Regressione Multipla e Regressione Logistica: concetti introduttivi ed esempi

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1 Regressone Multpla e Regressone Logstca: concett ntroduttv ed esemp I Edzone ottobre 014 Vncenzo Paolo Senese [email protected]

2 Indce Note prelmnar alla I edzone 1 Regressone semplce e multpla Introduzone 1. La Regressone Semplce e Multpla La stma de parametr. 1. Le assunzon dell OLS La valutazone del ft del modello Il contrbuto de sngol predttor Esempo regressone semplce Esempo regressone multpla standard. 17 Regressone Logstca semplce e multpla Introduzone. La Regressone logstca Semplce e Multpla 0.1 La stma de parametr 6. La valutazone del ft del modello 7.3 La valutazone della capactà predttva del modello 9.4 Il contrbuto de sngol predttor 31.5 Esempo regressone logstca semplce. 3 Rferment Bblografc 39 Appendce A 40 Appendce B 41

3 Note prelmnar alla I edzone Questo materale è stato preparato per gl student del Corso d Laurea Magstrale n "Pscologa Clnca", del Corso d Laurea Specalstca n Pscologa clnca e dello svluppo e del Corso d Laurea Magstrale n Pscologa de process cogntv della Seconda Unverstà degl stud d Napol (SUN) nell ambto de cors d Metod e Tecnche della rcerca n Pscologa Clnca, Anals de dat, e d Metod e tecnche d anals de dat. L'obettvo del presente testo è fornre un supporto utle alla preparazone dell'esame da utlzzare come materale ntegratvo al testo d base. Napol, ottobre 014 La creazone e dstrbuzone d cope fedel d questo manuale è concessa a patto che la nota d copyrght e questo permesso stesso vengano dstrbut con ogn copa. Verson modfcate d questo testo possono essere copate e dstrbute alle stesse condzon delle cope fedel, a patto che l lavoro rsultante sa dstrbuto con la medesma concessone. Il presente materale è scarcable gratutamente dal sto del Dpartmento d Pscologa della Seconda Unverstà d Napol ( alla pagna relatva all nsegnamento d Metod e Tecnche della rcerca n Pscologa Clnca del Corso d Laurea Magstrale n Pscologa Clnca. Copyrght 014 Vncenzo Paolo Senese Per nformazon Senese Vncenzo Paolo Dpartmento d Pscologa, SUN Vale Ellttco, Caserta Italy Stampato n Itala

4 1 1 Regressone semplce e multpla Introduzone Il modello d regressone lneare consente d analzzare la relazone causale tra una varable dpendente quanttatva (msurata su scala almeno a ntervall) e una o pù varabl ndpendent quanttatve. Dal momento che non è possble ndagare nella popolazone la presunta relazone tra le varabl consderate, per la verfca delle potes s procede estraendo un campone rappresentatvo della popolazone e descrvendo su questo la relazone tra le varabl consderate. Successvamente, medante la statstca nferenzale, s verfca se la relazone descrtta al lvello camponaro può essere generalzzata alla popolazone d rfermento. 1. La Regressone Semplce e Multpla Nell anals della regressone semplce è possble verfcare se due varabl sono legate da una relazone d tpo lneare e verfcare la forza della relazone. In termn formal, la relazone lneare tra due varabl può essere descrtta dall equazone della retta: Y X [1] dove: Y è la varable che deve essere prevsta (varable dpendente, crtero, rsposta o varable endogena); X è la varable cu valor vengono utlzzat per prevedere Y (varable ndpendente, predttore o varable esogena); mentre e sono parametr della popolazone che ndczzano la relazone tra le varabl consderate e che devono essere stmat. In partcolare, l parametro vene detto ntercetta (ntercept) o costante e rappresenta l valore prevsto n Y quando la varable X è 0. Il parametro chamato coeffcente d regressone o slope, rappresenta l cambamento n Y per ogn varazone untara della X o l nclnazone della retta che rappresenta meglo la relazone tra X e Y. Per tale ragone l valore d tale parametro dpende dall untà d msura delle varabl. Nella regressone multpla c sono molte varabl esogene, molt predttor e una varable crtero. Se k denota l numero d varabl

5 ndpendent allora l equazone che descrve la relazone tra le varabl ndpendent e la varable dpendente dventa: Y... X X X 1 1 k k []; dove 1,,, k sono coeffcent d regressone parzal e rflettono l fatto che ognuno de predttor X 1, X,, X k consderat fornsce una spegazone parzale (o predzone) della varable endogena Y. È mportante sottolneare che per una maggore correttezza, sa nella regressone semplce sa nella regressone multpla, l equazone andrebbe scrtta ncludendo l termne d errore () relatvo alla prevsone della varable dpendente. Pertanto la formula corretta dventa: Y X X... X 1 1 k k [3]. In questo modo, nfatt, s rconduce l modello alla sua natura probablstca La stma de parametr Nell anals della regressone multpla l prmo passo prevede la valutazone o stma de parametr. Come precedentemente sottolneato, nella pratca, parametr della popolazone non sono sempre not. In tal cas valor sono stmat consderando un numero fnto d osservazon: le osservazon camponare. Alla base d questo passaggo v è l'assunzone che l campone corrsponda a una sottoparte rappresentatva della popolazone. Ovvero che nel campone sano rappresentate tutte le caratterstche della popolazone, e che fenomen al lvello camponaro agscano n manera omologa a quanto avvene nella popolazone. Le tecnche d camponamento servono a garantre che campon sano rappresentatv. Per dstnguere la regressone camponara da quella della popolazone l modello d regressone vene scrtto n questo modo: Y a b X b X b X... b e k k [4], dove le lettere latne (a, b, e) ndcano parametr del modello stmat a partre dal campone (N). X

6 3 Per la stma de parametr a e b ( = 1,,, k) l metodo pù frequentemente mpegato è l crtero de mnm quadrat (Ordnary Least Square OLS; s veda Agrest e Fnlay, 1997; Bohrnstedt e Knoke, 1994). Tale metodo s pone come obettvo d stmare parametr a e b n modo tale da rdurre al mnmo l errore d msura: la dstanza al quadrato tra valor predett n base al modello ( Yˆ ) e valor osservat ( Y ). In termn matematc, l OLS tende a mnmzzare la seguente sommatora: n 1 ( Y Yˆ ) [5]. Ovvero la sommatora degl scart dalla meda al quadrato (SQ). Per questa ragone questo metodo vene defnto l metodo de "mnm quadrat". Nella regressone semplce le formule per l calcolo de parametr (secondo l metodo OLS) sono le seguent: n ( X X )( Y Y ) 1 b [6]; n ( X X ) 1 a Y b X [7]. Nella regressone multpla le formule per l calcolo de parametr rchedono l algebra matrcale. Poché s tratta d stme camponare de parametr è necessaro conoscere l effetto dell errore sulla stma. Per fare cò è necessaro calcolare l errore standard (s ) del coeffcente stmato: ( Y Yˆ ) 1 sb [6a]. n ( X X ) (1 R )( N k 1) 1 n Dove: N è l ampezza camponara; k è l numero d varabl ndpendent del modello; R è la correlazone multpla al quadrato delle varabl ndpendent sulla varable ndpendente consderata (). Della formula [6a] è utle notare che l errore d stma d b (s b ) s rduce se: al numeratore è mnore l errore d stma d Y ; al denomnatore è maggore la varanza d X ; è mnore la correlazone d X con le altre varabl ndpendent; è maggore l numero delle osservazon N, mentre se l

7 4 numero d predttor aumenta e s approssma all ampezza camponara, s b aumenta notevolmente. 1.. Le assunzon dell OLS Perché la stma de parametr possa essere consderara robusta, l OLS presuppone che alcune assunzon sano verfcate. Le assunzon sono le seguent: msure: tutte le varabl ndpendent sono msurate su scala ad ntervall, a rapport o dcotomca, la varable dpendente è contnua e msurata su scala ad ntervall o a rapport. Tutte le varabl sono msurate senza errore; specfcazon: tutt predttor rlevant per la varable dpendente sono stat nsert nell anals, nessun predttore rrlevante è stato nserto, e la forma della relazone tra varabl ndpendent e dpendent è lneare; valore atteso dell errore: l valore atteso dell errore è 0; omoschedastctà: la varanza del termne d errore è la stessa (o è costante) per tutt valor delle varabl ndpendent; normaltà degl error: gl error sono dstrbut normalmente per ogn gruppo d valor delle varabl ndpendent; assenza d autocorrelazon: non c devono essere correlazon tra termn dell errore prodott da cascun predttore (matematcamente E(, ) = 0); assenza d correlazone tra error e predttor: termn d errore devono essere non correlat con le varabl ndpendent (matematcamente E(, X ) = 0); assenza d perfetta multcollneartà: nessuna delle varabl ndpendent deve essere una combnazone lneare perfetta delle altre varabl ndpendent (matematcamente, per ogn varable l valore d R deve essere mnore d 1, dove R è la varanza della varable ndpendente X spegata da tutt gl altr predttor nel modello X 1, X,, X k ).

8 La valutazone del ft del modello Un altro aspetto utle alla valutazone del modello d regressone è la valutazone della bontà d adattamento del modello (goodness-of-ft). Vale a dre la capactà del modello d mglorare la prevsone della varable Y consderando come valore d rfermento l valore stmato medante l modello d regressone (potes alternatva H 1 ) puttosto che l valore medo d Y (potes nulla H 0 ). Le statstche maggormente mpegate a tal scopo sono l errore standard della stma e l R. L errore standard della stma corrsponde all errore standard de resdu n ( 1 ( Y Yˆ ) ) e rappresenta un ndce che esprme l ampezza dell errore d msura del modello consderato. Tale statstca vene stmata medante la seguente formula: n Y Yˆ 1 se [8a]. N L altra statstca utle a valutare l ft del modello è R ed esprme la parte d varanza della varable dpendente spegata attraverso l modello. L R vene stmata con le seguent formule, tra loro equvalent: R n 1 n 1 ( Yˆ ( Y Y ) Y ) [8b]; R n ( Y Yˆ ) 1 1 [8c]. n ( Y Y ) Nella prma formula [8b] s mette n evdenza come l R rappresent l rapporto tra la devanza spegata dal modello e la devanza totale (la devanza d Y osservata), mentre nella seconda formula [8c] s pone n luce che l R rappresenta l nverso del rapporto tra la devanza d errore (o non spegata dal modello) e la devanza totale. Ovvero c fa capre che l R rappresenta una stma d quanto s rduce l'errore d prevsone della varable dpendente consderando le varabl nel modello. 1

9 6 L R vara sempre tra 0 e 1. Può essere nterpretato come la percentuale d varanza (%) della varable dpendente spegata dalle varabl ndpendent consderate nel modello. Oppure, consderando la seconda formulazone [8c], come la % d rduzone dell errore nella prevsone della varable dpendente. Per l utlzzo e l nterpretazone dell R due aspett devono essere sottolneat. Prmo, l R è dpendente dal campone. Modell d regressone con le stesse varabl se sono applcat su campon dvers possono avere dentc parametr b ma R dfferent; questo è determnato dalla dversa varanza d Y ne campon consderat. Secondo, l R è nfluenzato dal numero d predttor. A partà d campone per confrontare due modell è necessaro calcolare un valore corretto (adusted R ) (Wonnacott e Wonnacott, 1979) stmable con la seguente formula: k N 1 R adusted R [9]. N 1 N k 1 Per sottoporre a verfca l potes che prevede che la prevsone della varable dpendente Y mglora sgnfcatvamente medante l modello d regressone s pone a confronto la varanza spegata dal modello con la varanza non spegata (o varanza resdua). Per la verfca delle potes s utlzza l test del rapporto tra le varanza che s dstrbusce come la varable casuale F d Fscher. Per l calcolo delle varanza s utlzza l teorema della scomposzone della devanza. Secondo tale teorema la devanza totale è data dalla somma della devanza d errore e della devanza dell effetto: SQ tot SQ SQ [10a]. Nella regressone s assume che la somma de quadrat totale (SQ tot o devanza) è data da una componente d errore (SQ err ) e da una componente spegata dalla regressone (SQ reg ). In termn formal, possamo rscrvere la [10a] nel seguente modo: Dove: Y reg Y Y Y Yˆ Y ˆ Y [10b]. Y (sommatora degl scart tra valor osservat n Y e l valore medo d Y) corrsponde alla devanza totale (devanza d Y o devanza osservata); Y Yˆ (sommatora degl scart tra valor err

10 7 osservat n Y e valor stmat medante la retta d regressone) corrsponde alla devanza non spegata (o devanza resdua); Y Yˆ (sommatora degl scart tra valor stmat medante la regressone e l valore medo d Y) corrsponde alla devanza dovuta all effetto o devanza spegata dalla regressone. Una volta calcolate le devanze, le varanze rspettve s calcolano dvdendo le devanze per relatv grad d lbertà. Secondo l teorema della scomposzone della devanza, grad d lbertà s calcolano secondo le seguent formule: gdl gdl gdl T [10c]; errore regressone N ( N k 1) k 1 [10d]. Dove: N è dato dal numero d osservazon (numero d soggett); k è dato dal numero d varabl ndpendent nserte nel modello. Per confrontare la due varanze e verfcare se quella spegata dalla regressone è sgnfcatvamente maggore d quella resdua, s calcola la statstca F d Fscher. La varanza spegata dalla regressone va al numeratore, quella resdua al denomnatore: Var F Var reg res Dev reg k [11]. Devres N k 1 L potes che sottoponamo a verfca (potes nulla o H 0 ) è che la varanza spegata è uguale alla varanza resdua, vale a dre che l modello d regressone non rduce l errore d prevsone della varable dpendente. In altr termn l potes nulla che s sottopone a verfca assume che tutt parametr b sano ugual a 0: H0 1 3 k... 0 [11a]. Qualora questa potes venga rfutata vene consderata come vera l potes alternatva che assume che almeno uno de predttor abba un valore d b dverso da 0: H1 1 3 k o o o... o 0 [11b]. Per la verfca dell potes s utlzza la dstrbuzone teorca della varable casuale F d Fscher con grad d lbertà ugual a grad d lbertà del

11 8 numeratore e del denomnatore nel rapporto tra le varanze (ved formula [11]) Il contrbuto de sngol predttor Se la verfca dell potes relatva alla capactà predttva del modello ha portato a scartare l potes nulla è possble approfondre l anals ndagando l contrbuto d cascun predttore consderato sngolarmente. A tal scopo s formula per cascun predttore una specfca potes nulla e la s sottopone a verfca. L potes nulla che vene formulata assume che cascun valore d b osservato al lvello camponaro corrsponda a un valore nella popolazone uguale a 0. In altr termn l potes nulla assume che l valore d b osservato sa una varazone casuale del valore 0 della popolazone. Per la verfca delle potes relatve a cascun predttore s utlzza la statstca t che pone a confronto l valore b osservato con l valore atteso n base all potes nulla (vale a dre 0): H0 H 0 t b H0 s b b s b [1]. Dove b corrsponde al coeffcente d regressone calcolato sul campone e s corrsponde alla devazone standard del coeffcente stmata con la formula [6a]. Per l nterpretazone del valore t s utlzza la dstrbuzone della varable casuale t d Student calcolando grad d lbertà secondo la seguente equazone: gdl t N k 1 [1a]. Dove N corrsponde al numero d osservazon (o ampezza del campone totale) e k al numero d predttor consderat nel modello. Una volta verfcata la relazone tra cascun predttore e la varable dpendente possamo procedere all nterpretazone della relazone. È mportante sottolneare che possono essere consderat esclusvamente predttor cu valor b sono rsultat espresson d sgnfcatvamente dvers da 0.

12 9 Nella regressone multpla, l coeffcente d regressone vene detto parzale dal momento che esprme la relazone che una data varable ndpendente ha con la varable dpendente al netto delle altre varabl consderate nel modello. In pratca, l coeffcente d regressone parzale esprme la relazone unca che una data varable ndpendente ha con la varable dpendente mantenendo costant valor delle altre varabl. In termn pratc, cascun coeffcente d regressone vene nterpretato come la varazone n untà del valore atteso della varable dpendente per una varazone untara della varable esplcatva, mantenendo costant valor delle altre varabl nel modello. Da cò derva che l valore del coeffcente b dpende dall untà d msura delle varabl consderate. Ad esempo, se l valore d b = 1. sgnfca che per ogn varazone untara della varable ndpendente l valore atteso della varable dpendente aumenta d 1. untà. Per cu se ad corrsponde Yˆ = 13, ad X = 11 corrsponderà Yˆ = 14.. X = 10 A causa della dpendenza dall untà d msura delle varabl consderate, l coeffcente d regressone vene nterpretato esclusvamente n base al segno. Quando l segno è postvo sgnfca che la relazone tra le varabl è postva: al crescere d X corrsponde un aumento ne valor d Yˆ o, n modo del tutto equvalente, al decrescere della X la Yˆ decresce. Al contraro, quando l segno del coeffcente b è negatvo sgnfca che le due varabl sono legate da una relazone nversa per cu se aumenta l valore della varable X valor attes della varable Yˆ dmnuscono, e vceversa. Per avere un ndce che esprma la forza della relazone tra la varable ndpendente e la varable dpendente o per confrontare coeffcent d regressone parzale tra loro, è necessaro calcolare coeffcent d regressone standardzzat. I coeffcent d regressone standardzzat (smboleggat con la lettera greca beta) possono essere ottenut n due mod: consderando nel modello d regressone le varabl standardzzate (varabl espresse n punt z) o trasformando coeffcent d regressone attraverso la seguente formula:

13 10 s b [13]. s I coeffcent d regressone standardzzat esprmono la relazone tra varable ndpendente e varable dpendente usando come metrca le devazon standard delle due varabl. Pertanto, un cambamento n X par a una devazone standard produce un cambamento n Y par a devazon standard. I coeffcent vengono nterpretat n funzone del segno e dell enttà. Il segno esprme l tpo d relazone esstente tra varable ndpendente e varable dpendente. Al par de coeffcent non standardzzat, quando l coeffcente standardzzato è postvo ndca una relazone lneare postva, per cu le varabl tendono a covarare nella stessa drezone, quando è negatvo ndca che le varabl hanno una relazone nversa. L enttà vene valutata n base alla grandezza del coeffcente. Infatt, al par de coeffcent d correlazone, coeffcent d regressone standardzzat hanno valor compres tra +1 e -1. Un valore par ad +1 ndca una relazone perfetta postva, un valore par a -1 una relazone perfetta negatva, mentre valor ugual a 0 ndcano un assenza d relazone tra le varabl. Quando sono rfert allo stesso campone, coeffcent d regressone standardzzat consentono d confrontare l peso de dvers predttor nella determnazone delle varable dpendente. Y 1.5. Esempo Regressone Semplce Immagnamo che un rcercatore sa nteressato a verfcare se l numero d amc che manfestano comportament devant (ad esempo tendenza a bere superalcolc, uso d droghe, messa n atto d comportament al lmte della legaltà, ecc.) ncde sulla tendenza a manfestare comportament devant (Modello 1), e se tale effetto s manfesta ndpendentemente dal lvello ntellettvo (QI) (Modello ). A tal scopo regstra per 1 soggett le seguent varabl: amc: l numero d amc dedt alla messa n atto d comportament devant (almeno uno);

14 11 QI: valuta l quozente ntellettvo d cascun soggetto medante la scala WISCH-R; devanza: valuta per cascun partecpante l numero d comportament devant mess n atto negl ultm 5 ann. I dat raccolt sono rportat nella tabella 1. A questo punto l rcercatore, per verfcare l modello 1, procede analzzando la relazone tra la varabl ndpendent (amc) e la varable dpendente (devanza) attraverso l anals della regressone semplce lneare. Tabella 1 Matrce de dat soggett (SS) varabl (VV) Cod amc QI devanza A tal scopo, prma calcola per cascuna varable meda, devanza e varanza (ved tabella ). Tabella Calcolo delle mede, devanza e varanza per cascuna varable Cod X Y X X Y Y ( X X ) ( Y Y ) Devanza Meda Varanza

15 1 Una volta stmate varanze e devanze, l passo successvo è l calcolo de parametr medante l metodo OLS (formule [6] e [7]; ved tabella 3). Cod Tabella 3 Calcolo de parametr della regressone X X ( X X ) Y Y ( X X )*( Y Y ) totale b n 1 ( X n 1 X ( X )( Y X ) Y ) a Y b X (5) Dunque, la retta d regressone che, n base al metodo OLS, descrve al meglo la relazone tra numero d amc e messa n atto d comportament devant è la seguente: ˆ Y devanza ( amc ) [M1] Ad esempo, secondo tale formula, ch non ha amc che mettono n atto comportament devant (ovvero che hanno amc = 0) ha un numero d comportament prevsto par a -1.9; mentre ch ha almeno due amc che mettono n atto un comportamento devante (amc = ) ha un numero d comportament devant prevsto par a crca.4. A questo punto bsogna verfcare se l modello ottenuto consente d mglorare la prevsone rspetto al modello dell potes nulla. Il modello 1 nfatt afferma che l numero d comportament devant (varable dpendente) dpende dal numero d amc che mettono n atto comportament devant (varable ndpendente), mentre nel modello dell potes nulla s

16 13 potzza che le dverse manfestazon della varable dpendente non dpendano da alcuna varable ndpendente ma soltanto dalla componente d errore. Per valutare l ft del modello 1 bsogna verfcare se lo scostamento tra valor attes e valor osservat s rduce utlzzando l modello d regressone [M1]. Pertanto dobbamo calcolare per cascuna osservazone l valore atteso n base al modello [M1] e confrontarlo con l valore osservato. Successvamente, s procede alla verfca dell potes confrontando l errore d prevsone de valor osservat medante l modello e senza l modello. Per l calcolo de valor attes s procede per cascuna osservazone come nell esempo precedente, vale a dre sosttuendo valor osservat nella varable ndpendente nel modello [M1]. Yˆ ( X ) Yˆ (3) 4.5 Yˆ (7) 13 Yˆ (3) Yˆ (5) 8.75 Yˆ (8) Yˆ () Yˆ (7) 13 Yˆ (5) Yˆ (4) Yˆ 10 Yˆ Yˆ (5) (3) (8) Una volta calcolat per cascuna osservazone valor attes n base al modello è possble verfcare la capactà predttva del modello attraverso l confronto tra la varanza spegata dal modello e la varanza non spegata. Per l calcolo della varanza non spegata s procede calcolando prma la devanza (ved tabella 4) e po dvdendo la devanza per gl opportun grad d lbertà. Per l calcolo della varanza spegata s procede sottraendo alla devanza totale la devanza non spegata dal modello e dvdendo l rsultato per gl opportun grad d lbertà.

17 14 Tabella 4 Calcolo della devanza non spegata (devanza resdua) Cod Y Yˆ Y Yˆ Y Yˆ totale Dal momento che la devanza totale è par a possamo calcolare la devanza spegata: = In base alla formula [10d] possamo calcolare grad d lbertà, che rsultano rspettvamente 11 (1 1), 10 (1 1 1) e 1, e verfcare l potes medante l rapporto tra le varanze (ved formula [11]): Var F Var reg res Una volta calcolato l valore della statstca F questo deve essere nterpretato utlzzando la dstrbuzone teorca F d Fscher con grad d lbertà par a 1 e 10. P ( F[1,10] 16.36) Il valore d probabltà ottenuto p =.00 essendo nferore al valore d probabltà crtco =.05 c porta a rfutare l potes nulla (H 0 = la varanza spegata e la varanza d errore sono ugual) e ad accettare l potes alternatva (H 1 = la varanza spegata è maggore della varanza d errore). Infatt, possamo dre che la probabltà che sa vera l potes nulla (H 0 ) è nferore a.05 (qund molto bassa) e per questo rfutamo l potes nulla. Medante la formula [8c] calcolamo la percentuale d varanza spegata dal modello: R

18 15 Dal momento che n questo caso s trattava d una regressone semplce (un solo predttore) samo cert che l valore del coeffcente b o (l coeffcente standardzzato) sono statstcamente dvers da 0 anche nella popolazone. Tuttava, a scopo ddattco, procedamo con la verfca dell potes anche del predttore utlzzando le formule [6a], [1] e [1a]. s b n 1 ( X n 1 X ( Y Yˆ ) ) (1 R )( n k 1) b H b.15 0 t 4.09 s s.574 b b gdl t N k 110 Una volta calcolato l valore della statstca t questo deve essere nterpretato utlzzando la dstrbuzone teorca t d Student con grad d lbertà par a 10. P ( t[10] 4.09) Come c aspettavamo, l valore d probabltà ottenuto p =.00 essendo nferore al valore d probabltà crtco =.05 c porta a rfutare l potes nulla (H 0 = l valore d b nella popolazone è uguale a 0) e ad accettare l potes alternatva (H 1 = l valore d b della popolazone è dverso da 0). D seguto vengono rportate le statstche del modello 1 calcolate attraverso l software SPSS (Tabella 5) e medante l software lbero R (versone R.4.1; R Development Core Team, 006) (Tabella 6). In questo secondo caso la funzone utlzzata per l calcolo de parametr è la funzone che consente d stmare modell lnear (lm 1 ). 1 Per un approfondmento sulla funzone lm dgtare l comando help(lm) nella fnestra d lavoro de software R.

19 16 Tabella 5 Stma de parametr del modello 1 medante l software SPSS Tabella 6 Stma de parametr del modello 1 medante l software R #Sntass per la creazone de dat amc <- c(3, 7, 3, 5, 8,, 7, 5, 4, 5, 3, 8) devanza <- c(0, 10, 9, 1, 17, 0, 14, 1, 1, 11, 7, 1) #Sntass per l esecuzone dell anals Mod1 <- lm(devanza ~ amc) # Vsualzza parametr del Modello 1 summary(mod1) CALL: lm(formula = devanza ~ amc) RESIDUALS: Mn 1Q Medan 3Q Max COEFFICIENTS: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) amc ** --- Sgnf. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Resdual standard error: on 10 degrees of freedom Multple R-Squared: , Adusted R-squared: F-statstc: 16.4 on 1 and 10 DF, p-value: #Calcolo del coeffcente d regressone standardzzato #defnto "beta" coef(mod1)[]*sd(amc)/sd(devanza) amc

20 Esempo Regressone Multpla standard Nel Modello l rcercatore s chedeva se l eventuale effetto della varable ndpendente sulla varable dpendente fosse legato a una terza varable: l QI. In pratca l rcercatore s chede se la relazone tra le due varabl esste anche quando tutt gl ndvdu sono pareggat rspetto al lvello ntellettvo. Per raggungere tale obettvo l rcercatore ha due possbltà. La prma, molto fatcosa e complessa da realzzare, prevede d raccoglere un nuovo campone d osservazon camponando esclusvamente ndvdu con lo stesso QI. La seconda, pù faclmente pratcable, prevede d utlzzare un modello d anals de dat che consenta d analzzare la relazone tra la varable ndpendente e la varable dpendente al netto della terza varable. In questa prospettva la terza varable può essere consderata come una varable d dsturbo o come una varable che modera o che meda la relazone tra le altre due (per un approfondmento sugl effett d moderazone e medazone s veda Baron e Kenny, 1986). Nell esempo consderato l modello che rsponde allo scopo è un modello d regressone multpla standard. Infatt, come antcpato, nella regressone multpla coeffcent d regressone vengono dett parzal dal momento che esprmono la relazone specfca che una data varable ndpendente ha con la varable dpendente al netto delle altre varabl ndpendent consderate nel modello. Indvduato l modello d anals de dat da utlzzare non resta che esegure l anals medante uno de programm a scelta. I rsultat sono rportat nella tabelle 7 e 8.

21 18 Tabella 7 Stma de parametr del Modello medante l software SPSS Analzzando rsultat, possamo osservare come l valore d probabltà assocato alla statstca F è par a p =.010; essendo nferore al valore d probabltà crtco =.05, questo rsultato c porta a rfutare l potes nulla (H 0 = la varanza spegata e la varanza d errore sono ugual, oppure che tutt β = 0) e ad accettare l potes alternatva (H 1 = la varanza spegata dal modello è maggore della varanza d errore, oppure che almeno un β è dverso da 0). La varanza spegata dal modello che consdera entramb predttor (amc e QI) corrsponde a crca l 64%. Analzzando rsultat relatv alla verfca delle potes per cascun predttore dat evdenzano che per l predttore amc l valore d probabltà assocato alla statstca t corrsponde a p =.004, mentre l valore assocato al predttore QI corrssponde a p =.489. Nel prmo caso, qund, possamo rfutare l potes nulla, mentre nel secondo caso non possamo rfutare l potes nulla. Da un punto d vsta pù generale, e rspondendo agl obettv dell anals, l rcercatore può concludere che l avere degl amc che mettono n atto comportament devant nfluenza l numero d comportament devant che vengono mess n atto (Modello 1) e tale effetto s osserva ndpendentemente dal lvello ntellettvo (Modello ).

22 19 Tabella 8 Stma de parametr del modello medante l software R #Sntass per la creazone de dat amc <- c(3, 7, 3, 5, 8,, 7, 5, 4, 5, 3, 8) devanza <- c(0, 10, 9, 1, 17, 0, 14, 1, 1, 11, 7, 1) QI <- c(106,93,94,107,96,118,110,107,105,113,104,119) #Sntass per l esecuzone dell anals Mod <- lm(devanza ~ amc + QI) # Vsualzza parametr del Modello summary(mod) CALL: lm(formula = devanza ~ amc + QI) RESIDUALS: Mn 1Q Medan 3Q Max COEFFICIENTS: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) amc ** QI Sgnf. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Resdual standard error: on 9 degrees of freedom Multple R-Squared: , Adusted R-squared: F-statstc: on and 9 DF, p-value: #Calcolo de coeffcent d regressone standardzzat #defnt "beta" coef(mod)[]*(sd(amc))/sd(devanza) coef(mod)[3]*(sd(qi))/sd(devanza) amc QI

23 0 Regressone logstca semplce e multpla Introduzone Il modello d regressone logstca vene utlzzato quando s è nteressat a studare o analzzare la relazone causale tra una varable dpendente dcotomca e una o pù varabl ndpendent quanttatve.. La Regressone logstca Semplce e Multpla Come descrtto nel captolo precedente, quando la varable dpendente (Y ) è contnua l valore stmato (Yˆ ) può essere concepto come una stma della meda condzonata d Y per cascun valore della X (assumendo come vera la relazone tra X e Y). In questo caso, s assume che la varable Y sa dstrbuta secondo la dstrbuzone normale. Quando la varable dpendente è dcotomca, e codfcata come 0-1 (ad es. rsposta gusta = 1, rsposta sbaglata = 0), la dstrbuzone teorca d rfermento non dovrebbe essere pù la normale ma la dstrbuzone bnomale. In quest cas, qund, sebbene sa ugualmente possble applcare l modello della regressone semplce, da un punto d vsta matematco, un modello non lneare sarebbe pù approprato. Infatt, nella sua formulazone ( Yˆ X ), l modello lneare mplca che valor della varable dpendente (Yˆ ) possano andare da a +. Se ad esempo s consdera l grafco rportato n fgura 1, n cu un modello de regressone lneare è stato adattato con una varable dpendente dcotomca, e s segue la lnea d tendenza determnata dal modello lneare, possamo notare che all aumentare del punteggo totale nella varable ndpendente, sono accettabl valor prevst (Yˆ ) maggor d 1, e che al decrescere de valor della X l modello prevede per la varable dpendente (Yˆ ) valor nferor a 0. Se l predttore (X) è dcotomco (varable dummy) questa relazone è ancora pù evdente.

24 1 Fgura 1 Modello d regressone lneare semplce con una varable dpendente dcotomca Tale prevsone rsulta non adeguata alla varable dpendente che, come detto, può assumere esclusvamente valor 0 1. In pratca, se la varable dpendente è dcotomca, e se è nfluenzata dalla varable X, allora s dovrebbe osservare che per valor molto alt d X (o molto bass se la relazone è negatva) l valore n Y dovrebbe essere molto vcno ad 1 e non dovrebbe superare tale lmte. Lo stesso dovrebbe avvenre n prossmtà dello 0. In pratca la curva che rappresenta la relazone tra X e Y dovrebbe essere d tpo logstco (ved fgura ) e non lneare. Fgura In quest cas, dunque, sarebbe pù opportuno adattare un modello d regressone non-lneare. Tra l altro, la non lneartà della relazone tra le varabl non consente d poter applcare l metodo OLS a meno che non s proceda ad opportune trasformazon che rendano lneare la relazone. S tratta d trasformazon

25 che rendano lneare la relazone ne termn de parametr (Berry e Feldman, 1985). Una delle trasformazon possbl è, ad esempo, la trasformazone logartmca della varable dpendente. Prma d llustrare passagg che portano alla lnearzzazone della relazone è necessaro aprre una breve parentes per fare alcune consderazon relatve alla varable dpendente consderata. Nella regressone logstca la varable dpendente defnsce l appartenenza a un gruppo (o all altro). I valor che vengono assegnat a lvell sono attrbut n manera arbtrara. Cò che nteressa, dunque, non è l valore atteso (o predetto), come nella regressone lneare, ma la probabltà che un dato soggetto appartenga a meno a uno de due grupp. Nonostante questo, è mportante sottolneare che la scelta de valor da assegnare nfluenza rsultat dell anals. Un modo per rsolvere l dlemma dell assegnazone de valor a lvell è quello d sostture la probabltà (ad esempo d Y = 1) con l odds: odds (Y = 1). L odds è un modo d esprmere la probabltà medante un rapporto. S calcola facendo l rapporto tra le frequenze osservate n un lvello con le frequenze osservate nell altro. Il valore dell odds esprme l rapporto tra due categore. Ad esempo, se c sono 30 uomn e 1 donne (N = 4) possamo dre che la probabltà d essere uomn è.714 (formula [1]), oppure che gl uomn sono l 71%. Se voglamo esprmere la stessa nformazone, mettendo n relazone le due categore, possamo rcorrere all odds. Medante l odds (formula []) vedamo che la relazone tra uomn e donne è par a.5, questo equvale a dre che per ogn donna c sono.5 uomn. 30 P ( M ).714 [1] 4 30 odds ( M ).5 [] 1 Per esprmere la relazone tra due categore n funzone d un altra varable (valutare coè l assocazone tra due varabl) è possble utlzzare un altro ndce chamato odds rato o rapporto tra gl odds. Tale ndce s ottene facendo un rapporto tra gl odds d una data varable (ad esempo, la

26 3 varable Y) ottenut per cascun lvello della seconda varable (ad esempo, la varable X). Ad esempo, se voglamo valutare la relazone tra tpo d lavoro e sesso possamo utlzzare una tabella d contngenza a doppa entrata e rappresentare la dstrbuzone d frequenze congunte (Tabella 1). Qund, la domanda che possamo porc è la seguente: l rapporto (odds) tra uomn e donne è uguale ne dfferent lavor? Se calcolamo la percentuale d uomn nelle due tpologe d lavoro osservamo che tra gl ngegner l 90% è composto da uomn, mentre tra gl nsegnant la percentuale d uomn è del 55%. Tabella 1 Tabella a doppa entrata che descrve la dstrbuzone congunta della varable sesso e della varable lavoro Sesso Lavoro Uomn Donne Totale Ingegner 18 0 Insegnant 1 10 Totale Per descrvere la dversa dstrbuzone delle categore della varable sesso nelle categore della varable lavoro medante una statstca unca possamo utlzzare l odds rato, che come detto precedentemente corrsponde al rapporto tra rapport tra le categore. Da un punto d vsta pratco, e facendo rfermento a dat raccolt nella tabella 1, s ottene che l odds rato ha un valore par a 7.5 (formula [3]); OR [3] Per l nterpretazone degl odds rato s procede nel seguente modo: valor dvers da 1 ndcano un assocazone tra le varabl. In questo caso, poché l valore è dverso da 1, s può dre che esste un assocazone tra l sesso e la professone. In partcolare, s osserva che la proporzone degl uomn è 7.5 volte maggore tra gl ngegner rspetto agl nsegnant. Nella tabella vene rportata la dstrbuzone congunta delle varabl X e Y. Dove la varable X è una varable dscreta quanttatva mentre la

27 4 varable Y è una varable dcotomca. Come s vede nella tabella è possble calcolare per cascun lvello della varable X la dstrbuzone d frequenza della varable Y. Tabella Confronto tra frequenze, frequenze relatve (%), odds e logt per la dstrbuzone della varable Y n funzone de valor della varable X Punteggo (x ) f % Y = 1 successo Y = 0 fallmento f % odds (1/0) log(odds(1/0)) Una volta calcolate le frequenze, è possble calcolare le frequenze relatve o frequenze percentual. Se confrontamo valor ottenut notamo subto che le frequenze relatve de due lvell della varable Y sono del tutto specular. Conoscendo le frequenze è po possble calcolare l rapporto ovvero l odds tra le categore della varable Y per cascun lvello della varable X. Infne, una volta calcolato l odds è possble calcolare l suo logartmo naturale ovvero l logt. Se confrontamo la dstrbuzone delle frequenze, delle frequenze relatve, degl odds e de logt possamo notare come tutte queste statstche fornscono la stessa nformazone sebbene con valor matematcamente dfferent. Quando le categore success (Y = 1) e fallment (Y = 0) sono equprobabl le frequenze relatve sono ugual a.5 per entrambe le categore d Y, gl odds sono ugual ad 1, mentre logt sono ugual a 0. Quando l numero d success è maggore del numero de fallment le frequenze relatve assumono valor superor a.5 per la categora Y = 1 e mnor per la categora Y = 0, gl odds assumono valor superor ad 1, mentre logt valor superor allo 0. Infne, quando l numero d success è nferore al numero de fallment le frequenze relatve assumono valor nferor a.5 per la categora Y = 1 e superor per la categora Y = 0, gl odds assumono valor nferor ad 1, mentre logt valor negatv. In pratca, mentre le frequenze relatve hanno un range d varabltà che va da 0 a 1, gl odds hanno un range d varabltà che va da

28 5 0 a pù nfnto, mentre logt possono varare da meno nfnto a pù nfnto. Chusa la parentes, possamo rprendere l flo del dscorso. Per esprmere la relazone tra la varable ndpendente e la varable dpendente n termn lnear possamo partre dalla seguente formulazone n cu l valore atteso della varable dpendente è la probabltà ( Yˆ Y P( Y 1 ) ), per cu la probabltà d Y = 1 come funzone lneare d X dventa: P( Y 1) X [4a]. Come llustrato, questo modello non è adeguato, poché valor della probabltà sono compres tra 0 e 1, mentre l termne + X può assumere valor che vanno da a +. Allora, per provare a rsolvere l problema possamo applcare la trasformazone esponenzale al termne d destra della funzone che dventa: P Y X ( 1) e [4b]. Anche questa trasformazone, seppure consente d restrngere valor dell equazone entro l range 0 +, non rsolve completamente l problema. A tal scopo possamo applcare la trasformazone logstca che consente d controllare valor e restrngerl nel range della probabltà (0; 1): Nel caso d varabl dcotomche l odds dventa: Dove: P( 0) 1 P( Y 1) X e P( Y 1) [4c]. X 1 e P( Y 1) odds ( Y 1) [4d]. 1 P( Y 1) Y serve a esprmere la probabltà della seconda categora n funzone della prma. Se defnamo n questo modo la probabltà d Y = 0 possamo calcolare l odds d Y = 1 che dventa: X e X e X oddsy 1 e [5]. 1 1 X 1 e

29 6 Infne, per le propretà de logartm ( ln( e x ) x ), se calcolamo l logartmo dell odds osservamo che l logartmo naturale dell odds d Y = 1 è funzone lneare della varable X: X ln odds Y 1 [5a]. Applcando queste trasformazon, l equazone della relazone tra le varabl X k e Y dvene: X11 X... X e P Y 1) X X... X ( [6] e È mportante sottolneare che la probabltà, l odds e l logt sono tre dfferent mod d esprmere esattamente la stessa cosa. La trasformazone n logt serve solo a garantre la correttezza matematca dell anals..1. La stma de parametr Come nella regressone lneare, nell anals della regressone logstca l nterpretazone della relazone tra varabl ndpendent e varable dpendente avvene medante la valutazone de parametr del modello. Nella pratca, valor de parametr della popolazone non sono not, ess vengono stmat a partre da un numero fnto d osservazon: le osservazon camponare. Per dstnguere la regressone camponara da quella della popolazone l modello d regressone logstca vene scrtto utlzzando le lettere latne: ab1 X1 b X... e e P( Y 1) ab1 X1 b X... e [7]. 1 e Nella stma de parametr della regressone logstca l metodo OLS non può essere applcato (non sono verfcat gl assunt), s utlzza l algortmo d massma verosmglanza (maxmum lkelhood - ML) che stma parametr del modello n modo da massmzzare la funzone (log-lkelhood functon) che ndca quanto è probable ottenere l valore atteso d Y dat valor delle varabl ndpendent. Nel metodo della massma verosmglanza, la soluzone ottmale vene raggunta partendo da de valor d prova per parametr (valor arbtrar) qual successvamente vengono modfcat per vedere se la funzone può

30 7 essere mglorata 3. Il processo vene rpetuto (teraton) fno a quando la capactà d mgloramento della funzone è nfntesmale (converge)... La valutazone del ft del modello Nell nterpretazone del modello della regressone logstca c s avvale d statstche del tutto sml alle statstche che esprmono l adeguatezza del modello nel rprodurre dat osservat nella regressone lneare (F e R ). Smlmente alla somma de quadrat, nella regressone logstca s utlzza l log lkelhood come crtero per la scelta de parametr del modello. In partcolare, per ragon matematche, s utlzza l valore del log lkelhood moltplcato per, e abbrevato come LL. Valor grand e postv ndcano una bassa capactà d prevsone del modello. Nel modello con la sola ntercetta l valore della statstca LL rappresenta quello che nella regressone lneare corrsponde alla devanza (o somma de quadrat totale, SQ o SST) e può essere ndcata come D 0. Il calcolo della D 0 vene ottenuto medante la seguente equazone: PY 1 n lnpy 0 D0 ny 1 ln Y 0 [8] Dove con n Y 1 ntendamo l numero d cas per qual Y = 1, con n Y 0 l numero d cas per qual Y = 0, N l numero totale d cas e con Y 1) n la probabltà che Y = 1. N P( Y 1 In un modello n cu la varable Y s dstrbusce come rportato nella tabella l calcolo dventa: Tabella 3 Dstrbuzone d frequenze della varable sesso Y f Y = 1 17 Y = 0 13 totale N = 30 3 È mportante sottolneare che quando le assunzon dell OLS sono verfcate, le stme de parametr ottenute medante l metodo OLS e l metodo ML sono dentche (Elason, 1993). In questo senso l metodo OLS può essere consderato un caso partcolare della ML; quando parametr sono stmabl drettamente, senza terazon.

31 D 0 17 ln 13ln [8a]; D [8b]. 0 Nel modello che contene sa l ntercetta sa la/le varable/ ndpendente/, l valore della statstca LL rappresenta la parte d varabltà de dat che non vene spegata dal modello (devanza d errore) e vene ndcata come D M. Lo scarto tra D 0 e D M rappresenta la parte d varabltà spegata dalle varabl ndpendent o varabltà spegata dal modello; e vene ndcata come G M : D D G 0 M M [9]. G M vene anche chamato Ch-quadrato ( ) del modello e ndca la quanttà d rduzone dell errore dovuta al modello; ma solo se modell sono ndfcat (nested). Un modello A (M A ) [9a] s dce nested n un modello B (M B ) [9b] se l modello A è composto da alcun de termn contenut nel modello B, e non ve ne sono d dvers, mentre nel modello B v sono anche termn agguntv: M A M B a b [9a]; a b c [9b]. La dfferenza tra due -LL (G M ), se calcolata su modell nested, può essere nterpretata come statstca del e utlzzata per la verfca dell potes nulla del modello: H0 1 3 k... 0 [10]. Se l G M rsulta statstcamente sgnfcatvo (coè quando l valore ha una p <.05) l potes H 0 può essere rfutata; vale a dre che la prevsone (Y = 1) può essere mglorata se consderamo predttor. Per la verfca dell potes grad d lbertà sono defnt dal numero d predttor (gdl = k). Se mantenamo la smltudne tra la statstca LL e la devanza della regressone, per ottenere una statstca smle all R (pseudo R ) s può utlzzare l rapporto d verosmglanza (lkelhood rato) secondo la seguente formula: R L G D M 0 GM G D M M [11].

32 9 Nella letteratura, questa statstca è nota come ndce d McFadden (1974). Analogamente a quanto avvene nella regressone, R L può essere consderato come la porzone d rduzone dell errore ( LL) dovuta al modello. Detto n altr termn, ndca quanto consderare predttor rduce la varazone ne dat (stmata a partre dal modello nullo)..3. La valutazone della capactà predttva del modello In aggunta alle statstche relatve alla valutazone dell adeguatezza del modello (goodness of ft), un ulterore aspetto che vene preso n consderazone è la capactà predttva del modello. Nella maggor parte de cas, nfatt, oltre ad essere nteressat a conoscere se l modello è n grado d prevedere adeguatamente P(Y = 1) possamo essere nteressat anche a voler verfcare se l modello è n grado d prevedere adeguatamente l appartenenza de cas ad un gruppo o ad un altro, qund samo molto pù nteressat alla tabella delle classfcazon. Nella regressone logstca la tabella delle classfcazon è una tabella a due ve ( ) nella quale, per cascuna osservazone, s pongono a confronto valor osservat con valor prevst dal modello. L ndce per la valutazone della capactà predttva del modello maggormente mpegato s basa sulla valutazone della rduzone dell errore n percentuale (proportonal change n error): Effcenza predttva error senza l modello error con l modello [1] error senza l modello Gl error con l modello sono dat dal numero d cas per cu l valore prevsto è dverso dal valore osservato. Gl error senza l modello s calcolano n mod dvers e dpendono dall uso che s vuole fare del modello: a) predzone; b) classfcazone; c) selezone. Ne modell predttv, l obettvo è valutare se un dato caso soddsfa o meno un crtero (es. successo, presenza d un sntomo, ecc.). Non c sono lmt post a pror per cu tutt potrebbero appartenere a un unca categora. Ne modell d classfcazone, l obettvo è smle a modell predttv solo che s assume che l modello debba rcostrure le proporzon tra le categore

33 30 così come sono state osservate. Se l modello fallsce n questo compto vene valutato come non adeguato. Ne modell d selezone, l obettvo è quello d accettare o rfutare cas stablendo a pror l numero d element che possono entrare n una data categora (es. stablendo d volere selezonare l 10% de canddat). Per la valutazone dell effcenza predttva del modello sono state mpegate molte statstche comunemente utlzzate per analzzare le tabelle d contngenza: ; d Goodman e Kruskal; l ; l coeffcente r d Pearson; e gl odds rato. Per modell d prevsone, per l calcolo degl error senza l modello s può utlzzare la moda come valore atteso d ogn caso. Questo metodo è lo stesso d quello mpegato per l calcolo della statstca (d Goodman e Kruskal). Tale statstca proposta da Ohln e Duncan (1949) vene detta p. dove: k nm max( R ) 1 p N max( R ) [13]; N ampezza del campone n M frequenza max nella colonna - esma R l pù grande totale d rga Per modell d classfcazone, un buon modo per calcolare gl error senza l modello (esm) è basars sulla formula: dove: esm N 1 N f f N N ampezza del campone f numero d cas [14]; nella categora Quest ultmo metodo è lo stesso usato per l ndce d Goodman e Kruskal. L ndce adattato alle tavole d prevsone è stato proposto da Elecka (1980) e vene smboleggato come p. Questo ndce corregge l numero atteso d error n base alla dfferenza d partenza fra le categore. Se l valore è negatvo sgnfca che l modello non mglora la prevsone. Se è 1 la prevsone è perfetta. Tale statstca s calcola nel modo seguente: ad bc [15]; p ad bc ( ab cd ) ad bc ( ac bd)

34 31 dove la lettera a corrsponde al numero d frequenze nella prma cella (n alto a snstra) della tabella d classfcazone ( ); la lettera b alla seconda cella (n alto a destra); la lettera c alla terza cella (n basso a snstra); e la lettera d alla quarta e ultma cella della tabella (n basso a snstra). Per modell d selezone, per l calcolo dell effcenza del modello s può utlzzare una statstca che confronta per cascuna cella lo scarto tra valor attes e valor osservat. Se l valore è negatvo sgnfca che l modello non mglora la prevsone. Tale statstca è detta p e s calcola: ad bc p [16].. 5 a bb d c d a c.4. Il contrbuto de sngol predttor Al par della regressone lneare, anche nella regressone logstca samo nteressat a valutare l contrbuto specfco d ogn varable ndpendente sulla varable dpendente, testandone la sua sgnfcatvtà. Come nella regressone lneare, la valutazone de sngol contrbut vene fatta solo quando l modello nel suo complesso s è rvelato utle a mglorare la prevsone della varable dpendente. Per la valutazone del contrbuto d cascuna varable s consderano coeffcent d regressone. A tal scopo possamo consderare sa coeffcent non standardzzat (se samo nteressat alle untà d msura) sa coeffcent d regressone standardzzat (che esprmono la relazone tra le varabl ne termn delle devazon standard). Il modo pù utlzzato per valutare l contrbuto d cascun predttore sulla varable dpendente è medante la statstca d Wald (W k ): bk W k [17] sb k Tale statstca segue la dstrbuzone della varable casuale Ch-quadro con 1 grado d lbertà. Per porre a confronto varabl che hanno delle untà d msura dfferent è necessaro calcolare coeffcent d regressone standardzzat. Un coeffcente standardzzato è un coeffcente che è stato calcolato su varabl che hanno come untà d msura la devazone standard. Tal coeffcent ndcano d quante devazon standard vara la varable

35 3 dpendente per ogn varazone untara (standard) della varable ndpendente. Nel caso della regressone logstca coeffcent standardzzat (b* YX ) ndcano d quante devazon standard s modfca l logt della Y per ogn varazone standard della varable X k. La formula per l calcolo è la seguente: dove: b byx sx RYModel ˆ [18]; slogtyˆ * YX b s R s YX X coeff. dev. st.d X YModel ˆ logt( Yˆ ) coeff. d regresson e non stand. d regresson e lneare dev. st.d log t( Yˆ) stmato Un ulterore parametro che può essere utlzzato per l nterpretazone della relazone tra le varabl è l odds rato che nell output de software vene rportato come exp(b). Tale valore esprme la varazone della varable dpendente n funzone d varazon della varable ndpendente. Se l valore è superore a 1 sgnfca che all aumentare della varable ndpendente aumenta la probabltà d Y = 1. Al contraro, se l valore è nferore a 1 sgnfca che ad aumentare della varable ndpendente decresce la probabltà che Y = 1. È mportante sottolneare sa che l odds rato ha la stessa nterpretazone del coeffcente d regressone, sa che per confrontare dfferent lvell d probabltà (Y = 1), ne dvers lvell delle varabl ndpendent, è necessaro calcolare la probabltà e non basta rfars a valor dell odds..5. Esempo Regressone Logstca Semplce Immagnamo che un rcercatore sa nteressato a verfcare se l lvello d ansa ncde sulla tendenza a manfestare attacch d panco (Modello 1), e se l eventuale effetto s manfest ndpendentemente dall età (Modello ). A tal scopo regstra per 14 soggett le seguent varabl (Tabella 4):

36 33 anx: l punteggo rportato da cascun ndvduo ad una scala che msura l lvello d ansa STAI (msurazone ad ntervall nel range 1-10); age: età espressa n ann; panc: valuta per cascun partecpante la presenza/assenza d attacch d panco negl ultm 5 mes (range 0-1). Tabella 4 Matrce de dat soggett (SS) varabl (VV) cod anx age panc Tabella 5 Costruzone della matrce (SS VV) medante l software R #Sntass per la creazone della matrce d dat: nevros nevros<-data.frame ( cod = c(1:14), anx = c(3,3,3,3,3,3,7,8,7,8,8,8,8,8), age = c(8,8,40,8,18,40,18,41,41,16,19,0,18,0), panc = c( 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0) ) nevros cod panc anx age Data l potes d causaltà mplcata nel Modello 1, l rcercatore procede analzzando la relazone tra la varabl ndpendent (ansa) e la varable dpendente (panco) medante una regressone. Dal momento che la varable crtero è una varable dcotomca, scegle d esegure una anals

37 34 della regressone logstca semplce utlzzando come crtero la manfestazone d attacch d panco (msurat come 0 = assent, 1 = present) e come varable ndpendente l lvello d ansa (msurato con la scala STAI). Per verfcare la sua potes, calcola la devanza resdua del modello dell potes nulla (Modello 0) e quella del modello dell potes alternatva (Modello 1). In entramb cas s tratta d utlzzare l equazone [8]. Ottenute le due devanze, procede ad effettuare l loro confronto medante la dstrbuzone teorca del Ch-quadrato (formula [9]). La sua potes nulla è che l lvello d ansa non nfluenz la manfestazone d attacch d panco o la probabltà d manfestare attacch d panco. L potes alternatva, nvece, assume che la probabltà d manfestare attacch d panco dpenda dal lvello d ansa. In termn parametrc, l potes nulla assume che l parametro β della varable ansa (che esprme la relazone tra ansa e attacch d panco nella popolazone) sa uguale a 0 e che qund che l Modello 1 non sa n grado d rdurre sgnfcatvamente la devanza resdua del Modello 0. L potes alternatva, nvece, assume che l parametro β della varable ansa sa dverso da 0. Attraverso l software R calcolamo qund l modello dell potes nulla (Modello 0) e l modello dell potes alternatva (Modello1). A tal fne applchamo un modello generale lnearzzato (utlzzando la funzone 4 glm) e defnendo come funzone lnk la funzone bnomale. Rspettvamente: M0 <- (glm(panc ~ 1, famly=bnomal)) [19] per l modello dell potes nulla (Modello 0) e M1 <- (glm(panc ~ 1+anx, famly=bnomal)) [0] per l modello dell potes alternatva (Modello 1). Per confrontare le due devanze utlzzamo la funzone anova e specfchamo come dstrbuzone teorca per testare statstcamente l potes nulla la dstrbuzone Ch-quadrato: anova(m0, M1, test="chsq") [1] 4 Per un approfondmento sulla funzone glm dgtare l comando help(glm) nella fnestra d lavoro del software R. Per un approfondmento su modell lnear generalzzat vedere Gll (001) e Mcel (001).

38 35 Tabella 6 Rsultato del confronto tra l Modello 0 e l Modello 1 > M1<-(glm(panc ~ anx, famly=bnomal)) > M<-(glm(panc ~ anx + age, famly=bnomal)) > anova(m0, M1, test="chsq") Analyss of Devance Table Model 1: panc ~ 1 Model : panc ~ anx Resd. Df Resd. Dev Df Devance P(> Ch ) Il valore d probabltà che s rfersce al test statstco del confronto tra le devanze è p = Dal momento che è nferore al valore d probabltà crtco =.05, questo c porta a rfutare l potes nulla (H 0 = la varanza spegata dal Modello 1 è casuale) e ad accettare l potes alternatva (H 1 = la varanza spegata dal Modello 1 è maggore della varanza spegata dal modello della sola ntercetta, Modello 0). Medante la formula d McFadden [11] calcolamo la percentuale d varanza spegata dal Modello 1 che corrsponde a crca.8 (Tabella 7). Tabella 7 Calcolo dell ndce d varanza spegata (pseudo R ) del Modello 1 > / [1] > # Oppure n modo del tutto equvalente > (M0$devance-M1$devance)/M0$devance 5 [1] A questo punto, per nterpretare l tpo d relazone che esste tra l lvello d ansa e la manfestazone d attacch d panco analzzamo parametr del Modello 1. 5 In questo esempo, sono stat utlzzat valor delle devanze resdue dsponbl negl oggett M0 e M1. Per avere una descrzone delle caratterstche d un oggetto e delle sue varabl è possble utlzzare la funzone str(). Per maggor nformazon dgtare l comando help(str) nella fnestra d lavoro d R.

39 36 Tabella 8 Parametr stmat del Modello 1 > summary(m1) Call: glm(formula = panc ~ anx, famly = bnomal) Devance Resduals: Mn 1Q Medan 3Q Max Coeffcents: Estmate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) * anx * --- Sgnf. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dsperson parameter for bnomal famly taken to be 1) Null devance: on 13 degrees of freedom Resdual devance: on 1 degrees of freedom AIC: Number of Fsher Scorng teratons: 4 I rsultat evdenzano che la relazone tra ansa e attacch d panco è rappresentata dalla seguente funzone: ( ) ln odds panco 1 ansa []. Questo sgnfca che se l lvello d ansa è uguale a 0 l valore del logartmo naturale dell odds (logt) della varable attacco d panco è uguale a Poché se l logt è nferore a 0 l rapporto tra Y = 1 e Y = 0 è a favore del denomnatore, questo sgnfca che quando la varable ansa è uguale a 0 la probabltà d osservare un valore d Y = 1 è molto bassa ( ). Per conoscere l valore esatto dell odds basta calcolare l esponenzale del parametro a che n R s può calcolare con la seguente formula: > exp(-15.5) [3] [1] e-07 [4] Se nvece consderamo l parametro b possamo osservare che la relazone tra la varable ansa e la varable attacch d panco è una relazone d tpo postvo. Questo sgnfca che per ogn ncremento untaro del punteggo d ansa l valore del logartmo naturale dell odds (logt) della varable attacco d panco aumenta d.601 untà. Detto n altr termn all aumentare de

40 37 lvell d ansa aumenta la probabltà d manfestare un attacco d panco. Anche n questo caso, calcolando l valore esponenzale del parametro, che corrsponde a 1.8, possamo conoscere d quanto vara l odds per ogn varazone untara della varable ndpendente ansa. > exp(.601) [5] [1] [6] Medante parametr ottenut è qund possble conoscere la probabltà d osservare un attacco d panco per ogn specfco lvello d ansa. Basta sostture valor osservat nella formula [6] e defnre uno specfco lvello per la varable ndpendente. Ad esempo, se un dato ndvduo ha un punteggo d ansa par a 30 la sua probabltà d manfestare un attacco d panco corrsponde a: (30) e P ( Y 1) (30) [7] 1 e.5134 e P ( Y 1) [8] 6 1 e Medante parametr stmat, è qund possble calcolare per cascuna osservazone la probabltà d manfestare un attacco d panco n base al punteggo sulla scala dell ansa. Se stablamo che ch ha una probabltà stmata superore a.5 sono ndvdu che manfestano un attacco d panco, medante le probabltà rsultant possamo classfcare le untà osservatve n ndvdu con attacco d panco e ndvdu senza attacco d panco; e confrontare la classfcazone ottenuta medante parametr del modello con valor realmente osservat per la varable dpendente. Questo c consente d creare la tabella a due ve nota come tabella delle classfcazone e calcolare ulteror ndc d adeguatezza del modello. 6 Il rsultato s può ottenere medante la seguente funzone n R: > (exp( *30))/(1+(exp( *30))) [1]

41 38 Tabella 9 Costruzone della tabella delle classfcazon e calcolo delle percentual d classfcazone corrette > # Questo comando consente d ottenere valor d probabltà prevst > # del Modello 1 > M1$ftted.values > # Questo commando arrotonda valor prevst al numero ntero > # con 0 decmal > panc.pre <- round(m1$ftted.values,0) > panc.pre > panc.oss <- panc > # Crea la tabella delle classfcazon > table.class <- table(panc.pre, panc.oss) > table.class panc.oss panc.pre > # Questa sere d comand estrae prma valor della tabella > # e po esegue l calcolo delle percentual (%) > a <-table.class[1] > b <-table.class[] > c <-table.class[3] > d <-table.class[4] > a/(a+b) # % corrette valore 0 della VD [1] > d/(c+d) # % corrette valore 1 della VD [1] > (a+d)/(a+b+c+d) # % corrette (0+1) della VD [1]

42 39 Rferment Bblografc Barbaranell, C. (003). Anals de dat. Mlano: Led. Baron, R.M., Kenny, D.A. (1986). The Moderator-Medator Varable Dstncton n Socal Psychologcal Research: Conceptual, Strategc, and Statstcal Consderatons, 51(6), Berry, W.D., Feldman, S. (1985). Multple Regresson n Practce (Sage Unversty Paper Seres on Quanttatve Applcatosns n the Socal Scence). Newbury Park, CA: Sage. Caudek, C., Lucco, R. (001). Statstca per pscolog. Bar: Gus. Laterza & Fgl Spa. Keppel, G., Saufley, W.H., Tokunaga, H. (001). Dsegno spermentale e anals de dat n pscologa. Napol: Edses. Menard, S. (001). Appled Logstc Regresson Analyss (II Ed.) (Sage Unversty Paper Seres on Quanttatve Applcatosns n the Socal Scence). Thousand Oaks, CA: Sage. Mcel, R. (001). Percors d rcerca e anals de dat. Torno: Bollat Borngher edtore S.r.l. R Development Core Team (006). R: A language and envronment for statstcal computng. R Foundaton for Statstcal Computng, Venna, Austra. (URL

43 40 Appendce A Alfabeto greco Mauscolo Mnuscolo Mauscolo Mnuscolo Alfa Nu Beta X Gamma Omcron Delta P Ipslon Rho Zeta Sgma Eta Tau Theta Upslon Iota Ph Kappa Ch Lambda Ps Mu Omega

44 41 Appendce B Funzon del software R utlzzate help() lm() glm() round() summary()