3. Esercitazioni di Teoria delle code

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1 3. Eserctazon d Teora delle code Poltecnco d Torno Pagna d 33

2 Prevsone degl effett d una decsone S ndvduano due tpologe d problem: statc: l problema non vara nel breve perodo dnamc: l problema vara Come s procede? S analzzano temp e modaltà d attesa degl utent n dverse code. S cerca la correlazone tra l numero d arrv e l numero d servz. Se problem sono semplfcabl s rsolvono per va analtca, altrment s procede alla smulazone. Poltecnco d Torno Pagna 2 d 33

3 Ottmzzazone del sstema d servzo Ottmzzare un sstema d servzo sgnfca: mnmzzare la somma de cost dovut all attesa dell utenza e de cost dovut all attvazone del servzo. Poltecnco d Torno Pagna 3 d 33

4 Andament qualtatv de cost d un sstema d servzo Costo medo d attesa Effcenza del servzo Somma de cost Costo medo Ottmzzare è poszonars sul mnmo Costo medo del servzo Costo fsso Effcenza del servzo Effcenza del servzo Il costo fsso è dovuto all esstenza del servzo Poltecnco d Torno Pagna 4 d 33

5 tempo d servzo Notazone d Kendall cardnaltà della popolazone da cu provengono gl arrv u/v/w/x/y/z tempo d nterarrvo numero d server dscplna della coda capactà del sstema d servzo Poltecnco d Torno Pagna 5 d 33

6 Notazon π n (t) : probabltà che c sano n utent nel sstema d servzo all stante t ( ) n Π t, z πn ( t) z : funzone generatrce d probabn ltà d π n (t) dπ ( ) ( t, z) N t dz : valore medo del numero d z utent present nel sstema d servzo Poltecnco d Torno Pagna 6 d 33

7 Notazon (cont.) λ(t) : frequenza d nter-arrvo µ(t) : frequenza d servzo L(t) N(t) - (t) : lunghezza meda della coda ove ( t ) λ µ ( t ) ( t ) è l fattore d utlzzo Poltecnco d Torno Pagna 7 d 33

8 Rsultato d Lttle In un sstema d servzo stazonaro valgono le seguent relazon: N(t) T t (t)λ(t) L(t) T c (t)λ(t) ove T t (t) : valore atteso del tempo speso da un utente nel sstema d servzo T c (t) : valore atteso del tempo speso da un utente n coda Poltecnco d Torno Pagna 8 d 33

9 M/M/ Legge degl arrv e de servz d tpo possonano Supponamo λ x λ e µ x µ, costant. Condzone d ergodctà: λ\µ < Probabltà d avere x utent nel sstema: π x x ( ) Probabltà d non avere attesa: π Poltecnco d Torno Pagna 9 d 33

10 M/M/ (contnua) Probabltà d avere almeno h utent nel sstema: π h ( ) ( ) h All equlbro : h 2 N L T t T c µ µ Poltecnco d Torno Pagna d 33

11 Eserczo proposto Ad un autolavaggo arrvano 8 clent all ora, con dstrbuzone d Posson. L autolavaggo può servre 2 clent all ora e la coda è d tpo M/M/. I dat precedent corrspondono a: λ8 ; µ2 ; λ\µ < S possono determnare tutt parametr presentat n precedenza, semplcemente applcando le defnzon. Poltecnco d Torno Pagna d 33

12 M/M/ con scoraggamento degl arrv Ad un casello autostradale non s può sfuggre alla coda, ma ad un autolavaggo sì. Per rappresentare questa possbltà d scelta: µ x µ ( servz non sono nfluenzat dalla coda) λ x x a +, a λ a e µ : fattore d utlzzo Poltecnco d Torno Pagna 2 d 33

13 M/M/ con scoraggamento degl arrv (contnua) La funzone d ergodctà camba. Se anche λ>µ,lo scoraggamento degl arrv lmta la lunghezza della coda. a Condzone d ergodctà: Parametr del sstema d servzo: π N x x! a µ a µ σ 2 N x e a µ, T t, x e N, T λ a µ c T t µ,l T µ c λ Poltecnco d Torno Pagna 3 d 33

14 M/M//k :sstema d servzo con capactà k a ( costante) se x < k λ µ x x µ ( costante) x se x k Sa noltre : a µ Poltecnco d Torno Pagna 4 d 33

15 M/M//k :sstema d servzo con capactà k Le probabltà d equlbro sono date da: π π π x x k + ( ) k+ x x k x > k π k rappresenta la probabltà d equlbro per un utente d trovare la coda pena ed è detta fattore d perdta nello stato d equlbro. Poltecnco d Torno Pagna 5 d 33

16 M/M/n s Il sstema è dotato d n s canal d dstrbuzone del servzo. La capactà del sstema è llmtata. λ µ x x λ xb se x ns nsb se x > ns λ < condzoned ergodctà n b s Tutt canal s consderano ugual Poltecnco d Torno Pagna 6 d 33

17 Eserczo Calcolare l tempo medo d attesa n coda per una scala moble dat: massma portata: 2 passegger/gradno veloctà scala: gradno/sec numero medo d arrv: /mn arrv possonan Il problema è modellzzable M/D/ (D: la veloctà della scala è costante) Poltecnco d Torno Pagna 7 d 33

18 Soluzone dell eserczo Il tempo medo d attesa è: T c λ 2µ µ S conosce: λ passegger/mnuto S calcola: µ2 passegger/mnuto Da cu: T c,25mn,5sec Poltecnco d Torno Pagna 8 d 33

19 Eserczo 2 S determn l numero d casell necessar ad un uscta autostradale per avere un numero medo d utent mnore d 5. Il sstema è caratterzzato da: traffco medo d utent n uscta dstrbuto unformemente e par a 85 vecol (supposto dstrbuto unformemente dalle 7 alle 2) la percentuale d utent vacard è del 5% l numero medo d servz/ora a casell normal è 2, a casell vacard è 6 S us un modello M/M/n s Poltecnco d Torno Pagna 9 d 33

20 Soluzone dell eserczo 2 S ndvduano 2 sstem separat: casell vacard casell normal Casell vacard I vecol n una gornata sono 425. Per cu λ425/3 vecol/ora 326,9 vecol/ora E noto µ6 vecol/ora λ/µ.545 potzzando n s S può verfcare che N<5: N/( ).2 vecol Poltecnco d Torno Pagna 2 d 33

21 Soluzone dell eserczo 2 (contnua) Casell normal S ha: λ326,9 vecol/ora e µ2 vecol/ora Ovvamente o 2 canal non sono suffcent. Servono almeno tre canal. Con 3 canal s ottene N9 che non soddsfa le specfche. S prova con quattro canal ottenendo un valore mnore d 5. Poltecnco d Torno Pagna 2 d 33

22 Eserczo 3 S ha un sstema caratterzzato da: λ2/8 vecol/ora,5 vecol/ora µ/3 vecol/mnuto2 vecol/ora Utlzzando un modello M/M/ s calcol la lunghezza meda della coda ed l tempo medo d attesa del servzo. Con un modello M/M/;k4 la probabltà d perdta del clente successvo. Poltecnco d Torno Pagna 22 d 33

23 M/M/ L ÄT t M/M/;k π k λ µ Soluzone dell eserczo 3 2 ì(, vecol ñ) 2 k ( ) π k + ore 4,4 Poltecnco d Torno Pagna 23 d 33

24 Eserczo 4 S consder un sstema d servzo caratterzzato da: tempo d nter-arrvo esponenzalmente dstrbuto e con valore atteso par a /λ n, con nnumero d utent nel sstema d servzo tempo d servzo esponenzalmente dstrbuto con valore atteso par a /µ n Sano po: 4.) λ µ (2 + b ) a 4.2) λ µ ( + 2 a) a + + a Poltecnco d Torno Pagna 24 d 33

25 Eserczo 4 (contnua) S calcolno: le probabltà d equlbro e la condzone d ergodctà sotto la quale queste probabltà esstono e sono unvoche la relatva funzone generatrce delle probabltà d equlbro l valore atteso per l numero d utent nel sstema d servzo nello stato d equlbro la probabltà d trovare non pù d h utent nello stato d equlbro Poltecnco d Torno Pagna 25 d 33

26 Poltecnco d Torno Pagna 26 d 33 Poltecnco d Torno Soluzone dell eserczo 4. Dato che λ e µ sono funzon crescent d s può ntrodurre: S possono qund calcolare le probabltà: b a µ λ con, 2 + +, h h j j j j h h j j π π

27 Soluzone dell eserczo 4. (contnua) Tenendo conto che: j j ( + ) s possono rcavare le probabltà d equlbro : π π ( ( ) + ) 2 ( ) 2 Poltecnco d Torno Pagna 27 d 33

28 Soluzone dell eserczo 4. (contnua) La funzone generatrce delle probabltà d equlbro rsulta: ( ) Π z 2 ( z) ( 2 ( ) ( + ) z 2 da cu l valore atteso N, per l numero d utent nello stato d equlbro: ) N( ) dπ( z) dz z 2 Poltecnco d Torno Pagna 28 d 33

29 Soluzone dell eserczo 4. (contnua) La probabltà d avere meno d h utent nel sstema vale: Pr( n h) ( h + h n 2) π h+ n + ( h h n n ( n + ) ( ) + ) h+ 2 2 Poltecnco d Torno Pagna 29 d 33

30 Poltecnco d Torno Pagna 3 d 33 Poltecnco d Torno Soluzone dell eserczo 4.2 S può ntrodurre la seguente notazone: S possono qund calcolare le probabltà: ( ) ( )( ) a µ λ con, , h h j j j j h h j j π π

31 Soluzone dell eserczo 4.2 (contnua) Tenendo conto che: ( + ) ( +! ) ( ) j j s possono rcavare le probabltà d equlbro : π π! + ( + )! Poltecnco d Torno Pagna 3 d 33

32 Soluzone dell eserczo 4.2 (contnua) La funzone generatrce delle probabltà d equlbro rsulta: Π( z)! + ( + ) z! z ( z) e + z da cu l valore atteso N, per l numero d utent nello stato d equlbro: dπ( z) N( ) dz z Poltecnco d Torno Pagna 32 d 33

33 Soluzone dell eserczo 4.2 (contnua) La probabltà d avere meno d h utent nel sstema vale: Pr( n h) h n h n n+ h π n n n! + + ( n +! ) ( h )! Poltecnco d Torno Pagna 33 d 33