3 CAMPIONAMENTO DI BERNOULLI E DI POISSON

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1 3 CAMPIOAMETO DI ROULLI E DI POISSO 3. ITRODUZIOE In questo captolo esamneremo due schem d camponamento che dversamente dal camponamento casuale semplce non producono campon d dmensone fssa ma varable. I due schem sono denomnat: camponamento d Bernoull e camponamento d Posson. Il prmo può essere consderato come un caso partcolare del secondo, tuttava per la smlartà che ha con l camponamento casuale semplce e per la maggore semplctà che lo caratterzza lo prendamo n esame prelmnarmente. Lo schema d camponamento d Bernoull prevede le seguent fas: Data una popolazone d untà ed una corrspondente lsta ordnata secondo un qualsas crtero, () s stablsce una probabltà d nclusone costante tale che l suo prodotto con la dmensone della popolazone da un valore che corrsponde alla dmensone ottmale del campone; () per ogn untà della popolazone (coè della lsta), s effettua un espermento bernoullano con probabltà d successo e: () se s ottene un successo la corrspondente untà è nserta nel campone, altrment l untà resta nella popolazone. Al termne d questa procedura, s sarà ottenuto un certo numero d success e un certo numero d nsuccess. La dmensone camponara, che ndchamo con n s, sarà par alla somma de success, non nota a pror, e l campone sarà formato da untà dstnte. S not che l nseme de possbl campon dstnt (consderando dstnt due campon se dfferscono per la presenza d almeno una untà dversa) che possono scaturre dal descrtto schema d camponamento ha cardnaltà par a se ammettamo nell nsema de possbl campon anche quello vuoto, coè prvo d

2 untà e quello concdente con la popolazone stessa. Il dsegno d camponamento che derva dalla procedura sarà: p ns ns () s ( ) ( ) ( ) 3 L 4 L 443 ns volte ns volte E la probabltà che la dmensone camponara, n s, sa esattamente uguale a m, sarà data dalla seguente espressone: p m m ( n m) ( ) s m per qualunque valore d m compreso tra 0 e. Pertanto, la dmensone camponara è una varable casuale bnomale con valore atteso e varanza ( ). Se s fssa: n/ ed non è pccolo la dmensone effettva n s non dfferrà troppo dal valore atteso n che sarebbe stato fssato se l pano d camponamento fosse stato casuale semplce. Passando alla stma del totale, o della meda, della popolazone, possamo utlzzare lo stmatore d HT, del quale conoscamo la propretà della correttezza. Denotando lo stmatore con l suffsso, avremo: e t per l totale t per la meda. S not che e, anche nel caso n cu s ponga n/ non corrspondono a ccs e ccs n quanto la somma s applca ad un numero d valor varable e solo casualmente uguale a n. Per rcavare la varanza dello stmatore del totale (o della meda), s può procedere come nella (.6) del precedente captolo. 3

3 ( ) t { ( t ) + C( t, t )} In questo caso, poché le untà vengono estratte dalla lsta a seguto d esperment ndpendent, avremo: ( ) ( ) t e (, ) ( ) ( ) ( ) C t t E t t E t E t 0 da cu: ( ) ( ) (3.) Dall espressone (3.) che s rfersce al totale, è po mmedato rcavare l espressone della varanza dello stmatore della mada camponara, semplcemente dvdendo per. S può noltre osservare che la (3.) può essere ulterormente svluppata, dato che: ( ) S. (3.) + Sosttuendo la (3.) nella (3.) s ottene: ( ) ( ) [ S + ] S + C nella quale C è n recproco del coeffcente d varazone elementare del carattere. Infne se n e è suffcentemente grande per trascurare l termne, 4

4 ( ) n + n C S espressone dalla quale è mmedato rcavare l Deff ( ), sotto la condzone che la dmensone fssa, n, nel camponamento casuale semplce sa uguale a quella attesa nel camponamento d Bernoull: n S + n ( ) C Deff +. S n C n Questa espressone c dce che la perdta n precsone del camponamento d Bernoull rspetto al camponamento casuale semplce è, con approssmazone trascurable, nversamente proporzonale al quadrato del coeffcente d varazone del carattere nella popolazone. Maggore è la varabltà elementare d questo carattere e mnore saranno le dfferenze ntermn d effcenza de due stmator. Ad esempo con un C 0,5 l recproco del suo quadrato è par a 4 e, conseguentemente, l Deff raggunge l valore 5. Con un C 5 l valore del Deff è appena,04. La conclusone da trarre è che l camponamento d Bernoull s presta ad essere utlzzato nella stma d parametr relatv a caratter che presentano una elevata varabltà nella popolazone. La varanza dello stmatore del totale (o della meda) può essere stmata dal è dato dalla seguente espressone: campone. Uno stmatore corretto d ( ) v( ) s La verfca della correttezza dello stmatore è mmedata se lo s scrve nella forma equvalente: 5

5 v( ) t Prma d passare ad esamnare l camponamento d Posson che, come s è gà detto, rappresenta una generalzzazone d quello d Bernoull, s deve ancora osservare che, nel camponamento d Bernoull, la stma della meda (o del totale) avrebbe potuto essere effettuata con uno stmatore dverso da quello d HT. Una volta formato l campone, nfatt, anche la meda semplce delle osservazon che lo compongono e un ntutvo stmatore della corrspondente meda della popolazone. Indchamo questo stmatore alternatvo con alt : alt n s s n s t. S tratta d uno stmatore che non gode della propretà della correttezza poché la somma de valor camponar e dvsa per la varable casuale n s ed è noto che l valore atteso del rapporto tra due varabl non è uguale al rapporto tra valor attes delle stesse varabl. Tuttava è possble dmostrare (anche se qu omettamo d farlo) che: ) la dstorsone è trascurable per campon non troppo pccol; ) la varanza dello stmatore è nferore a quella dello stmatore d HT. 3. CAMPIOAMETO DI POISSO Il camponamento d Posson rappresenta una generalzzazone dello schema precedente. In questo schema la formazone del campone avvene ancora sulla base d esperment bernoullan ndpendent corrspondent ad ogn untà della popolazone, ma s ammette che quest esperment possano avere probabltà d successo varabl da un untà all altra. In altr termn l -esma untà della popolazone è nserta nel campone con probabltà e la -esma ndpendentemente dalla -esma con probabltà (con,,). Effettuat gl esperment sarà ancora varable e par ad n s l numero d untà che entrano nel campone. Il corrspondente dsegno camponaro è dato da: 6

6 p () s ( ) s s e l valore atteso e la varanza della dmensone camponara da: E ( n s ) ; ( n s ) ( ) Il totale e la meda della popolazone sono ancora stmat con lo stmatore d HT che n questo caso assume la forma generale gà ntrodotta nel paragrafo.8. Denotamo con PO lo stmatore del totale e con PO quello della meda: PO t ; PO t Rguardo po alla varanza s osserva che sussste come per l camponamento d Bernoull l ndpendenza tra le estrazon e d conseguenza s azzera l termne d covaranza ( t t ) C,. Pertanto, la varanza dello stmatore del totale è data da: ( ) ( ) PO (3.3) e quella della meda dalla stessa espressone dvsa per. Infne, è facle verfcare che uno stmatore corretto della (3.3) e dato dalla seguente espressone: ( ) ( ) v( PO ) s t Il camponamento d Posson e quello d Bernoull trovano applcazone nelle ndagn economche ed n partcolare nel camponamento d azende. Le azende oltre che con pan d camponamento equprobablstc, vengono spesso selezonate assegnando ad esse probabltà dfferenzate n rapporto alla loro dverse dmenson. Infatt, se la varable (le varabl) d studo è assocata alla 7

7 dmensone dell azenda, per esempo al numero degl addett, allora effettuare una selezone con probabltà non ugual, bensì proporzonal alle dmenson stesse, può tradurs nella fase d stma n rlevant guadagn n precsone nonostante l contrbuto alla varabltà dato dalla dmensone varable del campone. Per capre come cò sa possble possamo rcavare valor delle probabltà d nclusone che mnmzzano l espressone della varanza (3.3) per un dato valore della dmensone n attesa n. Utlzzando un qualsas procedmento d mnmzzazone vncolata s ottene che l mnmo della (3.3) rspetto a s raggunge quando: n per ogn valore d, (3.4) quando coè le probabltà d nclusone sono proporzonal a valor della varable d studo assocat alle untà della popolazone. aturalmente tal valor non sono not e qund la soluzone data dall espressone (3.4) avrebbe un nteresse puramente teorco. Tuttava se la varable d studo è n rapporto d proporzonaltà, almeno approssmatvamente, con una varable X cu valor X sono not per tutte le untà della popolazone, allora possamo defnre le probabltà d nclusone proporzonalmente a questa varable: nx X, sotto la condzone che nx X per ogn possble valore d. Cos facendo, lo stmatore d HT avrà una varanza tanto pù pccola quanto maggore sarà la proporzonaltà tra la varable nota e quella d studo ndpendentemente dal contrbuto alla varabltà dovuto alla dmensone varable del campone 8