Relazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare

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1 Dott. Raffaele Casa - Dpartmento d Produzone Vegetale Modulo d Metodologa Spermentale Febbrao 003 Relazon tra varabl: Correlazone e regressone lneare

2 Anals d relazon tra varabl 6 Produzone d granella (kg ha - ) Correlazone Regressone Dose azoto (kg ha - ) Cloroflla totale (mg fogla - ) sem panta - Azoto proteco soluble (mg fogla - ) denstà (pante m - )

3 Anals d relazon tra varabl Correlazone: analzza se esste una relazone tra due varabl (come e quanto due varabl varano nseme) Regressone: analzza la forma della relazone tra varabl

4 Covarazone d varabl

5 Analzzare la correlazone coeffcent d correlazone: Pearson product-moment (parametrco) Spearman rank correlaton (non parametrco) Entramb vanno da - (correl.negatva) a + (correl.postva). 0 corrsponde ad assenza d correlazone

6 Coeffcente d correlazone d Pearson: r PARAMETRICO Assunzon: entrambe le varabl devono essere contnue dat devono essere secondo una scala a ntervall o razonale entrambe le varabl devono segure una dstrbuzone normale la relazone tra le varabl è lneare

7 Tpo d dat Scala nomnale: categore non ordnabl (es. ambente:maccha/pneta/faggeta; forma fogla:ellttca/lanceolata...) Scala ordnale: categore ordnabl (es. alto/medo/basso; raro/comune/abbondante) Scala per ntervall: dstanza quantfcable tra categore, è possble sottrarre ma non sommare (es. date, temperature) Scala razonale: possble tutte le operazon (+ - * ), varabl quanttatve (es. lunghezza)

8 Procedura: Calcolo d r tra le varabl X e Y: Y Y X X Y X X Y r ) ( ) ( Coeffcente d correlazone d Pearson: r

9 Esempo: come calcolare l coeffcente d correlazone d Pearson Esempo: funzone Pearson o Correlazone Calcolo matrce d correlazone n Excel: Strument - >Anals dat -> Correlazone

10 Coeffcente d correlazone d Pearson: r La correlazone è sgnfcatva? Il valore d r è stato calcolato da un campone e non dalla popolazone ( r ) Il valore calcolato ndca una correlazone sgnfcatva?

11 Coeffcente d correlazone d Pearson: r La correlazone è sgnfcatva? Ipotes nulla: ρ 0 (ρ è l coeffcente d correlazone della popolazone, r del campone). Calcolare t: t r n r Valutare sgnfcatvtà d t per GDL -

12 Coeffcente d correlazone d Pearson: r OK: la correlazone è sgnfcatva ma. Le varabl sono dstrbute normalmente? La relazone tra le varabl è lneare? (cf. trasformazone de dat) Rcordars che anche se c e correlazone non vuol dre che c e nesso d causa-effetto osservare la frazone d varabltà spegata (coeffcente d determnazone) r

13 Coeffcente d correlazone d Spearman: r s O PARAMETRICO : dat non devono avere dstrbuzone normale. S possono usare dat da scala ordnale S possono utlzzare anche campon pccol (da 7 a 30 coppe d dat)

14 Coeffcente d correlazone d Spearman: r s Procedura: Ordnare dat dal pù pccolo al pù grande. Calcolare r s come per r (Pearson) non su dat ma su rangh (coe numer d ordne).b. se pù dat hanno lo stesso rango usare la meda de rangh. Valutare la sgnfcatvtà d r s calcolando l valore d t con la stessa formula usata per r

15 Esempo: come calcolare l coeffcente d correlazone d Spearman Esempo: calcolo r Spearman n Excel

16 Interpretare rsultat della correlazone Attenzone. Anche se c e correlazone non vuol dre che c sa nesso d causa-effetto ed altre varabl possono essere la causa delle varazon

17 Anals d regressone Lo scopo dell anals d regressone è d determnare la forma della relazone funzonale tra varabl (relazone causa-effetto) Regressone semplce (lneare o non lneare): determnare la forma della relazone tra varabl (una ndpendente ed una dpendente) Regressone multpla: determnare la forma della relazone tra pù varabl (pù ndpendent ed una dpendente)

18 Anals d regressone Perché è mportante: C permette d costrure un modello funzonale della rsposta d una varable (effetto) ad un altra (causa) Conoscendo la forma della relazone funzonale tra varable ndpendente e dpendente è possble stmare l valore della varable dpendente conoscendo quello della varable ndpendente (nterpolazone) solo nel range d dat X usato per la regressone (non è corretto estrapolare)

19 Regressone lneare (semplce) ella regressone lneare la relazone tra varabl (causa-effetto) è rappresentata da una lnea retta 8000.B: se samo ndecs su quale delle nostre varabl è dpendente e quale ndpendente, allora l anals d regressone non è adatta! Produzone d granella (kg ha - ) y x r Dose azoto (kg ha - )

20 Regressone lneare La relazone tra varabl è espressa dall equazone: Y a+bx dove X è la varable ndpendente, Y la varable dpendente, a è l ntercetta (l valore d Y quando X0) e b è la pendenza (quanto aumenta Y per ogn aumento d un untà d X)..B: La retta passa per l punto delle mede delle due varabl X,Y ( )

21 PARAMETRICO : Assunzon: Regressone lneare Dat da scala per ntervall o scala razonale La varable ndpendente (X) è msurata senza errore (è fssata dallo spermentatore) La varable dpendente (Y) è camponata ndpendentemente ad ogn valore d X Ad ogn valore d X dat Y seguono la dstrbuzone normale ed hanno la stessa varanza

22 Regressone lneare

23 Regressone lneare Procedura: metodo de mnm quadrat (least squares)

24 Procedura:. Stma della pendenza b Regressone lneare X X Y X X Y b ) (. Stma dell ntercetta a bx Y a

25 Regressone lneare Varazone (devanza) spegata / non spegata dalla regressone ne dat Y ( Y Y ) ( Yˆ Y ) + ( Yˆ Y ) La varazone totale ne dat Y n parte è spegata dalla regressone ed n parte non è spegata dalla regressone (varazone resdua)

26 Regressone lneare

27 Regressone lneare

28 Regressone lneare Come quantfcare la bontà della regressone? Il coeffcente d determnazone (va da 0 a ) r devanza _ spegata ( Yˆ Y ) devanza _ tot ( Y Y )

29 Regressone lneare La regressone è sgnfcatva? L equazone è stata rcavata da un campone e non dalla popolazone. Test t sull err.standard della pendenza b: Ipotes nullala pendenza è uguale a 0. Anals della varanza: s esamna l rapporto tra varanza spgata dalla regressone e varanza resdua.

30 Regressone lneare La regressone è sgnfcatva?. Test t sull errore standard della pendenza b (con n- GDL): t b H o Err. St b H o potes nulla;

31 Regressone lneare Errore standard della pendenza b : b X X n X X Y Y X X Y Y St Err ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) (.

32 Regressone lneare. Anals della varanza: test F del rapporto tra varanza spegata dalla regressone e varanza resdua. Font d varazone Devanze Descrzone Grad d lbertà Spegata dalla regressone on spegata dalla regressone (resdua) ( Yˆ Y ) ( Yˆ Y ) Somma de quadrat delle devazon de valor stmat d Y rspetto alla meda d Y Somma de quadrat delle dfferenze tra valor stmat ed osservat d Y k n-k- Totale ( Y Y ) Somma de quadrat delle devaazon tra valor osservat d Y e la meda d Y n- dove: n numero d osservazon k sempre per la regressone lneare

33 Regressone lneare Errore standard e lmt d confdenza L errore standard de valor stmat d Y è uguale alla devazone standard de resdu: S XY ( Y Anals de resdu n Yˆ ) Per pccol campon s usa: Standardzzazone (dvsone per S XY ) Yˆ ) n Dstrbuzone casuale sopra e sotto la lnea (+/-)? S XY ( Y

34 Regressone lneare Esempo: dat granella-azoto calcolo regressone lneare n Excel

35 Regressone lneare OK la regressone è sgnfcatva ma assunzon! La varable dpendente (Y) è camponata ndpendentemente ad ogn valore d X? Cf. es. anals d crescta d ndvdu Ad ogn valore d X, dat Y hanno la stessa varanza? Cf. aumento d varanza tra ndvdu d maggor dmenson Ad ogn valore d X, dat Y seguono la dstrbuzone normale? La varable ndpendente (X) è msurata senza errore (è fssata dallo spermentatore)?