ANALISI STATISTICA DELLE INCERTEZZE CASUALI

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1 AALISI STATISTICA DELLE ICERTEZZE CASUALI Consderamo l caso della msura d una grandezza fsca che sa affetta da error casual. Per ottenere maggor nformazone sul valore vero della grandezza rpetamo pù volte la msura. Avendo raccolto valor (non tutt concdent), c domandamo quale funzone de dat, tra tutte le possbl, fornsca con maggor probabltà l valore vero della grandezza n esame. Supponamo d aver elmnato tutt gl error sstematc. Poché gl error casual hanno ugual probabltà d spostare l rsultato n dfetto o n eccesso rspetto l valore vero, l valore vero deve trovars n una poszone centrale nella dstrbuzone de valor osservat. Pertanto quello che cerco è una funzone che m permetta d stmare l valore centrale dell nseme de dat raccolt. arta Calv 00 Laboratoro I Lezone, pag.

2 Stme del valore centrale ) ODA ˆ Valore corrspondente al massmo della frequenza, coè l valore che s è presentato l maggor numero d volte. Utle per dstrbuzon con lunghe code, ma non è detto che la moda essta (dstrbuzon multmodal, o con moda ad un estremo). Esempo: dat relatv all energa rlascata da elettron che attraversano uno strato sottle d materale: dstrbuzone d Landau ) EDIAA ~ Dspost dat n ordne crescente, la medana è l valore centrale, che ne lasca un ugual numero a destra e a snstra ( ndpendentemente da quanto lontan sano tra loro valor). arta Calv 00 Lezone, pag.

3 3) EDIA ARITETICA Dat valor della grandezza, s defnsce meda artmetca d : { }, 3... Dmostreremo pù avant che: n presenza d sol error casual la meda artmetca fornsce la mglor stma del valore vero d. arta Calv 00 Lezone, pag.3

4 Esempo S hanno 0 valor d : ={ 8; 9; 7; 0; 8; 7; 8; 9; 8; 9} oda: ˆ 8 L metto n ordne crescente: ={ 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 0} edana: ~ 8 eda: arta Calv 00 Lezone, pag.4

5 SCARTO Stme d dspersone Cerchamo una stma dell ampezza dell ntervallo n cu sono dstrbute le msure, che serva a valutare l ncertezza della msura. L ntervallo ma mn contene l 00% delle msure, ma può essere molto grande, basta che una sola msura sa molto lontana dalle altre. Defnsco lo scarto d cascuna msura dalla meda artmetca: d d può essere sa postvo che negatvo. aspetto che per msure precse gl scart sano pccol, se sono poco precse, gl scart possono essere grand. La somma degl scart è sempre nulla: 0 Infatt: d ( ) d 0 arta Calv 00 Lezone, pag.5

6 Devazone standard Consdero allora gl scart al quadrato e ne prendo la meda artmetca: d ( ) ( ) varanza devazone standard La devazone standard ndca la dstanza meda delle msure dalla loro meda artmetca, è ndcatva della dspersone delle msure. Dmostreremo che l ntervallo msure effettuate. (, ) contene crca /3 delle La devazone standard dà l ampezza dell ntervallo n cu sono dstrbute buona parte delle msure. Indca qund la precsone: precsone della sngola msura dovuta all nseme d apparato d msura, procedura seguta, ecc.) arta Calv 00 Lezone, pag.6

7 arta Calv 00 Lezone, pag.7 Propretà della varanza( utle nel calcolo): ) ( ) (

8 Varanza del campone La defnzone data precedentemente è corretta solo nel lmte d un nseme nfnto d msure (detto n statstca popolazone). Se le msure sono solo, la formula precedente fornsce un valore della dspersone pù pccolo d quello che s otterrebbe dall ntera popolazone. La formula che fornsce una stma corretta per la varanza d un campone fnto d msure è ottenuta dvdendo la precedente per ( -)/ coè: ( ) ( ) varanza devazone standard Abtualmente useremo queste formule, se non è abbastanza grande. Per le due formule concdono. (La correzone applcata è anche detta correzone d Bessel). arta Calv 00 Lezone, pag.8

9 Costruzone d Tabelle e Istogramm Quando s dspone d un alto numero d msure della stessa grandezza fsca è opportuno organzzarle n modo da rendere evdente l loro sgnfcato, ad esempo tramte una tabella o un stogramma. Dat valor assocat alla grandezza : d quest sano dvers tra loro ( < ). supponamo che Sa n la frequenza assoluta d (numero d volte n cu s presenta cascun e sa F la frequenza relatva: F = n /. S avrà: { { }, }, n F n somma delle frequenze assolute somma delle frequenze relatve arta Calv 00 Lezone, pag.9

10 Esempo S hanno 0 valor d : ={ 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 0} = 0, = 4 =7 =8 3 =9 4 =0 n = n = 4 n 3 = 3 n 4 = F =0. F =0.4 F 3 =0.3 F 4 =0. 4 n F arta Calv 00 Lezone, pag.0

11 Raggruppamo dat n una tabella: ={7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 0} Indce de valor dstnt: =, valor dstnt d n F =n / Frequenza assoluta (numero delle volte che l valore s è presentato) n 0 4 F Frequenza relatva arta Calv 00 Lezone, pag.

12 ISTOGRAA In un pano cartesano assoco ad ogn msura un punto sull asse delle ascsse. Pongo n ordnate l numero d volte che tale valore s è presentato, coè la frequenza assoluta. n F =n / n Somma delle altezze delle barre = numero totale d msure 4 n 0 Se nvece n ordnate pongo la frequenza relatva, la somma delle altezza d 4 tutte le barre rsulta untara: stogramma normalzzato. F arta Calv 00 Lezone, pag.

13 Calcolo della eda Artmetca da valor rpetut Quando l numero d msure è alto, e dverse d esse danno lo stesso valore, l calcolo della meda artmetca e della varanza può essere semplfcato usando le formule seguent. Queste formule s usano anche quando s voglono calcolare meda e varanza da dat fornt drettamente n un stogramma. Partamo dal nostro esempo per rcavare po le formule general: ( 7) (4 8) ( F eda n 9) ( 0) artmetca arta Calv 00 Lezone, pag.3

14 Calcolo della Varanza da valor rpetut ( ) (7 8.3) 4 (8 8.3) 3 (9 8.3) (0 8.3) (7 8.3) (8 8.3) (9 8.3) (0 8.3) n ( ) F ( ) Varanza n ( ) F ( ) Devazone standard Samo nel caso grande. Altrment devo correggere moltplcando per /(-). arta Calv 00 Lezone, pag.4

15 Devazone standard della meda La devazone standard ndca l ncertezza relatva alla sngola msura (dstanza meda d una msura dalla meda artmetca). E una propretà ntrnseca dell apparato d msura. on può varare molto al crescere del numero delle msure fatte ( se sono tutte fatte con lo stesso apparato). La meda artmetca dà la poszone del centro dell ntervallo. Anche questa rsulta affetta da ncertezza. Quanto vale tale ncertezza? Sarà un ncertezza pù pccola d quella sulla sngola msura. Aumentando l numero delle msure, m aspetto d poter arrvare a conoscere sempre meglo la poszone centrale d questo nseme d msure: l ncertezza della meda artmetca sarà decrescente al crescere del numero delle msure. Vale: Devazone standard della meda arta Calv 00 Lezone, pag.5

16 arta Calv 009 Lezone 4, pag. 6 Rassumendo Devazone standard della meda ) ( Devazone standard eda artmetca valore centrale precsone della sngola msura precsone della meda F n ) ( ) ( F n In presenza d valor rpetut: /( -)

17 ESERCIZIO: Uno studente effettua 0 msure del perodo T d un pendolo semplce la cu lunghezza è d cm: T={.05,.0,.00,.0,.5,.0,.05,.95,.5,.05,.00,.0,.05,.5,.05,.00,.0,.95,.05,.00} n second. Calcolare l valore dell accelerazone d gravtà g. n d d 6 ( n.95).06 (4 0.00) arta Calv 00 Lezone, pag.7

18 6 n ( ) ( 0.054) ( ) 9 ( ) T T g L T ( ) 9.93m / s T ( )s Per l calcolo dell ncertezza su g rmandamo a fra qualche lezone. arta Calv 00 Lezone, pag.8