= = = = = 0.16 NOTA: X P(X) Evento Acquisto PC Intel Acquisto PC Celeron P(X)

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1 ESERCIZIO 3.1 Una dtta vende computer utlzzando on-lne, utlzzando sa processor Celeron che processor Intel. Dat storc mostrano che l 80% de clent preferscono acqustare un PC con processore Intel. a) Sa X la varable casuale l prossmo clente acqusta un PC con processore Celeron. 1. Defnrne la dstrbuzone d probabltà. Calcolare l valore atteso d X. 3. Calcolare la varanza d X. b) Sa Y la varable casuale l numero d PC Celeron vendut ne prossm quattro acqust onlne. 4. Defnre gl event elementar assocat all espermento n questone 5. Calcolare per cascun evento d cu al punto 1 le probabltà assocate 6. Defnre la dstrbuzone d probabltà per la varable casuale Y. 7. Calcolare valore atteso e varanza d Y 8. Utlzzando quanto noto sulla dstrbuzone bnomale calcolare la dstrbuzone d probabltà d Y 9. Utlzzando quanto noto sulla dstrbuzone bnomale calcolare valore atteso e varanza d Y c) Calcolare noltre: PY 10. ( ) 11. PY> ( ) 1. P( 1 Y 3) SVOLGIMENTO 1) La varable X s dstrbusce come una v.c. bernoull. La dstrbuzone d probabltà è rportata sotto sa n forma tabellare che n forma grafca. X Evento Acqusto PC Intel 1 0. Acqusto PC Celeron ) E X 3) ( ) = x p( x ) = = 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ E X µ x µ p x = = = = = 0.16 NOTA: 1

2 La varable casuale è una varable bernoullna. Il valore atteso e la varanza potevano essere calcolat pù velocemente come segue: E X = p= ( ) 0. p ( p) σ = 1 = = ) S ndch con C l acqusto d un pc con processore Celeron e con I l acqusto d un pc con processore Intel. Gl event elementar sono 4 =16 e sono elencat nella seguente tabella: Acqusto 1 Acqusto Acqusto 3 Acqusto 4 Numero d Testa 1 I I I I 0 C I I I 1 3 I C I I 1 4 I I C I 1 5 I I I C 1 6 C C I I 7 C I C I 8 C I I C 9 I C C I 10 I C I C 11 I I C C 1 C C C I 3 13 C C I C 3 14 C I C C 3 15 I C C C 3 16 C C C C 4 5) S ndch con C e con I rspettvamente l acqusto del processore Celeron e del processore Intel da parte dell -esmo acqurente (=1,,4). Il calcolo delle probabltà assocate a cascuno degl event elementar sfrutta l potes che v sa ndpendenza tra acqust successv. P( I ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 I I3 I4 = P I1 P I P I3 P I4 = 0.8 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( 1 3 4) = ( 1) ( ) ( 3) ( 4) = ( 0.) ( 0.8) = ( 1 3 4) = ( 1 3 4) = ( 1 3 4) = ( 1 3 4) = P( I1 C I3 C4) = P( I1 I C3 C4) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) 4 = P C I I I P C P I P I P I P C I I I P I C I I P I I C I P I I I C P C C I I P C P C P I P I P C C I I P C I C I P C I I C P I C C I P C C C I P C P C P C P I PC C C I PC C I C PC I C C PI C C C P C1 C C3 C4 P C1 P C P C3 P C )

3 Tenendo conto che la probabltà che v sano 1,, e 3 acqust d PC-celeron è par all unone delle probabltà d rspettvamente 4, 6 e 4 event elementar che danno vta a rspettv event compost s ha: X (Numero d Celeron) (0.104 x 4) (0.056 x 6) ( x 4) SOMMA ) E X ( ) = x p( x ) = = 0.8 σ = E X µ ( ) ( x µ ) p( x ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ) E possble sfruttare quanto noto sulla bnomale nvece d rcorrere all elenco esaustvo degl event elementar. In partcolare, se s calcola la formula: n x n x n! x n x p( X= x) = pq = pq x x! ( n x)! per x=0,,4 s ottene la dstrbuzone d probabltà rcavata n precedenza. 9) X (Numero d Celeron) (0.104 x 4) (0.056 x 6) ( x 4) SOMMA 1 3

4 Il valore atteso e la varanza possono essere calcolat usando le rspettve defnzon, come al punto 7, ma rsulta pù veloce usare quanto noto sulla dstrbuzone bnomale. E X = x p x = n p= = ( ) ( ) ( ) ( µ ) ( ) Var X = x p x = n p q = = ) PY = PY= 0 + PY= 1 + PY= = = ( ) ( ) ( ) ( ) 11) PY ( > ) = PY ( = 3) + PY ( = 4) = = 0.07 o, n manera analoga, s poteva sfruttare quanto calcolato al punto 11: PY> = 1 PY = = 0.07 ( ) ( ) 1) P1 Y 3 = PY= 1 + PY= + PY= 3 = = ( ) ( ) ( ) ( ) 4

5 ESERCIZIO 3. Il Rettore dell Unverstà è nteressato a valutare l gradmento della rforma degl stud ntrodotta. Un ndagne svolta su tutt gl student negl scors ann ha dato l seguente rsultato: l 60% degl student prefersce l nuovo ordnamento d stud rspetto al precedente. a) S estrae uno studente a caso e s è nteressat a valutare l gradmento dello stesso rspetto al nuovo ordnamento d stud. 1. Defnre la varable casuale X assocata all espermento e la relatva dstrbuzone d probabltà. Calcolarne valore atteso e varanza b) S estraggono a caso 0 student e su quest s è nteressat a valutare l gradmento rspetto al nuovo ordnamento d stud 1. Defnre la varable casuale Y assocata all espermento e la relatva dstrbuzone d probabltà. Calcolarne valore atteso e varanza PY 5 3. Calcoare ( ) 4. Calcolare PY> ( 5) 5. Calcoare PY= ( 11) 6. Calcolare P( 10 < Y < 15) SVOLGIMENTO 1) La varable X s dstrbusce come una v.c. bernoull. La dstrbuzone d probabltà è sotto rportata sa n forma tabellare che n forma grafca. X Evento Gradmento veccho ordnamento Gradmento nuovo ordnamento ) E X ( ) = x p( x ) = = 0.6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ E X µ x µ p x = = = = = 0.4 NOTA: La varable casuale è una varable bernoullna. Il valore atteso e la varanza potevano essere calcolat pù velocemente come segue: E X = p= ( ) 0.6 p ( p) σ = 1 = = 0.4 3) 5

6 La varable casuale Y= nr. d student favorevol al nuovo ordnamento su un gruppo d 0 segue una dstrbuzone bnomale (ved analoga con l numero d success n n prove). E possble specfcare le dstrbuzon d probabltà sa calcolando la formula: n x n x n! x n x p( X= x) = pq = pq x x! ( n x)! per x=0,,0. La dstrbuzone d probabltà della v.c. Y è rportata d seguto n forma tabulare e n forma grafca. X ) Il valore atteso e la varanza possono essere calcolat usando le rspettve defnzon ma rsulta pù veloce usare quanto noto sulla dstrbuzone bnomale. E X = x p x = n p= = ( ) ( ) ( ) ( µ ) ( ) Var X = x p x = n p q = = 4.8 5) PY 5 = PY= 1 + PY= + PY= 3 + PY= 4 + PY= 5 = = ) PY> 5 = 1 PY 5 = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6

7 PY= ( 11) = ) P10 < Y< 15 = PY= 11 + PY= 1 + PY= 13 + PY= 14 = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

8 ESERCIZIO 3.3 S è nteressat all acqusto d un autovettura e un produttore d automobl sta promuovendo un nuovo modello facendo leva su bass consum: la pubblctà afferma che la macchna è n grado d asscurare un consumo medo d 0 km per ltro su percors cttadn. S ha la fortuna d conoscere uno de responsabl del settore marketng d tale azenda dal quale s resce ad ottenere anche un nformazone sulla varabltà d quest test d consumo, ovvero che la devazone standard è par a 3 km per ltro. Sa X la varable casuale km percors per ltro d tale modello, che s potzza approssmable da una dstrbuzone normale. 1. Acqustando tale modello d autovettura qual è la probabltà che la macchna n questone resca a percorrere meno d 0 km al ltro su percorso cttadno?. Qual è la probabltà che la macchna resca a percorrere pù d 30 km per ltro? 3. Qual è la probabltà che la macchna percorra n meda tra 4 e 30 km per ltro? 4. Qual è la probabltà che la macchna percorra meno d 18m o pù d 4m per ltro? 5. Calcolare l numero mnmo d km per ltro che la macchna è n grado d asscurare nel 90% de cas? 6. Calcolare l numero d km per ltro che la macchna è n grado d superare solo nel 0% de cas? 7. Calcolare l prmo quartle, la medana e l terzo quartle della varable casuale. SVOLGIMENTO X = km percors per ltro X N 0 km,3 km 1) ( ) P( X < 0) = 0.5 Usando le tavole della normale s ha X µ 0 0 Z = = = 0 σ 3 8

9 Area tra la meda e l valore z Le tavole utlzzate danno l area dalla meda all ascssa cercata. In questo caso bsogna sommare l area a snstra della meda che è par a 0.5, da cu s ha: X µ P( X < 0) = P Z < = P( Z < 0) = 0.5 σ NOTA BENE: Alcune tavole rportano l area da - al valore z (s consgla d controllare con attenzone la relatva legenda) ) Dalle tavole ottenamo l area compresa tra la meda e l valore z, vale a dre: Area tra la meda e l valore z Da questo valore dobbamo sottrarre 0.5 per ottenere l ara a destra del valore z: X µ 30 0 P( X > 30) = P Z > = P Z > = P( Z > 3.33) = = σ 3 3) 9

10 X1 µ X µ P X P Z P Z P Z σ σ 3 3 P 0< Z < 1.33 : ( 4 < < 30) = < < = < < = ( 1.33 < < 3.33) Dalle tavole ottenamo la ( ) Dalle tavole ottenamo la P( 0 Z 3.33) < < : Area tra la meda e l valore z Sottraendo l prmo valore dal secondo s ottene la probabltà d nteresse: P( 4 < X < 30) = P( 0 < Z < 3.33) P( 0 < Z < 1.33) = = ) Area tra la meda e l valore z ( < 18 > 4) = ( < 18) + ( > 4) P X X P X P X Possamo rcavare due addend passando alla varable casuale standardzzata: 10

11 X µ 18 0 P( X < 18) = P Z < = P Z < = P( Z < 0.67) σ 3 Sfruttando la smmetra della dstrbuzone possamo cercare l valore 0.67 sulle tavole: Area tra la meda e l valore z L area tra la meda e l valore 0.67 è par a Per trovare l area d nteresse dobbamo sottrarre questo valore da 0.5: P Z < 0.67 = P Z > 0.67 = = ( ) ( ) Per l secondo addendo s ha: X µ 4 0 P( X > 4) = P Z > = P Z > = P( Z > 1.33) σ Area tra la meda e l valore z Il valore trovato sulle tavole corrsponde all area tra la meda e l ascssa 1.33; per ottenere la probabltà consderata dobbamo sottrarre tale valore da 0.5: P Z > 1.33 = = ( ) Sommando due valor s ottene la probabltà desderata: P X < 18 X > 4 = P X < 18 + P X > 4 = = ( ) ( ) ( ) 5) Per rspondere al questo bsogna cercare l valore dell ascssa che lasca a destra l 90% dell area. Le tavole utlzzate c danno l valore dell area tra la meda e l ascssa; nel nostro caso qund possamo scomporre l 90% n due zone: 50% (area a snstra della meda) e 40%; dobbamo qund cercare nella tabella un area vcna a 0.4: X µ P( Z < 1.8) = P < 1.8 = = σ Da questa possamo rcavare l valore corrspondente della X: X µ Z = X = µ + Zσ = = 3.84 σ 6) L area pù vcna a 0.4 corrsponde ad un ascssa d

12 In questo caso dobbamo cercare l valore dell ascssa che lasca a destra l 0% de cas, ovvero a snstra l 80% de cas. Per utlzzare le tavole bsogna scomporre quest area nel 50% (area a snstra della meda) a cu va aggunto l restante 30% (area a partre dalla meda). Bsogna qund cercare l valore dell ascssa corrspondente ad un area d 0.3: X µ P( Z < 0.84) = P < 0.84 = = σ Da questa possamo rcavare l valore corrspondente della X: X µ Z = X = µ + Zσ = =.5 σ 7) Data la smmetra della dstrbuzone normale la medana è par alla meda (e ad ogn altro ndce d tendenza centrale). Per l calcolo del prmo e terzo quartle s può cercare l valore dell ascssa corrspondente ad un area d 0.5: Z Q µ Q µ σ σ 3 1 = = Q1 = µ Zσ = = Q3 = µ + Zσ = =.01 L area pù vcna a 0.3 corrsponde ad un ascssa d 0.84 L area pù vcna a 0.5 corrsponde ad un ascssa d

13 ESERCIZIO 3.4 La statura delle reclute alla vsta d leva segue una dstrbuzone normale con meda 170 cm e scarto quadratco medo 10 cm. S consder una recluta scelta a caso; s è nteressat a calcolare: 1. la probabltà che sa alto pù d 190 cm. la probabltà che sa alto 190 cm o pù d 190 cm 3. la probabltà che sa alto meno d 150 cm 4. la probabltà che sa alto tra 160 e 180 cm 5. la probabltà che sa alto meno d 160 cm o pù d 180 cm S calcol noltre: 6. l altezza medana 7. l prmo quartle 8. l terzo quartle 9. l altezza n cm che è superata solo dal 10% delle reclute 10. l altezza n cm che è superata dal 90% delle reclute SVOLGIMENTO X = altezza n cm reclute alla vsta d leva X N 170 km,10 km ( ) ) P X X µ P Z P Z σ 10 P Z ( > 190) = > = > = ( > ) Per rcavare la probabltà d nteresse dobbamo sottrarre l valore trovato da 0.5: P X > 190 = P Z > = = 0.08 ( ) ( ) ) P X 190 = P X > P X = 190 = = 0.08 ( ) ( ) ( ) Area tra la meda e l valore z 13

14 3) X µ P( X < 150) = P Z < = P Z < = P( Z < ) σ 10 Anche n questo caso, sfruttando la smmetra della dstrbuzone, cerchamo sulla tabella l area corrspondente all ascssa : Dobbamo sottrarre da 0.5 l valore trovato per avere l area che c nteressa: P X < 150 = P Z < = P Z > = = 0.08 ( ) ( ) ( ) 4) P X X1 µ X µ P Z P Z σ σ P Z ( 160 < < 180) = < < = < < = ( 1 < <+ 1) ( ) ( ) ( ) P 160 < X < 180 = P 1< Z <+ 1 = P 0 < Z <+ 1 = = ) La probabltà d nteresse può essere calcolata sfruttando quanto calcolato al punto precedente: P ( X < 160) ( X > 180) = 1 P( 160 < X < 180) = 1 P( 1 < Z <+ 1) = = ) Data la smmestra della dstrbuzone normale la medana è par alla meda (e ad ogn altro ndce d tendenza centrale). Per l calcolo del prmo e terzo quartle s può cercare l valore dell ascssa corrspondente ad un area d 0.5: Z Q µ Q µ σ σ 3 1 = = Q1 = µ Zσ = = Q3 = µ + Zσ = = Area tra la meda e l valore z Area tra la meda e l valore z L area pù vcna a 0.5 corrsponde ad un ascssa d ) In questo caso dobbamo cercare l valore dell ascssa che lasca a destra l 10% de cas, ovvero a snstra l 90% de cas. Per utlzzare le tavole bsogna scomporre quest area nel 50% (area a snstra della meda) a cu va aggunto l 14

15 restante 40% (area a partre dalla meda). Bsogna qund cercare l valore dell ascssa corrspondente ad un area d 0.4: Da questa possamo rcavare l valore corrspondente della X: X µ P( Z < 1.8) = P < 1.8 = = σ Da questa possamo rcavare l valore corrspondente della X: X µ Z = X = µ + Zσ = = 18.8 σ 10) In questo caso dobbamo cercare l valore dell ascssa che lasca a snstra l 10% de cas, ovvero a destra l 90% de cas. Per utlzzare le tavole bsogna trovare l ascssa corrspondente ad un area d 0.4 a partre dalla meda, ovvero lo stesso valore che s è cercato per l punto precedente L area pù vcna a 0.4 corrsponde ad un ascssa d 1.8 L area pù vcna a 0.4 corrsponde ad un ascssa d 1.8 Da questa possamo rcavare l valore corrspondente della X, consderando questa volta l valore con l segno negatvo: X µ Z = X = µ Zσ = = 157. σ 15