La verifica delle ipotesi
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- Dino Valli
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2 La verfca delle potes In molte crcostanze l rcercatore s trova a dover decdere quale, tra le dverse stuazon possbl rferbl alla popolazone, è quella meglo sostenuta dalle evdenze emprche. Ipotes statstca: supposzone rguardante: un parametro della popolazone la forma della dstrbuzone della popolazone Un potes è un affermazone che vene consderata vera a meno che l evdenza emprca port ad avere ser dubb sulla sua valdtà e suggersca che essa è falsa
3 Il test ch-quadrato sull ndpendenza L ndce ch-quadrato χ osservato Il valore dell ndce è sgnfcatvamente dverso da zero? Ipotes H0 : ndpendenza H1 : no ndpendenza Lvello d sgnfcatvtà Statstca test α=0.05 Regola d decsone: Rfutamo H0, con una probabltà d errore par a α, se χoss> χc χc è l valore crtco che s trova nella coda d destra della dstrbuzone con (r-1(c-1 gdl χ = (n nˆ ˆ n
4 La dstrbuzone della statstca test Tavola della dstrbuzone Grad d lbertà χ Area nella coda destra 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,50 0,100 0,050 0,05 0,010 0,004 0,103 0,35 0,711 1,145 1,635,167,733 3,35 3,940 0,016 0,11 0,584 1,064 1,610,04,833 3,490 4,168 4,865 0,10 0,575 1,13 1,93,675 3,455 4,55 5,071 5,899 6,737 1,33,773 4,108 5,385 6,66 7,841 9,037 10, 11,389 1,549,6 4,605 6,51 7,779 9,36 10,645 1,017 13,36 14,684 15,987 3,841 5,991 7,815 9,488 11,0 1,59 14,067 15,507 16,9 18,307 5,04 7,378 9,348 11,143 1,833 14,449 16,013 17,535,03 0,483 6,635 9,10 11,345 13,77 15,086 16,81 18,475 0,090 1,666 3, ,07 0,07 0,41 0,676 0,989 1,344 1,735,156 0,115 0,97 0,554 0,87 1,39 1,646,088,558 0,001 0,051 0,16 0,484 0,831 1,37 1,690,180,0 3, ,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,14 5,697 6,65 6,844 7,434 3,053 3,571 4,107 4,660 5,9 5,81 6,408 7,015 7,633 8,60 3,816 4,404 5,009 5,69 6,6 6,908 7,564 8,31 8,907 9,591 4,575 5,6 5,89 6,571 7,61 7,96 8,67 9,390 10,117 10,851 5,578 6,304 7,04 7,790 8,547 9,31 10,085 10,865 11,651 1,443 7,584 8,438 9,99 10,165 11,037 11,91 1,79 13,675 14,56 15,45 13,1 14,845 15,984 17,117 18,45,369 0,489 1,605,718 3,88 17,75 18,549,81 1,064,307 3,54 4,769 5,989 7,04 8,41,675 1,06,36 3,685 4,996 6,96 7,587 8,869 30,144 31,410 1,90 3,337 4,736 6,1 7,488 8,845 30,1 31,56 3,85 34,1 4,75 6,17 7,688 9,141 30,578 3,000 33,409 34,805 36,1 37, ,034 8,643 8,897 9,54 10,83 10,98 11,591 1,338 13,40 14,041 16,344 17,40 4,935 6,039 9,615 30,813 3,671 33,94 35,479 36,781 38,93 40,89
5 Il test ch-quadrato sull ndpendenza VOTO Meno d 96 VOTO e lode OCCUPAZIONEATTUALE ATTUALE OCCUPAZIONE Non occupato Precaro Occ. stable α = 0, VOTO Meno d e lode 3,84 (n n n χ = ( n n n =3,84 OCCUPAZIONE ATTUALE Non occupato Precaro Occ. stable 9 31,4 7,1 41, ,1 33,7 30, , 31,5 34, ,4 8,6 40, ,0 31, 34,8 100, , ,0 100, ,0
6 Il test ch-quadrato sull ndpendenza Tavola della dstrbuzone Grad d lbertà χ Area nella coda destra 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,50 0,100 0,050 0,05 0,010 0,004 0,103 0,35 0,711 1,145 1,635,167,733 3,35 3,940 0,016 0,11 0,584 1,064 1,610,04,833 3,490 4,168 4,865 0,10 0,575 1,13 1,93,675 3,455 4,55 5,071 5,899 6,737 1,33,773 4,108 5,385 6,66 7,841 9,037 10, 11,389 1,549,6 4,605 6,51 7,779 9,36 10,645 1,017 13,36 14,684 15,987 3,841 5,991 7,815 9,488 11,0 1,59 14,067 15,507 16,9 18,307 5,04 7,378 9,348 11,143 1,833 14,449 16,013 17,535,03 0,483 6,635 9,10 11,345 13,77 15,086 16,81 18,475 0,090 1,666 3, ,07 0,07 0,41 0,676 0,989 1,344 1,735,156 0,115 0,97 0,554 0,87 1,39 1,646,088,558 0,001 0,051 0,16 0,484 0,831 1,37 1,690,180,0 3, ,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,14 5,697 6,65 6,844 7,434 3,053 3,571 4,107 4,660 5,9 5,81 6,408 7,015 7,633 8,60 3,816 4,404 5,009 5,69 6,6 6,908 7,564 8,31 8,907 9,591 4,575 5,6 5,89 6,571 7,61 7,96 8,67 9,390 10,117 10,851 5,578 6,304 7,04 7,790 8,547 9,31 10,085 10,865 11,651 1,443 7,584 8,438 9,99 10,165 11,037 11,91 1,79 13,675 14,56 15,45 13,1 14,845 15,984 17,117 18,45,369 0,489 1,605,718 3,88 17,75 18,549,81 1,064,307 3,54 4,769 5,989 7,04 8,41,675 1,06,36 3,685 4,996 6,96 7,587 8,869 30,144 31,410 1,90 3,337 4,736 6,1 7,488 8,845 30,1 31,56 3,85 34,1 4,75 6,17 7,688 9,141 30,578 3,000 33,409 34,805 36,1 37, ,034 8,643 8,897 9,54 10,83 10,98 11,591 1,338 13,40 14,041 16,344 17,40 4,935 6,039 9,615 30,813 3,671 33,94 35,479 36,781 38,93 40,89
7 Il test ch-quadrato sull ndpendenza VOTO Meno d 96 VOTO e lode OCCUPAZIONEATTUALE ATTUALE OCCUPAZIONE Non occupato Precaro Occ. stable VOTO α = 0,05 χ0,05; e lode α 1,59 (n Zona d accettazone Meno d 96 = 1,59 1-α 3, Zona d rfuto n n χ = ( n n n =3,84 OCCUPAZIONE ATTUALE Non occupato Precaro Occ. stable 9 31,4 7,1 41, ,1 33,7 30, , 31,5 34, ,4 8,6 40, ,0 31, 34,8 Non rfuto l potes H0 d ndpendenza fra le mutabl 100, , ,0 100, ,0
8 Il test ch-quadrato sull ndpendenza VOTO Meno d 96 VOTO e lode OCCUPAZIONEATTUALE ATTUALE OCCUPAZIONE Non occupato Precaro Occ. stable VOTO Meno d 96 α = 0,05 χ0,05; = 1,59 1-α 3, e lode α 1,59 (n Zona d accettazone Zona d rfuto n n χ = ( n n n =3,84 OCCUPAZIONE ATTUALE Non occupato Precaro Occ. stable 9 31,4 7,1 41, ,1 33,7 30, , 31,5 34, ,4 8,6 40, ,0 31, 34,8 100, , ,0 100, ,0 Supponamo che, sulla base d questo rsultato camponaro, o decda comunque d rfutare l potes d ndpendenza e concluda per l assocazone tra le mutabl consderate. Qual è la probabltà che sta commettendo un errore?
9 Il test ch-quadrato sull ndpendenza VOTO Meno d 96 VOTO e lode OCCUPAZIONEATTUALE ATTUALE OCCUPAZIONE Non occupato Precaro Occ. stable VOTO Meno d 96 p-value ? 3, e lode (n n n Il p-value è la probabltà d commettere un errore nel rfutare l potes H0 sulla base del valore camponaro osservato. Quanto pù è pccolo, tanto pù tenderemo a rfutare H0. χ = ( n n n =3,84 OCCUPAZIONE ATTUALE Non occupato Precaro Occ. stable 9 31,4 7,1 41, ,1 33,7 30, , 31,5 34, ,4 8,6 40, ,0 31, 34,8 100, , ,0 100, ,0
10 Il test ch-quadrato sull ndpendenza Tavola della dstrbuzone Grad d lbertà χ Area nella coda destra 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,50 0,100 0,050 0,05 0,010 0,004 0,103 0,35 0,711 1,145 1,635,167,733 3,35 3,940 0,016 0,11 0,584 1,064 1,610,04,833 3,490 4,168 4,865 0,10 0,575 1,13 1,93,675 3,455 4,55 5,071 5,899 6,737 1,33,773 4,108 5,385 6,66 7,841 9,037 10, 11,389 1,549,6 4,605 6,51 7,779 9,36 10,645 1,017 13,36 14,684 15,987 3,841 5,991 7,815 9,488 11,0 1,59 14,067 15,507 16,9 18,307 5,04 7,378 9,348 11,143 1,833 14,449 16,013 17,535,03 0,483 6,635 9,10 11,345 13,77 15,086 16,81 18,475 0,090 1,666 3, ,07 0,07 0,41 0,676 0,989 1,344 1,735,156 0,115 0,97 0,554 0,87 1,39 1,646,088,558 0,001 0,051 0,16 0,484 0,831 1,37 1,690,180,0 3, ,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,14 5,697 6,65 6,844 7,434 3,053 3,571 4,107 4,660 5,9 5,81 6,408 7,015 7,633 8,60 3,816 4,404 5,009 5,69 6,6 6,908 7,564 8,31 8,907 9,591 4,575 5,6 5,89 6,571 7,61 7,96 8,67 9,390 10,117 10,851 5,578 6,304 7,04 7,790 8,547 9,31 10,085 10,865 11,651 1,443 7,584 8,438 9,99 10,165 11,037 11,91 1,79 13,675 14,56 15,45 13,1 14,845 15,984 17,117 18,45,369 0,489 1,605,718 3,88 17,75 18,549,81 1,064,307 3,54 4,769 5,989 7,04 8,41,675 1,06,36 3,685 4,996 6,96 7,587 8,869 30,144 31,410 1,90 3,337 4,736 6,1 7,488 8,845 30,1 31,56 3,85 34,1 4,75 6,17 7,688 9,141 30,578 3,000 33,409 34,805 36,1 37, ,034 8,643 8,897 9,54 10,83 10,98 11,591 1,338 13,40 14,041 16,344 17,40 4,935 6,039 9,615 30,813 3,671 33,94 35,479 36,781 38,93 40,89
11 Il test ch-quadrato sull ndpendenza VOTO Meno d 96 VOTO e lode OCCUPAZIONEATTUALE ATTUALE OCCUPAZIONE Non occupato Precaro Occ. stable VOTO Meno d p-value e lode? 3,84 (n n n χ = ( n n n =3,84 OCCUPAZIONE ATTUALE Non occupato Precaro Occ. stable 9 31,4 7,1 41, ,1 33,7 30, , 31,5 34, ,4 8,6 40, ,0 31, 34,8 100, , ,0 100, ,0 Il p-value è la probabltà d commettere un errore nel rfutare l potes H0 sulla base del valore camponaro osservato. Quanto pù è pccolo, tanto pù tenderemo a rfutare H0. Ch-quadrato Ch-quadrato d Pearson Valore 3,835 df 6 Sg.,699
12 Il test ch-quadrato sull ndpendenza VOTO VOTO FREQ. FREQ. <30 delle lez delle lez. Meno d ,7 7 17,0 >50 delle lez. 18, ,1 68 4,8 33, , ,4 31,5 13 3, 73,1 110 e lode 13 7,8 33 0,8 4 4,9 18, , , , ,0 χ = ( n n n = 47,56 Ch-quadrato Ch-quadrato d Pearson (n n n Valore 47,559 47,56 df 6 Sg.,000
13 Eserczo1 In un' ndagne d mercato sulle preferenze de consumator per succh d frutta pocalorc, rspetto a succh d frutta tradzonal, s selezonano 50 masch e 50 femmne all nterno d un supermercato. Al campone così estratto s chede d esprmere una preferenza per uno de due succh. Dec masch e vent femmne dcharano d preferre l succo d frutta pocalorco. Esste una dfferenza sgnficatva nelle preferenze per succh tra masch e femmne? S scelga α = 0,05 Ipocalorco Normale Masch Femmne
14 Eserczo1 Ipocalorco Normale Masch Femmne L potes nulla d ndpendenza è: H0 : p = p p contro l potes alternatva: H1 : p p p H K n n$ χ = La statstca test utlzzata è: n$ =1 =1 ( che, sotto l potes nulla, s dstrbusce come un Ch- quadrato con (H- 1(K- 1 grad d lbertà. χ χα La regone d rfiuto è:
15 Eserczo1 Ipocalorco Normale Masch Femmne nˆ = Frequenze teorche d ndpendenza Ipocalorco Normale n. * n. Masch Femmne n
16 Eserczo1: soluzone F_ osservate F_teorche (oss- teo /teo (oss- teo (oss- teo , ,66 0,71 0,71 4,76 χ 0, 05 ;1 = 3,84 χ oss >χ Ch osservato 0, 05 ;1 S rfiuta l'potes nulla d ndpendenza tra l genere e la preferenza per l tpo d succo d frutta.
17 Eserczo Il capo del personale d una grande azenda vuole verficare se le assenze dal lavoro s dstrbuscano n manera unforme nell'arco della settmana lavoratva (d 5 gorn. Per farlo, osserva le assenze regstrate nell'ultmo mese e l gorno n cu queste s sono verficate, ottenendo rsultat rportat sotto. Cosa s può concludere sulla base de dat? Gorno della settmana F_osservate
18 Eserczo: soluzone Se è vera H0 le frequenze osservate e teorche dovrebbero essere molto sml, a tal fine per verficare l potes d adattamento s utlzza l seguente test: ( n np χ c = χ (α,k 1 np =1 k c RC (α : χ > χ (α,k 1 α 0 RA χ α,k-1 RC χ
19 Eserczo: soluzone Frequenze Frequenze teorche Frequenze Gorno della osservate relatve assolute X p settmana teorche np (X- np/np 1 3 0, 0,5 1 0, 0, , 4 0, , X U (5 P( X = x = p = χ 0,05; 4 = 9,5 1 = 0, 5 χ oss < χ 0, 05 ;1 non s rfiuta l'potes nulla, qund la dstrbuzone teorca s adatta alla dstrbuzone emprca.
20 Eserczo 3 da Pccolo Utlzzando un campone d n=303 untà statstche s vuole msurare l ndpendenza tra le varabl Fumo e Sesso, dat sono rportat n tabella Masch Femmne Fuma Non fuma
21 Eserczo 3 Masch Femmne Fuma Non fuma Frequenze teorche d ndpendenza nˆ = Masch Femmne Fuma 30,68 81,3 11 Non fuma 5,3 138, n. * n. n
22 Eserczo 3 χ = ( n n n χ = ,05 = χ = ,01
23 Eserczo 4 In uno studo avente come obettvo la verca dell'esstenza d una relazone fra l'occupazone e l lvello d struzone e stato consderato l seguente campone d 500 ndvdu: Almeno 5 ann d scuola superore Meno d 5 ann d scuola superore Impegat nell ndustra opera Impegat ne Lavorator servz agrcol Vercare tramte l test l'ndpendenza fra le varabl.
24 Eserczo 5 Vercare tramte l test l'ndpendenza fra le varabl. N uscto frequenza Provare l potes che l dado non sa truccato usando un lvello d sgnfcatvtà del 5
25 Eserczo 6 Per stablre l effcaca d un vaccno antnfluenzale è stata condotta una rcerca che ha dato seguent rsultat Nessuna nfluenza Una nfluenza Pù d una nfluenzaa vaccnat Non vaccnat S può rtenere che l vaccno sa effcace?
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