcella. appamo dallo studo della dnamca che un corpo su cu agsce una forza costante dretta n ogn punto perpendcolarmente rspetto alla sua traettora descrve una traettora crcolare. el nostro caso s può calcolare che l raggo R d questa traettora è dato da mv R = qb dove con m è ndcata la massa della partcella. La traettora d una partcella dotata d carca elettrca n moto n un campo magnetco unforme con veloctà v perpendcolare al campo (10) (11)

15 magnetco è qund una crconferenza posta nel pano perpendcolare al campo magnetco, che ha un raggo R drettamente proporzonale alla quanttà d moto mv della partcella e nversamente proporzonale alla sua carca elettrca q e all ntenstà B del campo magnetco (fgura 19). 4. Il campo magnetco generato da un flo percorso da corrente Abbamo vsto che un flo rettlneo percorso da una corrente elettrca genera nello spazo crcostante un campo magnetco le cu lnee d flusso sono crconferenze poste n pan perpendcolar al flo. L ntenstà d questo campo magnetco è specfcata dalla legge d Bot e avart, secondo la quale l ntenstà del vettore nduzone magnetca nelle vcnanze d un flo rettlneo rsulta drettamente proporzonale all ntenstà della corrente elettrca che percorre l flo e nversamente proporzonale alla dstanza r dal flo. Questa legge è valda purché la dstanza r dal flo sa pccola rspetto alla lunghezza l del flo. el defnre le relazon tra le grandezze fsche che compongono l stema Internazonale d untà d msura s è scelto d esprmere n forma matematca la legge d Bot e avart come B µ = 2π r dove µ è una costante, detta permeabltà magnetca. (12) La forza magnetca tra due fl rettlne parallel Consderamo ora un conduttore A percorso da una corrente elettrca: sappamo che esso genera un campo magnetco. appamo anche che questo campo magnetco esercta una forza su un qualsas altro conduttore B percorso anch esso da una corrente elettrca. Qund tra due conduttor A e B, percors da corrente elettrca, deve eserctars una forza. Consderamo due lungh fl rettlne parallel, A e B, separat da una dstanza r pccola rspetto alla lunghezza l de fl e percors da corrent elettrche d ntenstà rspettvamente A e B che abbano lo stesso verso, per esempo drette verso l alto come nella fgura 20. Il flo A genera un campo magnetco l cu vettore nduzone magnetca ha un ntenstà, ne punt post alla dstanza r alla quale s trova l flo B, data dalla relazone (12): B µ = 2π A r La drezone del vettore è perpendcolare al flo B, con un verso che, nel caso rappresentato nella fgura 20, è rvolto verso l nterno del foglo. (12) A r B A r B A B A B Fgura 20. La forza d attrazone tra due fl parallel percors da corrente nello stesso verso (a snstra) e la forza d repulsone tra due fl parallel percors da corrente n verso contraro (a destra). Un tratto d lunghezza l del flo B, percorso dalla corrente d ntenstà B e posto n questo campo magnetco, è soggetto a una forza la cu ntenstà è data dalla formula (1):

16 F = B Bl osttuendo n questa relazone l ntenstà d nduzone magnetca B data dall espressone (12), s ottene F µ = 2π r l A B Per quanto rguarda l verso d questa forza, vale la seguente regola: due fl rettlne parallel percors da corrent elettrche nello stesso verso s attraggono, mentre due fl rettlne parallel percors da corrent elettrche n verso contraro s respngono. (1) (13) La defnzone dell ampere e l valore della permeabltà magnetca del vuoto Gunt a questo punto, samo n grado, fnalmente, d precsare come nel stema Internazonale è defnto l ampere, ossa l untà d msura dell ntenstà della corrente elettrca. Consderamo la formula (13) che fornsce l ntenstà della forza che s esercta tra due fl rettlne A e B percors da corrente elettrca. In questa formula compaono, oltre alle ntenstà A e B delle corrent che percorrono fl, solo grandezze meccanche faclmente msurabl e d cu sono state gà defnte le untà d msura: la lunghezza l de fl, la loro dstanza r e l ntenstà F della forza con cu s attrano o s respngono. Per questo la formula (13) è stata utlzzata per defnre l ampere come untà d msura dell ntenstà d corrente elettrca nel stema Internazonale, nel modo seguente: consderat due fl rettlne parallel d lunghezza nfnta post a una dstanza d un metro nel vuoto, percors da corrent elettrche d uguale ntenstà, s defnsce l ampere come quel valore dell ntenstà d corrente comune a due fl n corrspondenza del quale s msura tra d ess una forza che ha ntenstà par a per ogn metro d lunghezza de fl. F B = B B = 1 A A = 1 A F A = m A 1 m Fgura 21. Defnzone dell ampere: due fl parallel d lunghezza nfnta post a una dstanza d un metro e percors da entramb da una corrente d un ampere eserctano uno sull altro una forza par a per ogn metro d lunghezza. L ampere rsulta così, nel stema Internazonale, l untà d msura fondamentale per le grandezze elettromagnetche. Dall ampere s rcavano, come untà d msura dervate: l coulomb, ossa la carca elettrca per attraversa n un secondo un conduttore percorso da una corrente elettrca d un ampere; l tesla, ossa l ntenstà del vettore nduzone magnetca d un campo magnetco che esercta una forza d un newton su un flo rettlneo della lunghezza d un metro percorso da una corrente d un ampere; e così d seguto per tutte le altre grandezze fsche che stamo consderando n quest captol. Una volta defnta l untà d msura per l ntenstà della corrente elettrca, resta fssato anche l valore della costante d proporzonaltà µ che compare nelle formule (12) e (13). Esplctandola dalla formula (13), e nserendo n ess valor d dstanza, forza e ntenstà d corrente corrspondent alla defnzone dell ampere, s ha

17 πrF 2π 1m = = 4 10 l 2 A B µ = π 1m ( 1A ) /A 2 Poché la defnzone dell ampere s rfersce alla forza che s esercta tra due fl post nel vuoto, questo valore s ndca come µ 0 = 4π 10-7 /A 2 e vene detto permeabltà magnetca del vuoto. on s tratta d un valore approssmato che derva da un operazone d msura, ma d un valore esatto fssato dalla defnzone dell ampere e dalla scelta d esprmere nella forma (12) l ntenstà del campo magnetco generato da un flo percorso da corrente. e, anzché nel vuoto, c s trova all nterno d un mezzo materale, l valore della permeabltà magnetca µ dffersce da quello della permeabltà magnetca del vuoto µ 0. Come vedremo, n generale questa dfferenza è molto pccola, tranne nel caso delle sostanze ferromagnetche. (14) Il campo magnetco generato da un solenode Consderamo ora un mportante caso partcolare: quello del solenode, ossa d un avvolgmento composto da un numero grande d spre crcolar dsposte su una superfce clndrca, percorso da una corrente elettrca. Una propretà del solenode per la quale esso è partcolarmente nteressante a fn pratc è che l campo magnetco nella regone centrale d un solenode rsulta pratcamente unforme e dretto lungo l asse del solenode mentre è nvece molto debole al suo esterno. Queste condzon s realzzano tanto meglo quanto maggore è l rapporto l/r tra la lunghezza l e l raggo R del solenode e quanto pù è ftto l solenode, ossa quanto pù vcne tra loro sono le sngole spre che lo compongono. La fgura 22 mostra l andamento delle lnee del campo magnetco generato da un solenode: s tratta d un campo magnetco molto smle a quello prodotto da un magnete rettlneo che abba la forma d una sbarra clndrca. All nterno d un solenode l verso del campo magnetco è ndvduato dalla regola della mano destra: poste le dta pegate della mano destra nel verso n cu la corrente crcola nelle spre del solenode, l pollce ndca l verso del vettore (fgura 23). l R + - Fgura 22. Il campo magnetco generato da un solenode.

18 Fgura 23. Regola della mano destra per la determnazone del verso del campo magnetco generato da un solenode. el caso d un solenode deale, ossa d un solenode d lunghezza l nfnta le cu spre sano molto ftte, s ha B = 0 all esterno del solenode e B = µ = µ n l all nterno del solenode. In questa formula è l numero delle spre del solenode e n l numero d spre per unta d lunghezza del solenode. Qund l ntenstà del campo magnetco all nterno d un solenode deale è drettamente proporzonale all ntenstà della corrente che lo percorre e al rapporto /l tra l numero d spre che compongono l solenode e la sua lunghezza l. (15) 5. Le propretà magnetche delle dverse sostanze Fno ad ora c samo nteressat de camp magnetc generat dalle corrent elettrche e delle forze eserctate da camp magnetc sulle corrent elettrche. Il nostro studo de fenomen magnetc è però nzato con l osservazone delle forze magnetche tra corp materal come le calamte e gl agh magnetc. Ce ne occuperemo ora. La forza magnetca su dvers tp d sostanze L esperenza ordnara c permette d osservare che pol d un magnete eserctano un ntensa forza d attrazone soltanto su sostanze che abbamo chamato ferromagnetche: ferro, nchel, cobalto e alcune loro leghe. Con strument d msura sensbl, però, è possble rlevare che tutte le sostanze, se poste nelle vcnanze d un magnete, sono soggette a forze d debole ntenstà, e precsamente: alcune sostanze, dette damagnetche, sono respnte da pol d un magnete, mentre le altre sostanze, dette paramagnetche sono attrate da pol de magnet. Allumno Oro Oro Allumno Fgura 24. ostanze damagnetche come l oro sono debolmente respnte da pol d un magnete, mentre sostanze paramagnetche come l allumno sono debolmente attratte.

19 Possamo dare una spegazone d queste forze rcorrendo a un potes, formulata per la prma volta dal fsco francese Ampère, secondo la quale le propretà magnetche delle dverse sostanze possono essere spegate dalla presenza al loro nterno d corrent elettrche mcroscopche che ogg sappamo essere dovute al moto degl elettron ntorno a nucle degl atom. Consderamo un clndro composto da una sostanza ferromagnetca. Quando la sostanza non è magnetzzata le pccole spre corrspondent alle corrent elettrche mcroscopche sono dsposte a caso n tutte le drezon. e però l clndro vene posto n un campo magnetco esterno che abba nduzone magnetca o, le corrent elettrche mcroscopche tendono ad allnears nella drezone d o, come mostra la fgura 25. All nterno del clndro le corrent mcroscopche adacent s annullano l una con l altra e complessvamente l loro effetto è equvalente a quello d una corrente che crcola lungo la superfce del clndro. Il clndro magnetzzato s deve allora comportare come un solenode percorso da corrente. Possamo ndcare con m l vettore nduzone magnetca, dretto nello stesso verso d o, che è prodotto da questa corrente e che corrsponde alla magnetzzazone del materale. m Fgura 25. Le corrent mcroscopche allneate all nterno d una sostanza magnetzzata. Ogn celletta quadrata corrsponderebbe a un sngolo atomo. Fgura 26. Corrent superfcal e forze su un materale paramagnetco (n alto) e un materale damagnetco (n basso) post n un campo magnetco non unforme. upponamo ora che l campo magnetco esterno o non sa unforme, come avvene per esempo nelle vcnanze del polo d un magnete. Il campo magnetco esterno nteragsce con la corrente che crcola sulla superfce del clndro magnetzzato, n modo tale che su d esso agsce una forza dretta verso le regon d campo magnetco pù ntenso: l polo d un magnete qund attra un corpo composto da una sostanza ferromagnetca. L attrazone eserctata dal polo d un magnete su una corpo composto da una sostanza paramagnetca s spega n modo

20 analogo, con la dfferenza che ne materal ferromagnetc l effetto è molto pù ntenso ed è noltre permanente: ne materal ferromagnetc la magnetzzazone permane anche dopo che è stato rmosso l campo magnetco esterno da cu è stata prodotta, mentre ne materal paramagnetc la magnetzzazone dura solo fnché è presente un campo magnetco esterno. Il fatto che le sostanze damagnetche sano respnte dal polo d un magnete ndca nvece che l campo magnetco m ndotto nel materale dalla presenza d un campo magnetco esterno o è dretto n verso contraro rspetto al campo magnetco esterno, come è mostrato nella fgura 26. La forza che agsce su un materale damagnetco tende qund a spostarlo verso regon dove l campo magnetco è meno ntenso. Come nel caso delle sostanze paramagnetche, la magnetzzazone delle sostanze damagnetche è temporanea e vene meno una volta rmosso l campo magnetco esterno. La permeabltà magnetca relatva Il comportamento magnetco de dvers tp d sostanze può qund essere nterpretato prendendo n consderazone l campo magnetco m ndotto nel materale da un determnato campo magnetco esterno o. La somma d quest due camp magnetc fornsce l vettore nduzone magnetca totale all nterno del materale: = o + m (16) Il campo magnetco ndotto m rsulta legato al campo esterno o tramte un coeffcente d proporzonaltà χ, n modo che m = χ o (17) e = (1 + χ) o = µ r o (18) ono così defnte due costant caratterstche del materale: la suscettvtà magnetca χ e la permeabltà magnetca relatva µ r. I loro valor della permeabltà magnetca relatva per dverse sostanze sono rportat nella tabella 1. può notare che materal damagnetc hanno una permeabltà magnetca µ r d poco nferore a 1, materal paramagnetc hanno una permeabltà magnetca µ r d poco superore a 1, mentre materal ferromagnetco hanno una permeabltà magnetca µ r molto pù grande d 1. Analogamente a quanto avvene nel caso delle forze che s eserctano tra carche elettrche poste all nterno d un materale delettrco, per le qual la costante delettrca ε rsulta par al prodotto tra la costante delettrca relatva ε r del mezzo e la costante delettrca assoluta del vuoto ε 0, anche nel caso magnetco la permeabltà magnetca µ che compare nella legge d Bot e avart (1) e nelle altre formule relatve al campo magnetco è par, nel caso n cu c s trov all nterno d un mezzo materale, al prodotto della permeabltà magnetca relatva µ r del mezzo per la permeabltà magnetca assoluta del vuoto µ 0: µ = µ rµ 0 (19) upponamo ora d porre un clndro d materale ferromagnetco n un campo magnetco esterno o. Il campo magnetco all nterno del materale rsulterà ncrementato d un fattore par alla permeabltà magnetca relatva µ r. Le lnee d flusso del campo magnetco saranno allora addensate all nterno del materale, come mostrato nella fgura 27.a. el caso de materal paramagnetc, che hanno una permeabltà magnetca µ r d poco superore a 1, le lnee d flusso del campo magnetco sono solo leggermente addensate all nterno del materale (fgura 27.b), mentre materal damagnetc, che hanno una permeabltà magnetca µ r d poco nferore a 1, s oppongono levemente alla penetrazone delle lnee d flusso del campo magnetco (fgura 27.c).

21 Tabella 1. Permeabltà magnetca relatva per dvers tp d sostanze. ostanze Permeabltà magnetca relatva µ r ostanze Permeabltà magnetca relatva µ r Damagnetche: Paramagnetche: 1 Bsmuto 0, Ara 4 1, Oro 0, Ossgeno 4 1, Mercuro 0, Magneso 1, Argento 0, Allumno 1, Damante 0, Tungsteno 1, Pombo 0, Ttano 1, Rame 0, Platno 1, Acqua 0, Urano 1, odo 0, Ferromagnetche: 2 Idrogeno 3 0, Ferro Azoto 4 0, Permalloy Andrde carbonca 0, Mumetal Vuoto: 1 a) b) c) Fgura 27. Lnee d flusso del vettore nduzone magnetco attraverso un materale (a) ferromagnetco; (b) paramagnetco; (c) damagnetco. 1 Alla temperatura d 20 C. 2 Valor massm approssmat, che dpendono dalle condzon d magnetzzazone. 3 Alla pressone d 760 torr. 4 Lega formata da 55% d ferro e 45% d nchel. 5 Lega formata da 77% d nchel, 16% d ferro, 5% d rame e 2% d cromo.

22 La magnetzzazone delle sostanze ferromagnetche Il comportamento de materal ferromagnetc, che conservano la loro magnetzzazone anche dopo che è stato rmosso l campo magnetco esterno che l ha prodotta, è dovuta al fatto che n queste sostanze gl atom vcn tendono ad allnears n modo che le corrent elettrche mcroscopche dovute al moto de loro elettron s rafforzano l una con le altre. Questo allneamento vene mantenuto all nterno d pccole regon, dette domn magnetc, che hanno dmenson dell ordne d 0,1 mm. ormalmente sngol domn hanno drezon d magnetzzazone dverse e la magnetzzazone complessva d un campone d materale d dmenson macroscopche rsulta nulla (fgura 28.a). e però l materale è posto n un campo magnetco esterno o, domn nzalmente orentat nella drezone d o aumentano d dmenson a spese de domn contgu, fnché tutt gl atom del materale rsultano orentat nella drezone d o (fgure 28.b e c). In queste condzon l campo magnetco nterno al materale, rsultante dalla somma de moment d dpolo magnetco d tutt suo atom, può essere consderevolmente pù ntenso d o. Quando l campo magnetco esterno vene rmosso l materale tende a conservare questa magnetzzazone. Il fatto che le sostanze ferromagnetche tendono a conservare la loro magnetzzazone anche quando l campo magnetco esterno o vene rmosso comporta che non è possble defnre un valore costante per la loro permeabltà magnetca relatva µ r. Per ugual ntenstà del campo magnetco esterno o, nfatt, l ntenstà del campo d magnetzzazone m del materale può essere anche molto dfferente. Assenza d campo esterno Campo esterno debole Campo esterno ntenso Fgura 28. Domn magnetc n un materale ferromagnetco: all aumentare dell ntenstà del campo magnetco esterno, domn allneat con esso s allargano a spese de domn adacent.

23 upponamo d nserre un clndro d ferro non magnetzzato n un solenode e d aumentare progressvamente l ntenstà della corrente che lo percorre, n modo che l ntenstà d nduzone magnetca o all nterno del solenode rsult progressvamente ncrementata (fgura 29). La magnetzzazone del clndro d ferro aumenterà come ndca l ramo OA della curva rappresentata nella fgura 30. Quando però l ntenstà del campo o rsulta suffcentemente elevata, la maggor parte de domn magnetc rsulta orentata nella stessa drezone, e un ncremento dell ntenstà d o non provoca un ulterore ncremento d m : s è raggunto un valore d saturazone B s, corrspondente al punto C del grafco. e a questo punto dmnuamo l ntenstà d o, domn magnetc del ferro tendono a restare allneat e la stuazone è rappresentata dalla curva CD, che resta sempre al d sopra del ramo d curva OAC: anche quando l campo esterno è nullo l ferro mantene una magnetzzazone resdua a cu corrsponde una ntenstà d nduzone magnetca B r (punto D del grafco). Per annullare la magnetzzazone del clndro d ferro è necessaro applcare un campo magnetco esterno o con verso contraro a quello d m, la cu ntenstà è chamata campo coerctvo B c (punto E del grafco). Contnuando ad aumentare l ntenstà del campo magnetco esterno s raggunge nuovamente una stuazone d saturazone (punto F del grafco). e l campo magnetco esterno contnua ad assumere alternatvamente valor n un verso e nell altro, la stuazone d magnetzzazone del clndro d ferro rsulta descrtta da punt che compongono la curva chusa CDEFG. Poché domn magnetc resstono a varare la loro orentazone e tendono a conservare l loro stato d magnetzzazone, l materale ferromagnetco reagsce n rtardo alle varazon del campo magnetco esterno o. Per questo la curva chusa rappresentata nella fgura 30 vene detta cclo d steres magnetca, dal verbo greco usteren che sgnfca venre dopo. o + - Fgura 29. olenode con nucleo d ferro. B m B s C B r B c C A E O G B 0 F -B r -B s Fgura 30. Cclo d steres d una sostanza ferromagnetca.

24 a) B m b) B m B r B r B c B c O B 0 O B 0 Fgura 31. Cclo d steres (a) d un materale ferromagnetco duro e (b) d un materale ferromagnetco dolce. L ampezza del cclo d steres dpende dal materale. e cosddett materal magnetc dur, come per esempo l accao al carbono, l cclo d steres è largo e valor della magnetzzazone resdua B r e del campo coerctvo B c sono elevat: quest materal tendono a conservare l loro stato d magnetzzazone è possono essere utlzzat per realzzare magnet permanent. e nvece l cclo d steres è stretto, come nel caso del ferro dolce, s parla d materal magnetc dolc: n questo caso la magnetzzazone resdua e l campo coerctvo possono essere quas null. Un solenode avvolto ntorno a un clndro d materale magnetco dolce costtusce un elettromagnete, che rsulta magnetzzato solo quando è percorso da corrente. Il fenomeno del rallneamento de domn magnetc d un materale ferromagnetco sotto l azone d un campo magnetco esterno è un fenomeno non reversble, a cu corrsponde una dsspazone d energa sotto forma d calore. può dmostrare che l calore prodotto n ogn untà d volume d un materale ferromagnetco durante un cclo d steres è proporzonale all area racchusa dalla curva d steres. Per questo, quando s utlzzano materal ferromagnetc n presenza d camp magnetc rapdamente varabl, come nel caso de nucle de trasformator, è necessaro fare rcorso a materal magnetc dolc se s voglono lmtare le perdte d energa dovute al rscaldamento del materale. otamo nfne che materal ferromagnetc possono mantenere una magnetzzazone permanente solo se la temperatura è non supera un valore crtco T C, dverso per var materal, detto temperatura d Cure. Per l ferro s ha T C = 770 C. Al d sopra della temperatura d Cure l materale cessa d essere ferromagnetco e s comporta come una sostanza paramagnetca. Fgura 32. Un elettromagnete utlzzato per sollevare rottam d ferro.