Statistica e calcolo delle Probabilità. Allievi INF

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1 Statstca e calcolo delle Probabltà. Allev INF Proff. L. Ladell e G. Posta I drtt d autore sono rservat. Ogn sfruttamento commercale non autorzzato sarà perseguto. Cognome e Nome: Matrcola: Docente: Domande 1. L allevo fornsca lo stmatore d massma verosmglanza del parametro θ d una dstrbuzone unforme sull ntervallo 0, θ e descrva l procedmento per ottenerlo, gustfcando passagg della costruzone. 2. Dare la defnzone d matrce d covaranza d un vettore aleatoro n-dmensonale ed elencarne le prncpal propretà. 3. Dat quattro event A, B, C e D n uno spazo d probabltà, dre quando ess s dcono ndpendent.

2 1 2 Φ 1.18 = Φ1.18 = Cognome e Nome: Matrcola: Docente: Statstca e calcolo delle Probabltà. Allev INF Proff. L. Ladell e G. Posta Gustfcare adeguatamente tutte le rsposte. Defnre esplctamente tutte le v.a. utlzzate nella soluzone che non sono gà state dcharate nel testo. Esercz Eserczo 1 Sa Z = Z 1, Z 2, Z 3 T un vettore aleatoro gaussano standard trdmensonale e sa Y = Y 1, Y 2 T l vettore aleatoro bdmensonale d component Y 1 = az 1 + bz 2 Z e Y 2 = Z 1 2Z 2 + 2Z 3 + a + b, dove a e b sono costant real. 1. Determnare, n funzone d a e d b, la dstrbuzone d Y. 2. Determnare a e b n modo tale che Y 1 e Y 2 sano varabl aleatore ndpendent e con la stessa meda. 3. Per a e b determnat al punto precedente, calcolare la P Y 1 < 1, Y 2 > 1. Soluzone 1. Vale Y = AZ + µ dove A è la matrce a b 1 A = e µ = 1 a + b Qund Y ha dstrbuzone gaussana con vettore delle mede µ e matrce d covaranza AA T a = 2 + b a 2b 2 a 2b Pochè Y è un vettore aleatoro gaussano, le sue component sono ndpendent se e solo se la loro covaranza è nulla. S tratta d determnare a e b tal che { a + b = 1 a 2b 2 = 0. S vede faclmente che la soluzone d questo sstema è a = 4/3 e b = 1/3. 3. Per a = 4/3 e b = 1/3 le component Y 1 e Y 2 sono ndpendent. Inoltre sono gaussane entrambe d meda 1 e varanza, rspettvamente, VarY 1 = 26/9 e VarY 2 = 9. Qund P Y 1 < 1, Y 2 > 1 = P Y 1 < 1P Y 2 > 1 Y 1 1 = P < 26/9 2 26/9 P Y2 1 > 0 9

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4 Eserczo 2 Uno strumento è formato da due component elettronc post n sequenza coè lo strumento funzona se e solo se entramb component funzonano. I due component funzonano ndpendentemente e hanno entramb temp d vta espress n ore la cu ntenstà d guasto è data dalla funzone λt = 1 20 t 1/2 t > Fornre l espressone della funzone d rpartzone del tempo d vta d ogn sngolo componente. 2. Calcolare la probabltà che lo strumento dur pù d 100 ore. Supponamo ora d avere 200 strument come quello precedentemente descrtto e che funzonano n modo ndpendente. 3. Calcolare un valore approssmato della probabltà che l numero degl strument tra 200 funzonant dopo 100 ore sa maggore o uguale a 20. Soluzone 1. Sappamo che l ntenstà d guasto è legata alla funzone d rpartzone dalla relazone F t = 1 e R t 0 λudu I 0,+ t. Qund cascun componente ha tempo d vta con funzone d rpartzone F t = 1 e 1 10 t1/2 I 0,+ t. 2. Sa T l tempo d vta dello strumento e sano T, = 1, 2 temp d vta de due component. Essendo due component post n sequenza e ndpendent vale P T > 100 = P T 1 > 100, T 2 > 100 = P T 1 > 100P T 2 > 100 = e / = e Sa X = n 0 degl strument funzonant dopo 100 ore. Allora X Bnn = 200, p = e 2. Qund applcando l Teorema centrale del lmte con correzone d contnutà ottenamo P X 20 = 1 P X < 20 = 1 P X 19.5 X np e 2 = 1 P np1 p 200e 2 1 e 2 1 Φ = Φ

5 Eserczo 3 Sano α > 0 e θ > 0 e sa X 1,..., X n un campone d dmensone n estratto da una popolazone d denstà Gamma d parametr α, θ, coè d comune denstà { x α 1 e θx θα Γα x > 0 f α,θ x = 0 x 0 Supposto α NOTO esempo α = 5 e θ INCOGNITO: 1. Determnare lo stmatore d massma verosmglanza Θ n d θ basato sul campone X 1,..., X n. 2. Dedurre lo stmatore d massma verosmglanza T n d kθ = 1/θ. Determnare se T n è uno stmatore non dstorto e consstente n meda quadratca per kθ. 3. Dre, gustfcando adeguatamente la rsposta, se lo stmatore T n è asntotcamente gaussano e n caso affermatvo determnarne la meda e la varanza asntotca. Soluzone 1. La funzone d verosmglanza, che è funzone del solo parametro θ essendo α noto, è n Lθ = x α 1 e θx θ α n = x α 1 e θ P n =1 x θ nα Γα Γα n. =1 Passando al suo logartmo naturale log-verosmglanza s ottene n n lθ = ln θ x + nα lnθ n lnγα. =1 x α 1 Per calcolare l valore d θ che massmzza lθ, calcolamo la dervata prma: l θ = =1 =1 n x + nα θ 0 =1 per θ ˆθ = nα/ n =1 x. Qund ˆθ = nα/ n =1 x è l punto d massmo e lo stmatore d massma verosmglanza Θ n d θ è Θ n = nα/ n =1 X. 2. Per l prncpo d nvaranza degl stmator d massma verosmglanza, T n = kθ n = n =1 X /nα. Inoltre e n =1 ET n = E X nα n =1 VarT n = Var X nα = EX α = α αθ = 1 θ = kθ = n VarX n 2 α 2 = α nα 2 θ 2 = 1 nαθ 2 0. Qund lo stmatore T n è non dstorto e consstente n meda quadratca per kθ. 3. Infne T n = 1 n n =1 X α è meda camponara d varabl aleatore..d., qund, per l teorema centrale lmte è asntotcamente gaussano, d meda 1/θ e varanza 1/nθ 2 α, calcolate al punto precedente.

6 Eserczo 4 In una roulette c sono 18 numer ross, 18 numer ner e lo zero. Se la roulette è non truccata ogn sngolo numero zero compreso ha la stessa probabltà d uscre n un gro. 1. Calcolare la probabltà che n un gro d roulette esca un numero rosso, quella che esca esca un numero nero ed nfne quella che esca lo zero. 2. Calcolare la probabltà che n 3 gr d roulette esca 2 volte un numero rosso, 1 volta un numero nero e nessuna volta lo zero. Abbamo de dubb che la roulette presa n consderazone sa non truccata. Osservando 100 gr d roulette rlevamo che per 40 volte esce un numero rosso, 59 volte un numero nero e 1 volta lo zero. 3. Sulla base de dat a dsposzone possamo rfutare al lvello d sgnfcatvtà del 5% l potes nulla che la roulette sa non truccata? Soluzone 1. Le probabltà cercate sono rspettvamente 18/, 18/ ed 1/. 2. Sa E l evento esce 2 volte un numero rosso ed 1 volta un numero nero n 3 gr. Allora E = E 1 E 2 E 3, dove E k è l evento l k-esmo numero è nero e gl altr ross. S ha che gl E k, k = 1, 2, 3 sono dsgunt. Inoltre P E k = 18/ 3, k = 1, 2, 3. Ne segue che P E = 318/ Utlzzamo un test χ 2 d buon adattamento. Sa H 0 : P rosso = P nero = 18/, P zero = 1/ e H 1 : H 0 è falsa. La statstca test è X 2 := = Un test d lvello α è rfuto H 0 se X 2 > χ 2 α,3 1. S ha χ2 0.05,2 = X2 e qund non s può rfutare H 0.