NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI

Transcript

1 NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI METODI PER LO STUDIO DEL LEGAME TRA VARIABILI IN UN RAPPORTO DI CAUSA ED EFFETTO I MODELLI DI REGRESSIONE Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 1/4

2 IL PROBLEMA S dspone de valor relatv alla statura n centmetr () ed al peso corporeo n Kg () d un campone d ndvdu masch adult, della stessa classe d eta PESO () STATURA(X) Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar /4

3 REGRESSIONE E la tecnca pù adatta quando l obettvo prncpale consste nello svluppare un modello predttvo, coè uno strumento che consenta d predre l lvello d Y per un dato valore d X. studa una relazone d causa ed effetto, come vara una varable detta dpendente Y al varare d un'altra varable detta ndpendente X La varable X: è una varable non casuale è affetta da errore trascurable per ogn valore d X esste una sottopopolazone d valor d Y che seguono una dstrbuzone d Gauss. Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 3/4

4 Il pù semplce modello d relazone che s può ndagare è rappresentato da una retta la cu espressone matematca è: a + b dato che per ogn abbamo una popolazone d valor n statstca l'espressone della retta dventa: a + b + e e è l'errore d msura legata alla varabltà de soggett sotto osservazone a è l'ntercetta b è l coeffcente d regressone (coeffcente angolare o pendenza della retta) ed esprme quanto aumenta la varable dpendente al varare untaro della varable ndpendente. Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 4/4

5 Le stme de parametr a e b s ottengono con l : METODO DEI MININI QUADRATI che consste nell'ndvduare la retta che renda mnma la somma delle dstanze al quadrato d cascun punto da punt della retta d regressone stessa. [ ( + )] a b e Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 5/4

6 La stma de due parametr della regressone sono: bˆ ( )( ) ( ) aˆ b ˆ l'equazone della retta dventa pertanto: ˆ aˆ + bˆ Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 6/4

7 Per effettuare cont è convenente utlzzare le seguent formula: n n ) ( ) )( ( bˆ Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 7/4

8 Per rsolvere l problema s consgla d costrure una tabella che contenga le quanttà: Tot ADESSO EFFETTUATE I CALCOLI E POI PROSEGUITE Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 8/4

9 Per rsolvere l problema convene preparare la seguente tabella de dat Tot Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 9/4

10 effettuando cont s ha: / / bˆ ( ( )( ) ) n ( ) n ( 1764 ( ) ) / 10 / â bˆ Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 10/4

11 VERIFICA DELLE IPOTESI SU b ANALISI DELLA VARIANZA DELLA REGRESSIONE. H 0 : b 0 H 1 : b 0 L'obettvo è d analzzare se le varazon della Y assocate alla X sano maggor d quelle dovute al caso. Se non rfutamo H 0 : forse c'è una relazone tra X ed Y ma non è possble stmare Y conoscendo valor d X; forse c'è un legame tra X ed Y ma non è descrtto da una retta. Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 11/4

12 S osserv che ( ) ( ) ˆ ˆ + Per tutt gl scostament s ottene ( ) ( ) ( ) + ˆ ˆ Devanza Totale Devanza d Regressone + Devanza resdua Devanza Totale Devanza d Regressone + Devanza resdua G.L. N-1 1 N- Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 1/4

13 PER EFFETTUARE I CALCOLI CONVIENE PER EFFETTUARE I CALCOLI CONVIENE UTILIZZARE LE SEGUENTI FORMULE UTILIZZARE LE SEGUENTI FORMULE - REGRESS TOTALE RESIDUA DEV ˆ REGRESS. DEV TOTALE DEVIANZA b n Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 13/4

14 UTILIZZANDO LE FORMULE PRECEDENTI EFFETTUATE I CALCOLI Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 14/4

15 Per l nostro esempo ˆ / REGRES TOTALE b n DEV. TOTALE DEV. TOTALE DEV. REGRESSIONE DEV. REGRESSIONE DEV. RESIDUA DEV. RESIDUA Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 15/4

16 STATISTICA TEST La statstca test per la verfca dell'potes nulla b 0 mrerà a valutare quanto è pù grande la varanza d regressone rspetto alla varanza resdua: F dev. regr. g. l.(1) dev. res. g. l.( N ) ( ˆ ) 1 ( ˆ ) N Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 16/4

17 REGOLA DI DECISIONE Fssato α 0,05 Indvduata la dstrbuzone della statstca test (F-Fsher) se Fcalc > Ftab allora rfuterò H 0 Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 17/4

18 COSTRUITE LA TAVOLA DELL ANALISI DELLA VARIANZA DELLA REGRESSIONE Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 18/4

19 Nell esempo Sorgent d varazone A N O V A DEVIANZE G.L. VARIANZE F CAL REGRESSIONE RESIDUA TOTALE Essendo F tab F 1,8 5.3 < F cal rfuto H 0 Dove F cal Varanza Regressone/Varanza resdua / Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 19/4

20 VERIFICA DELLE IPOTESI SU b H 0 : b b 0 H 1 : b b 0 T b b ES 0 ( b) ES ( b) var res dev ( ˆ ) N ( ) La dstrbuzone della statstca test è t-student con grad d lbertà par a grad d lbertà della varanza resdua N -. Fssato α 0,05 se t calc > t tab rfuterò H 0 Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 0/4

21 INTERVALLO DI CONFIDENZA per b Può rsultare utle determnare l'ntervallo d confdenza per b l metodo è lo stesso seguto per gl altr ntervall d confdenza: stma ± (fattore d correzone errore della stma) bˆ ± t α, n ES ( b) Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 1/4

22 VERIFICATE LA SIGNIFICATIVITA DEL COEFFICIENTE DI REGRESSIONE TRAMITE IL TEST t-student utlzzando dat del problema Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar /4

23 H 0 : b b 0 0 H 1 : b b 0 0 T / Essendo T cal > T 8, S rfuta H 0, coè b è sgnfcatvamente dverso da zero L Intervallo d confdenza per b è : ± ( ) b 1.81 Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 3/4

24 COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE Il coeffcente d determnazone ndca quanta parte delle osservazon sono spegate dal modello, coè quant dat cadono sulla retta stmata. con 0 R 1 R ( ) ( ) devregr devtot ˆ R 0 la retta d regressone concde con la retta della meda della varable Y. R 1 la retta d regressone spega una alta percentuale d dat. Nel caso del nostro esempo R coè l modello spega 83.5% de dat Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 4/4