Analisi dei Segnali. Sergio Frasca. Dipartimento di Fisica Università di Roma La Sapienza

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1 Sergo Frasca Anals de Segnal Dpartmento d Fsca Unverstà d Roma La Sapenza Versone 13 dcembre 011 Versone aggornata n

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3 Sommaro 1 Introduzone: segnal e sstem Introduzone Segnal Classfcazone de segnal Segnal notevol Sstem Classfcazone de sstem Argoment ntroduttv Sstem lnear contnu Trasformata d Laplace Trasformata d Fourer La funzone d trasfermento Semplc sstem lnear contnu Teora delle probabltà Varabl casual Varabl casual dscrete Varabl casual contnue Somma d varabl casual ndpendent e funzone caratterstca Dstrbuzone d una funzone d varable casuale Varabl casual multple e covaranza Statstca L nferenza statstca - Stma de parametr Il Prncpo de Mnm Quadrat (e del mnmo χ ) Il Prncpo della Massma Verosmglanza La Stma Bayesana Stma del valor medo Stma della varanza Esemp d stma a mnm quadrat: stma de parametr d una retta spermentale ( ft lneare ) Esemp d stma a mnm quadrat: ft lneare generale ft polnomale Meda pesata Test statstc Test d consstenza con un valore teorco Test d consstenza tra due valor spermental Test del Sstem dscret Introduzone Cas partcolar Semplce applcazone d sstem MA e AR Trasformata z Analoga con la trasformata d Laplace Propretà della trasformata z Alcune trasformate z Trasformata d Fourer dscreta ed FFT La trasformata d Fourer per dat dscret (DTFT) La DFT (e la FFT) Equazon alle dfferenze

4 3.6 Funzone d trasfermento dscreta Dfferenze e dervate Rsposta d un sstema dscreto Rsposta mpulsva Rsposta forzata Evoluzone lbera Stabltà Sstem semplc Sstema d ordne Sstema MA del prmo ordne Due sstem MA del prmo ordne n cascata: MA del secondo ordne Sstema AR del prmo ordne (reale) Sstema AR del prmo ordne (complesso) Sstema AR del secondo ordne Semplc sstem ARMA Sstem non-lnear sstem d Volterra Segnal transtor Energa, poszone e lunghezza d un segnale transtoro Convoluzone, cross-correlazone e dstanza d due mpuls Trasformata d Fourer d un segnale ad energa fnta Autocorrelazone e spettro d energa Segnale analtco Segnal permanent Process stocastc Introduzone Defnzone Funzon del secondo ordne Il caso d due process Stazonaretà, ergodctà Esemp Trasformazon d process stocastc Sstema statco (senza memora) Sstema lneare (tempo nvarante) Un caso partcolare: l dervatore Process stocastc normal Propretà fondamental Il rumore banco Process stocastc normal e sstem lnear Process dscret: process ARMA Résumé de rsultat Rumore banco dscreto Process AR, MA e ARMA Processo AR del prmo ordne (reale) Processo AR del prmo ordne (complesso) Processo AR del secondo ordne Processo d Posson Anals statstca de segnal Il camponamento Teorema del camponamento Alasng e fltr ant-alasng

5 6.1.3 Generalzzazone Il caso de segnal compless Rumore d quantzzazone Caratterstche statche Istogramma, moment camponar Autocorrelazone Spettro d potenza Stmator spettral non parametrc Stmator spettral parametrc Cross-correlazone e cross-spettro Coerenza Fltraggo e trasformazone de dat Segnal e rumor, rapporto segnale/rumore Il fltro adattato Caso del rumore banco Altre dmostrazon Caso generale Teora della rvelazone (Detecton Theory) Fltro d Wener Realzzazone d fltr Fltr FIR Fltr IIR Fltr a sfasamento nullo Fltr n frequenza I dsturb mpulsv - Fltro a medana Cenno alla trasformata wavelet Cenn al caso d dat non stazonar Anals tempo-frequenza Fltr adattv Cenn a modell non lnear Fltr non lnear Il bspettro Cenno all mage processng Immagn ed elaborazone delle mmagn Elaborazone lneare delle mmagn La compressone JPEG Un applcazone: la rcerca d perodctà Introduzone al problema Il perodogramma Metod parametrc Il lock-n L anals d fase Il ft armonco Il caso del camponamento non unforme Perodctà non coerent Perodctà d event Appendc... 5 Eserctazon con Matlab... 5 Introduzone a Matlab... 5 Snag Uso d SnagLab (versone VB)

6 Introduzone Istallazone Uso Tabelle Dstrbuzone cumulatva normale standardzzata Valor del per un dato lvello d fduca... 6 Bblografa Generale Segnal determnstc Fltraggo Segnal stocastc Aspett matematc Immagn Altro Indce Analtco

7 1 Introduzone: segnal e sstem 1.1 Introduzone S supponga d osservare, con opportun strument d msura, una o pù grandezze relatve a un certo fenomeno fsco. Queste msure sono n genere de segnal varabl nel tempo. L anals d quest segnal consste n genere n: Descrvere n modo sntetco e sgnfcatvo le grandezze n esame ed eventualmente la loro varazone temporale. Correlare 1 tra loro le vare grandezze, trovando eventual relazon d causaltà o d concausaltà. Indagare su parametr ntern del processo generatore. Rdurre l eventuale rumore presente ne dat d msura. Per far cò s utlzzano modell matematc che rappresentano (soltanto) le caratterstche d nostro nteresse (coè semplfcano la realtà) e c s può utlmente avvalere d una sere d strument, una spece d cassetta degl attrezz (toolbox) che potranno essere utlzzat a seconda della necesstà. Per lo svluppo d quest modell e strument c s avvale della teora de sstem e della teora de process stocastc. L anals de segnal ha avuto negl ultm cnquanta ann un grande svluppo, soprattutto per la dffusone de calcolator dgtal. Ma segnal, che vengono n genere prodott n modo contnuo da process fsc, per essere trattat da calcolator dgtal devono essere dscretzzat. La matematca per trattare questo tpo d dat è n genere abbastanza dversa dall anals classca. Lo scopo d questo corso è presentare sntetcamente gl element della teora de sstem dscret e la teora de process stocastc che sono utl per l anals e l elaborazone de segnal. Sono qund presentat var strument svluppat per quest scop. 1 Qu l termne correlare è usato n senso lato, nel sgnfcato d cercare relazon e dpendenze statstche tra d loro: non necessaramente calcolare l coeffcente d correlazone o la correlazone ncrocata. 7

8 1. Segnal Un segnale è una funzone del tempo che rappresenta una grandezza fsca. Un segnale è detto a tempo contnuo, o semplcemente contnuo, se è defnto per tutt valor d un ntervallo della varable reale tempo 3 (t); per esempo una tensone elettrca (1.1) x() t pertnzale t tfnale È detto dscreto se è defnto per un nseme dscreto de valor della varable t; n tal caso n genere vene rappresentato dalla successone d quest valor (1.) x1, x,..., xn {,,..., } è detta successone o sere temporale. x1 x x N Talora gl ndc non partono da 1, ma possono prendere anche valor negatv (e ovvamente 0). Spesso un segnale dscreto vene ottenuto camponando un segnale contnuo, coè estraendo valor del segnale contnuo ad un nseme dscreto d valor del tempo t 1, t,..., t N ; consderando l segnale contnuo x() t, ottenamo valor (1.3) x( t1), x( t),..., x( t N ) Tal valor sono dett campon (samples) e possono essere ndcat come nella (1.). Tale procedura vene detta camponamento (samplng); partcolarmente usato è l camponamento unforme, n cu è costante la dfferenza t t 1 t, detta tempo d camponamento (samplng tme). Vene defnta la frequenza d camponamento (samplng frequency) come (1.4) 1 S t Nel seguto, consderando segnal dscret, faremo rfermento mplctamente sempre a segnal camponat unformemente Classfcazone de segnal Oltre alla classfcazone tra segnal contnu e dscret, esstono altre caratterstche pecular d un segnale: S fa dfferenza tra un tempo assoluto e un tempo relatvo, ovvero una dfferenza temporale. Un segnale può essere osservato a un precso tempo (tempo assoluto), ma n genere vene descrtto n tempo relatvo, per esempo prendendo l'orgne temporale all'nzo del segnale. 3 S dstngue n genere tra tempo assoluto (ndcata n genere con t) e dstanza temporale (n genere ndcata con ). In questo caso parlamo d tempo assoluto. 8

9 Reale o complesso, coè a un dato stante l segnale è un numero reale o un numero complesso. Scalare o vettorale, coè se è descrtto da un sngolo numero ad ogn stante, o da pù numer. Analogco o dgtale, coè l segnale ad un dato stante può assumere qualsas valore reale n un dato ntervallo (segnale analogco) o solo un numero dscreto d valor (segnale dgtale), tpcamente multpl d un certo valore detto quanto d conversone analogcodgtale : è questo l caso de segnal acqust da un sstema dgtale tramte un converttore ADC. In genere segnal dgtal sono anche dscret nel tempo. Perodco, se esste un valore τ tale che, per tutt valor d t, se l segnale è contnuo (τ è un numero reale) (1.5) xt () xt ( ) e se l segnale è dscreto 4 (τ è un numero ntero) (1.6) x x Determnstco o casuale (o stocastco): questa classfcazone rguarda l modello del segnale: nel prmo caso se è completamente defnto a pror l suo valore, nel secondo se è defnto solo statstcamente. I segnal determnstc possono godere d partcolar smmetre rspetto a un certo stante, per esempo all stante t=0: sono dett par se x(t)=x(- t) e dspar se x(t)=-x(-t). 1.. Segnal notevol Segnale costante Contnuo Dscreto x() t c x quando c = 0, dcamo che c è assenza d segnale. c Segnale a gradno Contnuo t 0 u( t) t 0 u( t) Dscreto 0u 0 u 4 In effett questa defnzone è restrttva: se camponamo un segnale contnuo perodco, abbamo n genere un segnale dscreto che non è perodco secondo questa defnzone. 9

10 Segnale a delta; è la dervata (o la dfferenza nel caso dscreto) del segnale a gradno. Nel caso contnuo è una delta d Drac, nel caso dscreto è un segnale sempre nullo, ma che vale 1 n 0, detto anche mpulso untaro o funzone mpulsva dscreta: Contnuo t Dscreto 0 0 e qund t u t d u k k Segnale snusodale Contnuo Dscreto xt () Asn( t ) x Asn( t ) Nella fgura l segnale contnuo è ndcato con la lnea contnua e quello dscreto con palln: Fgura

11 Segnale esponenzale complesso 5 Contnuo t xt () Aexp j( t) Dscreto t x Aexp j( t) Rumore banco, l pù semplce segnale stocastco, se ne parlerà nel captolo su process stocastc. 5 Indchamo con j l untà mmagnara. 11

12 1.3 Sstem Un sstema è un modello matematco d un dspostvo o d un processo fsco o d un algortmo, che connette uno o pù segnal d ngresso (ecctazone o nput ) a uno o pù segnal d uscta (rsposta o output ). Un sstema qund è sostanzalmente un elaboratore d segnal. Input Sstema Output Fgura 1- Mentre process fsc sono modellzzabl pù naturalmente con sstem contnu ed segnal fsc con segnal contnu, l loro trattamento con calcolator dgtal rende fondamentale lo studo d sstem e segnal dscret. Pù sstem possono essere conness nseme, e questo nseme può essere rappresentato da un nuovo sstema. Nella fgura seguente è rappresentato un nseme d sstem conness tra d loro n varo modo. Fgura 1-3 S notno smbol crcolar che ndcano nod somma, semplc sstem con due o pù ngress e una sola uscta che eseguono la somma de segnal d ngresso. Mod partcolarmente semplc, e spesso utl, d connettere de sstem sono due seguent: Connessone n sere (o n cascata) 1

13 F 1 F F N Fgura 1-4 Connessone n parallelo F 1 F F N Fgura 1-5 Attenzone! Nella teora de sstem l comportamento d un sstema non è modfcato dalla presenza degl altr a cu è connesso. Come è noto, non è così per un normale sstema fsco (bast pensare ad un crcuto RC passa-basso, la cu rsposta dpende dall mpedenza d ngresso del sstema che lo segue). Per sstem elettrc, n cu le varabl d ngresso e d uscta sono tenson elettrche, questa caratterstca equvale ad una mpedenza d ngresso nfnta e un mpedenza d uscta nulla. Come vedremo n questo corso, segnal e sstem sono correlat tra d loro: sstem non c servranno solo per elaborare segnal, ma, n cert cas, per rappresentarl Classfcazone de sstem Oltre alla classfcazone tra sstem contnu e dscret (coè che elaborano segnal dscret o contnu), esstono altre caratterstche pecular d un sstema: Statco o dnamco, detto anche senza memora o con memora, coè se l uscta ad un dato stante dpende solo dall ngresso a quell stante o no. Un sstema dnamco è caratterzzato dalla presenza d stat ntern. In altr termn l effetto della memora del sstema vene schematzzato supponendo che l uscta a un dato stante non dpende solo dall ngresso a quell stante, ma anche dal valore dello stato. Qund, mentre un sstema statco è completamente defnto dall equazone 13

14 (1.7) y F( x) dove x e y sono rspettvamente l vettore degl ngress e quello delle uscte, ad un dato stante. Se l sstema è dnamco, nvece, nel caso d sstem contnu, occorrono le due equazon (1.8) y F( x, s) s G( x, s) dove s è l vettore d stato n quell stante. La prma equazone vene detta equazone d uscta (output equaton), la seconda equazone d stato (state equaton). Nel caso d sstem dscret, (1.9) y F( x, s) s G( x, s 1) Un esempo d sstema dnamco è un crcuto RC passa-basso, n cu l ngresso e l uscta sa tenson: n tal caso la varable d stato è la carca del condensatore 6. Fgura 1-6 Causale, se l uscta non precede l ngresso. Tutt sstem fsc sono causal, non così quell smulat su calcolatore. Lneare, se ad una qualsas combnazone lneare d dfferent ngress, corrsponde n uscta la stessa combnazone lneare delle relatve uscte (prncpo d sovrapposzone). Indchamo con L l operatore che descrve l sstema. Se l sstema è lneare, allora 6 Il crcuto n fgura non ha le caratterstche deal d un sstema: nfatt l suo comportamento vara a seconda d cosa mettamo alla sua uscta ed noltre esso carca l generatore che mettamo all ngresso. Se supponamo che all ngresso c sa un generatore d mpedenza d uscta nulla e all uscta un apparato d mpedenza d ngresso nfnta, l suo comportamento è assmlable a un sstema deale. 14

15 (1.10) L a x t a x t a L x t a L x t Nel caso d sstem lnear, le equazon (1.8) sono lnear. Tempo-nvarante, se l comportamento non vara nel tempo. In tal caso le funzon F e G sono ndpendent dal tempo. Stable, se ad un ngresso d ampezza lmtata, corrsponde un uscta d ampezza lmtata 7. 7 Nella teora de sstem d controllo vengono defnt var tp d stabltà che non nteressano la presente trattazone. 15

16 Argoment ntroduttv.1 Sstem lnear contnu In questo captolo c occuperemo de sstem contnu lnear tempo-nvarant. Inoltre faremo rfermento essenzalmente a sstem con un solo ngresso e una sola uscta. Un sstema lneare tempo-nvarante è completamente defnto una volta nota la rsposta mpulsva, coè la rsposta del sstema a un nput a delta d Drac. Per dmostrarlo, ndchamo questa rsposta come (.1) f () t W [ ()] t dove W[ ] ndca l operazone effettuata dal sstema (l operatore del sstema). Rcordamo che una propretà mportante della funzone delta è (.) x() t x( ) ( t) d data la lneartà del sstema, abbamo che la rsposta a un ngresso x(t) è (.3) y t Wx t x( ) ( t) d W x( ) W ( t) d x( ) f( t) d Possamo anche porre (.4) yt ( ) xt ( ) f( t ) d f( ) xt ( ) d Questo ntegrale è l ntegrale d convoluzone tra le funzon x e f. Questo rsultato può essere vsto n questo modo: - l uscta d un sstema lneare è una meda pesata del suo ngresso, l peso essendo dato dalla rsposta mpulsva del sstema. Notamo che se l sstema è causale, f e nulla per 0. L operazone d convoluzone (.4) è spesso ndcata nella forma abbrevata (.5) y f x 16

17 Esso gode delle propretà o commutatva f x x f o assocatva abc( ab) ca( b c) o dstrbutva a( bc) ( ab) ( a c) Inoltre s dmostra che (.6) d a b da db b a dx dx dx Qund se faccamo la convoluzone della funzone a per la dervata della b, abbamo come rsultato la dervata della convoluzone della a per la b (e l analogo per la commutatvtà). Infne a b dx a x dx b x dx (.7) Il che sgnfca, tra l altro, che se faccamo la convoluzone d una qualsas funzone per un altra l cu ntegrale da - e è nullo, l ntegrale del rsultato, da - e, è nullo. Un sstema contnuo lneare, con un ngresso e un uscta, può essere defnto talora da un equazone dfferenzale ordnara lneare (caso de sstem lnear a parametr concentrat; l caso alternatvo è detto a parametr dstrbut, l cu caso pù semplce è una lnea d rtardo). Se l sstema è tempo-nvarante coeffcent dell equazone sono ndpendent dal tempo: (.8) n k d y t A Bl m k k k0 dt l0 l d x t dt l In esso x è la varable ndpendente (ovvero l ngresso, per esempo la forza) e y la varable dpendente (ovvero l uscta, per esempo lo spostamento). Un esempo d un tale sstema può essere un crcuto elettrco comprendente solo element lnear, coè resstenze ohmche, nduttanze e condensator. Un sstema contnuo lneare a parametr concentrat con pù ngress e pù uscte è descrtto da un sstema d equazon dfferenzal lnear. Come è noto, un sstema descrtto da un equazone dfferenzale lneare ha la soluzone composta da due part addtve: la rsposta lbera e la rsposta forzata, la prma dpendente da un numero d parametr par all ordne dell equazone, è la rsposta che s ha nel caso sa nulla l ecctazone (l ngresso), la seconda nel caso n cu sa nullo lo stato. Nella teora de sstem, spesso s trascura la presenza della rsposta lbera. 17

18 .1.1 Trasformata d Laplace La trasformata d Laplace d una funzone è defnta da (trasformata blaterale) st (.9) F() s f() t e dt o (trasformata unlaterale, pù frequentemente usata) (.10) st F() s f() t e dt 0 dove s j (con j ndchamo l untà mmagnara). Essa vene anche ndcata con F() s L f() t o, se è charo dal contesto che stamo trattando con trasformate d Laplace, con f () t F() s. In genere l ntegrale converge solo per un sotto-nseme del pano s, detto regone d convergenza, ovvero per un ntervallo della varable, parte reale d s. La trasformata nversa vene rcavata con metod della teora delle funzon d varable complessa, e s ha c j 1 f t e F s ds j st (.11) cj dove c è scelto n modo tale che tutt punt sngolar della Res c del pano complesso rappresentante s. F s gaccano a snstra della retta Le propretà pù mportant della trasformata d Laplace sono appresso elencate. Sa x() t X() s, x1() t X1() s, x() t X() s. S ha: Lneartà: ax1() t bx() t ax1( s) b X( s) st0 Spostamento nel tempo (rtardo t 0 ): x( tt0) e X( s) st 0 Spostamento nel domno s: e x() t X( s s ) 0 Cambamento d scala temporale: 1 s xat ( ) X a a Inversone temporale: x( t) X( s) Dfferenzazone nel domno del tempo: dxt () sx() s dt 18

19 Integrazone nel domno del tempo: t 1 x( ) d X( s) s Dfferenzazone nel domno s: dx () s t x() t ds Convoluzone: x1() x( t) d X1() s X() s Come abbamo vsto, la rsposta d un sstema lneare tempo-nvarante può essere calcolato con l ntegrale d convoluzone dell ngresso con la rsposta mpulsva del sstema. L uso della trasformata d Laplace rduce formalmente questa operazone a un prodotto tra la trasformata d Laplace del segnale d ngresso e la trasformata d Laplace della rsposta mpulsva del sstema, che vene detta funzone d trasfermento..1. Trasformata d Fourer 1 Se una funzone è perodca, coè se x() t x( tt0 ) per tutt t (T 0 è l perodo, 0 è la T0 frequenza e 0 0 la pulsazone), come è noto possamo svlupparla n sere d Fourer, coè jk 0t (.1) xt () X e dove coeffcent X k sono rcavat da k 1 jk t T0 (.13) X k xt e dt T T0 0 T0 La trasformata d Fourer è una generalzzazone dello svluppo n sere d Fourer al caso n cu la funzone x(t) non sa perodca (ovvero sa d perodo nfnto). La trasformata d Fourer è smle alla trasformata d Laplace; n essa però la varable trasformata, conugata del tempo, è reale e ndca la pulsazone (n Inglese angular frequency; spesso vene ndcata con ). Rcordamo che, dove è la frequenza. La trasformata d Fourer d una funzone x(t) è data da 8 jt (.14) X ( ) xt ( ) e dt k 8 Esstono altre defnzon, quas equvalent; per esempo con l esponenzale postvo, oppure con costant a moltplcare dfferent. 19

20 Come s vede è un caso partcolare della trasformata (blatera) d Laplace, dove s j. Le funzon della base trasformata sono, come s vede, esponenzal complesse (rcordamo che jt e cost j snt). Nella trasformata d Fourer c è una smmetra perfetta tra la varable t e la varable. In pratca però, molto spesso nel domno t le funzon sono real mentre sono complesse (ed hermtane) nel domno. Notamo che (.15) X (0) xt ( ) dt La trasformata nversa s ottene da (.16) 1 jt x() t X( ) e d Essa vene anche ndcata con X () s x() t trasformate d Fourer, con xt () X ( ). Se X L X la trasformata d Fourer, allora 9 X X j F F o, quando è charo che parlamo d F s è la trasformata d Laplace d x(t) e. Data la parentela con la trasformata d Laplace, la trasformata d Fourer gode d propretà sml, pù altre dovute alla maggore smmetra tra le varabl conugate. Guardamo con attenzone queste propretà, poché nell anals de segnal s fa largo uso d questa trasformata. Sa xt () X ( ), x1() t X1( ), x() t X( ). S ha: Lneartà: ax1() t bx() t ax1( ) b X( ) Se conoscamo la trasformata d due segnal, possamo calcolare mmedatamente quella d una combnazone d quest due segnal. Possamo, quando è l caso, scomporre opportunamente un segnale per calcolare,o nture, la sua trasformata. L jt0 Spostamento nel tempo: xt ( t) e X( ) 0 Se traslamo un segnale nel tempo, per la trasformata abbamo lo stesso valore assoluto e uno sfasamento che vara lnearmente con. S not che X è ndpendente da spostament nel tempo. j0t Spostamento nel domno : e x() t X( ) 0 9 Nel caso n cu esstono entrambe. 0

21 e j 0t Questa è la duale della precedente. rappresenta una oscllazone complessa: moltplcare x(t) per questa oscllazone complessa provoca una traslazone della trasformata d Fourer. Se x(t)=1, trovamo che j 0t (.17) e j0t j0t j0t j0t Ora notamo che e e cos t e e e j sn t X (.18) x t cos t (.19) x t sn t 0 X 0 0 X 0 0 X 0 0 j allora 0 Cambamento d scala temporale: 1 xat ( ) X a a Anche questa è una propretà molto mportante. la trasformazone x ' t xa t produce una contrazone o una dlatazone a seconda che a sa maggore o mnore d 1. Una dlatazone nel domno t corrsponde a una contrazone nel domno e vceversa. Questa propretà è la ragone del cosddetto prncpo d ndetermnazone d Fourer, smle a quello d Hesenberg, che vedremo n seguto (par. 4.3). Inversone temporale: x( t) X( ) * Se la x(t) è reale, allora X X e qund anche * x( t) X ( ) Dfferenzazone nel domno del tempo: dxt () dt j X( ) Questa propretà può essere generalzzata con n d x() t n dt (.0) j n X( ) Integrazone nel domno del tempo: t 1 x( ) d X(0) ( ) X( ) j Dfferenzazone nel domno : dx ( ) jtxt () d 1

22 e noltre: Convoluzone: x1( ) x( t) d X1( ) X( ) Sostture una operazone come la convoluzone, spesso complcata, se eseguta analtcamente, o computazonalmente costosa, se eseguta numercamente, con una moltplcazone rende spesso molto utle lavorare nel domno trasformato d Fourer. Moltplcazone: x1() t x() t X1( ) X( ) d È la duale della propretà della convoluzone. Identtà d Parseval: x t x t dt 1 X X d * * x t dt X d Questa propretà è un utlssma relazone sull energa totale del segnale nel domno del tempo e d. S not che se l ntegrale s esegue nella varable non compare l 1 fastdoso coeffcente. * Inoltre, se l segnale x(t) è reale, la sua trasformata d Fourer è X X, coè la sua parte reale è par e la parte mmagnara dspar (funzone hermtana); se x(t), reale o complessa, è una funzone hermtana, la trasformata è reale, se è ant-hermtana ( x() t x*( t) ), è mmagnara. Ecco alcun cas: Domno del tempo Reale Reale postva Reale par o hermtana Reale dspar o ant-hermtana Domno della frequenza Hermtana Massmo reale n 0, hermtana Reale Immagnara Rcordamo qu che, se le dmenson d x(t) sono [x], quelle della trasformata X sono [xt]. Un rsultato mportante per sstem che s deduce dalla propretà della trasformata d Fourer per la convoluzone, è che se l ngresso d un sstema lneare è una snusode, l uscta è anch essa una snusode, con ampezza e fase che dpendono dalla frequenza. Qund per ogn

23 frequenza possamo defnre un numero complesso che abba come modulo l guadagno del sstema, coè l rapporto tra l ampezza della snusode n uscta e quella n ngresso, e la fase la dfferenza d fase tra d esse. La funzone d trasfermento (defnta come la trasformata d Laplace o d Fourer della rsposta mpulsva; la vedremo meglo n seguto) dà, per ogn frequenza, questo numero complesso. Per quanto rguarda segnal, la trasformata d Fourer c dà l contenuto n energa (o, come vedremo per segnal d durata nfnta, n potenza) alle vare frequenze. Defnamo spettro d energa d un dato segnale, l modulo quadro della sua trasformata d Fourer. Infne rportamo la trasformata d Fourer d alcune sgnfcatve funzon: Gaussana: (.1) 1 e t e Notamo che la trasformata ha la stessa forma funzonale della gaussana (ma mentre nel tempo è normalzzata a 1, n no). Se prendamo come larghezza nel tempo la devazone standard, n la larghezza è 1, qund l prodotto delle due larghezze è sempre 1. Pacchetto gaussano: Un pacchetto è un segnale snusodale moltplcato per una fnestra. In questo caso la fnestra è gaussana. Il calcolo della trasformata è facle,rcordando le propretà su rportate. Sono qu rportat tre cas del pacchetto esponenzale complesso (dat compless, un solo pcco nella trasformata), del pacchetto cosnusodale (funzone reale par, trasformata reale) e del pacchetto snusodale (funzone dspar, trasformata mmagnara). Notamo po che pù è largo l pacchetto nel tempo, pù sono strett pcch (o l pcco, nel caso complesso) nella trasformata. t 0 j0t 1 e e e (.) t 1 e e cos0t 0 0 e t 1 e e sn 0tj 0 0 e 3

24 In fgura c è un pacchetto gaussano cosnusodale Fgura -1 Rettangolo: (.3) rt a 1 per t a sn a ; a 0 per t a a Se prendamo come msura della larghezza delle due funzon l valore pù basso n cu s azzerano, abbamo che nel domno t è a, nel domno è a. È stata ntrodotta la funzone snc(x) come (.4) sncx sn x x e la trasformata dell mpulso rettangolare può scrvers n termn d questa funzone. La snc ha una notevole mportanza nello studo del camponamento d segnal contnu. Pacchetto rettangolare: La stuazone è analoga al caso del pacchetto gaussano. 4

25 (.5) Esponenzale smmetrco Lorentzana ( dstrbuzone d Cauchy): e t 1 x Pacchetto esponenzale smmetrco: La stuazone è analoga al caso del pacchetto gaussano. delta: (.6) t costante: (.7) xt cc 0 gradno: j (.8) u t esponenzale complesso: j 0t (.9) e esponenzale decrescente: (.30) u t e t j 5

26 S not che la stessa funzone nvertta nel tempo ha trasformata. Sommando la j u t t e e la nvertta nel tempo, s ha una funzone che ha come trasformata la somma delle trasformate (.31) t t t u t e u t e e j j che non è altro che la (.5). doppo polo : t (.3) u t te j.1.3 La funzone d trasfermento Abbamo vsto che un sstema lneare tempo nvarante può essere defnto dalla rsposta mpulsva. Infatt (equazone (.4)) la rsposta s calcola facendo la convoluzone dell ngresso con la funzone rsposta mpulsva. La funzone d trasfermento F(s) è la trasformata d Laplace della rsposta mpulsva f(t). Per la propretà della trasformata d Laplace sulla convoluzone, essendo X(s) e Y(s) le trasformate d Laplace dell ngresso e dell uscta del sstema, abbamo (.33) Y s Fs X s Inoltre, se abbamo n sstem n cascata (n sere), con funzon d trasfermento F1s, Fs,, Fn s, la funzone d trasfermento complessva F(s) è data dal prodotto delle sngole funzon (.34) F s F s F s F s 1 n e se abbamo n sstem n parallelo (coè tutt con lo stesso ngresso e con tutte le uscte che vanno a un nodo somma), con funzon d trasfermento F1 s, F s,, Fn s, la funzone d trasfermento complessva F(s) è data dalla somma delle sngole funzon 6

27 (.35) F s F s F s F s 1 n Se l sstema è a parametr concentrat, e qund è descrtto da un equazone del tpo (.8), allora la funzone d trasfermento è una funzone razonale d s, e coè F s 0 (.36) m n 0 B s A s La funzone d trasfermento è completamente descrtta avendo dato gl zer del polnomo al numeratore (chamat semplcemente zer z k ) gl zer del polnomo al denomnatore (chamat pol p k ) un fattore d guadagno che, nel cao d A 0 e B 0 dvers da 0, può essere l guadagno n B0 contnua F0 A 0 Se tutt pol sono dfferent, e se n>m, dalla (.36) s può rcavare la rsposta mpulsva (calcolata come trasformata nversa d F(s)), come un opportuna combnazone lneare degl n pt termn e (.37) n p t f () t K e 1 dove (.38) K s p Fs s p Nel caso generale, n cu s hanno n 1 volte l polo p 1, n volte l polo p, e così va, essendo N pol dstnt ed essendo (.39) N 1 n n abbamo la soluzone generale, sempre nell potes d n>m (altrment s avrebbe una catastrofe ultravoletta ), N p t (.40) f () t g t e dove 1 7

28 n nk k1 1 d n t (.41) g t n s p k F s n k! ds s p k 1! k1 Perché un sstema lneare tempo nvarante sa stable, condzone necessara e suffcente è che la rsposta mpulsva tenda a 0 per t tendente all nfnto. Qund dalla (.40) s deduce mmedatamente che condzone necessara e suffcente per avere la stabltà è che tutt pol abbano parte reale negatva. Possamo faclmente calcolare la rsposta n frequenza d un sstema d funzone d trasfermento F(s), come (.4) F j Spesso la rsposta n frequenza vene rappresentata con dagramm d Bode o col dagramma d Nyqust. Nel prmo caso s producono due grafc, uno n cu s rappresenta l guadagno (l valore assoluto d F j ) n funzone della frequenza (o della pulsazone) n scala doppologartmca 10 e un altro n cu s rappresenta la fase n funzone della frequenza, quest ultma n scala logartmca. Nel secondo (dagramma d Nyqust) s grafca la parte mmagnara d F j n funzone della parte reale. La (.4) può essere rcavata drettamente dalla (.4), che qu rportamo yt () f( ) xt ( ) d e che defnsce un generco sstema lneare (x(t) è l ngresso e y(t) l uscta). Se prendamo (.43) j t x t e abbamo j( t) jt j jt (.44) y( t) f( ) e d e f( ) e d e F j L ntegrale è anche la trasformata d Fourer della rsposta mpulsva f(t). Cò c porta alla F j (ponendo come parametro): seguente defnzone d funzone d trasfermento la F j è l auto-valore relatvo all auto-funzone j t e del sstema. 10 Spesso vene rappresentato l guadagno n decbel n funzone del logartmo della frequenza. 8

29 .1.4 Semplc sstem lnear contnu 1. Sstema del prmo ordne passa-basso 11, d funzone d trasfermento B0 B0 (.45) s p 1 1 s dove l polo p 1 è reale negatvo. La rsposta mpulsva è (.46) 0 t f t B u t e La rsposta n frequenza s calcola come B0 (.47) 1 j e l guadagno è B0 B0 (.48) G j j mentre la fase è (.49) arctan Damo grafc d guadagno e d fase n funzone della frequenza (non della pulsazone ) e d Nyqust per l caso B Esso può essere realzzato, per esempo, tramte l uso d un amplfcatore operazonale (e poch altr component). Ved Appendce. 9

30 Fgura - Fgura -3 30

31 Fgura -4. sstema del prmo ordne passa-alto, d funzone d trasfermento B0 s B0 s (.50) s p 1 1 s dove l polo p 1 è reale negatvo, mentre è presente lo zero nell orgne. La rsposta mpulsva è (.51) f t B t e u t 0 t La rsposta n frequenza s calcola come B0 j (.5) 1 j e l guadagno è (.53) G B0 j j B j j 31

32 mentre la fase è (.54) arctan Ecco grafc d guadagno e d fase n funzone della frequenza (non della pulsazone ) e d Nyqust per l caso B0 1 Fgura -5 3

33 Fgura -6 Fgura sstema del secondo ordne semplce (rsonanza) 33

34 F s s (.55) 0 s 1 0 S hanno due pol compless conugat d valore 1 (.56) p1, j 0 La rsposta mpulsva è (.57) f t u t e sn t t 0 La rsposta n frequenza è (.58) F j da cu l guadagno è 1 j j F j (.59) mentre la fase è (.60) arctan 1 0 Ecco grafc d guadagno e d fase n funzone della frequenza (non della pulsazone ) e d Nyqust per l caso 0 1,

35 Fgura -8 Fgura -9 35

36 Fgura

37 . Teora delle probabltà Queste note s ntendono come un compendo d rsultat relatv alla teora delle probabltà...1 Varabl casual Una varable casuale è una varable (reale o complessa) al cu valore è assocata una dstrbuzone d probabltà. I parametr fondamental d una dstrbuzone d probabltà sono l valor medo o valore aspettato 1, che n genere ndcheremo con, che è un parametro d localzzazone della dstrbuzone, e la devazone standard, che n genere ndcheremo con, e che è un parametro d sparpaglamento (o larghezza ) della dstrbuzone. Spesso nvece della devazone standard s ndca l suo quadrato, detto varanza. Dstnguamo tra varabl casual dscrete e contnue... Varabl casual dscrete Le varabl casual dscrete sono defnte da nsem numerabl (fnt o nfnt) d valor che possono prendere, a cu è assocata una dstrbuzone dscreta d probabltà p k, con k la varable dscreta, tale che (.61) p 1 Per una dstrbuzone dscreta s defnsce k k l valore aspettato (.6) Ek kpk k la varanza (.63) E k k p La devazone standard è defnta come la radce quadrata della varanza. k k 1 In passato venva anche ndcato come speranza matematca. 37

38 moment central d ordne N N (.64) E k k p ( ) N N k k Esemp d dstrbuzon dscrete sono: la dstrbuzone unforme dscreta (per esempo quella delle facce d un dato "onesto") (.65) 1 pk per 1 k N N con (.66) e N 1 (.67) N 1 1 la dstrbuzone bnomale (che è defnta per un numero fnto d valor) N (.68) pk p (1 p) k defnta da parametr p ed N. Per essa (.69) Ek k Nk N p (.70) N p1 p la dstrbuzone d Posson (che è defnta per un numero nfnto, ma numerable d valor) k (.71) Pk ( ; ) e k! defnta dal solo parametro. Il valore aspettato è propro e anche. 38

39 ..3 Varabl casual contnue Una varable casuale contnua è una varable reale o complessa su cu è defnta una funzone d denstà d probabltà f(x), che ha le seguent propretà, per x, o f( x) 0 o f ( x) dx1 b o Prob( a xb) f( x) dx a Date queste propretà, s ha che, se f(x) è una denstà d probabltà, allora lo è anche (.7) f ' x A f Ax B con A> 0. Questa trasformazone descrve una dlatazone (o una contrazone se A > 1) e una traslazone. Voglamo notare che le varabl dscrete sono un caso partcolare delle varabl contnue: per una varable dscreta defnta dalle p, abbamo una denstà d probabltà (.73) f x p ( xk) k k k Come per una varable casuale dscreta, anche per una varable casuale contnua può defnrs l valore aspettato o valor medo della varable casuale. In questo caso s pone (.74) E[ x] x f( x) dx Voglamo rcordare che esstono altr parametr d localzzazone d una varable casuale, oltre al valor medo, e coè: 1 o la medana, l valore m per cu Fm ( ), coè l valore della varable casuale per cu s ha esattamente la stessa probabltà che l rsultato sa maggore o nferore ad essa. È ovva l analoga alla medana ntrodotta del captolo 5 come parametro d poszone per descrvere un nseme d dat. o la moda, l valore per cu la denstà d probabltà ha l massmo assoluto, coè l valore verso cu pù s addensano rsultat delle rpetzon dell espermento probablstco descrtto da f(x). Data una funzone g(x) della varable casuale x, possamo calcolare l valore aspettato d g(x) (detto valor medo d g(x)) come (.75) E[ gx ( )] gx ( ) f( xdx ) 39

40 Un caso partcolare è gx ( ) ( x ), l cu valore aspettato defnsce la varanza della denstà f(x), detta anche varanza d nseme della varable casuale x o varanza della dstrbuzone 13 (.76) Var[ x] E[( x ) ] ( x ) f ( x) dx Se e sono valor medo e devazone standard della f(x), allora la f (x), ottenuta dalla trasformazone (.7), ha sono valor medo e devazone standard (.77) ' B (.78) ' A La devazone standard descrve quanto una denstà d probabltà è stretta ntorno alla meda. La dsuguaglanza d Chebyshev dà a questa defnzone qualtatva un carattere probablstco quanttatvo. Per una varable casuale x con meda e devazone standard, s ha che 1 Probabltà x - k k (.79) Ovvamente questa dsuguaglanza 14 ha senso per k > 1. Come vedremo, per le pù comun 1 dstrbuzon, Probabltà( x - k ) è molto mnore d k. S possono defnre moment (rspetto all orgne) d ordne k come (.80) m ( k) k x f( x) dx e moment central d ordne k come (.81) ( k) k ( x ) f( x) dx Tra moment rspetto a 0 e quell central c sono delle precse relazon. Per esempo (.8) 1 m m m 3m m m m 4m m 6 m m 3 m 13 In statstca vene anche detta "varanza della popolazone" 14 Il caso lmte è la dstrbuzone costtuta da due delte egual. In tal caso, per k>1, la probabltà è 0. 40

41 A partre da moment d ordne 3 e 4 s defnscono parametr asmmetra (skewness n nglese) e curtos (kurtoss n nglese) come (.83) e (.84) asmmetra 3 curtos (3) (4) 3 4 Lo strano 3 nella defnzone della curtos permette d avere 0 nel caso della gaussano. Per una varable casuale reale s defnsce dstrbuzone cumulatva la funzone x (.85) F( x) f( ) d Prob[varable casuale x] Esemp d dstrbuzon d varabl casual contnue sono: a) la dstrbuzone unforme n cu la denstà d probabltà è (.86) 1 per a x b b a f( x) 0 altrove Il valor medo è (.87) b 1 b x / b a b a xdx ba a b a ( ba) a e moment central sono b ( k) k (.88) ( x ) dx x ba ab b k 1 k1 k ba a k b a k ba k1 ( 1)( ) ( 1) ( ) a S nota che per k dspar (.89) ( k ) 0, mentre per k par ( k ) k b a k ( k 1) La varanza è qund 41

42 (.90) () ( b a) 1 b) la dstrbuzone d Gauss o dstrbuzone normale, con denstà (.91) x 1 ( ), f x e N con valor medo e varanza (spesso s ndca semplcemente con, N ). Spesso s usano varabl gaussane normalzzate o standard, n cu 0 e 1. La grande mportanza della dstrbuzone normale è dovuta soprattutto al teorema del lmte centrale. Con esso s dmostra che, se sommamo N varabl casual ndpendent, con dstrbuzon anche dverse, ma con varanze dello stesso ordne d grandezza, se N tende all nfnto, la dstrbuzone della somma tende a una dstrbuzone gaussana che ha valor medo la somma de valor med e varanza la somma delle varanze. c) la dstrbuzone d Laplace, con denstà 1 f x b e b (.9) ;, x b con valor medo e varanza b. La curtos è 3. È utle per modellzzare dvers process real con code pesant. d) la dstrbuzone del, che ndca la dstrbuzone della somma d N varabl gaussane normalzzate al quadrato. Ha denstà N 1 1 N / (.93) ; f N e ( N /) Il valore aspettato e la varanza sono rspettvamente N e N; l terzo e quarto momento centrale sono 3 8N e N N L asmmetra è N e la curtos è 1 N. Nella prma fgura c sono le dstrbuzon del per N = 1,, 3, 4. Nella seconda sono confrontate la dstrbuzone del con N = 100 e la gaussana con la stessa meda e la stessa varanza (n rosso la gaussana). 4

43 Fgura -11 Fgura -1 Talora s usa la dstrbuzone del, ottenuta da questa dvdendo la varable perr N. e) la dstrbuzone esponenzale. Un caso partcolare della dstrbuzone del è la dstrbuzone esponenzale. Nel caso generale la dstrbuzone esponenzale ha denstà (.94) f x ux 1 x e e la dstrbuzone ntegrale è (.95) F x 1 u x x e l valore aspettato è ed è uguale alla devazone standard. 43

44 Tale dstrbuzone s ottene se sommamo due varabl gaussane ndpendent d meda nulla, quadrate, con la stessa varanza. In tal caso s ha. G G f) la dstrbuzone d Raylegh. Se s fa la radce quadrata della somma de quadrat d due varabl gaussane ndpendent d meda nulla e uguale varanza G, abbamo la dstrbuzone d Ralegh (.96) G x G x f x u x e che ha valor medo G e varanza G. g) la dstrbuzone d Cauchy, nota n Fsca anche col nome d dstrbuzone d dstrbuzone d Bret-Wgner o d Lorentz, ha la denstà 1 1 (.97) f( x;, d) d x 1 d È caratterzzata da code molto pesant e dal fatto che non ha varanza (l'ntegrale è dvergente). Il valor medo è (calcolata con argoment d smmetra). Per la smmetra, moment central d ordne dspar sono null. Anche moment par superor non sono calcolabl. Un esempo d espermento cu rsultat sono dstrbut secondo la dstrbuzone d Cauchy è l seguente. S facca ruotare un dsco n modo che s ferm a caso con dstrbuzone dell'angolo unforme tra 0 e 360 grad. La tangente d questo angolo è dstrbuta secondo Cauchy, con meda 0 e parametro d = 1. Un altro mportante caso n cu compare la dstrbuzone d Cauchy è quello del rapporto tra due varabl gaussane a meda nulla. Sano x e y due varabl gaussane con valor medo nullo, varanze x e y e coeffcente d correlazone r (per la defnzone ved (.138)). x Essendo z, abbamo y (.98) f( z) 1 r x zr 1r x y x y y 44

45 e, se le due varabl sono scorrelate, x y (.99) f( z) x z y Se s cerca d fare la meda d un campone estratto da una dstrbuzone d Cauchy, s trova che comunque s fa crescere della dmensone del campone, la meda non converge al valor medo. Infatt non esstendo la varanza, la dsuguaglanza d Chebyshev non funzona. In fgura è rportata la dstrbuzone d Cauchy (n rosso) con valor medo nullo e d = 1, n confronto con la normale standardzzata (n blu). S not la dfferente pesantezza delle code. Fgura -13 h) la dstrbuzone t d Student (statstca per pccol campon). Supponamo d avere un campone casuale d dmensone N {x 1, x,,x N } estratto da una popolazone normale d meda μ e devazone standard σ (per esempo N msure ndpendent d una certa grandezza fsca, con errore casuale gaussano). Calcolamo la meda e la varanza camponara (ved paragrafo.3) x La varable 1 N x N 1 N e 1 S x x N

46 (.100) t x S/ N (analoga alla varable z) segue la dstrbuzone t d Student, con N-1 grad d lbertà. Tale dstrbuzone è (.101) M 1 x f( x) 1 M M M M 1 dove M è chamato "numero de grad d lbertà); ha meda nulla e devazone standard M M. Per M grande tende a una gaussana, per M=1 è una dstrbuzone d Cauchy. È n genere una dstrbuzone a campana con code pù pesant d una gaussana...4 Somma d varabl casual ndpendent e funzone caratterstca Se abbamo due varabl casual ndpendent (vedremo n seguto l sgnfcato rgoroso d questa parola) x e y, defnte da due denstà d probabltà f(x) e g(y), s dmostra che la loro somma z = x + y ha denstà d probabltà h(z) data dalla convoluzone delle due denstà (.10) hz ( ) f( ) gz ( ) d Ce ne possamo convncere consderando che, per l valore d x compreso nell ntervallno x ' x x' dx f x dx g y x'., che ha probabltà la dstrbuzone della somma è Un rsultato mportante è che n questo caso s ha (.103) Ez [] Ex [] Ey [] e (.104) Var[ z] Var[ x] Var[ y] 46

47 (la prma è vera anche se le varabl non sono ndpendent). Quando s ha a che fare con la somma d varabl casual ndpendent, è partcolarmente comodo ntrodurre la funzone caratterstca d una dstrbuzone d probabltà, come E e (.105) j x che, nel caso contnuo, è jx (.106) e ( ) e nel caso dscreto jk (.107) e k f x dx S not che la funzone caratterstca è la trasformata d Fourer della denstà d probabltà (con una convenzone dversa da quella che abbamo usato no nella (.14); con la nostra convenzone è la complessa conugata della trasformata d Fourer). Rcordando le propretà della trasformata d Fourer, dalla (.10) rcavamo che la funzone caratterstca della somma d due varabl casual è data dal prodotto delle due funzon caratterstche delle due varabl. Consderamo la funzone caratterstca assocata a una varable gaussana: (.108) j e exp j Se abbamo la somma d n varabl gaussane, cascuna defnta da,, abbamo per la somma p k (.109) exp j da cu deducamo che la somma ha dstrbuzone normale con valor medo par alla somma de valor med e varanza par alla somma delle varanze. Se faccamo la meda d n varabl gaussane con egual parametr,, cò equvale a sommare n varabl con, e qund s ottene meda, meda n n n. Qund facendo la meda guadagnamo una rduzone della devazone standard d n. 47

48 La funzone caratterstca della dstrbuzone d Cauchy d equazone (.97) è (.110) j d e Per n varabl casual d Cauchy, defnte cascuna da, d (.111) n exp j 1 1 n d, trovamo n n Abbamo coè una nuova varable d Cauchy, con parametr, d. 1 1 Se faccamo la meda d n varabl d Cauchy con egual parametr, d, cò equvale a sommare n varabl con, d e qund s ottene n n, meda dmeda d. Qund facendo la meda ottenamo esattamente la stessa dstrbuzone. Altra propretà nteressante della funzone caratterstca è che (.11) k d k d 0 k j m k dove k m ndca l momento non centrale d ordne k (ved (.80))...5 Dstrbuzone d una funzone d varable casuale Supponamo d avere una varable casuale x d denstà f x (x) e costruamo la nuova varable (.113) y g( x) C domandamo quale sa la denstà d probabltà della varable y. Nell'potes che la g(x) sa contnua e monotona, s ha che, essendo x=g -1 (y), 1 (.114) f y f g y y x dg 1 dy y Se la condzone d monotonctà non è verfcata, possamo dvdere la funzone n var pezz monoton y=g 1 (x), y=g (x), cascuno de qual ammette una soluzone x=g 1-1 (y), x=g -1 (y), allora 48

49 1 1 y x (.115) f y f g y dg dy y x Supponamo che φ(x) sa una denstà d probabltà; allora F x d è monotona (non decrescente), senza pezz costant. Consderamo la g(x)=f -1 (x), anch'essa monotona crescente e samo qund nelle condzon della (.114). Inoltre 0 g -1 (x) 1. Se la f x (x) è unforme tra 0 e 1, è mmedato verfcare che f y (y)= φ(y). È questo un semplce modo per generare varabl con denstà φ(x) qualsas a partre da una unforme (faclmente generable con routne d pseudo-nose): basta calcolarne la dstrbuzone ntegrale e nvertrla, ottenendo così la y=g(x) necessara: se per x s pongono campon dstrbut unformemente, s ottengono per y campon volut...6 Varabl casual multple e covaranza S parla d varabl casual multple quando s assoca una dstrbuzone d probabltà a pù varabl (dscrete o contnue). Analogamente alle varabl casual semplc, ad esse è assocata: (caso dscreto) una probabltà per ogn combnazone de possbl valor delle n varabl; la somma delle probabltà d tutte le combnazon è 1 (.116) N1 N Nn 11 1 n 1... p n (caso contnuo) una denstà d probabltà f ( x1, x,..., x n), l cu ntegrale, su tutte le n varabl, è 1 (.117)... f ( x1, x,..., xn) dx1dx... dxn 1 Integrando rspetto ad alcune varabl la funzone msta f ( x1, x,..., xn ), tra e, abbamo la denstà msta delle rmanent ("denstà margnal"). Nel seguto faremo rfermento solo alle varabl casual contnue. Analogamente al caso d una sngola varable, s può defnre l valore aspettato d una qualsas funzone g delle n varabl come E g( x, x,..., x )... g( x, x,..., x ) f( x, x,..., x ) dxdx... dx (.118) 1 n 1 n 1 n 1 n 49

50 Indchamo 15 con f x1, x,..., xk xk 1, xk,..., xn la denstà d 1,,..., k x, x,..., x k 1 k n. S ha che x x x condzonata da (.119) f x, x,..., x x, x,..., x 1 k k1 k n f x, x,..., x,..., x 1 f x, x,..., x k1 k n k n Da questa s ha (.10) f x x, x,..., x 1 3 n f x, x,..., x 1 f x, x,..., x 3 n n e qund (.11) f x, x,..., x f x x, x,..., x f x x,..., x... f x x f x 1 n 1 3 n 3 n n1 n n Dcamo che due varabl x e y sono stocastcamente ndpendent (o statstcamente ndpendent, o, semplcemente, ndpendent) se tutta l'nformazone su x è contenuta nella margnale f x e tutta l'nformazone su y nella margnale f y. Se le n varabl casual x sono ndpendent, s ha (.1) f x, x,..., x f x e per la dstrbuzone ntegrale (.13) Fx, x,..., x F x 1 n n 1 1 n n 1 Prendamo l semplce caso n cu la funzone g sa la combnazone lneare d tutte le varabl x, n y a x, 1 n n n (.14) Ey Eax... ax f( x1, x,..., xn) dxdx 1... dxn ae x qund l valore aspettato della combnazone lneare d n varabl casual (anche non ndpendent) è par alla stessa combnazone lneare de valor aspettat (come potevamo nture, data la lneartà dell'operatore E[.] "valore aspettato"). 15 Attenzone alla notazone: per semplfcarla, spesso qu ndchamo con f funzon d denstà che sono n genere dverse, dpendentemente dagl argoment. In effett cascuna andrebbe ndcata n modo dfferente (per esempo con opportun ndc). 50

51 Consderamo per semplctà l caso n cu n sa eguale a e chamamo x e y le due varabl. Le "denstà margnal" sono le funzon (.15) (, ) e f x f x y dy (.16) (, ) x y f y f x y dx Queste due funzon sono due denstà d probabltà che possono veders come le denstà d probabltà assocate alle due varabl x e y, ndpendentemente l'una dall'altra; coè, per esempo, la prma descrve le qualtà statstche della varable x, se non s sa nente d y. È mmedato verfcare che (.17) (, ) x ( ) E x x f x y dxdy x f x dx e analogamente (.18) y ( ) E y y f y dy Vedamo ora l valore aspettato del prodotto. In generale (.19), Se x e y sono ndpendent, s ha E x y x y f x y dxdy (.130) E x y fxx dx fyy dy Ex Ey Tornamo ora alla combnazone lneare n y a x. Sano Ex e 1 le varanze delle n varabl x. Abbamo vsto che E y a. Svluppamo ora l espressone della varanza d y. S ha y 1 n (.131) n n n y Eax Eaa jx xj j 1 1 j1 n n 1 j1 aa E x x j j j 51

52 Indchamo ora col termne covaranza delle varabl x e x j l valore j E x xj j Exx jj (.13) S not che. Dalla (.130) è mmedato dmostrare che se x e x j sono ndpendent la loro covaranza è nulla; altrment può essere postva o negatva. Se due varabl hanno covaranza nulla, non è detto n genere che sano ndpendent. Se qund le n varabl x sono ndpendent, la varanza della combnazone lneare s rduce a (.133) n y a 1 Se abbamo n varabl ndpendent con la stessa varanza, abbamo che la varanza della somma è n e la varanza della meda è. La devazone standard sulla meda è n (.134) y n Tutte le covaranze delle n varabl x formano una matrce quadrata (.135) 11 1n C n 1 nn detta matrce d covaranza; sulla dagonale ha le varanze delle n varabl. Se le x sono ndpendent, la matrce è dagonale. Possamo qund esprmere la varanza d y come (.136) n n y aa j j 1 j1 Se le x sono ndpendent, ottenamo l rsultato, gà antcpato, (.137) n y a 1 Date due varabl x e y, l valore della covaranza Per ndcare l tpo d dpendenza evdenzata da x y dpende anche dalle varanze d x e y. x y n una forma ndpendente dalla varanza 5

53 d x e y (e da eventual fattor d amplfcazone), s è ntrodotto un parametro admensonale, l coeffcente d correlazone (.138) x y x y Rcordamo che la dsuguaglanza d Schwartz (o d Cauchy-Schwartz) è (.139) e, nel dscreto, x t y t dt x t dt y t dt (.140) x y x y L uguaglanza s ha se y è proporzonale a x. Questo rsultato, che utlzzeremo pù volte n questo corso, può scrvers anche E x y E x E y (.141) Qund, calcolato nella (.138), è un numero compreso tra -1 e 1. Introducamo ora la dstrbuzone gaussana per varabl casual multple. Se le varabl sono ndpendent, a meda nulla e con la stessa varanza, allora (.14),,..., x1 x... x n 1 f x1 x xn e n n Nel caso d due varabl abbamo (.143) 1 1 x xx yy y x y f( x, y) exp 1 1 x y x x y y dove ndca l coeffcente d correlazone tra le due varabl. Nel caso generale (ma con valor aspettat delle varabl tutt null, stuazone a cu comunque s arrva con una banale trasformazone d varable) la denstà congunta ha la forma 53