Probabilità cumulata empirica

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1 Probabltà cumulata emprca Se s effettua un certo numero d camponament da una popolazone con dstrbuzone cumulata F(y), s avranno allora n campon y, y,, y n. E possble consderarne la statstca d ordne, coè campon ordnat n senso crescente, del tpo y( ), y( ),, y( n ). S defnsce la probabltà cumulata emprca come: q q ( y ) ( ) q per n > 0 n+ ed n+0.4 servono a n + correggere l fatto che s avrebbe 0.3 y( ) q per n q00% per l valore pù alto de n campon ( ) 0 La probabltà cumulata emprca è una stma della cumulata della popolazone F(y) I dat spermental o osservat, espress n termn d probabltà cumulata emprca, possono essere successvamente organzzat sotto forma d carte d probabltà per determnare parametr della dstrbuzone f(y) ncognta.

2 Esempo d probabltà cumulata emprca Numero componente Ore d funzonamento ordnamento Numero componente Ore d funzonamento q ( y ) ( ) q n + q(y) q() q(y) y() x()

3 Carte d probabltà La carta d probabltà è uno strumento per valutare parametr d una dstrbuzone a partre da dat ottenut con realzzazone camponare. ) A tale scopo occorre effettuare un cambo d coordnate lnearzzando la relazone tra percentl e probabltà cumulata. ) Tramte la regressone lneare è possble stablre qund parametr de modell statstc o dstrbuzon d nteresse 3) S può noltre calcolare l ndce d determnazone o d correlazone per valutare quanto la dstrbuzone s adatt a dat real d partenza.

4 Carta d probabltà esponenzale Rcordando le legg della esponenzale negatva f ( t) t λ e λ con 0 t < + F ( t) e λt λ ( t) t ln[ F ( t ) ] e t F λ Se allora s hanno a dsposzone n campon dervant da una dstrbuzone esponenzale negatva, e s vanno a rportare su un grafco punt d coordnate (t, -ln[-q ]), quest dovranno dspors su d una retta passante per l orgne e pendenza λ. Se s adotta una esponenzale a due parametr, c sarà anche un ntercetta par a: -t 0 λ -ln(-q ) - t 0 λ t 0 λ t

5 Carta d probabltà gaussana Per la gaussana generca valeva la relazone (non espctable) F( y) y f ( y) dy y y µ exp σ π σ dy Rcordando però l espressone per l cambo d coordnate z y µ y µ σ σ σ In questo caso z è l percentle calcolato sulla base della cumulata standardzzata (emprca): z Φ F ( ) Qund se y, y,, y n è la realzzazone camponara da una popolazone con dstrbuzone gaussana, punt d coordnate (y, Φ(q ) - ) gaccono su una retta con pendenza /σ e ntercetta -µ/σ. zφ(f) - -μ/σ /σ y

6 Carta d probabltà Webull Per la dstrbuzone d Webull l espressone del percentle era: t p α [ ln( F )] β Applcando l logartmo ad entramb membr dell equazone ln ( ) ln ( α ) + ln [ ln( F )] t p β ln [ ln( F )] β ln ( t ) β ln ( α ) p Qund se t, t,, t n è la realzzazone camponara da una popolazone con dstrbuzone d Webull, punt d coordnate (ln(t ), ln[-ln(-q )]) gaccono su una retta con pendenzaβentercetta par a β ln(α). ln[-ln(-f)] β -β ln(α) ln(t)

7 Sono assegnat temp d cedmento d un componente, ottenut da una campagna d prove su 9 campon. S chede d calcolare l parametro λ della dstrbuzone esponenzale. campone t

8 Come prmo passo s mettono campon n ordne crescente d durata, e s calcola la probabltà cumulata emprca con la relazone: q y( ) campone t q S possono po rappresentare punt su grafco cdf q cdf ( ) q 0.3 n t [h]

9 Po s organzzano valor ottenut sotto forma d carta d probabltà, ponendo: x t e y -ln(-q ) campone t q x y carta d probabltà exp neg S possono po rappresentare punt su grafco carta d probabltà -ln(-q) t [h]

10 S è qund pront per effettuare la regressone lneare Rcordando a 0 e a : y x x n x ( x ) ˆ0 a x y x y n x ( x ) n aˆ x y x^ x*y TOT x y MTTF 0395 λ 45.7 [h] λ -ln(-q) carta d probabltà exp neg y 009x R² t [h]

11 S può notare come n realtà la procedura usata comport anche l calcolo d un ntercetta par ad a 0. Essa è qund adatta all ndvduazone del parametro t 0 tpco delle esponenzal a due parametr. a ˆ ˆ0 a0 t0λ t0.79 [ h] λ Se nvece s vuole forzare l fttng a passare per l orgne, bsogna porre uguale a 0 la dervata del RSS rspetto ad a n cu anche a 0 è posto 0 n n n Err ( y ax a0 ) x 0 x y a x 0 a carta d probabltà exp neg a n x y n a λ x MTTF [h] λ -ln(-q) y 003x R² t [h]

12 Sono assegnat temp d cedmento d un componente, ottenut da una campagna d prove su 9 campon. S chede d calcolare parametr secondo la mglore dstrbuzone d Webull campone t

13 Come prmo passo s mettono campon n ordne crescente d durata, e s calcola la probabltà cumulata emprca con la relazone: q y( ) campone t q S possono po rappresentare punt su grafco cdf q cdf ( ) q 0.3 n t [h]

14 Po s organzzano valor ottenut sotto forma d carta d probabltà Webull, ponendo: x ln(t ) e y ln[-ln(-q )] campone t q S possono po rappresentare punt su grafco carta d probabltà ln[-ln(-q)] x y carta d probabltà Webull ln(t)

15 S è qund pront per effettuare la regressone lneare Rcordando a 0 e a : y x x n x ( x ) ˆ0 a x y x y n x ( x ) n aˆ x y x y x^ x*y TOT β a 0 α exp β ln[-ln(-q)] [ h] carta d probabltà Webull y x R² ln(t)

16 Sono assegnat temp d cedmento d un componente, ottenut da una campagna d prove su 9 campon. S chede d calcolare parametr secondo la mglore dstrbuzone Gaussana campone t

17 Come prmo passo s mettono campon n ordne crescente d durata, e s calcola la probabltà cumulata emprca con la relazone: q y( ) campone t q S possono po rappresentare punt su grafco cdf q cdf ( ) q 0.3 n t [h]

18 Po s organzzano valor ottenut sotto forma d carta d probabltà Gaussana, ponendo: x t e y z p Φ(F) - campone t q S possono po rappresentare punt su grafco carta d probabltà Φ(q) x y carta d probabltà Gaussana t

19 S è qund pront per effettuare la regressone lneare x y x^ x*y TOT Rcordando a 0 e a : y x x n x ( x ) ˆ0 a x y x n x ( x ) ˆ a n σ a y x y µ σa0 49. Φ(q) carta d probabltà Gaussana y 0359x R² t