Calcolo delle Probabilità

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1 alcolo delle Probabltà Quanto è possble un esto? La verosmglanza d un esto è quantfcata da un numero compreso tra 0 e. n partcolare, 0 ndca che l esto non s verfca e ndca che l esto s verfca senza dubbo. La Probabltà che ogg pova è crca l 50%.? Soggettva Rappresenta l grado d fduca d una persona che l evento occorra. Frequentsta l valore lmte che la frequenza relatva d occorrenza d un evento raggunge al crescere del numero delle prove. ssomatca una funzone defnta sullo spazo campone e a valor n [0,], assegnata su una base ragonevole del modello studato.

2 Vengono effettuate delle SSUNZON (a) S) = ; (b) 0 Defnzone assomatca: ), S; (c) per ogn successone d event nseme d assom che le probabltà assegnate n un espermento casuale Defnzonedevono soddsfare. La probabltà è un numero compreso tra 0 eassegnato ad ogn membro d una collezone d event d un espermento casuale che soddsfa le seguent propretà : { } dsgunt s ha ) = ). Le probabltà saranno assegnate n base alla nostra conoscenza del sstema esamnato. 3 ome s assegna una msura d probabltà ad un evento? sempo: S selezon a caso un dodo al laser da un un nseme d 00 dod. Qual è la probabltà d selezonare un dodo a caso da un nseme d 00 dod? Le parole a caso suggerscono che è ragonevole assumere ogn dodo abba la stessa probabltà d essere scelto, ossa è ragonevole assumere che la probabltà che un dodo sa scelto è 0.0. RGOL: Se S =N e gl est sono tutt egualmente probabl, la probabltà d un sngolo esto è /N. Degl event casual s dcono equprobabl n una data prova se la smmetra dell espermento permette d supporre che nessuno d ess sa pù probable d un altro. d esempo l'apparzone d una delle se facce d un dado nel caso n cu questo sa non truccato. 4

3 Defnamo evento certo quell'evento che n seguto ad un espermento deve obblgatoramente verfcars. Tale evento costtusce l'unta d msura per la probabltà: s attrbusce, coè, all'evento certo probabltà uguale all'untà. D conseguenza tutt gl altr event, probabl ma non cert, saranno caratterzzat da probabltà mnor all'untà. L'evento contraro all'evento certo è detto mpossble, ossa un evento che non può accadere nella prova n questone. ll'evento mpossble è assocata una probabltà uguale a zero. RGOL: Se è l evento mpossble allora )=0 Se è l evento certo allora )=. S assuma che l 30% de dod tra 00 verfch la potenza mnma rchesta da un clente. Sa l evento che, selezonando a caso un dodo, questo soddsf la potenza mnma rchesta. Poché contene 30 est cascuno de qual ha probabltà 0.0 d essere scelto, quanto vale la probabltà d? 5 Defnzone: Per uno spazo campone dscreto, la probabltà d un evento, denotata con ), è par alla somma delle probabltà degl est che costtuscono. S assuma che nessuno de dod tra 00 verfch la potenza mnma rchesta da un clente. Sa l evento che, selezonando a caso un dodo, questo soddsf la potenza mnma rchesta. Quanto vale la probabltà che s verfch? S dcono event mutuamente dsgunt o ncompatbl quegl event aleator che non possono verfcars smultaneamente n una data prova. d esempo l'apparzone smultanea d testa e d croce nel lanco d una moneta. RGOL: Se e B sono event dsgunt, s ha P ( B ) = 0 6

4 0., 0., 0., 0.4 e 0..Sa = ), U,. { a,b,c,d,e} { a, b, c} e B = { c, d, e}.. Lo spazo campone d un espermento casuale è SRZ ltà che sano scelt due romanz e un saggo? con probabltà Determnare ),,.Tre lbr sono scelt a caso da uno scaffale contenente 4 romanz, 3sagg e dzonaro. Qual è la probabltà che sa scelto l dzonaro? Qual è la probab - 3.on 6 foglett cascuno rportante una lettera s può formare la parola LTNT. foglett vengono rmescolat ed estratt casualmente uno al - la volta. Qual è la probabltà d formare la parola TLNT? 4. S lancno due monete: qual è la probabltà che s verfch al pù una testa? Qual è la probabltà che s verfch almeno una testa? Qual è la probabltà che non s verfch alcuna testa? 7 5. Vengono selezonat de campon d brra da tre forntor conformtà a cert requst. rsultat relatv a 00 campon sono rassunt nel seguto : Sa l'evento che un campone provene dal forntoree B l'evento che un campone è conforme alle specfche. Se un campone d brra è selezonato a caso, calcolare (a) ) (b) (c) ) (d) (e) U forntor 3 S specfche NO 3 0 n base alla rspettva 8

5 serczo: Sa x la lunghezza d un blocchetto metallco prodotto n una certa azenda. S sa che l 0% de blocchett prodott ha lunghezza al pù 7.55 mm, che l 5% ha lunghezza superore a 7.55 mm ma al pù 7.57 mm.selezonando un blocchetto a caso, qual è la probabltà che la sua lunghezza sa al pù 7.57 mm? U RGOL : Se = allora ) + ) = ) se gl event non fossero mutuamente dsgunt? RGOL : Se, B S allora U = ) + serczo: n una coppa d spos la probabltà che l uomo sopravvva fno a 70 ann è 7%, la probabltà che la donna sopravvva fno a 70 ann è 85%, la probabltà che sopravvva uno de due fno a 70 ann è del 95%. Quanto vale la probabltà che sopravvvano entramb fno a 70 ann? 9 S lancno due dad: qual è la probabltà d totalzzare 6? S supponga che durante l lanco (ad esempo su un tavolo) uno de due dad s sa fermato, mostrando la facca par a. Qual è ora la probabltà d totalzzare 6? Quando s acqusscono maggor nformazon sull espermento casuale, le possbltà d occorrenza degl est vanno rvalutate. La probabltà condzonata d un evento dato un evento B, denotato con è per > 0. Defnzone = 0

6 serczo: 66 campon d ara sono stat classfcat n base alla presenza d una molecola d due gas rarefatt. Qual è la probabltà che scelto un campone a caso, questo contenga la molecola del gas? Qual è la probabltà che l campone scelto contenga la molecola del gas se contene quella d B? GS B GS no s no 4 s 8 Regola della Moltplcazone P ( = = B ) ) serczo: n un urna c sono 0 pallne, d cu 6 rosse e 4 nere. S estrae una pallna e s osserva l colore. S estrae po una seconda pallna senza aver rmesso nell urna la precedente. Qual è la probabltà che l colore d entrambe le pallne sa rosso? ' utle dare un'nterpretazone geometrca alla probabltà condzonata. Dal momento che abbamo sempre assocato al concetto d probabltà quello d area dell'evento nel dagramma degl nsem, possamo rcondurc a questa assocazone ed osservare la fgura. Sapendo che s è verfcato B, la probabltà che s verfch è par alla probabltà che s verfch l'ntersezone de due event; cò equvale a calcolare l rapporto tra l'area dell'ntersezone d e B (n blu charo) e l'area totale d B (blu charo + blu scuro). l rapporto tra le aree nel dagramma nsemstco corrsponde al rapporto tra le probabltà degl event consderat....quando un numero non esce da molto tempo, gocator corrono a coprrlo d denaro. ss rtengono che quel numero retcente debba uscre al prossmo colpo, a preferenza d altr..., ma l passato non può avere alcuna nfluenza sull' avvenre" (Perre Smon de Laplace).

7 Due event proposzo n : () = ); e B s dcono ndpenden t se rsulta vera una delle seguent () B ) = ; (3) = ) Defnzon e l concetto d ndpendenza dpende dal modello usato per descrvere l espermento casuale STOST: è parte dell espermento casuale che descrve l espermento fsco STTST: dpende dal modello d probabltà mpegato nell espermento casuale. 3 ndpendenza stocastca serczo: l crcuto n fgura funzona solo se c e almeno uno strumento che funzona. La probabltà che ogn strumento funzon è par a Qual è la probabltà che l crcuto funzon? a B b serczo: 84 campon d ara sono stat classfcat n base alla presenza d una molecola d due gas rarefatt. Qual è la probabltà che scelto un campone a caso, questo contenga la molecola del gas B? Qual è la probabltà che l campone scelto contenga la molecola del gas B se contene quella d? ndpendenza statstca GS no s no 3 4 GS B s 6 4

8 Gl event,,, K,, K, rsulta : n K sono ndpendent se e solo se per ogn sottonseme Defnzone ) = ) ) L ) serczo: l crcuto n fgura funzona solo se c e almeno uno strumento che funzona. La probabltà che ogn strumento funzon è par a Qual è la probabltà che l crcuto funzon? a b B D 5 serczo: n un urna c sono 0 pallne, d cu 6 rosse e 4 nere. S estrae una pallna e s osserva l colore. S estrae po una seconda pallna senza aver rmesso nell urna la precedente. Qual è la probabltà che l colore d entrambe le pallne sa rosso? Qual è la probabltà che la seconda pallna estratta sa rossa? Regola delle probabltà total ) + B ) = B ) ) B ) ), B S, = B + B S S osserv che una partzone {, } d S, ossa costtusc e U = S, = Ø 6

9 S 3 B 4 5 Una collezone d event mutuamente esclusva se, j j = Ø ed esaustva Una collezone d event,, K, se {,, K,n}, mutuamente esclusva S. ed esaustva costtusce una partzone d S = s dce U =. Se,, K, B S è Regola delle sono event mutuamente esclusv ed esaustv, allora = = probabltà B ) ) total serczo: Nella produzone d un semconduttore vale 0.0 la probabltà che un chp, soggetto ad elevat lvell d contamnazone durante l processo d produzone, provoch un malfunzonamento del semconduttore. Vale nvece la probabltà che un chp non soggetto a contamnazone provoch lo stesso un malfunzonamento. Qual è la probabltà che un semconduttore n cu è nserto uno d quest chp non funzon bene se s conosce che l 0% de chp è soggetto a contamnazone? 7 serczo: Una dtta produttrce d autovetture rceve da tre forntor camb da nstallare nelle macchne secondo le seguent percentual: 65%, 5% e 0%. Sapendo che tre forntor producono camb con una dfettostà dcharata rspettvamente del 5%,0% e 5%, calcolare la probabltà che ha la dtta produttrce d autovetture d rcevere un cambo dfettoso. vendo selezonato a caso una automoble e avendo rscontrato che tale automoble rsulta possedere un cambo dfettoso, qual è la probabltà che v sa stato montato un cambo provenente dal secondo forntore? Se,, K, sono n event con > 0 rsulta per =,, K, n = Teorema d Bayes mutuamente esclusv ed esaustv, allora n = B ) ) B ) ) B S, 8

10 ,, K, è l'effetto sono le cause Da qualedeglevent è stato causatol'effetto? P ) probabltà a - pror, ) probabltà a - posteror ( j j 9 P ) ( ) ) n ) n m ( ( m ) m n ) m n ) m m ) P ) P Dagramma ad albero delle probabltà serczo: Poché è stata provata l effcaca d una nuova procedura medca nella prevenzone d una certa malatta, s decde d effettuare un test dagnostco sulla popolazone. La probabltà che l test rconosca (test postvo) che l pazente è malato vale 0.99, mentre vale 0.95 la probabltà che l test rconosca (test negatvo) che l pazente è sano. L ncdenza della malatta nella popolazone è par a Maro s sottopone al test e l rsultato è postvo. Qual è la probabltà che Maro sa effettvamente malato? 0