* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE *

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1 * PROBABILITÀ - SCHEDA N. LE VARIABILI ALEATORIE *. Le varabl aleatore Nella scheda precedente abbamo defnto lo spazo camponaro come la totaltà degl est possbl d un espermento casuale; abbamo vsto che gl event possono essere nterpretat come sottonsem dello spazo camponaro e abbamo defnto la funzone d probabltà come funzone che assegna agl event un numero reale compreso fra e. In analoga a quanto abbamo vsto per la rlevazone d dat spermental, ntroducamo la nozone d varable aleatora (o varable casuale), quella d denstà d probabltà (o d dstrbuzone) d una varable aleatora e d funzone d dstrbuzone cumulata. Useremo le varabl aleatore per descrvere gl event e le denstà d probabltà per fornre le probabltà degl event n termn d varabl aleatore. Dato un espermento casuale, una varable aleatora è una funzone che fa corrspondere un numero reale a ogn esto dell espermento. : Ω E IR Se l nseme de valor assunt dalla varable aleatora è fnto o numerable, la varable aleatora s dce dscreta, altrment s dce contnua. Consderamo nzalmente e per semplctà varabl aleatore dscrete. ESEMPIO. Consderamo l'espermento del lanco d una moneta. In questo caso Ω= testa, croce. Consderamo la varable aleatora così defnta: { } ({ testa} ) = e ({ croce} ) = Qund: : { testa,croce} {,} Che cosa è cambato? Samo passat da un nseme non numerco a un nseme numerco. Qual è l vantaggo? Lancamo volte la moneta. Indchamo con,,...,,..., le varabl aleatore corrspondent a lanc. Se voglamo sapere l numero d uscte d testa ne lanc possamo sommare valor delle varabl aleatore. Qund la varable aleatora = ovvero = rappresenta l numero d uscte d testa n lanc. =. La denstà d probabltà e la funzone d dstrbuzone cumulata d una varable aleatora La denstà d probabltà costruto a partre da : f d una varable aleatora dscreta fornsce la probabltà d ogn evento f ( x) = P( = x). Rcordamo che, come n statstca descrttva, usamo le lettere mauscole per ndcare le varabl aleatore e le lettere mnuscole per ndcare valor assunt. In seguto modelleremo spesso l'espermento medante assunzon su una varable casuale e la sua funzone d denstà d probabltà tralascando la descrzone dello spazo camponaro, degl event e delle probabltà degl event.

2 ESEMPIO. Consderamo l lanco d tre monete non truccate e ndchamo con la varable aleatora che ndca l numero totale d teste. La varable assume valor,, e 3 e la denstà d probabltà f è f () =/8, f () =3/8, f () =3/8, f (3) =/8, f ( ) = per ogn altro valore d La denstà d probabltà s può rappresentare con una scrttura che rchama le tabelle utlzzate n statstca descrttva dove sulla prma rga rportavamo dat osservat e sulla seconda le frequenze: x x x 3 x 4 f (x) p p p 3 p 4 Tabella. Denstà d probabltà. Ovvero P( = x) = p con la propretà che p = e p. Notamo che nella defnzone d varable aleatora non s specfca come s possano assegnare le probabltà agl event su cu assume valor la varable; come abbamo gà detto, le condzon sono che tal probabltà sano numer compres fra e, che la loro somma sa e che la probabltà dell unone d due event dsgunt sa la somma delle probabltà de due event. D altra parte l assegnazone delle probabltà non può essere del tutto arbtrara. Se voglamo che la denstà d probabltà d una varable aleatora consenta prevson effcac, è opportuno assegnare agl event probabltà ragonevol e cò è tanto pù possble quanto pù s conosce l fenomeno studato. Come abbamo gà detto, n alcun cas, queste nformazon possono essere ottenute osservando pù volte l fenomeno nelle stesse condzon. In analoga con lo studo delle varabl n statstca defnamo la funzone d dstrbuzone cumulata (o funzone d rpartzone) d una varable aleatora, ndcata con F (o solo con F se è charo a quale varable c s rfersce), la funzone defnta sulla retta reale tale che s verfch l evento x. F ( x) = P( x) Anche n questo caso possamo utlzzare una rappresentazone tramte tabella: F ( x ) concda con la probabltà che x x x 3 x 4 F (x) p p +p p +p +p 3 p +p +p 3 +p 4 Tabella. Funzone d dstrbuzone cumulata. La funzone d dstrbuzone cumulata soddsfa tutte le propretà gà vste n statstca descrttva per le varabl che modellano rlevazon d dat spermental:. F è una funzone crescente o costante;. n corrspondenza d ogn punto d dscontnutà la funzone assume l valore a snstra. 3. la funzone vale per ogn valore mnore all osservazone mnma e vale per ogn valore maggore o uguale all osservazone massma. ESEMPIO 3. Consderamo l lanco d due dad e ndchamo con e l rsultato de due lanc n cu s ha: P (x) /6 /6 /6 /6 /6 /6 F (x) /6 /6 3/6 4/6 / P (x)..... F (x) Il prmo è un dado equlbrato mentre l secondo è truccato.

3 Qu sotto sono rportat grafc delle denstà d probabltà e delle funzon d dstrbuzone cumulata de due dad La varable aletora prmo lanco n cu esce testa Lancamo una moneta e chedamoc dopo quant lanc esce testa. È pù probable che testa esca per la prma volta al prmo lanco, al secondo, al decmo? Possble esperenza (descrtta n fondo alla scheda) E. La prma volta che esce testa. Consderamo la varable aletora T che descrve l prmo lanco n cu esce testa. Qual valor può assumere?,, 3... ma anche,,..., coè un qualsas numero naturale. Pur partendo da una espermento che ha due possbl rsultat, abbamo costruto una varable aleatora che può assumere una nfntà numerable d valor. Cerchamo d costrure la denstà d probabltà d T. Se p è la probabltà che esca testa n cascun lanco, la probabltà che testa esca per la prma volta: - al prmo lanco è p: PT ( = ) = p - al secondo lanco: è la probabltà d: uscta d croce al prmo e uscta d testa al secondo con due event ndpendent; qund: PT ( = ) = (- pp ) - al terzo lanco: è la probabltà d: uscta d croce al prmo e uscta d croce al secondo e uscta d testa al terzo con tre event ndpendent; qund: PT ( = 3) = (- p) p - al -esmo lanco: PT ( ) (- p) = = p f (x) p (-p)p... ( - p) p... Tabella. Denstà d probabltà del prmo lanco. 3

4 Osservamo che cascuna probabltà è compresa fra e e s dmostra che PT ( = ) =. Qu sotto sono rportat grafc delle denstà d probabltà e la funzone d dstrbuzone cumulata d T per una moneta equlbrata e per una con probabltà d uscta d testa uguale a.. Osservamo che ntutvamente s può capre che la somma delle lunghezze delle barrette ne due grafc è uguale, e deve essere uguale a. E la funzone d dtrbuzone cumulata n entramb cas arrva vcnssmo a. = p=. p= p=. p= Trasformazone d una varable aleatora dscreta ESEMPI Consderamo la varable aleatora che assume valor,, con probabltà rspettvamente,.,.. La varable aleatora = assume valor,, 4 con probabltà rspettvamente.,,.. Infatt, ad esempo, assume valore solamente se assume valore e con la probabltà con cu è. f ( x ) [ P ( = x ) ] = f ( y ) [ P ( g ( x )) = ] ESEMPI 6 Consderamo la varable casuale che assume valor,,, con probabltà rspettvamente,.,.,.3. La varable aleatora = assume valor,, 4 con probabltà.,. (=+.),.3. f ( x ) f ( y ) f ( y ) 4

5 ( = ) ] [ P ( = g ( x )) ] [ P ( g ( x )) [ P x = ] In generale, ndchamo con una varable aleatora dscreta che assume valor x,x,,x n, e con f la funzone d denstà assocata a. Se g è una funzone defnta sull nseme de valor assunt da, la varable aleatora =g() assume valor y,..., y n con y =g(x ), y =g(x ),, y n =g(x n ) e ha come funzone d denstà f la funzone tale che f ( y) = f ( x ) x g( x ) = y dove la somma è fatta su tutt gl x che, trasformat tramte la funzone g, hanno come valore y f ( x ) f ( y ) [ P ( = x ) ] [ P ( = g ( x )) ] x f (x ) g(x ) f (x ) x f (x ) g(x ) f (x ) x n f (x n ) g(x n ) f (x n ) Tabella 3. Denstà d probabltà d una varable aleatora trasformata. E. Esperenza: la prma volta che esce testa. Smulate per volte lanc d una moneta equlbrata. Per cascuna smulazone controllate a quale lanco è uscta per la prma volta testa e fate un stogramma d quest valor. È pù probable che testa esca per la prma volta al prmo lanco, al secondo, al decmo?. Smulate per volte lanc d una moneta con probabltà d uscta d testa uguale a.. Per cascuna smulazone controllate a quale lanco è uscta per la prma volta testa e fate un stogramma d quest valor. È pù probable che testa esca per la prma volta al prmo lanco, al secondo, al decmo? 3. Quale formula può descrvere la denstà d probabltà della varable aletatora T prmo lanco n cu esce testa.